2024-2025學年新教材高中數(shù)學 第3章 排列、組合與二項式定理 3.1 排列與組合 3.1.3 第2課時 組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用教案 新人教B版選擇性必修第二冊

2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章排列、組合與二項式定理3.1排列與組合3.1.3第2課時組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用教案新人教B版選擇性必修第二冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內(nèi)容本節(jié)課的教學內(nèi)容來源于2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章排列、組合與二項式定理的3.1排列與組合的3.1.3第2課時組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。本節(jié)課主要介紹組合數(shù)的性質(zhì)及其在實際問題中的應(yīng)用。具體內(nèi)容包括：

1.組合數(shù)的性質(zhì)：包括組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)的對稱性、組合數(shù)的單調(diào)性等。

2.組合數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：主要包括組合數(shù)在圖論、概率論等領(lǐng)域的應(yīng)用，如解決排列組合問題、計算概率等。

3.組合數(shù)的證明與推導：主要包括組合數(shù)的證明方法，如數(shù)學歸納法、構(gòu)造法等，以及如何利用組合數(shù)解決實際問題。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標為：通過學習組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力、數(shù)學建模能力和數(shù)據(jù)分析能力。具體包括：

1.邏輯推理能力：使學生能夠運用組合數(shù)的性質(zhì)進行邏輯推理，解決相關(guān)的數(shù)學問題。

2.數(shù)學建模能力：培養(yǎng)學生運用組合數(shù)解決實際問題的能力，學會建立數(shù)學模型進行分析和解決問題。

3.數(shù)據(jù)分析能力：培養(yǎng)學生從實際問題中提取有效信息，運用組合數(shù)進行數(shù)據(jù)分析和處理的能力。教學難點與重點1.教學重點

本節(jié)課的核心內(nèi)容是組合數(shù)的性質(zhì)及其在實際問題中的應(yīng)用。具體包括：

（1）組合數(shù)的計算公式及其推導方法。

（2）組合數(shù)的對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)。

（3）組合數(shù)在圖論、概率論等領(lǐng)域的應(yīng)用，如解決排列組合問題、計算概率等。

2.教學難點

（1）組合數(shù)性質(zhì)的證明：本節(jié)課的難點在于如何引導學生運用數(shù)學歸納法、構(gòu)造法等方法證明組合數(shù)的性質(zhì)。

（2）組合數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：學生需要學會從實際問題中提取有效信息，運用組合數(shù)進行邏輯推理和數(shù)據(jù)分析，解決實際問題。

（3）組合數(shù)公式的推導：理解并掌握組合數(shù)的計算公式，能夠靈活運用公式解決相關(guān)問題。例如，如何利用組合數(shù)公式計算排列組合問題，以及如何利用組合數(shù)公式計算概率等。

（4）組合數(shù)的對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)的理解和應(yīng)用：學生需要理解組合數(shù)性質(zhì)的含義，并能夠運用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題。例如，如何利用組合數(shù)的對稱性簡化計算過程，如何利用組合數(shù)的單調(diào)性比較大小等。教學資源1.軟硬件資源：多媒體教學設(shè)備、白板、投影儀、計算器、教案及教學課件。

2.課程平臺：學校教學管理系統(tǒng)、數(shù)學學科論壇、數(shù)學教學資源共享平臺。

3.信息化資源：與組合數(shù)相關(guān)的教學視頻、動畫、數(shù)學軟件、在線習題庫等。

4.教學手段：小組討論、案例分析、問題驅(qū)動教學、翻轉(zhuǎn)課堂、在線互動等。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預習任務(wù)：提供組合數(shù)的相關(guān)PPT、視頻和文檔，讓學生提前預習。

-設(shè)計預習問題：提出問題如“組合數(shù)的計算公式是什么？請舉例說明?！?/p>

-監(jiān)控預習進度：通過在線平臺查看學生的預習筆記和疑問。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：學生在家閱讀資料，理解組合數(shù)的基本概念。

-思考預習問題：學生針對問題進行思考，嘗試解答。

-提交預習成果：學生在平臺上提交自己的預習筆記和問題。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：鼓勵學生獨立思考，查找資料，培養(yǎng)自主學習的能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺，實現(xiàn)資源共享和進度監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學生提前了解組合數(shù)的基礎(chǔ)知識，為課堂學習做好準備。

-培養(yǎng)學生的自主學習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過一個有趣的組合數(shù)問題引出本課，如“如果有5個人，每個人都要與其他人握手，總共需要多少次握手？”。

-講解知識點：詳細講解組合數(shù)的計算公式和性質(zhì)。

-組織課堂活動：小組討論組合數(shù)的應(yīng)用問題，如“如何計算一個5人小組的握手次數(shù)？”。

-解答疑問：回答學生關(guān)于組合數(shù)問題的疑問。

學生活動：

-聽講并思考：學生專注聽講，理解組合數(shù)的計算方法。

-參與課堂活動：學生在小組中討論問題，共同解決問題。

-提問與討論：學生針對不理解的地方提出問題，與同學和老師討論。

教學方法/手段/資源：

-講授法：教師通過講解，讓學生理解組合數(shù)的基本概念。

-實踐活動法：通過小組討論，讓學生在實踐中應(yīng)用組合數(shù)知識。

-合作學習法：學生通過小組合作，共同解決問題，培養(yǎng)團隊合作能力。

作用與目的：

-幫助學生深入理解組合數(shù)的計算方法和性質(zhì)。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學習，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置有關(guān)組合數(shù)應(yīng)用的練習題，如“一個班級有30名學生，每兩人之間都要進行一次互動游戲，請問有多少種不同的互動方式？”。

-提供拓展資源：推薦一些有關(guān)組合數(shù)在實際問題中應(yīng)用的視頻和文章。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學生反饋。

學生活動：

-完成作業(yè)：學生獨立完成作業(yè)，鞏固組合數(shù)知識。

-拓展學習：學生查閱推薦資源，了解更多組合數(shù)的應(yīng)用。

-反思總結(jié)：學生反思自己在課堂和作業(yè)中的表現(xiàn)，提出改進建議。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：學生獨立完成作業(yè)，自主查閱拓展資源。

-反思總結(jié)法：學生對自己的學習過程進行總結(jié)，找出不足。

作用與目的：

-鞏固學生在課堂上學到的組合數(shù)知識和技能。

-通過拓展學習，拓寬學生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。知識點梳理本節(jié)課主要學習組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，具體包括以下幾個知識點：

1.組合數(shù)的定義：組合數(shù)是指從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素的所有可能的組合的數(shù)量。組合數(shù)的符號為C(n,m)，讀作“從n個不同元素中取m個元素的組合數(shù)”。

2.組合數(shù)的計算公式：組合數(shù)的計算公式為C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]，其中n!表示n的階乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。

3.組合數(shù)的性質(zhì)：

a.組合數(shù)的對稱性：C(n,m)=C(n,n-m)。

b.組合數(shù)的單調(diào)性：當n>m時，C(n,m)>C(n,m+1)。

c.組合數(shù)的遞推關(guān)系：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。

4.組合數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：

a.排列組合問題：利用組合數(shù)計算不同排列組合的數(shù)量，如握手問題、宴會座位安排等。

b.概率論問題：利用組合數(shù)計算事件的概率，如抽獎問題、隨機抽樣等。

c.圖論問題：利用組合數(shù)計算圖的某些性質(zhì)，如計算圖的連通度、判斷圖的染色問題等。

5.組合數(shù)的證明與推導：

a.數(shù)學歸納法：利用數(shù)學歸納法證明組合數(shù)的計算公式。

b.構(gòu)造法：通過構(gòu)造具體的組合數(shù)例子，推導出組合數(shù)的性質(zhì)。反思改進措施經(jīng)過對本節(jié)課的教學實踐的深入反思，我認為在教學內(nèi)容、教學方法、學生互動等方面還有許多值得改進的地方。以下是我對這節(jié)課的反思及今后的改進措施。

（一）教學特色創(chuàng)新

1.實際問題引入：本節(jié)課通過引入實際的排列組合問題，激發(fā)學生的學習興趣，使他們能夠更好地理解組合數(shù)的意義和應(yīng)用。

2.小組討論：在教學過程中，我組織了小組討論，讓學生們通過合作解決問題，培養(yǎng)他們的團隊協(xié)作能力和溝通能力。

3.案例分析：我選擇了具有代表性的案例進行分析，讓學生們能夠更好地理解組合數(shù)的性質(zhì)及其在實際問題中的應(yīng)用。

（二）存在主要問題

1.教學管理：在課堂管理方面，部分學生課堂紀律較為松散，影響了課堂教學效果。

2.教學方法：在教學方法上，我對組合數(shù)性質(zhì)的證明講解得過于繁瑣，導致學生難以理解。

3.教學評價：在教學評價方面，我過于注重學生的解答結(jié)果，而忽略了他們在解題過程中的思維方法和邏輯推理能力。

（三）改進措施

1.加強課堂管理：我將加強課堂管理，提高學生的學習積極性，營造積極向上的課堂氛圍。

2.優(yōu)化教學方法：我將簡化組合數(shù)性質(zhì)的證明過程，采用更直觀、易懂的方法進行講解，幫助學生更好地理解。

3.完善教學評價：我將注重學生的思維過程和邏輯推理能力，鼓勵他們積極參與課堂討論，提高他們的分析問題和解決問題的能力。

4.增加實踐環(huán)節(jié)：我將增加更多的實際問題讓學生進行解決，讓他們能夠更好地理解組合數(shù)的應(yīng)用。

5.鼓勵學生提問：我將鼓勵學生在課堂上提問，及時解答他們的疑問，提高他們的學習效果。課堂一、課堂評價

課堂評價是了解學生學習情況的重要手段。在本節(jié)課中，我將通過提問、觀察和測試等方式，及時發(fā)現(xiàn)問題并進行解決。

1.提問：在課堂講解過程中，我會提出一些問題，引導學生思考和回答。通過學生的回答，我可以了解他們對組合數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用的理解程度。

2.觀察：在課堂活動中，我會觀察學生的參與情況。通過觀察學生的參與程度，我可以了解他們對課堂活動的興趣和積極性。

3.測試：在課堂結(jié)束前，我會進行一次小測試，檢驗學生對組合數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用的掌握情況。通過測試結(jié)果，我可以了解學生對課堂內(nèi)容的掌握程度。

二、作業(yè)評價

作業(yè)評價是檢驗學生學習效果的重要手段。在本節(jié)課中，我將對學生的作業(yè)進行認真批改和點評，及時反饋學生的學習效果，鼓勵學生繼續(xù)努力。

1.認真批改：在批改學生的作業(yè)時，我會認真檢查學生的解答過程和結(jié)果，及時發(fā)現(xiàn)和指出學生存在的問題。

2.點評：在點評學生的作業(yè)時，我會針對學生的解答過程和結(jié)果，給予具體的指導和反饋。對于學生的優(yōu)點，我會給予表揚和鼓勵；對于存在的問題，我會指出并給出改進建議。

3.及時反饋：在批改和點評學生的作業(yè)后，我會及時將作業(yè)情況反饋給學生，讓他們了解自己的學習效果，及時調(diào)整學習方法和策略。課后作業(yè)1.計算組合數(shù)：計算C(10,3)和C(8,4)的值。

2.應(yīng)用組合數(shù)解決實際問題：一個班級有30名學生，每兩人之間都要進行一次互動游戲，請問有多少種不同的互動方式？

3.證明組合數(shù)性質(zhì)：證明C(n,m)=C(n,n-m)。

4.利用組合數(shù)計算概率：一個箱子里有5個紅球和3個藍球，隨機抽取一個球，求抽到紅球的概率。

5.利用組合數(shù)解決圖論問題：一個無向圖有6個頂點和9條邊，求該圖的連通度。

下面是對這些題目的詳細解答：

1.計算組合數(shù)：

C(10,3)=10!/[3!*(10-3)!]=10!/[3!*7!]=(10*9*8)/(3*2*1)=120

C(8,4)=8!/[4!*(8-4)!]=8!/[4!*4!]=8!/24=(8*7*6*5)/4=70

2.應(yīng)用組合數(shù)解決實際問題：

有30名學生，每兩人之間都要進行一次互動游戲，所以互動方式的總數(shù)為C(30,2)。計算得C(30,2)=30!/[2!*(30-2)!]=30*29/2=435。

3.證明組合數(shù)性質(zhì)：

C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

C(n,n-m)=n!/[(n-m)!*m!]

將C(n,m)的表達式中的n用n-m代替，得到C(n,n-m)的表達式。由于n!=(n-m)!*m!，因此C(n,m)=C(n,n-m)。

4.利用組合數(shù)計算概率：

箱子里有5個紅球和3個