2025年湖北省武漢市華大新高三畢業(yè)班第六次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題含解析

2025年湖北省武漢市華大新高三畢業(yè)班第六次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性的概率均為（）且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對(duì)應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．163．已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里，其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C．2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列5．設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（）A． B． C． D．6．設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn)，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．7．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．8．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,9．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．810．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．11．已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．12．已知的垂心為，且是的中點(diǎn)，則（）A．14 B．12 C．10 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“憋臑”意指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為__________．14．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，則的取值范圍為__________.15．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是_________.①是周期函數(shù)；②的對(duì)稱軸方程為，；③在區(qū)間上為增函數(shù)；④方程在區(qū)間有6個(gè)根.16．棱長(zhǎng)為的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點(diǎn)均在一球的球面上，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若點(diǎn)在直線上，求直線的極坐標(biāo)方程；（2）已知，若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，且的最小值為，求的值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，已知.（Ⅰ）證明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若（1）求角的大?。?）若，求的周長(zhǎng)20．（12分）如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)且.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的取值范圍.22．（10分）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，求三棱錐的體積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A：檢測(cè)5個(gè)人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測(cè)6個(gè)人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即.故選：A．本題主要考查概率的計(jì)算,涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對(duì)題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.2．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因?yàn)?，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.4．D【解析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于，，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯(cuò).故選：D本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題5．C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．6．A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得．故選：A．本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點(diǎn)的距離，再由余弦定理得出的齊次式．7．C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．9．B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故，解得，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以，故選：B本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.10．A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計(jì)算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，，且平面，，的中點(diǎn)為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．11．A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點(diǎn)，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故選：A本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.12．A【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到，可轉(zhuǎn)化，又即得解.【詳解】因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，而，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．故選：A本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】三視圖還原如下圖：，由于每個(gè)面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點(diǎn).所以，，填?！军c(diǎn)睛】三視圖還原，當(dāng)出現(xiàn)三個(gè)尖點(diǎn)在一個(gè)位置時(shí)，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等，所以本題的球心為AC中點(diǎn)。14．【解析】

真數(shù)有最小值，根據(jù)已知可得的范圍，求出函數(shù)的最小值，建立關(guān)于的不等量關(guān)系，求解即可.【詳解】，且（且）有最小值，，的取值范圍為.故答案為：.本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15．①②④【解析】

由函數(shù)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故①正確；當(dāng)或時(shí)，有最大值或最小值，此時(shí)或，即或，即.的對(duì)稱軸方程為，，故②正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上不是增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；作出函數(shù)的部分圖象，如圖所示方程在區(qū)間有6個(gè)根，故④正確.故答案為：①②④.本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.16．【解析】

由棱長(zhǎng)為的正四面體求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長(zhǎng)，可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積，求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】由題意可知：多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于，連接，如圖則，且為外接球的直徑，可得，設(shè)三角形的外接圓的半徑為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，則可得，即，解得，設(shè)正三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，所以，而，所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，即解得：．故答案為：.本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）利用消參法以及點(diǎn)求解出的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程；（2）將的坐標(biāo)設(shè)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解出取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【詳解】（1）消去參數(shù)得普通方程為，將代入，可得，即所以的極坐標(biāo)方程為（2）的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為∵在直線上，∴的最小值為到直線的距離的最小值∵，∴當(dāng)，時(shí)取得最小值即，∴本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點(diǎn)到直線距離的最值求參數(shù)，難度一般.（1）直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式：；（2）求解曲線上一點(diǎn)到直線的距離的最值，可優(yōu)先考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，然后再去求解.18．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)先證明

，再證明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；(Ⅱ)根據(jù)題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)證：由已知得又平面，平面，，而故，平面平面，平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，有，又，故所以相似，故有，即所以，以為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，是平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的一個(gè)法向量為令，則是平面的一個(gè)法向量=又二面角為鈍二面角，其余弦值為.本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直觀想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19．（1）（2）11【解析】

（1）利用二倍角公式將式子化簡(jiǎn)成，再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.（2）利用余弦定理可得，再將平方，利用向量數(shù)量積可得，從而可求周長(zhǎng).【詳解】由題解得，所以由余弦定理，，再由解得：所以故的周長(zhǎng)為本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個(gè)法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DEAD，因?yàn)锳D＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，所以平行四邊形BEDF，故DF//BE，因?yàn)锽E平面BCE，DF平面BCE所以DF//平面BCE；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F(xiàn)（4，3，﹣3），，設(shè)平面CDF的法向量為，由，令x＝3，得，易知平面ABF的一個(gè)法向量為，所以，故.本題考