2023-2024學(xué)年9上數(shù)學(xué)期末考點（北師大版）專題06 直角三角形的邊角關(guān)系（考點清單9個考點）解析版

專題06直角三角形的邊角關(guān)系（考點清單）【考點1】銳角三角函數(shù)的相關(guān)概念【考點2】特殊角的三角函數(shù)值【考點3】同角的三角函數(shù)關(guān)系【考點4】互余的三角函數(shù)關(guān)系【考點5】解直角三角形【考點6】解直角三角形的應(yīng)用【考點7】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角【考點8】解直角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題【考點9】解直角三角形應(yīng)用-方向角問題【考點1】銳角三角函數(shù)的相關(guān)概念1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，則sinB等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，sinB＝＝，故選：D．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值為（）A． B．2 C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得AB＝＝．由銳角的余弦，得cosA＝＝＝．故選：C．3．在Rt△ABC中，各邊都擴大5倍，則銳角A的正切函數(shù)值（）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小 D．不能確定【答案】A【解答】解：銳角三角函數(shù)值隨著角度的變化而變化，而角的大小與邊的長短沒有關(guān)系，因此銳角A的正切函數(shù)值不會隨著邊長的擴大而變化，故選：A．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則AB＝25，則BC＝（）A．24 B．20 C．16 D．15【答案】D【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴＝，∵AB＝25，∴BC＝15．故選：D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，由勾股定理，得AB＝＝，由銳角的余弦，得cosA＝＝＝．故選：B．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別表示∠A，∠B，∠C的對邊，那么下列結(jié)論中錯誤的是（）A．a(chǎn)＝bcotA B．a(chǎn)＝csinA C． D．b＝atanB【答案】A【解答】解：∵由銳角三角函數(shù)的定義可知sinA＝，cosA＝，cotA＝，tanB＝，∴a＝csinA，c＝，a＝，b＝atanB，故A選項不符合題意．故選：A．7．由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，A，B，C三點都在格點上，則∠ABC的正切值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖，作CD⊥AB于點D，則CD＝，BD＝＝2，故tan∠ABC＝＝＝，故選：C．【考點2】特殊角的三角函數(shù)值8．sin45°的值是（）A．1 B． C． D．【答案】C【解答】解：由特殊角的三角函數(shù)值可知，sin45°＝．故選：C．9．tan60°的值是（）A． B． C．1 D．【答案】D【解答】解：tan60°的值是，故選：D．【考點3】同角的三角函數(shù)關(guān)系10．在△ABC中，∠A＝90°，，則cosC的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，，∴sin2C+cos2C＝1，∴+cos2C＝1，解得：cosC＝或cosC＝﹣（舍去），∴cosC的值是，故選：B．11．已知，則cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵tanA＝，∴tanA＝＝，則sinA＝cosA，∵sin2A+cos2A＝1，∴cos2A＝1，解得cosA＝±．又∵0＜A＜90°，∴cosA＞0，∴cosA＝．故選：C．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；∴cosA＝＝＝，∴tanA＝＝＝．故選：D．【考點4】互余的三角函數(shù)關(guān)系13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則tanA＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝，∴設(shè)AC＝3x，AB＝5x，∴BC＝＝＝4x，∴tanA＝＝＝．故選：A．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則tanB等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴cosA＝，tanB＝，a2+b2＝c2，∵cosA＝，設(shè)b＝2x，則c＝3x，a＝x．∴tanB＝＝．故選：C．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴．故選：C．16．在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，則tanA＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，sinB＝＝，∴令A(yù)C＝4x，則AB＝5x，∴BC＝＝3x，∴tanA＝＝＝．故選：B．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanB的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，可設(shè)AC＝x，則AB＝3x，由勾股定理得，BC＝＝2x，∴tanB＝＝，故選：D．18．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，求tanB為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝＝，∴AB＝5，∴AC＝＝4，∴tanB＝＝，故選：D．19．在△ABC中，若，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【解答】解：∵|cosA﹣|+2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA﹣＝0，2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故選：C．【考點5】解直角三角形20．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【解答】解：如圖：連接BD，由題意得：AD2＝22+22＝8，BD2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝，∴tanA＝＝＝，故選：B．21．如圖，在△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠C＝30°，則BC的長度為（）A． B．2 C．1+ D．3【答案】C【解答】解：過A作AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∠C＝30°，AC＝2，∴AD＝AC＝1，∴CD＝，在Rt△ADB中，∠B＝45°，AD＝1，∴BD＝AD＝1，∴BC＝BD+CD＝1+．故選：C．22．計算：cos30°?tan60°﹣cos245°+tan45°．【答案】2．【解答】解：cos30°?tan60°﹣cos245°+tan45°＝×﹣（）2+1＝﹣+1＝1+1＝2．23．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，點D在邊BC上，BD＝4，連接AD，tan∠DAC＝．（1）求邊AC的長；（2）求tan∠BAD的值．【答案】（1）6；（2）．【解答】解：（1）設(shè)AC＝3m，∵BD＝4，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝，∴CD＝2m，∴4m＝2m+4，解得m＝2，∴AC＝3m＝6；（2）作DE⊥AB于點E，由（1）知，AB＝5m＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2m＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴tan∠BAD＝，即tan∠BAD的值是．24．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，D是邊AC的中點，聯(lián)結(jié)BD．（1）已知BC＝，求AB的長；（2）求cot∠ABD的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）Rt△ABC中，∵cosA＝＝，∴AC＝AB．∵AC2+BC2＝AB2，∴AB2+2＝AB2．∴AB＝3或﹣3（﹣3不合題意舍去）．∴AB＝3．（2）過點D作DE⊥AB，垂足為E．由（1）知AB＝3，∴AC＝AB＝2．∵D是邊AC的中點，∴CD＝AD＝AC＝1，S△BCD＝S△ABD＝CD?BC＝×1×＝.∴AB?DE＝．∴DE＝．在Rt△DAE中，∵AE＝＝＝，∴BE＝3﹣＝．在Rt△DBE中，cot∠ABD＝＝＝．25．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．【答案】（1）90；（2）．【解答】解：（1）過點C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ABC中，tanA＝＝，∴設(shè)CD＝4k，則AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB?CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cosB＝＝＝，∴∠B的余弦值為．26．綜合與實踐：在學(xué)習(xí)《解直角三角形）一章時，小邕同學(xué)對一個角的倍角的三角函數(shù)值與這個角的三角函數(shù)值是否有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進行研究．【初步嘗試】我們知道：tan60°＝，tan30°＝．發(fā)現(xiàn)：tanA≠2tan（填“＝”或“≠”）．【實踐探究】在解決“如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan的值”這一問題時，小邕想構(gòu)造包含A的直角三角形，延長CA到點D，使DA＝AB，連接BD，所以可得∠D＝∠BAC，問題即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值，請按小邕的思路求tan的值．【拓展延伸】如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．請模仿小邕的思路或者用你的新思路，試著求一求tan2A的值．【答案】【初步嘗試】，，≠；【實踐探究】﹣2；【拓展延伸】．【解答】解：【初步嘗試】tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA≠2tan（），故答案為：，，≠；【實踐探究】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝，如圖1，延長CA至D，使得DA＝AB，∴AD＝AB＝，∴∠D＝∠ABD，∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，∴tan（）＝tanD＝；【拓展延伸】如圖2，作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．∴BC＝1，AB＝＝，設(shè)AE＝x，則EC＝3﹣x，在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝，∴tan2A＝tan∠BEC＝．【考點6】解直角三角形的應(yīng)用27．電線桿AB直立在水平的地面BC上，AC是電線桿AB的一根拉線，測得BC＝5，∠ACB＝52°，則拉線AC的長為（）A． B． C．5?cos52° D．【答案】B【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，BC＝5，∴cos52°＝＝，∴AC＝故選：B．28．如圖，要焊接一個等腰三角形鋼架，鋼架的底角為28°，高CD長為3米，則斜梁AC的長為（）A．3sin28°m B．m C．m D．m【答案】B【解答】解：因為等腰三角形鋼架，鋼架的底角為28°，高CD長為3米，所以AC＝米，故選：B．29．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為140m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）A．140m B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖：∵該金字塔的下底面是一個邊長為140m的正方形，∴BC＝×140＝70（m），∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴AC＝BC?tan60°＝70（m），∴則金字塔原來高度為70m，故選：B．29.（2023春?紅旗區(qū)校級期末）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學(xué)在幸福大道段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路l的距離為100m的P處．這時，一輛紅旗轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3s，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，（1）求AP的長？（2）試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？（≈1.732）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∵∠BPO＝45°，∴BO＝PO＝100m，在直角三角形APO中，∵∠APO＝60°，∴AO＝PO?tan60°＝100m，∴AP＝＝m；（2）由題意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∴AB＝AO﹣BO＝（100﹣100）≈73米，∵從A處行駛到B處所用的時間為3秒，∴速度為73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/時＞80千米/時，∴此車超過每小時80千米的限制速度．【考點7】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角30．如圖，一名滑雪運動員沿著傾斜角為30°的斜坡，從A滑行至B，已知AB＝100m，則這名滑雪運動員的高度下降了50米．【答案】50．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝100m，則AC＝AB＝50（m），故答案為：50．31．如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為6m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵斜面坡度為1：2，AC＝12m，∴BC＝6m，則AB＝＝＝（m）．故答案為：6m．32．為增強體質(zhì)，小明和小強相約周末去登山，小明同學(xué)從北坡山腳C處出發(fā)，小強同學(xué)同時從南坡山腳B處出發(fā)，如圖所示．已知小山北坡長為240米，坡度，南坡的坡腳是45°．（出發(fā)點B和C在同一水平高度，將山路AB、AC看成線段）（1）求小山南坡AB的長；（2）如果小明以每分鐘24米的速度攀登，小強若要和小明同時到達山頂A，求小強攀登的速度．（結(jié)果保留根號）【答案】（1）小山南坡AB的長為120米；（2）小強若要和小明同時到達山頂A，小強攀登的速度為12米/分．【解答】解：（1）過點A作AD⊥BC，垂足為D，∵山坡AC的坡度，∴＝＝，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝＝，∴∠ACD＝30°，∵AC＝240米，∴AD＝AC＝120（米），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AB＝＝＝120（米），∴小山南坡AB的長為120米；（2）∵AC＝240米，∴小明到達山頂A需要的時間＝＝10（分），∵AB＝120米，∴小強攀登的速度＝＝12（米/分），∴小強若要和小明同時到達山頂A，小強攀登的速度為12米/分．33．速滑運動受到許多年輕人的喜愛，如圖，四邊形BCDG是某速滑場館建造的滑臺，已知CD∥EG，滑臺的高DG為6米，且坡面BC的坡度為1：1，為了提高安全性，決定降低坡度，改造后的新坡面的坡度∠CAG＝37°．（參考數(shù)據(jù)：sin37，cos37，tan37）（1）求新坡面AC的長；（2）原坡面底部BG的正前方10米處（EB＝10米）是護墻EF，為保證安全，體育管理部門規(guī)定，坡面底部至少距護墻7米，請問新的設(shè)計方案是否符合規(guī)定，試說明理由．【答案】（1）10米；（2）新的設(shè)計方案符合規(guī)定，理由見解答．【解答】解：（1）如圖，過點C作CH⊥BG，垂足為H，∵新坡面AC的坡度為∠CAG＝37°，∴tan∠CAH＝＝，∵CH＝DG＝6米，∴AH＝＝8（米），∴AC＝＝＝10（米），答：新坡面AC的長為10米；（2）新的設(shè)計方案不符合規(guī)定．理由如下：∵坡面BC的坡度為1：1，∴BH＝CH＝6米，∴AB＝AH﹣BH＝8﹣6＝2（米），∴AE＝EB﹣AB＝10﹣2＝8（米）＞7（米），∴新的設(shè)計方案符合規(guī)定．【考點8】解直角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題34．（2023?農(nóng)安縣一模）如圖所示，塔底B與觀測點A在同一水平線上．為了測量鐵塔的高度，在A處測得塔頂C的仰角為α，塔底B與觀測點A的距離為80米，則鐵塔的高BC為（）A．80sinα米 B．米 C．80tanα米 D．米【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得：，∴BC＝tanα?AB＝80tanα（米）．故選：C．35．（2023?光明區(qū)二模）在綜合實踐課上，某班同學(xué)測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，在C處測得樹頂D的仰角為37°（點A、B、C在同一條水平主線上），已知測量儀的高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，則樹BD的高度是（）【參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米【答案】D【解答】解：連接EF交BD于點M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.65，EF＝AC＝28．設(shè)DM＝x米，∵在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM＝x，∴MF＝28﹣x．在Rt△DFM中，∠DFM＝37°，∴，即：，解得x＝12，即DM＝12．∴BD＝DM+BM＝12+1.65＝13.65（米）．∴樹BD的高度約為13.65米．故選：D．36．（2023?黃州區(qū)校級二模）如圖，社小山的東側(cè)煉A處有一個熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30m/min的速度沿與地面成75°角的方向飛行，20min后到達點C處，此時熱氣球上的人測得小山西側(cè)點B處的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A，B兩點間的距離為600．?【答案】600．【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×20＝600（米），∴AD＝AC?sin45°＝300（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝600（米）．故答案為：600．37．（2023?市中區(qū)校級模擬）小明同學(xué)想利用剛學(xué)的三角函數(shù)知識測量一棟教學(xué)樓的高度，如圖，他在A處測得教學(xué)樓頂B點的仰角為45°，走7m到C處測得B的仰角為55°，已知O、A、C在同一條直線上．求教學(xué)樓OB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，結(jié)果精確到0.1m）【答案】23.3米．【解答】解：在Rt△AOB中，∠A＝45°，則OA＝OB，∵AC＝7米，∴OC＝（OB﹣7）米，在Rt△COB中，∠BCO＝55°，∵tan∠BCO＝，∴＝1.43，解得：OB≈23.3，答：教學(xué)樓OB的高度約為23.3米．38．（2023?振興區(qū)校級一模）如圖，一座山的一段斜坡BD的長度為400米，且這段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡從B到D時，其升高的高度與水平前進的距離之比）．已知在地面B處測得山頂A的仰角（即∠ABC）為30°，在斜坡D處測得山頂A的仰角（即∠ADE）為45°．求山頂A到地面BC的高度AC是多少米？【答案】40+40m．【解答】解：過點D作DH⊥BC于H，設(shè)AE＝xm．∵這段斜坡的坡度i＝1：3，∴DH：BH＝1：3．在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2＝4002，∴DH＝40（m），則BH＝120（m）．在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴DE＝AE＝xm．又∵HC＝ED，EC＝DH，∴HC＝xm，EC＝40m，在Rt△ABC中，tan30°＝＝＝，解得x＝40，∴AC＝AE+EC＝（40+40）m．故山頂A到地面BC的高度AC是（40+40）m．39．（2023?開平市二模）如圖所示，建筑物MN一側(cè)有一斜坡AC，在斜坡坡腳A處測得建筑物頂部N的仰角為60°，當(dāng)太陽光線與水平線夾角成45°時，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA處，另一部分影子落在斜坡上AP處，已知點P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度為（即tan∠PAD＝），且M，A，D，B在同一條直線上．（測傾器的高度忽略不計，結(jié)果保留根號）（1）求此時建筑物MN落在斜坡上的影子AP的長；（2）求建筑物MN的高度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，作PH⊥MN于H．則四邊形PDMH是矩形．∵tan∠PAD＝＝，PD＝5，∴AD＝15，PA＝＝5（米），∴此時建筑物MN落在斜坡上的影子AP的長為5米．（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，∴∠PNH＝∠NPH＝45°，∴NH＝PH，設(shè)NH＝PH＝x米，則MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，在Rt△AMN中，∵tan60°＝，∴MN＝AM，∴x+5＝（x﹣15）解得x＝（10+25）（米），∴MN＝x+5＝（10+30）米．【考點9】解直角三角形應(yīng)用-方向角問題40．（2023?龍鳳區(qū)校級模擬）如圖，一艘輪船位于燈塔