2023-2024學(xué)年8上數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)（北師大版）壓軸真題必刷01 實(shí)數(shù)和勾股定理（壓軸30題5種題型訓(xùn)練）原卷版

壓軸真題必刷01：實(shí)數(shù)和勾股定理【題型歸納】題型一：實(shí)數(shù)新定義問(wèn)題1．（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀?duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，我們定義：，有下列說(shuō)法：①；②；③若，則．其中說(shuō)法正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谀?duì)于各個(gè)數(shù)位均不為0的三位數(shù)，將的各個(gè)數(shù)位中任取兩個(gè)數(shù)位構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，這樣就可以得到六個(gè)兩位數(shù)，這六個(gè)兩位數(shù)叫做的“強(qiáng)化數(shù)”，例如：，則的強(qiáng)化數(shù)字是25、52、23、32、53、35，的所有“強(qiáng)化數(shù)”之和與11的商記為，若，；若和是兩個(gè)三位數(shù)，它們都有“強(qiáng)化數(shù)”，，（，、、均為整數(shù)），若的值能被5整除，記，則的最小值為．3．（2023下·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤绻粋€(gè)四位整數(shù)P能分解成兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，且這兩個(gè)兩位數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和相等，把這樣的整數(shù)P稱(chēng)為“可愛(ài)數(shù)”，把這樣的分解稱(chēng)為“可愛(ài)分解”，即，，（且a，b，c，d均為整數(shù)）．若恰好為完全平方數(shù)，且A是5的倍數(shù)，則滿足條件的最大“可愛(ài)數(shù)”為．4．（2023下·重慶銅梁·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校?？计谀?duì)于四位數(shù)正整數(shù)，若滿足，則把M叫做“友好數(shù)”．將“友好數(shù)”M的個(gè)位字去掉得到的三位數(shù)記為s，將千位數(shù)字去掉得到的三位數(shù)記為t，并規(guī)定．則；若四位正整數(shù)（，，，x，y，m，n為整數(shù)）是“友好數(shù)”，且除以5余1，則滿足條件的N的最大值為．5．（2022上·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┤绻麩o(wú)理數(shù)m的值介于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)之間，即滿足（其中a、b為連續(xù)正整數(shù)），我們則稱(chēng)無(wú)理數(shù)m的“神奇區(qū)間”為．例：，所以的“神奇區(qū)間”為．若某一無(wú)理數(shù)的“神奇區(qū)間”為，且滿足，其中，是關(guān)于x、y的二元一次方程組的一組正整數(shù)解，則．6．（2022上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某校數(shù)學(xué)課外小組利用數(shù)軸為學(xué)校門(mén)口的一條馬路設(shè)計(jì)植樹(shù)方案如下：第k棵樹(shù)種植在點(diǎn)處，其中，當(dāng)時(shí)．表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如．按此方案，第2021棵樹(shù)種植在點(diǎn)處，則．題型二：二次根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題7．（2023下·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）已知，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．8．（2022下·重慶開(kāi)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）二次根式除法可以這樣做：如．像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或者把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．有下列結(jié)論：①將式子進(jìn)行分母有理化，可以對(duì)其分子、分母同時(shí)乘以；②若a是的小數(shù)部分，則的值為；③比較兩個(gè)二次根式的大?。海虎苡?jì)算；⑤若，，且，則整數(shù)．以上結(jié)論正確的是（

）A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤9．（2020上·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)a為的小數(shù)部分，b為的小數(shù)部分，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2023上·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列分母有理，……從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律．11．（2021下·廣西南寧·八年級(jí)南寧二中校聯(lián)考期末）已知：；；；……按此規(guī)律，請(qǐng)表示出第2021個(gè)式子．12．（2023下·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小華根據(jù)學(xué)習(xí)“二次根式“及”乘法公式“積累的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)“由特殊到一般”的方法，探究”當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系”．下面是小單的深究過(guò)程：①具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)時(shí)，特例1：若，則；特例2：若，則；特例3：若，則．②觀察、歸納，得出猜想：當(dāng)時(shí)，．③證明猜想：當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)你利用小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問(wèn)題：(1)當(dāng)時(shí)，的最小值為(2)當(dāng)時(shí)，的最小值為；(3)當(dāng)時(shí)，求的最大值．題型三：勾股定理在幾何在的應(yīng)用13．（2023下·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，．頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊向的外側(cè)作正方形．將組成的圖形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第98次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．14．（2023下·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方形中，，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．15．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)P、Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（

）

A．4 B． C．5 D．16．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度秒．點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接、．點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．(2)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．(3)數(shù)學(xué)小組在探究“當(dāng)t為何值時(shí)，為等腰三角形”．①小彤推斷：當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為直角，故若為等腰三角形，只能是．請(qǐng)你按照她的思路，求出此時(shí)的t值．②小園推斷：當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有可能等于．請(qǐng)你延續(xù)她的思路，直接寫(xiě)出此時(shí)的t值．③小南猜想：當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不可能出現(xiàn)的情況．請(qǐng)你證明她的猜想是正確的．17．（2023上·福建福州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，，，，．

(1)求的面積；(2)如圖2，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上，求的最小值；(3)如圖3，點(diǎn)P是在邊上，過(guò)點(diǎn)P分別作直線、直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D、E，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，求線段的長(zhǎng)．18．（2023上·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，交直線于點(diǎn)．

(1)若，，是邊上的高線．①求線段的長(zhǎng)；②當(dāng)，求線段的長(zhǎng)；(2)在的情況下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．題型四：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用19．（2022下·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的高為6cm，底面周長(zhǎng)為16cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是cm．20．（2021上·重慶·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為dm．21．（2021下·浙江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課中，小明和同學(xué)對(duì)類(lèi)似八下教科書(shū)25頁(yè)例2的問(wèn)題進(jìn)行拓展探索：如圖1，一根長(zhǎng)為5米的木棍斜靠在一豎直的墻上，為4米，如果木棍的頂端沿墻下滑米，底端向外移動(dòng)米，下滑后的木棍記為，則與滿足的等式，即關(guān)于的函數(shù)解析式為，小明利用畫(huà)圖軟件畫(huà)出了該函數(shù)圖象如圖2，（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)（1，）（2）根據(jù)圖象，當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的周長(zhǎng)大于的周長(zhǎng)．22．（2021上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．顯然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四邊形AECD＝，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，它們滿足的關(guān)系式為，化簡(jiǎn)后，可得到勾股定理．【知識(shí)運(yùn)用】如圖2，河道上A，B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距200米，C，D為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD＝80米，BC＝70米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個(gè)抽水點(diǎn)P，使得抽水點(diǎn)P到兩個(gè)菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為米．【知識(shí)遷移】借助上面的思考過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)0＜x＜15時(shí)，代數(shù)式的最小值＝．23．（2021·江蘇蘇州·蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考二模）上午8點(diǎn)，某臺(tái)風(fēng)中心在A島正南方向處由南向北勻速移動(dòng)，同時(shí)在A島正西方向處有一艘補(bǔ)給船向A島勻速駛來(lái)，補(bǔ)給完后改變速度立即向A島正北方向的C港勻速駛?cè)ィ鐖D所示是臺(tái)風(fēng)中心、補(bǔ)給船與A島的距離S和時(shí)間t的圖象．已知臺(tái)風(fēng)影響的半徑是（包含邊界），請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：（1）臺(tái)風(fēng)的速度是_________，補(bǔ)給船在到達(dá)A島前的速度是_________，圖中點(diǎn)P的實(shí)際意義是_______________；（2）從幾點(diǎn)開(kāi)始，補(bǔ)給船將受到臺(tái)風(fēng)的影響？（3）設(shè)補(bǔ)給船駛出A島到駛到C港之前受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為a小時(shí)，出于安全考慮，補(bǔ)給船速度不超過(guò)、．求出圖中補(bǔ)給船航行時(shí)間m的正整數(shù)值及此時(shí)補(bǔ)給船在駛?cè)隒港之前受臺(tái)風(fēng)影響的總時(shí)間．24．（2020上·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再?gòu)腍分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫(xiě)出推理過(guò)程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．題型五：勾股定理與其他知識(shí)交匯25．（2022上·北京海淀·八年級(jí)?？计谀┰谥?，，為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得．(1)如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，．若，求證：；(2)連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2．若，試探究，，這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．26．（2022上·福建漳州·八年級(jí)福建省長(zhǎng)泰縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D1，長(zhǎng)方形，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)．設(shè)，，已知與之間的函數(shù)解析式如圖2所示．(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式，邊的長(zhǎng)為；(2)小黃認(rèn)為：“的度數(shù)不會(huì)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化”．你同意小黃的觀點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．27．（2023上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形中，，．(1)如圖1，若，，．①連接，試