2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 圖形面積 專項(xiàng)訓(xùn)練

圖形面積

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

掌握基本圖形面積的計(jì)算公式★

圖形面積

計(jì)算面枳或利用圖形面積解決數(shù)學(xué)問題

二、核心綱要

1.一些常用圖形的面積公式

正方形面積=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)；長(zhǎng)方形(矩形)面積=長(zhǎng)、寬；平行四邊形面積=底乂高；

三角形面積=|X底X高；梯形面積=|x(上底+下底)X高.

2.計(jì)算圖形的面積有以下常用方法

(1)和差法：把圖形面積用常見圖形面積的和或差表示，通過常規(guī)圖形面積公式計(jì)算.

(2)割補(bǔ)法：有時(shí)直接求圖形面積有困難，我們可以通過分割或補(bǔ)形，把圖形轉(zhuǎn)化為容易觀察或解決的形狀求

解.

(3)等積變換法：對(duì)某些圖形，找出與所求圖形面積相等或有關(guān)聯(lián)的特殊圖形，通過代換轉(zhuǎn)化易求圖形的面積.

(4)等比法：將面積比轉(zhuǎn)化為線段比.

3.在兩個(gè)三角形中

⑴同(等府時(shí)，面積之比等于底之比.(2)同(等)底時(shí)，面積之比等于局之比.

4.等分三角形面積

三角形一邊中線平分三角形面積.

5.常見的基本模型

若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),若AD〃BC,則SABD=SACD)SJ\AOB=SACO

則SAABD=SAACDS/1BD_竺

SBCD

Si_&

1=包S=2S平行四邊形ABCD

S?S4S?S4BEC

本節(jié)重點(diǎn)講解：圖形面積的計(jì)算和證明.

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

L如圖11-4-1所示在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AD、AC的中點(diǎn)且SAABc=16,則,

SADEFI的面積為（）.

A.2B.8

C.4D.l

BDC

2.如圖11-4-2所示，在△ABC中,AB=1,BC=2JH!UABC的高AD:CE為()

圖11-4-1

A.l:2B.2:1

C.l:4D.4:1C

3.已知△ABC的面積為3,邊BC長(zhǎng)為2,以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐

標(biāo)系，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（）

A.3B.-3

C.6D+3BE

4.圖1143（a）、（b）為兩個(gè)相同的矩形若圖（a）陰影區(qū)域的面積為10,則圖（b）的陰影面積等于（）圖11-4-2

A.40B.30

C.20D.10

5.如圖1144所示，已知ACLBD于點(diǎn)OAAOD、△AOB、△BOC、△COD的面積分別為工、S2,S3、S4,設(shè)A

C=m,BD=n,則下式中正確的是().

1

ASi+S2+S3+SI=—TYinB.Si+S2+S3+S4=mn

C.S-S-S-S=^mn

1234D.S1?S2,S3,S4=mn

(a)(b)

圖11-4-3圖11-4-4

6.如圖11-4-5所示，在△ABC中,E為BC的中點(diǎn),ADLBC于點(diǎn)D,以下結(jié)論:①AD<AE;②BE=

CE;@SAABE>SAACE;circled皿=其中正確的命題為

SACDCD

圖11-4-5

7.如圖1146所示，在△ABC中,AD、BE相交于點(diǎn)O,BO:ED=3\2,AE-.CE=2:1,若50。=2求((1)SABOC:SA

AOC:SAAOB由勺值.(2)求SAABC.d

8.圖11-4-7所示是某個(gè)公園ABCDEF,M為AB的中點(diǎn),N為CD的中點(diǎn),P為DE的中點(diǎn),Q為F圖""-6

A的中點(diǎn)，其中游覽區(qū)APEQ與BNDM的面積和是900平方米，中間的湖水AMDP的面積

為361平方米，其余的部分是草地，求草地的總面積.

9.認(rèn)真閱讀，并回答下面問題：圖11-4-7

如圖11-4-8所示,AD為4ABC的中線,SAABD與SAADC相等嗎?

【解】過A點(diǎn)作BC邊上的高h(yuǎn),

；AD為AABC的中線

,>.BD=DC.

=

1,"^ABD]BD-h,SACD=~DC-h.

^ABD=^ACD>

⑴用一句簡(jiǎn)潔的文字表示上面這段內(nèi)容的結(jié)論：.

(2)利用上面所得的結(jié)論，用不同的分割方法分別把下面兩個(gè)三角形面積4等分(只要割線不同就算一種).

(3)已知:AD為AABC的中線，點(diǎn)E為AD邊上的中點(diǎn)，若△ABC的面積為20,BD=4,求點(diǎn)E到BC邊的距離為多少?

能力提升

10.如圖11-4-9所示，三邊均不相等的.△4BC,若在此三角形內(nèi)找一點(diǎn)O，使得△OAB公

OBC心0C4的面積均相等.判斷下列作法正確的是().

A.作中線AD,再取AD的中點(diǎn)O

B.分別作中線AD、BE,再取此兩中線的交點(diǎn)O

C.分別作AB、BC的中垂線，再取此兩中垂線的交點(diǎn)O圖11-4-9

D.分別作乙4、NB的角平分線，再取此兩角平分線的交點(diǎn)O

11.如圖11410所示，在正方形ABCD中,AB=2,NDCE是正方形ABCD的外角，P是

ZDCE的角平分線CF上任意一點(diǎn)，則4PBD的面積等于()

A.lB.1.5

C.2D.2.5

12.如圖11411所示,△ABC的面積為18cm2,點(diǎn)D、E、F分別位于AB、BC、CA±,

DE〃AC,且AD=4cm,DB=5cm8!UABE的面積是().

A.8

13.如圖11412所示，在△ABC中，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn),D、E、F分別是AM、BD、CE的中點(diǎn)，且ABC=

1,則SADEF=().

A-B-C-D-

2468

14.如圖11-4-13所示，在長(zhǎng)方形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),F是CE的中點(diǎn).三角形BDF的面積人

是6cm2,則長(zhǎng)方形ABCD的面積為.

15.如圖11-4-14所示,面積為16的4ABC中兩中線ADLBE,若AD:BE=2:3,則BE的長(zhǎng)為—/

—圖11-4-14

16.探索

在圖11415(a)至圖11415(c)中,△ABC的面積為a.

⑴如圖(a)所示，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接DA苕AACD的面積為Si,則SS】=

⑵如圖(b)所示，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.^ADEC的面積為

S2，則.S2=(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由；

⑶在圖(b)的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD、FE,得到△DEF(如圖(c)所示).若陰影部分的面積為S

3,則S3=(用含a的代數(shù)式表示).

發(fā)現(xiàn)

像上面那樣，將4ABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF(如圖(c)所示),此時(shí)，我們稱△A

BC向外擴(kuò)展了一次.可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的_____倍.

應(yīng)用

去年在面積為10爪2的△ABC空地上栽種了某種花卉.今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把A/IBC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，

第一次由△ABC擴(kuò)展成△DEF,第二次由△DEF擴(kuò)展成△MGH(如圖(d)所示).求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域(即陰影部分)

面積共為多少平方米？

17.已知，如圖11-4-16所示，DC\\AB,CE\\BD,,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證：

(SBCD)2=SABD-SDCE，

18.(1)①問題1:如圖ll-4-17(a)所示，已知△ABC,請(qǐng)你過點(diǎn)A畫一條直線，把△ABC分成面積相等的兩部分(在圖(a)

中畫出來，簡(jiǎn)要寫出作法).

②問題2:如圖11417(b)所示，已知1]||12點(diǎn)A、D在1]上點(diǎn)B、C在上上，試說明^八8。與4DCO面

積相等.

⑵應(yīng)用:如圖11417(c)所示，在△ABC中，點(diǎn)M在AB邊上，過點(diǎn)M畫一條直線，將△ABC的面積二等分(保留

作圖痕跡，不寫作法).

(3)拓展：如圖11-4-17(d)所示，四邊形ABCD是一塊土地的示意圖，過點(diǎn)D修一條直路，直路修好后，要

保持直路兩邊的面積相等，請(qǐng)你確定出這條直路(不計(jì)直路的占地面積).

①簡(jiǎn)要寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖(d)中畫出相應(yīng)的圖形.

②說明方案的設(shè)計(jì)理由.

(a)(b)(C)(d)

圖11-4-17

19.如圖11418所示在△ABC中,AB=AC,AC邊上的高BD=10cm.

⑴如圖(a)所示求AB邊上的高CE的長(zhǎng).

⑵如圖(b)所示若點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn),PMLAB于點(diǎn)M,PN±AC于點(diǎn)N,求PM+PN的值

(3)如圖⑹所示，若點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn),PMLAB于點(diǎn)M,PN±AC于點(diǎn)N,在①PM+PN.②PM-PN中有一

個(gè)是定值，判斷出來并求值.

20.閱讀理解

如圖11419(a)所示，在△ABC中,D是BC的中點(diǎn)如果用SAABC表示△ABC的面積，則由等底同高的三角形的

面積相等，可得S4BD=SACD=-SABC.

(b)

圖11-4-19

=

同理，如圖(b)所示,在4ABC中,D、E是BC的三等分點(diǎn)，可得SABD=SADE^AEC=^^ABC-

結(jié)論應(yīng)用

已知：△ABC的面積為1,請(qǐng)利用上面的結(jié)論解決下列問題：

⑴如圖11420(a)所示若D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),CD與BE交于點(diǎn)尸貝必DBF的面積為

圖11-4-20

類比推廣

(2)如圖11420(b)所示公ABC的面積為1,D、E為AC的三等分點(diǎn),F、G為BC的三等分點(diǎn),四邊形PECF的面

積.

2L如圖11421所示，在長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2,寬為1,A、B兩

點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角開贏'B

為2,則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）.

A.2B.3圖11-4-21

C.4D.5

22如圖11-4-22所示，在△ABC中,E是BC上的一點(diǎn),EC=2BE,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC、△

ADF、△BEF的面積分另!］為SAABC、SAADF、SBEF,且SAABC=12,貝!!SAADF—SAB

EF=()

A.lB.2

B

C.3D.4圖11-4-22

巔峰突破

23如圖11-4-23所示,在矩形ABCD中,AE=BG=BF=1AD==2,E、H、G在同?

線上，則陰影部分的面積等于().

A.8B.12

C.16D.20

BG

圖11-4-23

24.如圖11-4-24所示,三角形ABC內(nèi)的線段BD、CE相交于點(diǎn)0,已知（OB=0D.0C=20E,OC=2OE,igABOE、

ABOC、△COD和四邊形AEOD的面積分別為.Si,S2、S3、S*

⑴求Si5的值；

（2）如果S2=2,求S&的值.

25.直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm、5cm,在三角形內(nèi)部有一點(diǎn)P,已知點(diǎn)P到三角形其中兩條邊的距

離分別為3.2cm和0.5cm,求點(diǎn)P到三條邊的距離.

基礎(chǔ)演練

1.A;2.A;3.D;4.D;5.A;6.①②④.

7.(1)VBD:CD=3:2,AE:CE=2:1,

^AOB-^AAC=SBOD：SCOD=3:2=6：4,

SAOB：SCOB=SAOE：SaOE=2:1=6:3,

SABOC:SAAOC:SAAOB=3:4:6.

(2)VBD:CD=3:2,SACOD=2,

???SBX=QSCDD=

c13c13、，匚65

?,SABC-YSHX一E**???5—了

8.連接AE、AD、BD.

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),N為CD的中點(diǎn),P為DE的中點(diǎn),Q為FA的中點(diǎn)，

根據(jù)一個(gè)三角形的中線平分這個(gè)三角形的面積，

所以設(shè)SAEFQ=SAAQE=a,SAAEP=SAAPD=b,

==

^ADMSBDM=C-SBDN=SBCNd.

由題意得:a+b+c+d=900平方米,b+c=361平方米.所以a+d=900-361=539平方米.

即草地的總面積SBFQ+SHCN=a+d=539平方米.

9.(1)三角形中線平分三角形的面積；

(2)如下圖所示：

劣及劣/Z

(3)2.5.

能力提升

10.B;11.C;12.C

13.D;14.48cm2;15.6.

16.(l)Si=a;

⑵如右圖所示，連接AD,

由⑴可知,SAABC=a.

VAC=AE,.\SADEC=2SAACD=2a.

(3)???SEDF=S3+SABC=6a+a=7a

?.,SDEF—_—7/I

SABCa

,擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的7倍.

應(yīng)用:480m2

17.連接AC、BE,

：DC〃AB,；.SABCD=SAACD.?

同理:SABCD=SABED.?

ADCE與^ACD同高,△BED與^ABD同高，

...SLNE_吧SBED_ED_...SLXE_SAEDc[rcieo

SACDDA'SABDDA'SACD^ABD

把①，②代入③得:等=2

3RD^ABD

???(SHKD)=^ABD?SDEE?

18.⑴①取BC中點(diǎn)D,作直線AD.

②???li||12DBC同底等高.

，?SABC=^DBC-

SABC-^OBC=^DBC-^OBC-

即SAABO=SADCO.

⑵如下圖所示，取BC中點(diǎn)D,連接MD,過點(diǎn)A作AN/7MD交BC于點(diǎn)N,作直線MN,則直線MN即為所求.

(3)①如下圖所示，連接DB,過點(diǎn)A作AE//DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接DE,取EC的中點(diǎn)F,連接DF,貝D

F即為所求.

②理由:?.?AE〃BD,，SAEBD=SAABD.

SEBD—SR；D=SABD—SH；D，即SEBG=^AGD'

ASAAGD+S四邊形GBCD=SAEBG+S四邊形GBCD.

SADEC=S四邊形ABCD.VEF=FC,

即SADFC=SAEDF=S四邊形ABFD|2S四邊形ABCD

19.(1)SABC=^AB-CE=^AC-BD,

且AB=AC,CE=BD=1Ocm.

⑵如下圖所示，連接AP,過點(diǎn)B作BDLAC,垂足為D,

11

?-'SABP=-AB-PM,SAPC=-AC-PN,

1

SABC=2AC-BD,

???-AB-PM+-AC