高中數學必修2-第一章《空間幾何體》知識點總結與練習

高中數學必修

2__第一章《空間幾何體》知識點總結與練習

第一節(jié) 空間幾何體的結構特征及三視圖和直觀圖

[知識能否憶起]

一、多面體的結構特征

多面體

棱柱

棱錐

棱臺

結構特征

有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個面的交線都平行且相

等

有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形

棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分

二、旋轉體的形成

幾何體

圓柱

圓錐

圓臺

球

旋轉圖形

矩形

直角三角形

直角梯形

半圓

旋轉軸

任一邊所在的直線

一條直角邊所在的直線

垂直于底邊的腰所在的直線

直徑所在的直線

三、簡單組合體

簡單組合體的構成有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成；一種是由簡單幾何

體截去或挖去一部分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉體、旋轉體與旋轉體的組合體．

四、平行投影與直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：

(1)原圖形中

x

軸、y

軸、z

軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為

45°(或

135°)，

z′軸與

x′軸和

y′軸所在平面垂直．

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于

x

軸和

z

軸的線段

在直觀圖中保持原長度不變，平行于

y

軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

五、三視圖

幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正

1

/

27

上方觀察幾何體畫出的輪廓線．

1.正棱柱與正棱錐

(1)底面是正多邊形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中

“正”字包含兩層含義：①側

棱垂直于底面；②底面是正多邊形．

(2)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫正棱錐，注意

正棱錐中“正”字包含兩層含義：①頂點在底面上的射影必需是底面正多邊形的中心，②底

面是正多邊形，特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．

2．對三視圖的認識及三視圖畫法

(1)空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個

方向看到的該幾何體的側面表示的圖形．

(2)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，能看見的輪廓線和棱用實線表示，擋住的線要

畫成虛線．

(3)三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察

幾何體用平行投影畫出的輪廓線．

3．對斜二測畫法的認識及直觀圖的畫法

(1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段，“平行于

x

軸的線段平行性不變，長

度不變；平行于

y

軸的線段平行性不變，長度減半．”

(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關系：

S

直觀圖＝

2

4

S

原圖形，S

原圖形＝2

2S

直觀圖．

空間幾何體的結構特征

典題導入

[例

1] (2012·

哈師大附中月考)下列結論正確的是( )

A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊繞旋轉軸旋轉形成的曲面所圍成的

幾何體叫圓錐

C．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長都相等，則該棱錐可能是六棱錐

D．圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線

[自主解答] A

錯誤，如圖

1

是由兩個相同的三棱錐疊放在一起構成的

2

/

27

幾何體，它的各個面都是三角形，但它不是三棱錐；B

錯誤，如圖

eq

\o\ac(△,2)

，若

ABC

不是直角三

角形，或△ABC

是直角三角形但旋轉軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐；

圖

1

圖

2

C

錯誤，若該棱錐是六棱錐，由題設知，它是正六棱錐．易證正六棱錐的側棱長必大于

底面邊長，這與題設矛盾．

[答案] D

由題悟法

解決此類題目要準確理解幾何體的定義，把握幾何體的結構特征，并會通過反例對概念

進行辨析．舉反例時可利用最熟悉的空間幾何體如三棱柱、四棱柱、正方體、三棱錐、三棱

臺等，也可利用它們的組合體去判斷．

以題試法

1．(2012·

天津質檢)如果四棱錐的四條側棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側

棱稱為它的腰，以下

4

個命題中，假命題是( )

A．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等

B．等腰四棱錐的側面與底面所成的二面角都相等或互補

C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓

D．等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上

解析：選

B 如圖，等腰四棱錐的側棱均相等，其側棱在底面的射影也

相等，則其腰與底面所成角相等，即A

正確；底面四邊形必有一個外接圓，

即

C

正確；在高線上可以找到一個點

O，使得該點到四棱錐各個頂點的距

離相等，這個點即為外接球的球心，即

D

正確；但四棱錐的側面與底面所

成角不一定相等或互補(若為正四棱錐則成立)．故僅命題

B

為假命題．

幾何體的三視圖

典題導入

[例

2] (2012·

湖南高考)某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖

3

/

27

不可能是( )

[自主解答] 根據幾何體的三視圖知識求解．

由于該幾何體的正視圖和側視圖相同，且上部分是一個矩形，矩形中間無實線和虛線，

因此俯視圖不可能是

C.

[答案] C

由題悟法

三視圖的長度特征

三視圖中，正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側視圖和俯視圖一樣寬，

即“長對正，寬相等，高平齊”．

[注意] 畫三視圖時，要注意虛、實線的區(qū)別．

以題試法

2．(1)(2012·莆田模擬)如圖是底面為正方形、一條側棱垂直于底面的四棱錐的三視圖，

那么該四棱錐的直觀圖是下列各圖中的( )

解析：選

D 由俯視圖排除

B、C；由正視圖、側視圖可排除

A.

4

/

27

(2)(2012·

濟南模擬)

如圖，正三棱柱

ABC－A1B1C1

的各棱長均為

2，其正視圖如圖所示，則此三棱柱側視圖

的面積為( )

A．2

2

C.

3

B．4

D．2

3

解析：選

D 依題意，得此三棱柱的左視圖是邊長分別為

2，

3的矩形，故其面積是

2

3.

幾何體的直觀圖

典題導入

[例

3] 已知△ABC

的直觀圖

A′B′C′是邊長為

a

的正三角形，求原△ABC

的面積．

[自主解答]

＝

，

所以

OC′＝sin

120°

a＝

6

a，

建立如圖所示的坐標系

xOy′，

eq

\o\ac(△,A)

′B′C′的頂點

C′在

y′軸上，A′B′邊在

x

軸

上，OC

為△ABC

的高．

把

y′軸繞原點逆時針旋轉

45°得

y

軸，

則點

C′變?yōu)辄c

C，且

OC＝2OC′，A，B

點即為

A′，B′點，長度不變．

已知

A′B′＝A′C′＝

eq

\o\ac(△,a)

，在

OA′C′中，

由正弦定理得

OC′ A′C′

sin∠OA′C′ sin

45°

sin

45° 2

所以原三角形

ABC

的高

OC＝

6a.

5

/

27

2

所以

eq

\o\ac(△,S)

ABC＝1×a×

6a＝

26a2.

由題悟法

用斜二測畫法畫幾何體的直觀圖時，要注意原圖形與直觀圖中的“三變、三不變”．

坐標軸的夾角改變，

“三變”與y軸平行線段的長度改變，

圖形改變；

平行性不變，

“三不變”與x軸平行的線段長度不變，

相對位置不變.

以題試法

3．如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為

45°，腰和上底均為

1

的等

腰梯形，那么原平面圖形的面積是( )

2

2

A．2＋

2

2＋

2

C.

1＋

2

B.

D．1＋

2

S＝

(1＋

2＋1)×2＝2＋

2.

解析：選

A 恢復后的原圖形為一直角梯形

1

2

第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積

[知識能否憶起]

柱、錐、臺和球的側面積和體積

面積

體積

V＝

Sh＝

πr2h＝

πr2

l2－r2

圓柱

圓錐

S

側＝2πrl

S

側＝πrl

V＝Sh＝πr2h

1

1

1

3

3

3

6

/

27

圓臺 S

側＝π(r1＋r2)l

1

V＝3(S

上＋S

下＋

S上·

S下)h

1

1

＝3π(r2＋r2＋r1r2)h

V＝

Sh

V＝

πR3

直棱柱

正棱錐

正棱臺

球

S

側＝Ch

1

S

側＝2Ch′

1

S

側＝2(C＋C′)h′

S

球面＝4πR2

V＝Sh

1

3

1

V＝3(S

上＋S

下＋

S上·

S下)h

4

3

1.幾何體的側面積和全面積：

幾何體側面積是指(各個)側面面積之和，而全面積是側面積與所有底面積之和．對側面

積公式的記憶，最好結合幾何體的側面展開圖來進行．

2．求體積時應注意的幾點：

(1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補的方法轉化成已知體積公式的幾何體進行解

決．

(2)與三視圖有關的體積問題注意幾何體還原的準確性及數據的準確性．

3．求組合體的表面積時注意幾何體的銜接部分的處理．

幾何體的表面積

典題導入

[例

1] (2012·

安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是________．

[自主解答] 由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱

(如圖所

示)．

7

/

27

所以其表面積為

2×1×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.

視圖、側視圖都是面積為

3，且一個內角為

60°的菱形，俯視圖為正方

面邊長和側面上的高均等于菱形的邊長，因此該飾物的表面積為

8×2×1×1＝4.

在四邊形

ABCD

中，作

DE⊥AB，垂足為

E，則

DE＝4，AE＝3，則

AD＝5.

2

[答案] 92

由題悟法

1．以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之

間的位置關系及數量．

2．多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．

3．旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．

以題試法

1．(2012·

河南模擬)如圖是某寶石飾物的三視圖，已知該飾物的正

2

形，那么該飾物的表面積為( )

A.

3 B．2

3

C．4

3 D．4

解析：選

D 依題意得，該飾物是由兩個完全相同的正四棱錐對接而成，正四棱錐的底

1

幾何體的體積

典題導入

[例

2] (1)(2012·廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為( )

8

/

27

V＝V

半球＋V

圓錐＝

·

π·33＋

·π·32·4＝30π.

[答案] (1)C (2)

A．72π B．48π

C．30π D．24π

(2)(2012·

山東高考)如圖，正方體

ABCD－A1B1C1D1

的棱長為

1，E

為線段

B1C

上的一點，則三棱錐

A－DED1

的體積為________．

[自主解答] (1)

由三視圖知，該幾何體是由圓錐和半球組合而成的，直觀圖如圖所示，

圓錐的底面半徑為

3，高為

4，半球的半徑為

3.

14 1

23 3

1 1 1 1

(2)VA－DED1＝VE－ADD1＝3×

eq

\o\ac(△,S)

ADD1×CD＝3×2×1＝6.

1

6

本例(1)中幾何體的三視圖若變?yōu)椋?/p>

＝π×32×4－1π×32×4＝24π.

3

其體積為________．

解析：由三視圖還原幾何體知，該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，其體積V＝V

圓柱－V

圓錐

答案：24π

由題悟法

1．計算柱、錐、臺體的體積，關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高，應注意充分

利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解．

2．注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、轉化法等，它們是解決一些不規(guī)則

幾何體體積計算常用的方法，應熟練掌握．

3．等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面．①求體積時，可選擇容

易計算的方式來計算；②利用“等積法”可求“點到面的距離”．

9

/

27

以題試法

2．(1)(2012·長春調研)四棱錐

P－ABCD

的底面

ABCD

為正方形，且

PD

垂直于底面

ABCD，N

為

PB

中點，則三棱錐

P－ANC

與四棱錐

P－ABCD

的體積比為( )

A．1∶2

C．1∶4

B．1∶3

D．1∶8

3

32

2

32

1

＝

.

3

解析：選

C 設正方形

ABCD

面積為

S，PD＝h，則體積比為

1 11

1 11

Sh－

·

S·

h－

·

Sh

1 4

Sh

(2012·

浙江模擬)如圖，是某幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是( )

3

A．32

C．8

B．24

32

D.

和

2

個直角邊分別為

3,1

的直角三角形，其底面積

S＝9＋2×

×3×1＝12，

解析：選

B 此幾何體是高為

2

的棱柱，底面四邊形可切割成為一個邊長為

3

的正方形

1

2

所以幾何體體積

V＝12×2＝24.

與球有關的幾何體的表面積與體積問題

典題導入

[例

3] (2012·新課標全國卷)已知三棱錐

S－ABC

的所有頂點都在球

O

的球面上，△ABC

是邊長為

1

的正三角形，SC

為球

O

的直徑，且

SC＝2，則此棱錐的體積為( )

A.

C.

2

6

2

3

B.

D.

3

6

2

2

10

/

27

[自主解答

] 由于三棱錐

S－ABC

與三棱錐

O－ABC

底面都是△

ABC，O

是

SC

的中點，因此三棱錐

S－ABC

的高是三棱錐

O－ABC

高

的

2

倍，

所以三棱錐

S－ABC

的體積也是三棱錐

O－ABC

體積的

2

倍．

在三棱錐

O－ABC

中，其棱長都是

1，如圖所示，

×AB2＝4

4

eq

\o\ac(△,S)

ABC＝ 3 3，

高

OD＝

12－

32＝

6，

3

3

1

3

6＝

2

＝2VO－ABC＝2×

×

3

4

3

6

× .

∴V

S－ABC

[答案] A

由題悟法

1．解決與球有關的“切”、“接”問題，一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作

截面，把空間問題轉化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關系．

2．記住幾個常用的結論：

(1)正方體的棱長為

a，球的半徑為

R，

①正方體的外接球，則

2R＝

3a；

②正方體的內切球，則

2R＝a；

③球與正方體的各棱相切，則

2R＝

2a.

b

c

(2)長方體的同一頂點的三條棱長分別為

a，，，外接球的半徑為

R，則

2R＝

a2＋b2＋c2.

(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為

1∶3.

以題試法

3．(1)(2012·瓊州模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則

這個幾何體的外接球的表面積為( )

A．2

3π

8πB.

3

11

/

27

C．4

3

16πD.

3

B

(2)(2012·

濰坊模擬)如圖所示，已知球

O

的面上有四點

A、

、C、

D，DA⊥平面

ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝

2，則球

O

的體積

等于________．

解析：(1)由三視圖可知幾何體的直觀圖如圖所示．

其中側面

DBC⊥底面

ABC，取

BC

的中點

O1，連接

AO1，DO1

知

DO1⊥底面

ABC

且

DO1＝

3，AO1＝1，BO1＝O1C＝1.

在

eq

\o\ac(△,Rt)

ABO1

和

Rt△ACO1

中，AB＝AC＝

2，

又∵BC＝2，∴∠BAC＝90°.

∴BC

為底面

ABC

外接圓的直徑，O1

為圓心，

又∵DO1⊥底面

ABC，∴球心在

DO1

上，

即△BCD

的外接圓為球大圓，設球半徑為

R，

則(

3－R)2＋12＝R2，∴R＝

2

3

.

2＝16π.

2

∴S

球＝4πR2＝4π× 3

3

(2)如圖，以

DA，AB，BC

為棱長構造正方體，設正方體的外接球

球

O

的半徑為

R，則正方體的體對角線長即為球

O

的直徑，所以|CD|

2

＝

22＋

22＋

22＝2R，所以

R＝

6

.

故球

O

的體積

V＝

＝

6π.

4πR3

3

答案：(1)D (2)

6π

某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在

解題時，把這個幾何體通過“補形”補成完整的

幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破

解空間幾何體的體積問題，這是一種重要的解題

策略——補形法.常見的補形法有對稱補形、聯系

補形與還原補形.對于還原補形，主要涉及臺體中

“還臺為錐”問題.

12

/

27

1．對稱補形

[典例

1] (2012·

湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )

3

3

8π

A.

10π

C.

B．3π

D．6π

＝3×π×12×4＝3π.

[解析] 由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為

1，高為

4

的圓柱被從

母線的中點處截去了圓柱的1，根據對稱性，可補全此圓柱如圖，故體積

V

4

4

[答案] B

[題后悟道] “對稱”是數學中的一種重要關系，在解決空間幾何體中的問題時善于發(fā)

現對稱關系對空間想象能力的提高很有幫助．

2．聯系補形

(2012·

遼寧高考)已知點

P，A，B，C，D

是球

O

表面上的點，PA⊥平面

ABCD，四邊形

ABCD

是邊長為

2

3的正方形．若

PA＝2

eq

\o\ac(△,6)

，則 OAB

的面積為________．

[解析] 由

PA⊥底面

ABCD，且

ABCD

為正方形，故可補形為長方

體如圖，知球心

O

為

PC

的中點，

又

PA＝2

6，AB＝BC＝2

3，

∴AC＝2

6，∴PC＝4

3，

∴OA＝OB＝2

eq

\o\ac(△,3)

，即

AOB

為正三角形，

∴S＝3

3.

[答案] 3

3

[題后悟道] 三條側棱兩兩互相垂直，或一側棱垂直于底面，底面為正方形或長方形，

則此幾何體可補形為正方體或長方體，使所解決的問題更直觀易求．

13

/

27

練習題

1．(教材習題改編)以下關于幾何體的三視圖的論述中，正確的是( )

A．球的三視圖總是三個全等的圓

B．正方體的三視圖總是三個全等的正方形

C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形

D．水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓

解析：選

A B

中正方體的放置方向不明，不正確．C

中三視圖不全是正三角形．D

中

俯視圖是兩個同心圓．

2．(2012·

杭州模擬)用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體

一定是( )

A．圓柱

C．球體

B．圓錐

D．圓柱、圓錐、球體的組合體

解析：選

C 當用過高線的平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿

足任意截面都是圓面．

3．下列三種敘述，其中正確的有( )

①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；

②兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；

③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．

A．0

個

C．2

個

B．1

個

D．3

個

解析：選

A ①中的平面不一定平行于底面，故①錯．②③可用下圖反例檢驗，故②③

不正確．

4．(教材習題改編)利用斜二測畫法得到的：

①正方形的直觀圖一定是菱形；

②菱形的直觀圖一定是菱形；

③三角形的直觀圖一定是三角形．

以上結論正確的是________．

解析：①中其直觀圖是一般的平行四邊形，②菱形的直觀圖不一定是菱形，③正確．

14

/

27

答案：③

5．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側視圖分別如圖所示，則該

幾何體的俯視圖為________．

解析：由三視圖中的正、側視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖

為③.

答案：③

1．(2012·

青島摸底)如圖，在下列四個幾何體中，其三視圖

(正視圖、側視圖、俯視圖)

中有且僅有兩個相同的是( )

A．②③④

C．①③④

B．①②③

D．①②④

解析：選

A ①的三個視圖都是邊長為

1

的正方形；②的俯視圖是圓，正視圖、側視圖

都是邊長為

1

的正方形；③的俯視圖是一個圓及其圓心，正視圖、側視圖是相同的等腰三角

形；④的俯視圖是邊長為

1

的正方形，正視圖、側視圖是相同的矩形．

2．有下列四個命題：

①底面是矩形的平行六面體是長方體；

②棱長相等的直四棱柱是正方體；

③有兩條側棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；

④對角線相等的平行六面體是直平行六面體．

15

/

27

其中真命題的個數是( )

A．1

C．3

B．2

D．4

解析：選

A 命題①不是真命題，因為底面是矩形，但側棱不垂直于底面的平行六面體

(

不是長方體；命題②不是真命題，因為底面是菱形

非正方形)，底面邊長與側棱長相等的直

四棱柱不是正方體；命題③也不是真命題，因為有兩條側棱都垂直于底面一邊不能推出側棱

與底面垂直；命題④是真命題，由對角線相等，可知平行六面體的對角面是矩形，從而推得

側棱與底面垂直，故平行六面體是直平行六面體．

3．一個錐體的正視圖和側視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是

( )

解析：選

C C

選項不符合三視圖中“寬相等”的要求，故選

C.

4．如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖．在正視圖右側，按照畫三視圖的要求

畫出的該幾何體的側視圖是( )

解析：選

B 由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側視圖應為面

PAD，且

EC

投影在面

PAD

上，故

B

正確．

eq

\o\ac(△,5.)

如圖 A′B′C′是△ABC

的直觀圖，那么△ABC

是( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

16

/

27

C．等腰直角三角形

D．鈍角三角形

解析：選

B 由斜二測畫法知

B

正確．

6．(2012·

東北三校一模)一個幾何體的三視圖如圖所示，則側視圖的面積為( )

A．2＋

3

C．2＋2

3

B．1＋

3

D．4＋

3

解析：選

D 依題意得，該幾何體的側視圖的面積等于

22＋

×2×

3＝4＋

3.

為

，則這個幾何體的俯視圖可能是下列圖形中的________．(填入所有可能的圖形前的編號)

角形；如圖

2

所示，直三棱柱

ABC－A

B

C

符合題設要求，此時俯視圖△ABC

是直角三角形；

－A

B

C

D

符合題設要求，此時俯視圖(四邊形

ABCD)是正方形；若俯視圖是扇形或圓，體

1

2

7．(2012·

昆明一中二模)一個幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為

1

的正方形，且體積

1

2

①銳角三角形；②直角三角形；③四邊形；④扇形；⑤圓．

解析：如圖

1

所示，直三棱柱

ABE－A1B1E1

符合題設要求，此時俯視圖△ABE

是銳角三

1

1 1

如圖

3

所示，當直四棱柱的八個頂點分別是正方體上、下各邊的中點時，所得直四棱柱

ABCD

1 1 1 1

積中會含有

π，故排除④⑤.

答案：①②③

8．(2013·

安徽名校模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．

17

/

27

何體的體積為1×2×2sin

60°×2－1×1×2×2sin

60°×1＝5

3.

3

解析：結合三視圖可知，該幾何體為底面邊長為

2、高為

2

的正三棱柱

除去上面的一個高為

1

的三棱錐后剩下的部分，其直觀圖如圖所示，故該幾

2 3 2 3

5

3

答案：

9．正四棱錐的底面邊長為

2，側棱長均為

3，其正視圖(主視圖)和側視圖(左視圖)是全

等的等腰三角形，則正視圖的周長為________．

解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中

E、F

分別是

AD、BC

的中點，連接

AO，易得

AO＝

2，而

PA＝

3，于

是解得

PO＝1，所以

PE＝

2，故其正視圖的周長為

2＋2

2.

答案：2＋2

2

10．已知：圖

1

是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖2

是某幾何

體的三視圖，試說明該幾何體的構成．

解：圖

1

幾何體的三視圖為：

圖

2

所示的幾何體是上面為正六棱柱，下面為倒立的正六棱錐的組合體．

11．(2012·

銀川調研)正四棱錐的高為

3，側棱長為

7，求棱錐的斜高(棱錐側面三角形

18

/

27

在

eq

\o\ac(△,Rt)

SOE

中，∵OE＝1BC＝

2，SO＝

3，

的高)．

解：如圖所示，正四棱錐

S－ABCD

中，

高

OS＝

3，

側棱

SA＝SB＝SC＝SD＝

7，

在

eq

\o\ac(△,Rt)

SOA

中，

OA＝ SA2－OS2＝2，∴AC＝4.

∴AB＝BC＝CD＝DA＝2

2.

作

OE⊥AB

于

E，則

E

為

AB

中點．

連接

SE，則

SE

即為斜高，

2

∴SE＝

5，即棱錐的斜高為

5.

12．(2012·

四平模擬)已知正三棱錐

V－ABC

的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示．

(1)畫出該三棱錐的直觀圖；

(2)求出側視圖的面積．

解：(1)三棱錐的直觀圖如圖所示．

(2)根據三視圖間的關系可得

BC＝2

3，

∴側視圖中

42－

×

×2

32

VA＝

2

3

3

2

＝

12＝2

3，

2

∴

eq

\o\ac(△,S)

VBC＝1×2

3×2

3＝6.

1．(教材習題改編)側面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為

a

時，該三棱錐的全

面積是( )

19

/

27

A.

a2

4

2

4

a2＋3×

×

2

a2＝

a2.

3＋

3

3

B.

a2

4

3＋

3

6＋

3

C. a2

D. a2

解析：選

A ∵側面都是直角三角形，故側棱長等于

3 1

2

3＋

3

∴S

全＝

4 2 4

2

2

a，

2．已知正四棱錐的側棱與底面的邊長都為

3

2，則這個四棱錐的外接球的表面積為

( )

A．12π

C．72π

B．36π

D．108π

3

22－2×62＝3，因此底面中心到各頂點的距離均等于

3，所以該四棱錐的外接球的

解析：

選

B 依題意得，該正四棱錐的底面對角線長為

3

2

×

2

＝

6

，高為

1

球心為底面正方形的中心，其外接球的半徑為

3，所以其外接球的表

面積等于

4π×32＝36π.

3.某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為

8，高為

5

的等腰三角形，側視圖是一個底邊長為

6，高為

5

的等腰三

角形，則該幾何體的體積為( )

A．24

C．64

B．80

D．240

棱錐的高是

5，可由錐體的體積公式得

V＝

×8×6×5＝80.

解析：選

B 結合題意知該幾何體是四棱錐，棱錐底面是長和寬分別為

8

和

6

的矩形，

1

3

4．(教材習題改編)表面積為

3π

的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面

直徑為________．

解析：設圓錐的母線為

l，圓錐底面半徑為

r，

則

πrl＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr.

解得

r＝1，即直徑為

2.

答案：2

5.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為

2

的等

腰三角形，側視圖是半徑為

1

的半圓，則該幾何體的表面積是

20

/

27

________．

解析：由三視圖可知此幾何體的表面積分為兩部分：底面積即俯視圖的面積，為

2

3；

側面積為一個完整的圓錐的側面積，且圓錐的母線長為

2，底面半徑為

1，所以側面積為

2π.

兩部分加起來即為幾何體的表面積，為

2(π＋

3)．

答案：2(π＋

3)

1．(2012·

北京西城模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的

體積是( )

3

3

A．8

C．4

8

B.

4

D.

×

×2×2×2＝

.

解析：選

D 將三視圖還原，直觀圖如圖所示，可以看出，這是一個底

1 1

形

面為正方形(對角線長為

2)，高為

2

的四棱錐，其體積

V＝3S

正方ABCD×PA＝3

1 4

2 3

2．(2012·

山西模擬)已知矩形

ABCD

的頂點都在半徑為

4

的球

O

的球面上，且

AB＝3，

BC＝2，則棱錐

O－ABCD

的體積為( )

A.

51

C．2

51

B．3

51

D．6

51

解析：選

A 依題意得，球心

O

在底面

ABCD

上的射影是矩形

ABCD

的中心，因此棱

42－2

32＋222

＝

，所以棱錐 O

－

ABCD

的體積等于

錐

O

－

ABCD

的高等于

1

51

1

2

3

×(3×2)×

51

＝

51.

2

3．(2012·

馬鞍山二模)如圖是一個幾何體的三視圖，則它的表面積為( )

21

/

27

4

4

A．4π

C．5π

15

B.

π

17

D.

π

解析：選

D 由三視圖可知該幾何體是半徑為

1

的球被挖出了

部分得到的幾何體，故

·4π·12＋3·

·π·12＝ π.

1

8

表面積為

7 1 17

8 4 4

4．(2012·

濟南模擬)用若干個大小相同，棱長為

1

的正方體擺成一個立體模型，其三視

圖如圖所示，則此立體模型的表面積為( )

A．24

C．22

B．23

D．21

解析：選

C 這個空間幾何體是由兩部分組成的，下半部分為四個小正方體，上半部分

為一個小正方體，結合直觀圖可知，該立體模型的表面積為

22.

5．

(2012·

江西高考)若一個幾何體的三視圖如下圖所示，則此幾何體的體積為( )

2

2

11

A.

9

C.

B．5

D．4

只需求出底面積即可．由俯視圖和主視圖可知，底面面積為1×2＋2×

×2×1＝4，所以該

解析：選

D 由三視圖可知，所求幾何體是一個底面為六邊形，高為1

的直棱柱，因此

1

2

幾何體的體積為

4×1＝4.

6.如圖，正方體

ABCD－A′B′C′D′的棱長為

4，動點

E，F

在棱

AB

上，且

EF＝2，

動點

Q

在棱

D′C′上，則三棱錐

A′－EFQ

的體積( )

22

/

27

解析：選

D 因為

VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝

×2×2×4×4＝ ，故三棱錐

A′－EFQ

的

高為

3，連接頂點和底面中心即為高，可求得高為

2，所以體積

V＝1×1×1×

2＝

2.

A．與點

E，F

位置有關

B．與點

Q

位置有關

C．與點

E，F，Q

位置都有關

D．與點

E，F，Q

位置均無關，是定值

1

1 16

3 3

體積與點

E，F，Q

的位置均無關，是定值．

7．(2012·

湖州模擬)如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個

邊長為

1

的正方形和

4

個邊長為

1

的正三角形組成，則該多面體的體積是

________．

解析：由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為

1，側棱長為

1，斜

2 2 3 2 6

答案：

2

6

8．(2012·

上海高考)若一個圓錐的側面展開圖是面積為

2π

的半圓面，則該圓錐的體積為

________．

解析：因為半圓的面積為

2π，所以半圓的半徑為

2，圓錐的母線長為

2.底面圓的周長為

3

2π，所以底面圓的半徑為

1，所以圓錐的高為

3，體積為

3

π.

答案：

3π

a

＋b

＝6

，

3

9．(2013·

鄭州模擬)在三棱錐

A－BCD

中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，則該

三棱錐的外接球的表面積為________．

解析：依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補形成一個長方體，

2 2 2

設該長方體的長、寬、高分別為

a、b、c，且其外接球的半徑為

R，則b2＋c2＝52，

c2＋a2＝52，

得

a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知

R

即為該三棱錐的外接球的半徑，

所以該三棱錐的外接球的表面積為

4πR2＝43π.

答案：43π

10．(2012·

江西八校模擬)如圖，把邊長為

2

的正六邊形

ABCDEF

沿對角線

BE

折起，

使

AC＝

6.

23

/

27

(1)求證：面

ABEF⊥平面

BCDE；

(2)求五面體

ABCDEF

的體積．

解：設原正六邊形中，AC∩BE＝O，DF∩BE＝O′，由正六邊形的幾何性質可知

OA

＝OC＝

3，AC⊥BE，DF⊥BE.

(1)證明：在五面體

ABCDE

中，OA2＋OC2＝6＝AC2，

∴OA⊥OC，

又

OA⊥OB，∴OA⊥平面

BCDE.∵OA 平面

ABEF，

∴平面

ABEF⊥平面

BCDE.

(2)由

BE⊥OA，BE⊥OC

知

BE⊥平面

AOC，同理

BE⊥平面

FO′D，∴平面

AOC∥平面

FO′D，故

AOC－FO′D

是側棱長(高)為

2

的直三棱柱，且三棱錐

B－AOC

和

E－FO′D

為大小相同的三棱錐，

∴V

D

ABCDEF＝2VB－AOC＋VAOC－FO′

＝2×1×1×(

3)2×1＋1×(

3)2×2＝4.

3 2 2

11．(2012·

大同質檢)如圖，在四棱錐

P－ABCD

中，底面是直角梯形

ABCD，其中

AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，側面

PAD

是邊長為

2

的等邊三角形，且與底面

ABCD

垂直，E

為

PA

的中點．

(1)求證：DE∥平面

PBC；

(2)求三棱錐

A－PBC

的體積．

解：(1)證明：如圖，取

AB

的中點

F，連接

DF，EF.

在直角梯形

ABCD

中，CD∥AB，且

AB＝4，CD＝2，所以

BF

綊

CD.

所以四邊形

BCDF

為平行四邊形．

所以

DF∥BC.

在△PAB

中，PE＝EA，AF＝FB，所以

EF∥PB.

又因為

DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，

24

/

27

所以平面

DEF∥平面

PBC.

因為

DE 平面

DEF，所以

DE∥平面

PBC.

(2)取

AD

的中點

O，連接

PO.

在△PAD

中，PA＝PD＝AD＝2，

所以

PO⊥AD，PO＝

3.

又因為平面

PAD⊥平面

ABCD，平面

PAD∩平面

ABCD＝AD，

所以

PO⊥平面

ABCD.

在直角梯形

ABCD

中