2024年高考數(shù)學試卷（理科）（全國甲卷）【含解析】

2024年高考數(shù)學（理科）（全國甲卷）【含解析】

（使用范圍：陜西、寧夏、青海、內蒙古、四川）

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮

擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.

5.考試結束后，只將答題卡交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設z=5+i,貝！Ji（z+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

2.集合/={1,2,3,4,5,9},5=卜|46/},則6（/cB）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

4x-3y-3>0

3.若實數(shù)xj滿足約束條件<x—2y—2VO,則z=x-5y的最小值為（）

2x+6j-9<0

7

A.5B.1C.-2D.----

22

4.等差數(shù)列{4}的前〃項和為，若&=Eo，%=1，則%=（）

7

A.-2B.-C.1D.2

3

5.已知雙曲線的兩個焦點分別為（0,4）,（0,-4）,點（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.V2

6.設函數(shù)/（》）=1±^二，則曲線歹=/（x）在（0,1）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為（）

1+X

7.函數(shù)/（同=——+（/—/''收1?在區(qū)間［—2.8,2.8］的大致圖像為（）

A.273+1B.2V3-1

9.已知向量a=(x+=(x,2),則()

A.“x=-3”是"a±b”的必要條件B.“x=-3”是“a/!b”的必要條件

C.“x=0”是“alb”的充分條件D."x=—1+百”是“aHb”的充分條件

10.設a、尸是兩個平面，加、〃是兩條直線，且?？?=加.下列四個命題:

①若根〃〃，則〃//tz或〃///②若加J.〃，則〃_La,〃_Ly9

③若〃//*且〃//，，則加〃〃④若〃與a和6所成的角相等，則加，〃

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

兀19

11.在中內角4瓦C所對邊分別為a,"C,若8=—,白=—ac,則siih4+sinC=（）

34

A.-B.V2C.—D.—

222

12.已知b是。的等差中項，直線以+"+c=0與圓一+「+4y-1=0交于48兩點，則以目的最小

值為（)

A.2B.3C.4D.275

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.+的展開式中，各項系數(shù)的最大值是.

14.已知甲、乙兩個圓臺上、下底面的半徑均為外和々，母線長分別為2（馬-八）和3（弓-八），則兩個圓臺

的體積之比￡■=______.

/乙

115

15.已知?！?,~-7=-7，則。二?

log8?log/2

16.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球.記加

為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，〃為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則加與〃差的絕對值不超過;的

概率是.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17題?第21題為必

考題，每個考題考生必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進

行檢驗，數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級品合格品不合格品總計

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產品

的優(yōu)級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率0=0.5,設萬為升級改造后抽取的"件產品的優(yōu)級品率.如果

A〉p+1.65、八,則認為該工廠產品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產品的數(shù)據(jù)，能否認為

生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了？（晌M12.247）

n(ad-bcf

附:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P[K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.記S）,為數(shù)列｛%｝的前〃項和，且4s,=3a“+4.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）設”=（-1）"一74,求數(shù)列也｝的前〃項和為北.

19.如圖，在以4,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形48CD與四邊形/。斯均為等腰梯形,

BC/!AD,EFI!AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=屈,FB=25M為AD的中點.

（1）證明：8W7/平面CD￡；

（2）求二面角尸-E的正弦值.

2

20.設橢圓C：二+=l（a〉b〉0）的右焦點為點在。上，且軸.

ab2

(1)求C的方程;

(2)過點P(4,0)的直線與。交于48兩點，N為線段尸尸的中點，直線N3交直線"F于點。，證明：

/。_1_了軸.

21已知函數(shù)/(x)=(l-ax)ln(l+x)-x.

(1)當。=-2時，求/(x)的極值；

(2)當xNO時，/(x"0恒成立，求。的取值范圍.

(二)選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂

黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標系xQy中，以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐

標方程為夕=/以%。+1.

(1)寫出。的直角坐標方程；

(2)設直線/：\」為參數(shù))，若C與/相交于48兩點，若|/同=2,求。的值.

［選修4-5：不等式選講］

23.實數(shù)a/滿足。+方》3.

(1)證明：2a2+2"＞。+方；

(2)證明：k—B—2a126.

參考答案（含解析）

一、選擇題

題號123456789101112

答案ADDBCABBCACC

1.【答案】A

【解析】由z=5+i=＞亍=5-i,z+亍=10,則i（亍+z）=10i,故選：A

2.【答案】D

【解析】因為/={l,2,3,4,5,9},B={x|4e/）,所以5={1,4,9,16,25,81},

則/。8={1,4,9},d（/nB）={2,3,5},故選：D

3.【答案】D

4x-3y-3>0

【解析】實數(shù)兀V滿足x—2y—2V0,作出可行域如圖：

2x+6j^-9<0

114x-3y-3二0

2x+6y-9=^I^^A/C-----打小

-X

由z=x-5y可得y=gx-"z,即z的幾何意義為y="x----z的截距的---

55

則該直線截距取最大值時，Z有最小值，此時直線y=-—z過點A,

5

[4x-3y-3=0x=-（3、37

聯(lián)立。上AQC'解得2,即2尸，則第二二——5x1=——.

[2x+6v-9=0y=]12）22

J

故選：D.

4.【答案】B

【解析】由百0-S5=&+。7+4+。9+。10=54=0,則私=0，

則等差數(shù)列｛%｝的公差1

故選：B.

5.【答案】C

【解析】設々(0,—4)、片(0,4)、尸(—6,4),則閨刃=2c=8,盧媼=??+(4+4丫=10,

附|=游+(4—葉=6,則2。=|助|—歸閭=10—6=4,則e=||=q=2.

故選：C.

6.【答案】A

(ex+2cosxWl+x2)-(ex+2sinx、2x

［解析］rw=--------------一~M------------------，

(1+X)

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

則/'⑼---------八/、1-------------L—=3,即該切線方程為y—l=3x即y=3x+1,

(1+0)-

令x=0,則y=l,令＞=0,則x=」，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S==xlx—；='.

3236

故選：A.

7.【答案】B

［解析］/(-%)=-x2+(e-'r-ex)sin(-x)=-x2+^ex-e-x)sinx=f(x),

又函數(shù)定義域為［-2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

又/=-1+(e—|sinl>—1+1e—|sin—=—1------>-------->0,故可排除D.

ej622e42e

故選：B.

8.【答案】B

【解析】因為一絲9—=6所以---=6ntana=l-也，

cosa-sina1-tana3

所以tan[a+C]=tana+l=2G_l,故選：B.

<4J1-tana

9【答案】C

【解析】對A,當時，則鼠B=0,所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或—3,即必要性不成立，故

A錯誤；

對C,當x=0時，a=(1,0),S=(0,2),故a.g=0，所以即充分性成立，故C正確；

對B,當￡/歷時，則2(X+1)=Y,解得X=1±JL即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當x=-1+G時，不滿足2(x+l)=12,所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

10.【答案】A

【解析】對①，當〃ua,因為加〃“，mu/3,則〃//，，

當"u/3,因為加〃〃，mua,則〃//a,

當〃既不在a也不在￡內，因為加〃“，mua,muB,則〃//a且”/〃？，故①正確;

對②，若則〃與勿乃不一定垂直，故②錯誤；

對③，過直線〃分別作兩平面與4萬分別相交于直線s和直線t,

因為〃//tz,過直線〃的平面與平面a的交線為直線s,則根據(jù)線面平行的性質定理知〃//s,

同理可得〃/〃，貝打/〃，因為s<Z平面/，/<=平面6，貝"http://平面6，

因為su平面a,a^/3=m,則§//加，又因為〃//s,則加〃“，故③正確;

對④，若=陽，〃與&和6所成的角相等，如果〃//%〃//夕，則加〃“，故④錯誤;

綜上只有①③正確，

故選：A.

11.【答案】C

7T)94o1

【解析】因為3==一。。，則由正弦定理得sin/sinC=—sin3二一.

3493

9

由余弦定理可得:“=a+c-ac4-

131313

即+/_—ac,根據(jù)正弦定理得sin?A+sin2C=一sinAsinC=一，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sin/sinC二一，

4

因為4。為三角形內角，則sin/+sinC〉O,則sinZ+sinC二V7

~T

故選：C.

12.【答案】C

【解析】因為。，8c成等差數(shù)列，所以2b=a+c,c=2b—a,代入直線方程◎+勿+c=0得

x—1=0x=l

ax+by+2b-a=0,即a(x-l)+b(y+2)=0,令＜得＜

卜+2=0[

故直線恒過(1,-2),設P(l,-2),圓化為標準方程得：C:X2+(V+2)2=5,

設圓心為C,畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，卜固最小,

\PC\=l,\AC-\=\r\=y[5,此時\AB\=2MH=2^1AC2-PC2=2^1=4.

故選：C

二、填空題

13.【答案】5

【解析】由題展開式通項公式為（I，0<r<105.reZ,

設展開式中第r+1項系數(shù)最大，貝!

29

r>——

4

=><即——<r<—又reZ,故r=8,

3344

r<—

4

所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為C：。

故答案為：5.

14.【答案】逅

4

【解析】由題可得兩個圓臺的高分別為幅==6（八-?，

h乙=忘億_&）］2_化一力=2&向一&），

所以盤=；但+岳+病N甲=組=百億-々）一V6

'乙；居+岳+后%乙人乙2&g力4

故答案為：JL.

4

15.【答案】64

1131.5/、2

［解析］由題■;-------------=~-------log?=--,整理得（log2。）-51og<7-6=0,

2v272

log8aloga4log2a22

=4>log2a=-1log2a=6,又a>l,

所以log2a=6=log226,故a=26=64

故答案為：64.

7

16.【答案】一

15

【解析】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設前兩個球的號碼為人，第三個球的號碼為c,則二+；+0_券色,

故佐-(a+6)|W3,故-3<2c-(a+b)<3,故a+6-3<2c〈a+6+3,

若c=L則c+，V5,則(a,6)為:(2,3),(3,2),故有2種,

若c=2,則l(a+6<7,則(a,6)為:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種，

當c=3,^3<a+b<9,則(a,勸為:(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),故有16種，

當。=4,則5<a+b<ll,同理有16種，

當c=5,則7(a+b?13,同理有10種，

當。=6,則9?Q+6?15,同理有2種，

共加與〃的差的絕對值不超過g時不同的抽取方法總數(shù)為2(2+10+16)=56,故所求概率為言=

一,7

故答案為：一.

15

三、解答題

(-)必考題

17.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析;

【解析】(1)根據(jù)題意可得列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間2624

乙車間7030

可得片=150(26x30-24x70)；至-46875,

50x100x96x5416

因為3.841<4.6875<6.635，

所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異，沒有99%的把握認為甲，乙兩車間產品的

優(yōu)級品率存在差異.

96

(2)由題意可知：生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品的頻率為——=0.64,

150

用頻率估計概率可得萬=0.64,

又因為升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率夕=0.5,

則P+=°.5+1"『七；5)"°-5+1-65*熊°°-568'

可知萬>0+1.65

所以可以認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了.

18.【答案】(1)??=4-(-3)"-*；(2)*=(2〃_1>3"+1

【解析】(1)當〃=1時，4S]=4%=3。]+4,解得q=4.

當〃之2時，4s+4,所以45〃一4S,i=4an=3%-3an_x即a“=~^>an_x,

而q=4w0,故4w0,故—3,.?.數(shù)列｛4｝是以4為首項，—3為公比的等比數(shù)歹U，

an-l

所以%=4?(—3廣1

(2)〃=(―I)”】?〃?4?(―3)i=4〃?3'1,

所以7；=濟+為+&+???+〃=40°+83+121+…+4〃6

故37；=431+81+12?33+…+4〃3,

所以—27；=4+431+41+…+4?3"T—4〃3"

—4"3"=4+2?3?(3"T—1)—4〃-3"

1-3

=（2—4〃>3"—2,

.U=（2〃—

19.【答案】（1）證明見解析；（2）

13

【解析】（1）因為所=2,20=4,/為的中點，

所以BC//MD,BC=MD,四邊形為平行四邊形，

所以BMHCD,又因為平面CD￡,CDu平面CD￡,所以5M7/平面CD￡；

（2）如圖所示，作80,40交40于。，連接。尸，

因為四邊形/BCD為等腰梯形，BCHAD,AD=4,AB^BC=2,所以CD=2,

結合（1）5CDM為平行四邊形，可得W=CD=2,又AM=2,

所以△/氏攸為等邊三角形，。為中點，所以08=6，

又因為四邊形/DEF為等腰梯形，M為2。中點，所以EF=MD,EF〃MD,

四邊形EFW為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF,

所以AAFM為等腰三角形，△ZBAf與AAFM底邊上中點。重合，OF±AM,OF=\JAF2-AO2=3，

因為OBrOF?=BF?，所以05_L0尸，所以。8,。。,。少互相垂直，

以08方向為無軸，0D方向為V軸，。尸方向為z軸，建立。-個z空間直角坐標系,

尸（0,0,3）,5（V3,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,BM=（-V3,l,0）,5F=（-^,0,3）,

5E=（-V3,2,3）,設平面AR攸的法向量為/=（和％,zj,

平面EWB的法向量為萬=（%2，%，22），

m-BM=0—J3M+%=0

則《一即《「令X[=M,得％=3,4=1即成=（百,3,1）,

m-BF=0—J3X]+3Z]—0

n-BM=Q—^3-^2+/2=0

則〈_即＜令％=G,得％=3/2=-1,

n-BE=Q-+2y2+3z2=0

__m-n1111貝！Isinm,n=生B

即亢=（0,3,—1）,cosm.n--j-vf

\m\-\n\V13-V131313

故二面角/-E的正弦值為逑.

22

20.【答案】(1)土+土=1；(2)證明見解析

43

【解析】(1)設尸(c,o),由題設有c=i且工=3,故絲」=3,故°=2,故b=M,

a2a2

22

故橢圓方程為±+上=1.

43

⑵直線48的斜率必定存在，設48:y=A(x—4),/(再,%)，以孫％),

由］3x+4y—12可得（3+4k2"_32左2%+64左2-12=0,

y=k（x-4）17

故A=1024左4—4（3+4左2）（64左2—12）〉0,故—：（左＜g,

▽32k264k2-12

又…

3V2JI＞＜（2X2-5）+3J2左（西—4）x（2%—5）+3左（％-4）

所以…。=%+==------------------=-------------------------------

2X2-52X2-5

n64F-1232k20128左2—24—160左2+24+32后2

=、2中2-5(芭+%)+8=卜x3+412-5*3+4.2+=?3+4F

2X2-52X2-52X2-5

故y=yQ>即軸.

21.【答案】（1）極小值為0,無極大值；（2）a＜--.

2

【解析】（1）當。=一2時，f（x）=（1+2x）ln（l+x）-x,

故/，(x)=21n(l+x)+^^-l=21n(l+x)--—+1,

1+x1+x

因為y=21n(l+x),y=——L-+1在(-1,+8)上為增函數(shù)，

1+x

故/'(X)在(—1,+8)上為增函數(shù)，而尸(0)=0,

故當一l<x<0時，/'(x)<0,當x>0時，f\x)>0,

故/(x)在x=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

(2)=-tzln(l+x)+-——-1=-?In(1+x)-+>0，

1+X1+X

(a+l)x

設s(x)=-aln(l+x)-——L,x〉0

1+x

.z\-a(a+1)a(x+l)+a+l辦+0+1

Lx+1(1+x)2(1+x)2(l+x)~

當。<一:時，s<x)>0,故s(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)，故s(x)>s(o)=o,即/<x)>0,

所以/(x)在［0,+00)上為增函數(shù)，故/(x)N/(0)=0.

當一!<。<0時，當0<x<一>"'I時,s'(x)<0,

2a

故S(X)在10,~~~\上為減函數(shù)，故在1°，j上s(X)<S(0),

即在］o,—號口上/'（x）＜0即/（X）為減函數(shù)，故在］o,—干J上〃x）＜/（0）=0,不合題意，舍.

當aNO,此時s'（x）＜0在（0,+。）上恒成立；

同理可得在（0,+"）上/（x）＜/（0）=0恒成立，不合題意，舍;

綜上，aW—.