利用導(dǎo)數(shù)研究恒（能）成立問題-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

突破2利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題

口學(xué)生用書P061

命題點(diǎn)1分離參數(shù)求參數(shù)范圍

例1[2023湖南衡陽5月三模]已知函數(shù)/(x)=|+lnx+a.

(1)當(dāng)Q=0時(shí)，求/(X)的極值；

(2)若對(duì)于任意的x￡[l,e2],/(x)W0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=-+\nx,則/(x)=—彳+[==^，

xxLX

當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，f'3>0,列表如下.

X(0,2)2(2,+°°)

f(x)一0+

/(x)\極小值/

所以/(x)的極小值為/(2)=l+ln2,無極大值.

(2)f(x)=-+lnx+a^O,即—--Inx.

XX

2

令g(x)Inx,[1,e2],則aWg(x)min.

求導(dǎo)得3(x)=|一§=爰，當(dāng)14V2時(shí)，gf(x)>0,當(dāng)2VxQ2時(shí)，gf(x)<0,

所以gG)在[1,2)上單調(diào)遞增，在(2,e2]上單調(diào)遞減.

因?yàn)間(1)=-2,g(e2)=—^―Ine2=—2,所以g(1)>g(e2),所以g(x)min

=g(e2)=—^—2.

所以“Wg(X)min=-2,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,-4-2].

方法技巧

步驟：(1)利用不等式的性質(zhì)，將參數(shù)分離出來，轉(zhuǎn)化為/(X)>?；?(X)〈。的形

式；

(2)通過研究函數(shù)的性質(zhì)求出/(x)的最值；

(3)得出參數(shù)。的取值范圍.

技巧：(1)/(X)>。恒成立=/(X)min>a；

f(X)<4恒成立=/(X)max<4.

(2)f(X)有解=/(X)max>〃；

f(x)Va有解(x)minVq.

訓(xùn)練1[2024遼寧省聯(lián)考]已知函數(shù)/(x)=ln(x+1)~ax+2.

(1)若a=2,求/(x)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，f(x)+2x+xln(x+1)20恒成立，求整數(shù)a的最大值.

解析(1)若。=2,則/(x)=ln(x+1)-2x+2,f(0)=2,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,

2),

f(x)=5工一2,則切線斜率為/(0)=—1,

所以切線方程為>一2=一(%—0),即x+y—2=0.

(2)由/(x)+2x+xln(x+1)20,得axW(x+1),[In(x+1)+2],

當(dāng)x=0時(shí)，QX0W2,Q￡R;

當(dāng)x>0時(shí)，aW5+1，+2],

X

、兒/、(x+l)rin(x+1)+21,z、%—2—In(x+1)

設(shè)g(x)=---------------------g(X)=--------------------

設(shè)〃(x)=x—2_In(x+1),h'(x)=^->0,

x+l

則h(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?3)=l-ln4<0,h(4)=2-ln5>0,

所以存在x()￡(3,4)使得〃(xo)=0,

即xo—2=In(xo+1).

當(dāng)(0,xo)時(shí)，h(x)<0,即g'(x)<0;當(dāng)(xo,+°°)時(shí)，h(x)>0,即

gr(x)>0.

則g(%)在(0,X0)單調(diào)遞減，在(X0,+°°)單調(diào)遞增，g(%)min=g(%0),

所以aWg(xo)=5。+1).(沏+1)+2]=<沏+1)[(沏-2)+2]=XO+L

XoXQ

因?yàn)閤oG(3,4),所以xo+lG(4,5),所以整數(shù)。的最大值為4.

命題點(diǎn)2等價(jià)轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍

例2[2023全國(guó)卷甲]已知函數(shù)/(x)=ax—懸，xd(0,".

(1)當(dāng)a=8時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/'(x)<sinlx,求a的取值范圍.

解析⑴當(dāng)。=8時(shí)，/(x)=8x—華，xe(0,三)，

cos°x2

422

n(\_Qcosx+3sinxcosx_?23

J\X)—O—Z=Xo十2~-4~?

COS。％COSXCOSX

令3~=t,則/￡(1,+0°),

cos"

令〃(z)=-3?+2/+8=—(3Z+4)(t—2),

當(dāng)/e(1,2)時(shí)，h(t)>0;當(dāng)￡(2,+8)時(shí)，h⑺<0.

故當(dāng)xe(0,7)時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

4

當(dāng)xG(%?時(shí)，f(X)<0,/(X)單調(diào)遞減.

綜上，f(x)在區(qū)間(0,：)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(5])上單調(diào)遞減.

(2)令g(x)—f(x)—sinsinlx,

oJCOS^X

mi，/、cos4x+3sin2xcos2xcos2x+3sin2x.01c/-2cos2x+3,

如Jg\x)=。-------7---------2cos2x=a--------T-----4cos'x十2=。一(-----7十

cosxcos”cos”

4cos2x-2),

令〃=cos2%,則uG(0,1),令左(〃)=—絆3+4M—2,

則k'(M)=審+4=%學(xué)].

UU

當(dāng)(0,1)時(shí)，k'(?)<0,：.k(〃)在(0,1)上單調(diào)遞減，

,:k(1)=3,.*.當(dāng)we(0,1)時(shí)，k①)>3,

:?k(u)的值域?yàn)?3,+8).

①當(dāng)qW3時(shí)，gr(x)<0,：.g(x)在(0,胃)上單調(diào)遞減，

:?當(dāng)(0,])時(shí)，g(x)<0,.*./(x)<sin2x.

②當(dāng)43時(shí)，3xo^(0,會(huì)使得夕(血)=0,

???g(%)在(0,xo)上單調(diào)遞增，在(xo,會(huì)上單調(diào)遞減，

.*.g(xo)>0,.*./(x)Vsin2r不成立.

綜上所述，4的取值范圍為(-8,3].

方法技巧

對(duì)于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看成常數(shù)，通過分析，變形，合理構(gòu)造函數(shù)

(常用的有作差構(gòu)造，同構(gòu)化構(gòu)造等)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.

訓(xùn)練2[全國(guó)卷I]已知函數(shù)/(%)=e,c+ax2—x.

(1)當(dāng)4=1時(shí)，討論了(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)2#+1，求0的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=ex+x2—x,f(x)1.易知f(0)=0,且

ff(x)在R上單調(diào)遞增，故當(dāng)工￡(―°°,0)時(shí)，/(x)<0;當(dāng)(0,+°°)時(shí)，

fr(x)>0.

所以/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+°°)上單調(diào)遞增.

(2)f(x)2mx3+1等價(jià)于&3—。+%+1)e-VI.

設(shè)函數(shù)g(x)=(孑-QN+X+I)e~x(%20),則

gr(x)=—(才一辦2+1+]—產(chǎn)2+2辦—1)?r

=--|x[x2-(2Q+3)x+4a+2]e%

=--x(x—2a~1)(x—2)e”.

2

(i)若2a+lW0,即aW—g,則當(dāng)xd(0,2)時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，故g(x)>1,不合題意.

-1-1

(ii)若0<2a+l<2,即一;則當(dāng)xG(0,2a+l)U(2,+°°)時(shí)，gr(x)<

0;當(dāng)xd(2a+l,2)時(shí)，g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+l),(2,+°°)上單調(diào)

遞減，在(2a+l,2)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(0)=1W1,要使g(x)W1,則g(2)=(7-4fl)e^Wl,即

所以當(dāng)乙矣-Wavg時(shí)，g(x)Wl.

(iii)若2Q+122,即則g(、)W(#+x+l)ex.

由于0￡[W,i),故由(ii)可得(*+x+l)eYl.

故當(dāng)qN,時(shí)，g(%)Wl.

綜上，a的取值范圍是[芋，+8).

命題點(diǎn)3雙變量的恒(能)成立問題

例3[2024廣東七校聯(lián)考]設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=x3—3x2+a,g(x)=xlnx.

(1)求/(x)的極值；

(2)若Vxid[l,3],Vx2e[A,e],都有/(xi)》g(&),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)函數(shù)/(x)=x3—3—十。的定義域?yàn)镽,f'(%)=3x2—6x=3x(x—2),

令/(x)=0,可得x=0或x=2,

當(dāng)x變化時(shí)，/G),fG)的變化情況如下表：

X(—0O,0)0(0,2)2(2,+°°)

/'(X)+0一0+

/(X)/極大值\極小值/

故函數(shù)/(%)的極大值為/(0)=a,極小值為/(2)=。一4.

(2)若Vxi￡［l,3］,e］,都有/On)2g(X2),則/(xDmin》g(%2)max.

由(1)可知，函數(shù)/(x)在［1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增，

故當(dāng)工￡［1,3］時(shí)，/(x)min=/⑵=Q—4.

因?yàn)間(x)=x1nx,當(dāng)g,e］時(shí)，gr(x)=l+lnx20且g，(x)不恒為零，所以函數(shù)

g(X)在耳，e］上單調(diào)遞增，故g(x)max=g(e)=e,

由題意可得Q—42e,故〃2e+4,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［e+4,+°°).

方法技巧

解決雙變量“存在性或任意性”問題的關(guān)鍵就是將含有全稱量詞或存在量詞的條件“等價(jià)

轉(zhuǎn)化”為兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系(或兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系).

訓(xùn)練3[2023浙江杭州二中4月階段測(cè)試]/G)=￡+xlnx,g(x)=x3-x2-3.

(1)如果存在Xl,X2^[0,2],使得g(X1)—g(X2)2M成立，求滿足上述條件的最大

整數(shù)跖

(2)如果對(duì)于任意的s,/6號(hào)，2],f(5)2g(?)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解析(1)存在Xl,X2e[0,2],使得g(xi)—g(X2)三〃成立，即存在Xl,X2e[0,

2],使得[g(%1)—Q(%2)]max》M,即g(X)max-g(%)Ge[0,2]).

由g(x)=x3—x2—3,得g'(x)=3x2—2x=3x(x—|),

當(dāng)/x<2時(shí)，g，(x)>0,當(dāng)0<x<；時(shí),g'(x)<0,列表如下.

(0.|)2(|,2)

3

g'(X)一0+

g(x)\極小值/

又g(O)=-3,g(2)=1,所以當(dāng)xd[O,2]時(shí)，g(x)rnax=g(2)=1,g(x)min=

z2x_85

g(/=F

所以g(x)max-g(x)min=^W,所以滿足條件的最大整數(shù)M為4.

(2)對(duì)于任意的S,tG2],f(.s')2g⑺成立，則f(S)min》g⑺max.

由(1)易得當(dāng)XG?,2]時(shí)，g(X)max=g(2)=1,

所以對(duì)于任意的2],巴+xlnx》l成立，即x21nx成立.

2x

令〃(%)=X_x2lnx(gWxW2),則。三力(x)max.

求導(dǎo)得〃'(x)=1—2xlnx—%,令冽(x)=1—2xlnx—xGWXW2),則“(x)=-3—

21nx<0,

所以8(x)在42]上單調(diào)遞減，又/(1)=0,故列表如下.

X0,1)1(1,2)

hf(x)+0一

h(x)/極大值\

所以(x)max=h(1)=1,故實(shí)數(shù)。的取值范圍是［1,+°°).

現(xiàn)思維幫?提升思維快速解題

洛必達(dá)法則

例4已知函數(shù)/(x)=*+(，若/G)＞詈+勺亙成立，則"的取值范圍為(一8,

嘰.

解析解法一（分離參數(shù)+洛必達(dá)法則）由題意知Q0且>詈+：恒成立

等價(jià)于左〈吧+1—吧=7+1.（分離參數(shù)）

x+lX—11—xz

f/x2x\nxI!??\2(x2+l)lnx+2(1—x2)2(x2+l).1一/、

記g(%)=——y+h則g(x)=------------2-----=-------2(lnx+^—).

6—/&(1-x2)(1-x2)J

72

l-x2ml7,/、14%(I-XZ)、八

記〃(％)=lnx4則h'(x)=-------?=-------

x(1+x2)X(1+x2)

所以〃（x）在（0,+°°）上單調(diào)遞增，且〃（1）=0,

因此，當(dāng)、￡（0,1）時(shí)，h（%）<0,當(dāng)工￡（1,+8）時(shí)，h（x）>0,

即當(dāng)（0,1）時(shí)，gr（x）<0,當(dāng)工￡（1,+8）時(shí)，g，（％）>0,

所以g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+°°）上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法則得limg（x）=lim^5+l=lim^U+l=@/+l=0,（構(gòu)造出烏型，利

X^l%一11一%2%一1-2x-2X10

用洛必達(dá)法則求解）

即當(dāng)工—>1時(shí)，g（x）-0.所以當(dāng)x>0且xW1時(shí)，g（x）>0,所以左W0.

故上的取值范圍是（一8,0].

解法二/（X）-（3+七）=3⑵nx+"i）（x2T>].

X—1X1—xzX

設(shè)〃(x)=21nx+(x>0),

X

則h'(x)=(D(x：+1)+2x.

①當(dāng)后WO時(shí)，由〃(x)=i+l)[X-1)知,當(dāng)xWi時(shí)，〃(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.

-1

而h(1)=0,故當(dāng)xd(0,1)時(shí)，h(x)>0,可得；Tz(x)>0;

當(dāng)Xd(1,+8)時(shí)，h(x)<0,可得」v/z(x)>0.

1—xz

從而當(dāng)x>0,且XTM時(shí)，y(x)-(―+-)>0.

X—1X

即/(x)

X—1X

22

②當(dāng)0<左VI時(shí)，y=(左一1)(x+l)+2x=(^-1)x+2x+k~l9其圖象開口向下，

且八=4一4(左一1)2>0,對(duì)稱軸為直線'=」一，」一〉1,

l-kl-k

所以當(dāng)XG(1,—)時(shí)，(左一1)(x2+l)+2x>0,故〃(x)>0,而h(1)=0,故

l-k

當(dāng)xe(1,--)時(shí)，h(%)>0,

1~K

可得(X)<0,與題設(shè)矛盾.

③當(dāng)左21時(shí)，此時(shí)/(X)>0,而h(1)=0,

故當(dāng)工￡(1,+°°)時(shí)，h(x)>0,可得一二，h(x)<0,與題設(shè)矛盾.

1—

綜上所述，左的取值范圍為(-8,0].

方法技巧

洛必達(dá)法則

法則1若函數(shù)/(%)和g(x)滿足下列條件：

(1)limf(x)=0及l(fā)img(x)=0；

%—x—>a

(2)在點(diǎn)4的附近，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)WO；

(3)lim△笄=/(/可為實(shí)數(shù)，也可為無窮大).

那么lim'(')=lim'尸)=I.

(x)%—ag'(%)

法則2若函數(shù)/(%)和g(x)滿足下列條件：

(1)limf(x)=8及]加g(x)=8；

%—a%-a

(2)在點(diǎn)Q的附近，f(X)與g(X)可導(dǎo)且g，(X)WO；

(3)3可為實(shí)數(shù)，也可為無窮大).

%—ag(x)

那么limy—limf,(x)

x—ag(%)%—ag’(%)

訓(xùn)練4已知函數(shù)/(x)=x(ex—1)一辦2(Q￡R).

(l)若/(x)在I=一1處有極值，求Q的值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(X)20,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

解析(1)ff(x)=^—1+xex~2ax=(x+1)^—2ax—\,

依題意知/(-1)=2?—1=0,

(2)解法一當(dāng)x>0時(shí)，f(x)NO,即x(ex—1)—QN2O,即曠一1一

令9(x)=^—1~ax(x>0),則夕(x)minNO,夕'(x)=ox—a.

①當(dāng)時(shí)，(p'3>0,

:?(p(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增，:?(p(x)>e°—1—0=0,

???〃W1滿足條件.

②當(dāng)。>1時(shí)，若OVxVlna,則9y%)<0,

若x>lna,則夕'(％)>0.

：.(p(x)在(0,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+°°)上單調(diào)遞增，

：?(p(x)min=9(Ina)=a-1—6zlna^O.

令g(q)—a—1—alna(q>l),則g，(a)=1—(1+lna)=—lna<0,.*.g(a)在

(1,+°°)上單調(diào)遞減.

：.gQ)Vl—l—lnl=0與gQ)NO矛盾,

故Q>1不滿足條件.

綜上，實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(一8,1],

解法二當(dāng)x>0時(shí)，f(x)20,即x(e^—1)一〃二22()，即曠一1一辦20,

X_-1

即。二或廿一1,即-p---恒成立，

X

令人(X)=3(x>0),則〃(X)=e，"+l,

X產(chǎn)

令人(x)=6^(x—1)+1(x>0),則后'(x)=er-x>0,

：.k(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

：.k(x)>e°X(0-1)+1=0,：.h'(x)>0,

：.h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

,,pX_1

由洛必達(dá)法則知，limh(x)=lim-----=limex=l,

%—0x—>0x%—>0

.?.aWL故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,1].

1.［命題點(diǎn)1］已知函數(shù)/(x)=笑"+十與一x,若存在實(shí)數(shù)機(jī)使得不等式/(〃?)

W2層一〃成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(A)

A.(—8,—i]U[1,+8)

B.(—8,—1]U+00)

C.(―8,0]U+8)

D.(—8,-U[0,+00)

解析對(duì)函數(shù)/(X)求導(dǎo)可得，/(X)=笑&+/(0)%一1,???4(1)=ff(1)+

x2r

f(0)—1,得/(0)=1.又/(0)=￡:),/./'(1)=e.故/(x)=e+^)c—xff(x)

=ex+x—1,易得導(dǎo)函數(shù)/'(X)單調(diào)遞增，f(0)=0,故/(X)min=/(0)=1.由存在

性的條件可得關(guān)于實(shí)數(shù)〃的不等式2層一〃三1,解得幾￡(—8,+8).

2.［命題點(diǎn)2/2023山東濰坊4月模擬改編］已知函數(shù)/G)=i%3-x2sina+x+1,證明：存

在a￡［―g爭(zhēng)，使得不等式/(x)有解.

OL

解析要證存在ad［一￡,白，使得y(x)>e■，有解，只需證存在ad［—巳勺，使得

6262

(；%3—Nsina+x+1)e~x>1有解.

因?yàn)閍￡［—2，口，所以一1W—sin所以一口由?！窗玻?/p>

6222

當(dāng)a=一f寸，等號(hào)成立.

O

所以03—Rina+%+1)e~x^(^x3+|x2+x+1)e".所以只需證［(jr3+|x2+x+l)?

e-x］max>l.

設(shè)函數(shù)g(x)=(^x3+|x2+x+1)ex,則g，(x)=一￥(x—1)e

當(dāng)Xd(—8,1)時(shí)，g'(x)》o,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)Xd(1,+8)時(shí)，g，(x)<

0,g(X)單調(diào)遞減，所以g(X)max=g(1),

因?yàn)間(1)=^+1+1=—>1,

ee

所以存在?！辏邸?使得不等式/(x)>e^有解.

3.［命題點(diǎn)3］已知函數(shù)/(x)=x+a\nx(〃￡R),g(x)=e"—1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若直線y=0與函數(shù)y=/(x)的圖象相切，求。的值；

(2)設(shè)q>0,Vxi，X2^［3,+°°)(%1W%2)，都有"(XI)一于(%2)I<Ig(X1)一

g(X2)I，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解析(1)易知aWO,f(x)=1+-,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Go,0),則1+巴=0,解得xo=

XXQ

—a,所以一a+aln(—a)=0,所以q=—e.

(2)因?yàn)椤?gt;0,所以［3,+°°)時(shí)，,(%)>0,所以/(%)在［3,+°°)上為增函

數(shù)；因?yàn)間'(x)=^>0,所以g(x)在［3,+°°)上為增函數(shù).

不妨設(shè)則f(xi)</(%2),g(xi)<g(X2),

所以1/(XI)—f(X2)I<Ig(XI)-g(X2)I可轉(zhuǎn)化為f(X2)~f(XI)<g(X2)一

g(XI),

即f(xi)—g(xi)>f(X2)~g(X2).

設(shè)〃(x)=f(x)—g(x)=x+dnx—e^+l,則〃(x)在［3,+°°)上為減函數(shù)，

h'(x)=1+2一廿〈。在［3,+°°)上恒成立，即Vx￡［3,+°°),xe^—恒成立.

X

xxx

設(shè)/(x)=xe~xfx￡［3,+°°),則/(x)=e+xe—1>0,所以，(x)=%廿一x在

[3,+°°)上為增函數(shù)，所以，(x)mm=3e3—3,所以aW3e3-3.

故4的取值范圍為(0,3e3-3].

(------------------------------(練習(xí)幫)練透好題精準(zhǔn)分層-----------------------------

6學(xué)生用書?練習(xí)幫P283

1.[2024貴陽市模擬節(jié)選]已知函數(shù)/(x)=」+(a-2)x+a,aGR.若/(X)一」+

x2lnx^0,求°的取值范圍.

解析解法一由x>0,得/'(x)—x3+x21nx20olnx+土二+320,

X

設(shè)g(x)=\nx+^—^+-^2,

Xx￡

2

用］rz\_1a-22ax+(2—a)x~2a(x+2)(x—a)(m、

①當(dāng)oWO時(shí)，g'(X)>0,g(%)單調(diào)遞增，X-0時(shí)，g(X)T—8,不合題意;

②當(dāng)Q>0時(shí)，(0,a),gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，(a,+°°),gr(x)>

0,g(x)單調(diào)遞增，

.*.g(x)2g(a)=lna-\----+-^-=lna-\-1-

。。aara

?*.g(x)20QlnQ+1一工20,

a

易知y=lnQ+1—3單調(diào)遞增，且lnl+l—；=0,故g(x)20Og(a)

綜上，q的取值范圍為［1,+8).

解法二令g(x)=f(x)—x3+x2lnx=6z(x+1)—2x+x2lnx,

則g(X)20恒成立，即Vx>0,心(2xr?nx)

x+1

令h(X)=三也，

x+l

則〃(X)=一"+2)(Liymx),

(x+1)

令9(x)=x—1+xlnx,

則"(x)=lnx+2,

當(dāng)(0,e-2)時(shí)，cp'(x)<0,cp(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)(e-2,+°°)時(shí)，0(X)>0,(p(%)單調(diào)遞增，

：?(p(x)min=3(e2)=——l——e2.

又9(1)=0,當(dāng)x-0時(shí)，(p(x)一■—1,當(dāng)x-'+8時(shí)，q(%)―+8,

：?(p(x)的大致圖象如圖所示.

一「，—

.?r,I

當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，hf(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)工￡(1,+8)時(shí)，hf(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

??h(X)maxh(1)19??CL》1.

2.[2023湖南長(zhǎng)沙一中5月三模]已知函數(shù)f(x)=xsinx+cosx.

(1)當(dāng)工￡(0,兀)時(shí)，求函數(shù)/G)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=~x2+2ax,若對(duì)任意的內(nèi)￡[—兀，兀],存在刈金[。，1],使得

(xi)Wg(X2)成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

角星析(1)f(x)=xsinx+cosx,

貝(x)=sinx+xcosx—sinx=xcosx.

當(dāng)(0,7i)時(shí)，令/(x)>0,得0Vx<*

令/(x)<0,得]<%<兀，

所以當(dāng)(0,兀)時(shí)，函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,]),單調(diào)遞減區(qū)間為(全

71).

(2)對(duì)任意的—兀，7l］,存在X2￡［0,1］,使得(xDWg(X2)成立，

-1

即［丁/(X1)］maxW［g(X2)］max.

Zn

當(dāng)7T,捫時(shí)，f(—x')=f(x),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù).

由(1)得/(X)在［0,捫上的最大值為=*

所以/(%)在［―兀，捫上的最大值為今

所以對(duì)修￡［—71,7l］,［；/(xD］max=；X：="

2TT2TT24

故原問題轉(zhuǎn)化為［g(X2)ImaxN,

易知函數(shù)g(X)=—N+2QX為二次函數(shù)，其圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x=q.

①當(dāng)oWO時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為g(0)=0,不合題意.

②當(dāng)OVqVl時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為g(q)=a2,

令層若，得或1(舍去)，

所以,WQVI.

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為g(1)=2q—1,

令2Q—1三"得所以Q21.

48

綜上，a的取值范圍是4+8).

3.［2022新高考卷n節(jié)選］已知函數(shù)/(x)=xeax-e\

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論/'(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<-1,求a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)—xex—ex,f'(x)=xe*,

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=xev>0,函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時(shí)，f'

=xex<Q,函數(shù)/'(x)在(-8,o)上單調(diào)遞減.

(2)f(x)=(1+ax)eax—^(x>0),

①當(dāng)時(shí)，f(x)=(1+ax)eax-ex>eOT-ex^et-ex=O,

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)>-1,與題意矛盾.

②當(dāng)aWO時(shí)，f(x)We。"一dWl-dCO.

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(x)<—1,滿足題意.

③當(dāng)0<aW1時(shí)，f'(x)W(1+j)