2023年高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)知識(shí)清單

高中課程復(fù)習(xí)專題—數(shù)學(xué)立體幾何

一空間幾何體

㈠空間幾何體的類型

1多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的

面，相鄰兩個(gè)面的I公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。

2旋轉(zhuǎn)體：把一種平面圖形繞它所在日勺平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其

中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

㈡幾種空間幾何體的構(gòu)造特性

1棱柱的構(gòu)造特性

1.1棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其他各面都是四邊

形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些

面所圍成的I幾何體叫做棱柱。

1.2棱柱的分類

斜棱柱

①柱■極垂直一」■底面J底而出「多龍>正棱柱

，直棱柱［其他棱柱…

②四楨柱底面為平行四邊堰平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面為矩形

--------?------------------A--------?

長(zhǎng)方體I底而為正方形,麗麗1側(cè)棱勺底而邊長(zhǎng)和聿I正方體

1.3棱柱的性質(zhì)

⑴側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形;

⑵兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形;

⑶過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；

AB

⑷直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面的對(duì)角面是矩形。

1.4長(zhǎng)方體的性質(zhì)

⑴長(zhǎng)方體日勺一條對(duì)角線的長(zhǎng)時(shí)平方等于一種頂點(diǎn)上三條棱的平方和：AC?=AB2+AC2

+AA12

囪1ck七心

⑵長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線ACi與過定點(diǎn)A的三條棱所成

的I角分別是a、p>Y，那么：

cos2a+cos2P+cos2y=1sin2a+sin2p+sin2y=2

⑶長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線AG與過定點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所構(gòu)成的角分別為a、畏y,貝U：

cos2a+cos2P+cos2y=2sin2a+sin2p+sin2y=1

1.5棱柱的側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個(gè)全等矩形構(gòu)成時(shí)以底面周長(zhǎng)和側(cè)

棱為鄰邊的矩形。

1.6棱柱的面積和體積公式

S直棱桂惻面=c?h（c為底面周長(zhǎng)，h為棱柱的（高）

S直棱柱全=c?h+2s底

V棱柱=S底?h

2圓柱的構(gòu)造特性

2-1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線

為旋轉(zhuǎn)軸，其他各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。

2-2圓柱的性質(zhì)圖1-3圓柱

⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圓；

⑵過軸的截面（軸截面）是全等的矩形。

2-3圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)為鄰邊的矩形。

2-4圓柱的(面積和體積公式

SMS惻面=2兀?r?h(r為底面半徑，h為圓柱的高)

S圓槎金=2兀rh+2兀F

V圓柱=S底h=nr2h

3棱錐的構(gòu)造特性

3-1棱錐的定義

⑴棱錐：有一種面是多邊形，其他各面是人B

有一種公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。

⑵正棱錐：假如有一種棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在方面的中心，

團(tuán)14帙砒

這樣的棱錐叫做正棱錐。

3-2正棱錐的構(gòu)造特性

⑴平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)究竟

面的距離之比；

⑵正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等日勺等腰三角形；

⑶正棱錐中的六個(gè)元素，即側(cè)棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、側(cè)棱在底面上的射影(OB)、斜

高在底面上的射影(0H)、底面邊長(zhǎng)的二分之一(BH),構(gòu)成四個(gè)直角三角形(三角形SOB,

SOH、SBH、OBH均為直角三角形)。

3-3正棱錐的側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是由n個(gè)全等的等腰三角形構(gòu)成。

3-4正棱錐的面積和體積公式

S正棱錐惻=0.5ch，(c為底面周長(zhǎng)，h，為側(cè)面斜高)

S正棱錐全=0.5ch'+S底面

Vms=1/3S底面?h（h為棱錐的身）

4圓錐的構(gòu)造特性

4-1圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋方:一頂點(diǎn)

轉(zhuǎn)軸，其他各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓母軸

JH,法側(cè)面

錐。/軸息面\\

AA二工二3B

4-2圓錐的構(gòu)造特性

'底面

⑴平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等

于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)究竟面的距離之比；

⑵軸截面是等腰三角形；

團(tuán)1C同儺

⑶母線的平方等于底面半徑與高的平方和：

I2=r2+h2

4-3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心,以母線長(zhǎng)為半徑的扇形。

4-4圓錐的面積和體積的公式

5圓錦惻=兀1'?1（1"為底面半徑，1為母線長(zhǎng)）

S圓鏈全=nr,（r+1）

S

21

Vns=1/3Ttr?h（h為圓錐高）/lift

//11\

/八*\

上底叱/側(cè)棱

5棱臺(tái)的構(gòu)造特性

頂臂至贊斜高

5.1棱臺(tái)的定義：用一種平行于底面的平面去截棱錐，

我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺(tái)。

5.2正棱臺(tái)的構(gòu)造特性

FVl1r

⑴各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等日勺等腰梯形;

⑵正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形;

⑶正棱臺(tái)的對(duì)角面也是等腰梯形；

⑷棱臺(tái)常常被補(bǔ)成棱錐，然后運(yùn)用形似三角形進(jìn)行研究。

5-3正棱臺(tái)的面積和體積公式

S棱臺(tái)惻=n/2(a+b),h,(a為上底邊長(zhǎng)，b為下底邊長(zhǎng),鼠為棱臺(tái)的斜高，n為邊數(shù))

S棱臺(tái)全=S上底+S下底+S何

g(S+J^+S')h

V棱臺(tái)=

6圓臺(tái)的構(gòu)造特性

6-1圓臺(tái)的定義：用一種平行于底面的平面去截圓錐，我

們把截面和底面之間日勺部分稱為圓臺(tái)。

6-2圓臺(tái)的構(gòu)造特性

⑴圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是圓;

⑵圓臺(tái)的截面是等腰梯形;

⑶圓臺(tái)常常補(bǔ)成圓錐，然后運(yùn)用相似三角形進(jìn)行研究。

府1T同ZA

6-3圓臺(tái)的面積和體積公式

S圓臺(tái)側(cè)=71?(R+r)?1(r、R為上下底面半徑)

2

S圓臺(tái)全=71,F+兀?R+7t?(R+r)?1

V=1/3(7tr2+7tR2+nrR)h(h為圓臺(tái)的I高)

7球的構(gòu)造特性

7-1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球

體。空間中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)時(shí)集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。

7-2球的構(gòu)造特性

⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；

⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2=R2-d2囪…詡

★7-3球與其他多面體的組合體的問題

球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，處理此類問題的基本思緒是：

⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；

⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對(duì)球的合適的切割面，然后做出剖面圖；

⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；

⑷注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對(duì)角線；

球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長(zhǎng)。

7-4球日勺面積和體積公式

S球面=471R2（R為球半徑）

V球=4/3兀R3

㈢空間幾何體的視圖

1三視圖：觀測(cè)者從三個(gè)不一樣的位置觀測(cè)同一種空間幾何體而畫出的圖形。

正視圖：光線從幾何體的前面向背面正投影，得到的投影圖。

側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。

俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。

注意：⑴俯視圖畫在正視圖時(shí)下方，“長(zhǎng)度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右方,

“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖相等。（正側(cè)同樣高，正俯同樣長(zhǎng)，俯側(cè)同

樣寬）

⑵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。

2直觀圖

2-1直觀圖的定義：是觀測(cè)者站在某一點(diǎn)觀測(cè)一種空間幾何體而畫出的圖形，直觀圖一般

是在平行投影下畫出的空間圖形。

2-2斜二測(cè)法做空間幾何體的直觀圖

⑴在已知圖形中取互相垂直的I軸Ox、Oy,即取/xOy=90°；

（2）畫直觀圖時(shí)，把它畫成對(duì)應(yīng)的軸（Tx，、Oy,取=45°或135°,它們確定的

平面表達(dá)水平平面；

⑶在坐標(biāo)系xiy中畫直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變；平行于

x軸日勺線段保持長(zhǎng)度不變；平行于y軸日勺線段長(zhǎng)度減乎半。

結(jié)論：采用斜二測(cè)法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的

2-3處理有關(guān)直觀圖問題的注意事項(xiàng)

⑴由幾何體的三視圖畫直觀圖時(shí)，一般先考慮“俯視圖”；

⑵由幾何體的）直觀圖畫三視圖時(shí)，能看見的輪廓線和棱畫成實(shí)線，不能看見的輪廓線和棱

畫成虛線。

二點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系

㈠平面日勺基本性質(zhì)

1立體幾何中圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化

圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

點(diǎn)A在直線a上Ae

B-a

點(diǎn)B在直線a外B2

Aaa

點(diǎn)在平面內(nèi)

.BAaAea

/，A點(diǎn)B在平面a外B^a

直線a在平面a內(nèi)aUa

直線b在平面a外bUa

直線a與平面a相交于點(diǎn)AaAa=A

工b

直線a與直線b相交于點(diǎn)AaAb=A

平面a與平面P交于直線aaClp=a

★2平面的基本性質(zhì)

公理一：假如一條直線上有兩點(diǎn)在一種平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。

公理二：不共線的三點(diǎn)確定一種平面。

推論一：直線與直線外一點(diǎn)確定一種平面。

推論二：兩條相交直線確定一種平面。

推論三：兩條平行直線確定一種平面。

公理三：假如兩個(gè)平面有一種公共點(diǎn)，那么它們尚有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直

線（兩個(gè)平面的交線）。

㈡空間圖形的位置關(guān)系

1空間直線的位置關(guān)系（相交、平行、異面）

1.1平行線的傳遞公理：平行于同一直線的兩條直線互相平行。

即：a〃b,b〃c=a〃c

1.2等角定理：假如一種角日勺兩邊與另一種角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互

補(bǔ)。

1.3異面直線

⑴定義：不在任何一種平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線。

⑵鑒定定理：連平面內(nèi)的I一

P史a

點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與

Aea

=>PA與a異面

這個(gè)平aua面內(nèi)不過此點(diǎn)日勺直

Aia

線為異面直線。

即:

1.4異面直線所成的角I至IC1曰1rtri占以i

⑴異面直線成角的I范圍：（0°,90°].

⑵作異面直線成角的措施：平移法。

注意：找異面直線所成角時(shí)，常常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(diǎn)（如中

點(diǎn)、端點(diǎn)等），形成異面直線所成的角。

2直線與平面於I

A

aa

位置關(guān)系（直線在平面內(nèi)、相交、平行）

友1C。吉娃tr近右次1/占電辛左

3平面與平面的位置關(guān)系（平行、斜交、垂直）

㈢平行關(guān)系（包括線面平行和面面平行）

1線面平行

1.1線面平行的定義：平面外的直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則稱為直線和平面平行。

1.2鑒定定理：allb'

aaa\=a〃a（線線平行=＞線面平行）

bua

alla

1.3性質(zhì)定理:

au/3\=aHb（線面平行n線線平行）

1.4判斷或證明線面平行的措施

⑴運(yùn)用定義（反證法）：1Aa=小，l〃a（用于判斷）；

⑵運(yùn)用鑒定定理：線線平行=線面平行（用于證明）；

⑶運(yùn)用平面的平行：面面平行=線面平行（用于證明）；

⑷運(yùn)用垂直于同一條直線的直線和平面平行（用于判斷）。

2線面斜交和線面角：ina=A

2.1直線與平面所成的角（簡(jiǎn)稱線面角）：若直線與平面斜交,

團(tuán)c1心157缶

則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角9o

2.2線面角的）范圍：0e[0°,90°]

注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時(shí)，0=0。；

當(dāng)直線垂直于平面時(shí)，0=90°

3面面平行

3.1面面平行的定義：空間兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則稱為兩

平面平行。

3.2面面平行的鑒定定理：

⑴鑒定定理1：假如一種平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一種平面，那么兩個(gè)平面互相

ICArfrtrfr7>1/.4二

平行。即:

a,bua,aC\b=O,alla,blla=>allP

推論：一種平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一種平面

的兩條線段，那么這兩個(gè)平面平行。即:

a,bua,aCb=O,a',b'uB，a"a',b"b'=>all0

囪。工必:比1班論

⑵鑒定定理2：垂直于同一條直線的兩平面互相平行。即:

a1a,a]all。

3.3面面平行的性質(zhì)定理

a//p}〃

⑴“ua="〃夕（面面平行=線面平行）

⑵

all°

ariy=a?=>“〃/?；（面面平行=>線線平行）

⑶夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。

㈣垂直關(guān)系（包括線面垂直和面面垂直）

1線面垂直

1.1線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平

面。

1.2線面垂直的鑒定定理：a，bua-

aQb-O

l（za（線線垂宜二?線面垂直）

/la

lJ.h

1.3線面垂直的性質(zhì)定理：

⑴若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。

/_La,auan/la（線面垂直=>線線垂直）叩

即：

⑵垂直于同一平面的兩直線平行。

a±a,bA.a=>a//b

即Bn：

1.4常用時(shí)鑒定或證明線面垂直的根據(jù)

⑴運(yùn)用定義，用反證法證明。

⑵運(yùn)用鑒定定理證明。

⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。

⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一種，則也垂直于另一種。

⑸假如兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。

★1.5三垂線定理及其逆定理

⑴斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的所有線段中，斜線相

等則射影相等，斜線越長(zhǎng)則射影越長(zhǎng)，垂線段最短。

PB=PCoOB=OC；PA>PBoOA>OB

如圖:皮1。rAV心士IFFI

⑵三垂線定理及其逆定理

已知PO_La,斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA,a是平面

a內(nèi)的I一條直線。

①三垂線定理：若a±OA,則aXPAo即垂直射影則垂直斜

線。

②三垂線定理逆定理：若UPA,貝Ua，OA。即垂直斜線則垂直射影。

⑶三垂線定理及其逆定理的重要應(yīng)用

質(zhì)1CO二京處士工由

①證明異面直線垂直；

②作出和證明二面角日勺平面角；

③作點(diǎn)到線的垂線段。

2面面斜交和二面角

2.1二面角的定義：兩平面a、0相交于直線1,直線a是a內(nèi)的一條直線，它過1上的一點(diǎn)

0且垂直于1,直線b是。內(nèi)的一條直線，它也過0點(diǎn)，也垂直于1,則直線a、b所形成的

角稱為a、［3的二面角的平面角，記作Na-H3。

2.2二面角的范圍:Za-l-pe[0°,180°]

2.3二面角平面角的作法：/

⑴定義法：證明起來(lái)很麻煩，一般不用；/T/

⑵三垂線法：常用措施；

A

⑶垂面法：常用于空間幾何體中的二面角。

3面面垂直

3.1面面垂直的定義：若二面角平面角為90°，則兩平面，______

3.2鑒定定理：假如一種平面通過另一種平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。

即：（線面垂直=>面面垂直）

/

3.3面面垂直的性質(zhì)定理zf/

⑴若兩面垂直，則這兩個(gè)平面的1二面角的1平面角為90°；