初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：等積變換法

等積變換法

【規(guī)律總結(jié)】

在平面幾何圖形中，我們往往可以根據(jù)同底等高、等底同高、等底等高等等發(fā)現(xiàn)面積

相等的圖形，這些圖形有的形狀相同，有的形狀不同，但既然面積與面積之間具有相等關(guān)

系，我們就可以相應(yīng)地進行一些轉(zhuǎn)化，從而使問題解決起來更加簡便。

【典例分析】

例1、如圖，在△ABC中，E是8c上的一點，EC=2BE,點、D

是AC的中點，設(shè)△力8C,AADF,ABEF的面積分別為S—BC，

SAADF，S^BEF，且S—BC=12,貝!JS—0F-S4BEF=()

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查三角形的面積，關(guān)鍵知道當(dāng)高相等時，面積等于底邊的比，根據(jù)此可求出三角形的

面積，然后求出差.

s“ADF-SABEF=SAABD-S“BE，所以求出三角形48。的面積和三角形ABE的面積即可,

因為EC=28E,點D是AC的中點，且SA4BC=12,就可以求出三角形A3。的面積和三

角形ABE的面積.

【解答】

解：???點。是AC的中點，

???*北，

?「^LABC=12,

11

AABC

，?^LABD=2^=3X12

??,EC=2BE,SLABC=12,

SAABE=.SAABC=,x12=4,

SAABD-S^ABE—(S-DF+SAABF)—64ABF+S8BEF)=^^ADF—S^BEF，

即S“DF-S^BEF=SMBD—SA/BE=6—4=2.

故選反

例2、閱讀理解

基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積.如圖，AD是AABC邊BC上的中線，貝USAABD

理由：???AD是△ABC邊8c上的中線

???BD=CD

又,；SAABD=QBDxAH；S^ACD=-CDxAH

1

?*,S^ABD=S^ACD—QS^ABC

???三角形中線等分三角形的面積

基本應(yīng)用:

圖1圖2圖3圖4

(1)如圖1,延長AABC的邊BC到點。，使CD=BC,連接04則SAACD與SAABC的數(shù)量

關(guān)系為：；

(2)如圖2,延長AABC的邊BC到點。，使CD=BC,延長△4BC的邊CA到點E,使

AE=AC,連接DE廁SMCD與S-BC的數(shù)量關(guān)系為：；(寫出你的理由)；

(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長A8到點尸，使FB=4B,連接ED,FE,得到△DEF(如圖3).則

SAEFD與SAABC的數(shù)量關(guān)系為：；

(4)拓展應(yīng)用：如圖4,點。是△ABC的邊8c上任意一點，點￡,尸分別是線段A。，

CE的中點，且△力BC的面積為18加2,則ABEF的面積為cm2.

【答案】(1)SA4BC=SA4C0；

(2)SACDE—2SAABC；

(3)SAEFD=7SAABC；

(4)4.5.

【解析】

【分析】

本題是考查了三角形的面積及等積變換，本題有一定難度，關(guān)鍵是需要通過作輔助線，運用

三角形中線等分三角形的面積才能得出結(jié)果.

(1)由AABC與△4CD中BC=CD,由三角形中線等分三角形的面積即可結(jié)果；

(2)連接A。，由CD=BC,由三角形中線等分三角形的面積，同理可得AaED與AaDC面積

相等，而ACDE面積等于兩三角形面積之和，即可得出結(jié)果；

(3)連接AD,EB,FC,根據(jù)第二問的思路，同理可得陰影部分的面積等于6倍的A4BC面

積，即可得出結(jié)果；

(4)拓展應(yīng)用：點E是線段的中點，由三角形中線等分三角形的面積，求得S"CE=

|SAABC，由點尸是線段CE的中點，根據(jù)三角形中線等分三角形的面積,求得SABEF=SXBCF=

落BCE，即可求出ABEF的面積.

【解答】

解：(1)=CD,三角形中線等分三角形的面積，

」?^LABC=SMCD；

故答案為S"BC=SfCD；

(2)連接AO,如圖1所示:

?：BC=CD,三角形中線等分三角形的面積,

**?S—BC=S4ADC，

同理S—DE—S—QC，

?*,S^CDE=2s"BC；

故答案為S^CDE=2sFBC；

(3)連接AO,EB,FC,如圖2所示：

由（2）得：S^CDE=2sFRC，

同理可得：S-E尸=2s-BC，S^BFD=2s△ABC，

??S〉EFD=S〉CDE+SfEF+S^BFD+^^ABC=LABC+LABC+2S〉A(chǔ)BC+LABC7sAABC：

故答案為S^EFO=7s2ABC；

(4)拓展應(yīng)用:

???點E是線段4。的中點，由三角形中線等分三角形的面積,

S&ABE=ShBDE，S&ACE=S&CDE，

S^BCE=2S44BC，

???點/分別是線段CE的中點，由三角形中線等分三角形的面積,

S^BEF-ShBCF=JSABCE，

2

'''S^BEF—[SAABC=1X18=4.5(cm)；

故答案為4.5.

(1)描出可利用的一個格點，僅用直尺畫出AABC的A8邊上的高CQ；

(2)計算△4BC的面積為；

(3)畫出△4BC向右平移4個單位后得到的4aB16；

(4)圖中AC與4C1的關(guān)系是：；

(5)在AC的右側(cè)找出圖中能使S-BC=SAABQ的所有格點(分別用。、Q2>……分別

表示)

【答案】解：(1)高線CD如圖所示;

(2)8；

(3)如圖,A&BiG為所作;

(4)平行且相等；

(5)如圖所示：

【解析】

【分析】

本題考查了作圖-平移變換，高線的作法，網(wǎng)格中三角形的面積計算方法，涉及了割補法計

算面積，屬于中檔題.

(1)根據(jù)作高線的方法，作出高即可；

(2)根據(jù)割補法，算出△力BC的面積即可；

(3)根據(jù)圖形平移的性質(zhì)，畫出AaiBiG即可；

(4)根據(jù)平移的性質(zhì)，可得出AC與AR的關(guān)系；

(5)首先根據(jù)的面積，根據(jù)同底等高進而得出。點的個數(shù).

【解答】

解：(1)見答案;

■1-1-1

(2)△4BC的面積=5x7-|x2x6-|xlx3-|x5x7-2xl

=35-6-1.5-17.5-2

=35-27

=8；

故答案為8；

(3)見答案；

(4)由平移的性質(zhì)可得，AC與4的的關(guān)系為平行且相等，

故答案為：平行且相等；

(5)見答案.

【好題演練】

一、選擇題

1.如圖所示，在△A8C中，點。是BC上的一點，已知AC=CD=

5,AD=6,BD=|,則AABC的面積是()

A.18

B.36

C.72

D.125

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查的是勾股定理，三角形的面積，面積法有關(guān)知識，先作輔助線，4岳1(7。于點￡,

CF14D于點R然后根據(jù)勾股定理，可以得到CP的長，再根據(jù)等積法可以得到AE的長,

然后即可計算出△ABC的面積.

【解答】

解：作4E1CD于點E,作CF14D于點凡

BDE

VAC=CD=5,AD=6,CF1ZD,

/.AF=3,N”C=90。，

???CF=y/AC2-AF2=4，

..CDAE_ADCF

,一,

22

.SAE_6X4

??2一2，

解得.=

???BD=-,CD=5,

2

15

*'?BC=—,

2

1524

??.△ABC的面積是：些空=二=18?

22

故選A.

2.如圖，點P是矩形ABC。的邊上的一動點，矩形的

兩條邊AB,BC的長分別是6和8,則點尸到矩形的兩

條對角線AC和8。的距離之和是（）

A.4.8

B.5

C.6

D.7.2

【答案】A

【解析】略

3.如圖，PA,PB分別與。。相切于點A,B,PO交。。于點E,

過點2作弦若PA=2PE=4,則BC的長為（）

24

C.

5

D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等知識點.根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理先

求得圓的半徑，再利用面積相等和平行線的性質(zhì)求得的長，最后利用勾股定理和垂徑定

理即可得到答案

【解答】

解：如圖，連接。5,過點8作BF1P。交P。于尸，過點。作。DLBC交于點，

PA,PB分別與O。相切于點A,B,PA=2PE=4,

PB=P4=4,OB1PB,PE=2,

設(shè)圓的半徑為r,則(2+「)2=42+N,

解得，r=3,

???S"="。?BF=.OB

???|x(2+3)xBF=|x4x3,

解得，BF

VBC//P0fBF1PO,OD1BC,

...OD=BF=y12,

:.BD=y/OB2-OD2=.一傳丫=I，

BC=2BD=2x-9=—is.

55

故選B.

4.如圖，在回力8c中，已知。、E、尸分另IJ是BC、AD.CE

的中點，且品ABC=4cm2,則圖中回BEF的面積是（）

A.2cm2/

::::

D.-cm2

4

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了三角形面積的等積變換：若兩個三角形的高（或底）相等，其中一個三角形的

底（或高）是另一三角形的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍.結(jié)合

圖形直觀解答.

如圖，因為點尸是CE的中點，所以ABEF的底是A8EC的底的一半，△8EF高等于△BEC的

高；同理，D、E、分別是BC、A。的中點，AEBC與AABC同底，△EBC的高是△4BC高的

一半；利用三角形的等積變換可解答.

【解答】

解：如圖，點尸是CE的中點，

??.△BEF的底是ERABEC的底是EC,即EF=|EC,高相等；

,,,SABEF=QSABEC，

D、E分別是2C、AD的中點，同理得，

1

S&EBC=5s△ABC，

'.SABEF=*AABC'=4cm2,

1,■SRBEF=Id??2,

即陰影部分的面積為ICE?.

故選：B.

5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A,8的坐標分別為（一2,0）,（2,0）,點C在y軸正

半軸上，且。C=4B.將線段AB平移至線段C￡>,A點的對應(yīng)點為C點，2點的對應(yīng)點

為。點，連接AC,BD.當(dāng)點尸在x軸上時，若△PCD與y

△4CP的面積相等，則點尸的坐標為().CI---------------1D

A.(2,0)或(—6,0)B.(2,0)//

C.(-6,0)D.(-2,0)或//|/.

(-6,0)-士~

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了坐標與圖形變化-平移，三角形的面積，熟記平移變化只改變圖形的位置不改變

圖形的形狀是解題的關(guān)鍵.

由三角形的面積得出CD?OC=AP?0c.即可得4P=CD=4,則可得出答案.

【解答】

解：(I)、?點A,8的坐標分別為(-2,0),(2,0),

OA=2,OB=2,

???AB=4,

???OC=AB,

???OC=4,

???將線段AB平移至線段

???CD=4,

???D(4,4),由平移性質(zhì)可知：CD=AB=4,

1-1

S"CD=]CD，OC,S“cP=34P.0C,且SMCO=^LACP，

???CDOC=AP-OC.

即AP=CD=4,

.??點P的坐標為(2,0)或(—6,0).

故選A.

6.如圖，四邊形48GH、四邊形8CFG、四邊形CDEE都是正方形，過點B作BM1HC于

點M,過點C作CN1//D于點N,則9=()

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查的是勾股定理及三角形的面積，設(shè)48=a,求出AC、HO的長，再求出AHBC

和△HCD的面積，再求出CM的值即可.

【解答】

解：設(shè)48=a,

則=y/a2+(2a)2=V5cz>HD==Ja2+(3a)2=VlOa,

22

又,：S3HBe=-AH=1a,SLHCD=^CD-AH=^a,

S^HBC-S^HCD'

BM-HC=CN-HD-

.CN_HC_V5a_V2

"BM~HD~VlOa_2,

故選艮

二、填空題

7.如圖，E、E是平行四邊形ABC。的邊AB、C。上的點，與。E相交于點P,BF與

CE相交于點Q.若S-PD=15cm2,SABQC=25cm2,則陰影部分的面積為cm2.

【答案】40

【解析】

【分析】

本題綜合性較強，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答此題關(guān)鍵是作出輔助線，找出同底高

的三角形.

連接E、F兩點，由三角形的面積公式我們可推出S-DF=SA°EF，所以SAAPD=SAEPF=

15cm2

S^BQC=SXEFQ=25cm2,所以陰影部分的面積就是以3。+S&BQC.

【解答】

解：如圖，連接取

???△ADF與ADEF同底等高,

SAADF=S^DEF

即SA40F—S^DPF=S^DEF-S^DPF，

即SAAPD=S^EPF=15cm2,,

???陰影部分的面積為SAEP尸+S&EFQ=15+25=40(cm2).

故答案為40.

8.如圖，點E、B是平行四邊形ABC。的邊A3、。。上的點，AF與。E相交于點尸，BF

22

與CE相交于點Q,若SMPD=14cm,ShBCQ=16cm,

則四邊形PEQF的面積為.

【答案】30cm2

【解析】如圖，連結(jié)所.

ADF^LDEF同底等高，

同理可得S&BQC=S4EFQ=16cm2,

，,四邊形PEQF的面積為SAEPF+SAEFQ=14+16=30czn2.

9.如圖，圓心角為90。的扇形C48內(nèi)，以BC為直徑作半圓，連

接4艮若陰影部分的面積為5兀-5,則4C=_____.

【答案】2V5

【解析】解：將原圖區(qū)域劃分為四部分，陰影部分分別為工，S2；兩塊空白分別為S3,S4,

連接DC,如下圖所示：

由已知得：三角形43c為等腰直角三角形，Si+52=5兀-5,

???BC為直徑,

ACDB=90°,即CD_L4B,

故CO=DB=DA,

O點為詫中點，由對稱性可知曲與弦CD圍成的面積與S3相等.

設(shè)24c=BC=x,

則S嫁4CB—$3_S4=S]+$2,

苴中=904/=兀/

，、T°扇4cB3604

JC丫2

171人c人（1

AB一-X------=---------------Do,

$4=S&ACB-SCDS3=3'XJ''2$4§

故：^-S3-（Y-53）=57T-5,

求解得：/=2亞,x2=—2遮（舍去）

故答案：2后

本題可利用扇形面積公式以及三角形面積公式，用大扇形面積減去空白部分面積求得陰影部

分面積，繼而根據(jù)已知列方程求解.

本題考查幾何圖形面積的求法，常用割補法配合扇形面積公式以及三角形面積公式求解.

10.如圖所示，AELAB,且4E=4B,BC1CD,且BC=CD,按照圖中所標注的數(shù)據(jù),

實線所圍成的圖形的面積是

【答案】50

【解析】

【分析】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，面積及等積變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三

角形全等求出ARAG、GC、C8的長，本題比較簡單，但是計算時要細心.根據(jù)4E14B,

BC1CDSLAB=AE,BC=C。等條件可以證明AAEFmABAG,ABCG=^CDH,即可求出

AF,AG,GC、C8的長，然后根據(jù)梯形的面積公式和三角形的面積公式即可求出圖中實線

所圍成的圖形面積.

【解答】

解：VEFLFG,BG1XC,

???^LEFA=乙AGB=90°,???^AEF+Z.EAF=90°,^BAG+Z.ABG=90°,

AE1AB,

???AEAB=90°,AEAF+Z-BAG=90°,

Z.EAF=(ABG,

5LAE=AB,

.??AF=BG=3,AG=EF=6,

同理可證4BCG=^CDH,

.?.GC=DH=4,CH=BG=3,

???FH=FA+AG+GC+CH=16,

...圖中實線所圍成的圖形面積=S直角梯形EFHD~S〉EFA~^LABC~LCDH

=-(6+4)xl6--x3x6--x3xl0--x3x4

=80-9-15-6=50,

故答案為50.

11.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD交于點、O,過點A

作瓦41a4交的延長線于點E,若4B=3,BC=4,則

暖的值為____.

AE

【答案】￡

24

【解析】

【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的

公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通

過作平行線構(gòu)造相似三角形；在利用三角形相似的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長.也

考查了矩形的性質(zhì).作BH_L于H，利用矩形的性質(zhì)得。4=。。=。8,乙4BC=90。，則

根據(jù)勾股定理可計算出AC=5,AO=OB=l，接著利用面積法計算出BH=芳，于是利用

勾股定理可計算出。"=j然后證明4OBHfOEA,最后利用相似比可求出器的值.

10AE

【解答】

解：作B”ioa于“，如圖，

???四邊形4BC。為矩形，

???OA=OC=OB,4ABC=90°,

在Rt△力BC中，AC=V32+42=5,

AO=OB=

2

■■--BH-AC=-AB-BC,

22

n-3X412

???BH=——=—,

55

在Rt△OBH中，OH=VOB2-BH2

7

=G'

EALCA,

??.BH//AE,

OBH^LOEA,

BH_OH

AE-OA

生=也=靠=z

AE~BH~~24

5

故答案為套.

12.如圖，在三角形ABC中，人81人(：于點4,AB=6,AC=8,

BC=10,點尸是線段BC上的一點，則線段AP的最小值為

【答案】Y

【解析】

【分析】

此題考查了垂線的概念與性質(zhì)，掌握好等積變換法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等積變換法得出AP的距離.

【解答】

解：???點A到BC的最小值是自A點向作垂線，

又?.,力B14C,AB=6,4C=8,BC=10,

11

,1,S三角形ABC=々ABxAC=々APxBC，

6x8=10AP,

即4P=y.

故答案為g.

三、解答題

13.如圖，所有小正方形的邊長都為1,三點都在格點上.

(1)過點B畫直線AC的垂線，垂足為G;

(2)比較BC與8G的大?。築CBG(填“>”“〈”或“=”)，理由是;

(3)線段BG的長度是點B到直線的距離

(4)三角形A8C的面積=,

已知4C=5,求BG的長=

【答案】解：(1)如圖所示，BG即為所求;

(2)>；垂線段最短；

(3)AC；

(4)6.5,2.6.

【解析】

【分析】

本題主要考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是掌握垂線段的定義和性質(zhì)及割補法求三

角形的面積等知識點.

(1)根據(jù)垂線的定義，結(jié)合網(wǎng)格特點作圖即可得；

(2)根據(jù)垂線段的性質(zhì)求解可得；

(3)根據(jù)點到直線的定義即可解答；

(4)先利用割補法求44BC得面積，再利用［XACXBG=求解可得.

【解答】

解：(1)見答案；

(2)BC>BG,理由是點到直線的所有線段中，垂線段最短，

故答案為〉、垂線段最短；

(3)線段BG的長度是點B到直線AC的距離，

故答案為AC;

111

(4)S44BC=4X4——x1x4——x1x3——x4x3=6.5,

VAC=5,

/x"xBG=6.5,可X5XBG=6.5,

解得BG=2.6,

故答案為6.5、2.6.

14.如圖，在正方形A8C0中，^EAF=45°,AQ于點

求證：AQ=AD.

證明：延長CD到P,使DP=BE.連接AP.

???四邊形A3CQ是正方形，

AD=AB,Z,B=乙40c=90°,

在△ABE和△4DP中，

AB=AD,

CB=Z.ADP=90°

BE=DP

^ABE=^ADP(SAS)

???AE=A,/.BAE=LDAP

???Z.EAF=45°

???^LPAF=^DAF+^LDAP=^DAF+^BAE=90°-^EAF=45°,

在△河￡*和A/FP中，

AE=AP

???Z.EAF=Z-PAF

AF=AF

???△/FEw△/尸P(S4S),

???EF=FP,SLAFE=S^AFP

ii

-EFxAQ=-FPxAD

2<2

???AQ—AD.

【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)的知識，熟練掌握全等三角形

的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵.

利用輔助線及正方形的性質(zhì)可證明A48E三△4DP(SAS)得到：AE=AP,Z.BAE=/.DAP,

又NEAF=45°,貝ikPAF=/.DAF+/.DAP=^DAF+乙BAE=90°-Z.EAF=45°,從而證

得AAFE三△4FP(S4S),由面積相等可得結(jié)論.

15.如圖，AB是。。的直徑，C是筋的中點，CE148于點E,BD交CE于點、F.

(1)求證：CF=BF;

(2)若CD=6,AC=8,求O。的半徑及“的長.

【答案】(1)證明：,??4B是。。的直徑，.?.N4CB=90。，.??立月=90。-乙4BC.

???CELAB,ZCE8=90°,???Z.ECB=90°-/.ABC,Z.ECB=ZA.

又「C是筋的中點，/，???NCDB=4CBD,

又???Z.CDB=Z.A,.-,乙DBC=ZA,Z.ECB=乙DBC,■.CF=BF.

(2)M：-.■BC=CD>.-.BC=CD=6,

^.ACB=90°,AB=y/BC2+AC2=V36+64=10,

???O。的半徑為5,

■-S^ABC=\AB-CE=\BC-AC,

“BCAC6X824

???CE=-------=——=——

AB105

【解析】

【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等

腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識.此題綜合性很強，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思

想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法.

(1)要證明=可以證明41=42；AB是O。的直徑，貝1|乙4。8=90。，又知CE12B,

則NCEB=90。，貝吐2=9(r-N4CE=NA,zl=AA,貝吐1=N2；

(2)在直角三角形ACB中，AB2^AC2+BC2,又知，BC=CD,所以可以求得AB的長，

即可求得圓的半徑；再根據(jù)三角形相似可以求得CE的長.

16.(1)如圖①，4。是AABC的中線.△ABD與AACD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

(2)若三角形的面積記為S,例如：AaBC的面積記為S—BC?如圖②，已知S—BC=1?△

ABC的中線A。、CE相交于點。，求四邊形BDOE的面積.

小華同學(xué)利用(1)的結(jié)論，解決了上述問題，解法如下：

連接BO,設(shè)SABEO=x,SRBDO=y,由(1)結(jié)論可得：S"CE=^ABAD=]SXABC=&，

SABCO=2SABDO=2y,S^BA0—2SABE0-2x.

1

x+2y=

S^BEO+S^BCO=SMCE即2

則有1

SkBAO+S^BDO=^LBAD2%+y=

2

所以無+y=押四邊形BDOE面積為

請仿照上面的方法，解決下列問題:

①如圖③，已知SAABC=1-D、￡是BC邊上的三等分點，F(xiàn)、G是42邊上的三等分點,

AD,CT交于點。，求四邊形20。尸的面積.

DE

圖0

②如圖④，已知另4夙;=1。、E、尸是BC邊上的四等分點，G、H、/是A2邊上的四

等分點，AD,CG交于點。，求四邊形BD0G的面積.

BDE

圖@

【答案】解：(I)SAABD=S^ACD.

4。是A4BC的中線，

BD=CD,

又???△480與44CD高相等，

(2)。)如圖3,連接B0,設(shè)S^BFO=x9S^BDO=y，

A③E

S^BCF=S—BO=~^LABC

S^BCO~3s△B。?！?y，

S^BAO=3s△BRO=3x.

則有：IS^BFO+S^BCO=S^BCFgpI%-3

S^BDO+^ABAO=^LABD)y_|_3%=1

所以％+y=g即四邊形BDO尸的面積為士

oo

②如圖,連接BO,設(shè)SABDO=x,S^BG0=y9

圖④

S^BCG=^LABD=4^LABC=［，

S^BCO~4s△口。。=4%?

S^BAO—4s△RGO=4y?

%+4y=i

則有:S^BDO+S—OB=S^ABD即

SABGO+S^BCO=S^BCGy+4%=1

所以x+y=2,即四邊形BOOG的面積為高

【解析】本題主要考查了面積與等積變換，等底等高的三角形的面積相等等知識，解題的關(guān)

鍵是正確分析三角形各部分之間的關(guān)系.

(1)利用等底等高的三角形面積相等求解即可;

(2)①連接B。，設(shè)4BFO=X，SABDO=V，根據(jù)三角形間的面積關(guān)系列出方程組求解即可;

②連接B。，設(shè)SAB0O=X,S"G。=丫，根據(jù)三角形間的面積關(guān)系列出方程組求解即可?

17.如圖，矩形ABC。中，AD=3,AB=4,點尸是對角線AC上一動點(不與A,。重合)，

連接5尸，作PE1PB,交射線。。于點E,以線段產(chǎn)區(qū)尸5為鄰邊作矩形BPEE過點尸

作GH1CD,分別交A3、CD于點G、H.

DHEC

(1)求證：XPGBfEHP；

(2)求色的值;

(3)求矩形BPEF的面積的最小值.

【答案】(1)證明：???乙PGB=乙EHP=(BPE=90°,

???乙PBG+Z.GPB=Z.GPB+乙EPH=90°,

."PBG=NEPH(同角的余角相等)，

.MPGBfEHP；

解：(2)連接

PE1PB,

???乙BPE=90°,

???乙BCE=90°,

???乙BCE+么BPE=180°,

???尸，B,E,。四點共圓，

??.Z.PBE=Z.PCE,

在Rt△BPE與Rt△C7M中，

乙BPE=ZD=90°,Z-PBE=Z.ACD,

???Rt△BPE?Rt△CD

PE_PB

AD-DC

口AD

即nP——E=—=3一

PBDC4

(3)方法一：設(shè)AP的長為x.

vBC=AD=3,AB=4,

RtLABC由勾股定理可得:

AC=4AB2+BC2=V32+42=5,

X"?4i4GAB_4

vcosZ-GAP=—

APAC~5

44

.?.AG=-AP=-X.

55

同理，sin^GAP=-=—=貝!JGP=2%.

APAC55

在中，PB2=BG2+PG2

=(4—1x)2+(|x)2=x2—y%+16,

,,PE_AD_3

,PB-DC-4?

???PE=-PB,

4

S矩形BPEF=PB.PE=：PB2

3/?32t/、3/16、？108

=_(X2__X+16)=_(X__)2+_

0<x<5,

???久=￡時，s有最小值詈.

oo

方法二：設(shè)BP=x,x>0,由(2)得PE=]PB=]%,

矩形BPEF的面積為S=f%2,

4

由二次函數(shù)性質(zhì)可知x>0時，S隨著X的增大而增大，

???,當(dāng)尤，即BP取最小值時，矩形2尸所的面積S取得最小值，

由題可知P在對角線AC上移動，(不與A、。重合)，

.?.當(dāng)BP14C時，BP最短,(垂線段最短)，

止匕時RtZkABC中，AB=4,BC=3,AC=5,

■■■sAABC=IAB-BC=IAC-BP,

nnABBC3X412

DP=---------==—,

ACSS

矩形BPEF的面積S的最小值為JX小)2=黑.

【解析】本題考查了相似綜合題，需要掌握矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定

理、銳角三角函數(shù)以及二次函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形相似

是解決問題的關(guān)鍵.

(1)由NPGB=NEHP=NBPE=90。，利用同角的余角相等證得NPBG=NEPH,即可證得

結(jié)論；

(2)證得P、B、E、C四點共圓，即可得NPBE=NPCE,即可證得AC￡M,通過相

似三角形相似比即可得解；

(3)方法一：設(shè)力P=x,利用銳角三角函數(shù)定義表示出AG、GP、GB,進而利用勾股定理用

x表示出PB2,根據(jù)矩形面積公式得出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可解決

問題.

方法二：設(shè)PB=x,則矩形的面積為S=：/,可知當(dāng)8P時PB取得最小值，則

4

S取得最小值，利用等面積法求出此時的PB長，即可得解.

18.如圖，團回4BCD在平面直角坐標系中，AD=6,4(0,4),B(—3,0),點。在第一象限

(1)若石為X軸上的點，且S/AOE=費，求經(jīng)過E兩點的直線的解析式;

(2)若歹為y軸上的點，求的周長的最小值；

(3)若點M在平面直角坐標系內(nèi)，則在直線A