專題四杠桿動(dòng)態(tài)變化與平衡分析計(jì)算(學(xué)生版+解析)

專題四杠桿動(dòng)態(tài)變化與平衡分析計(jì)算知識(shí)點(diǎn)01杠桿的動(dòng)態(tài)平衡問題變化根據(jù)杠桿的平衡條件F1L1=F2L2可分析出①當(dāng)力的大小不變（如重力）方向改變時(shí)，得出另一個(gè)力的影響。②當(dāng)力的方向不變（如垂直的力）大小改變時(shí)，得出另一個(gè)力的影響?！炯磳W(xué)即練1】（2019九上·寧波月考）如圖所示，O為杠桿的支點(diǎn)，為了提高重物P，用一個(gè)跟杠桿保持垂直的力使杠桿由豎直位置轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置,在這個(gè)過程中（

）A.杠桿始終是省力的

B.杠桿始終是費(fèi)力的

C.先是省力的，后是費(fèi)力的

D.先是費(fèi)力的，后是省力的【即學(xué)即練2】（2020·富陽模擬）如圖所示，OAB是杠桿，OA與BA垂直，在OA的中點(diǎn)處掛一個(gè)G＝10N的重物，杠桿重力及摩擦均不計(jì)。若加在B點(diǎn)的動(dòng)力F甲使OA在水平位置保持靜止，如圖甲所示，那么，該杠桿________(選填“一定”或“不一定”)是省力杠桿；若動(dòng)力F乙始終與OA垂直，將杠桿由水平位置勻速向上提升重物，如圖乙所示，動(dòng)力F乙的大小變化是________(選填“變大”、“變小”、“先變大后變小”或“先變小后變大”)；若動(dòng)力F丙由豎直向上的方向沿逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)到水平向左的方向，在此過程中OA始終保持水平靜止，如圖丙所示，請?jiān)诖痤}卷上畫出動(dòng)力F丙隨時(shí)間t的變化趨勢________。知識(shí)點(diǎn)02杠桿的最小力問題做此類題，必須先找準(zhǔn)杠桿的動(dòng)力、阻力、動(dòng)力臂、阻力臂，以及各力臂的變化，此類題只需找出最長動(dòng)力臂即可，可根據(jù)這個(gè)思路進(jìn)行判斷。【即學(xué)即練3】如圖，圓柱形物體重力為G、橫截面積是半徑為R的圓，要從高度為0.5R的臺(tái)面上滾過去，請畫出最省力的作用點(diǎn)和力方向________；此時(shí)力F和G的關(guān)系是：________。【即學(xué)即練4】（2020九上·西湖期中）如圖所示，一根粗細(xì)均勻的輕質(zhì)杠桿AOBC按圖水平放置（支點(diǎn)在O點(diǎn)），其各段的長度關(guān)系為AO:BO:BC=4:3:4，重量為G的物體豎直懸掛在A點(diǎn)，（1）請?jiān)趫D上畫出使杠桿水平平衡的最小力的示意圖。（2）請根據(jù)杠桿平衡條件分析，（1）中最小力F=________G。（3）若考慮到粗細(xì)均勻杠桿的實(shí)際重力存在，則（2）中最小力的實(shí)際大小F實(shí)________（“大于”、“等于”、“小于”）F。知識(shí)點(diǎn)03杠桿能否再次平衡根據(jù)杠桿平衡條件得到：；當(dāng)兩個(gè)物體力改變時(shí)（如浮力），左邊：；右邊：；再根據(jù)原來的平衡判斷左右是否有新的平衡同理當(dāng)兩個(gè)物體力臂改變時(shí)（如左右同時(shí)移動(dòng)），建立左右新的等式判斷是否平衡即可【即學(xué)即練5】（2019·杭州模擬）小華在做實(shí)驗(yàn)時(shí)提出了如圖所示兩個(gè)模型，兩杠桿均處于平衡狀態(tài)，甲杠桿上平衡的是兩個(gè)同種密度但體積不同的實(shí)心物體，乙杠桿上平衡的是兩個(gè)體積相同但密度不同的實(shí)心物體，若將它們都浸沒在水中，則兩杠桿將（

）A.仍保持平衡

B.都失去平衡

C.甲仍保持平衡，乙失去平衡

D.甲失去平衡，乙仍保持平衡【即學(xué)即練6】（2019九上·余杭期中）材料相同的甲、乙兩個(gè)物體分別掛在杠桿A、B兩端，O為支點(diǎn)（OA＜OB），如圖所示，杠桿處于平衡狀態(tài).如果將甲、乙物體（不溶于水）浸沒于水中，杠桿將會(huì)（

）A.A端下沉

B.B端下沉

C.仍保持平衡

D.無法確定分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.（2019·衢州）如圖是起重機(jī)用四種方案將地面上的一棵大樹扶起的瞬間，其中拉力最小的是（

）A.

B.

C.

D.2.（2019九上·鄞州期中）如圖所示，作用在杠桿一端始終與杠桿垂直的力F，將杠桿緩慢勻速地由位置A拉至位置B，在這個(gè)過程中力F的大小將(

)A.變大

B.不變

C.變小

D.先變大后變小3.如圖AB為一可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的杠桿，在A端通過繩子作用一個(gè)拉力，使杠桿平衡，保持重物不動(dòng)，而使繩繞A點(diǎn)沿圖中虛線緩慢逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則F（

）A.先變大后變小B.先變小后變大C.不變D.無法判斷4.如圖所示，一根可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻硬棒重為G，在棒的一端始終施加水平力F，將棒從圖示．位置緩慢提起至虛線位置的過程中(

)A.F的力臂變小，F(xiàn)的大小變大

B.F的力臂變大，F(xiàn)的大小變小

C.重力G與它的力臂乘積保持不變

D.重力G與它的力臂乘積變大5.（2019九下·秀洲月考）用細(xì)繩系住厚度不均勻的木板的O處，木板恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)，且上表面保持水平。如圖，兩玩具車同時(shí)從O點(diǎn)分別向木板的兩端勻速運(yùn)動(dòng)，要使木板在此過程始終保持平衡，必須滿足的條件是（

）A.兩車的質(zhì)量必須相等

B.兩車的速度必須相等

C.質(zhì)量較小的車速度較大

D.兩車同時(shí)到達(dá)木板兩端6.（2019九下·蕭山月考）如圖所示，兩端分別站著一個(gè)大人和一個(gè)小孩，杠桿水平平衡。如果他們同時(shí)都以相同的速度向支點(diǎn)緩慢走去，杠桿將(

)A.小孩那端下沉

B.大人那端下沉

C.仍保持平衡

D.無法確定7.（2018九上·天臺(tái)月考）如圖所示，可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的輕質(zhì)杠桿，在D點(diǎn)掛一個(gè)重為G的物體M，用一把彈簧測力計(jì)依次在A、B、C三點(diǎn)沿圓O相切的方向用力拉，每次都使杠桿在水平位置平衡，讀出三次的示數(shù)分別為F1、F2、F3，它們的大小關(guān)系是（

）

A.F1＜F2＜F3

B.F1＞F2＞F3

C.F1=F2=F3

D.F1＞F2=F38.（2018·拱墅模擬）重為G的均勻木棒豎直懸于O點(diǎn)，在其下端施一水平拉力F，讓棒緩慢轉(zhuǎn)到圖中虛線所示位置。在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中(

)A.動(dòng)力臂逐漸變大

B.阻力臂逐漸變小

C.動(dòng)力F逐漸變大

D.動(dòng)力F保持不變題組B能力提升練1.（2020九上·杭州月考）如圖所示，一根質(zhì)量分布均勻的木棒，能繞O處轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)（不計(jì)摩擦）.在木棒最下端用力，使之由A處緩慢地抬升到B處.下列說法合理的是（

）A.始終水平方向的拉力F1大小將保持不變

B.始終與桿垂直的拉力F2大小將保持不變

C.始終豎直方向的拉力F3會(huì)逐漸增大

D.三次拉力抬升木棒的過程中所做的功均相等2.如圖所示，一根不計(jì)重力的輕質(zhì)硬棒用一鉸鏈固定在O點(diǎn)，另一端用細(xì)線掛一重物，現(xiàn)在桿的中點(diǎn)處施加一個(gè)始終水平的力F，在緩慢把桿拉至接近水平的過程中，杠桿的省費(fèi)力情況是________(選填“始終省力”“始終費(fèi)力”“先省力后費(fèi)力”或“先費(fèi)力后省力”)，拉力F大小的變化情況是________。3.（2020·衢州）在實(shí)際生活中，常用螺絲刀將螺絲釘擰進(jìn)（出）物體。圖甲中正在擰螺絲釘?shù)穆萁z刀，可視為圖乙所示的杠桿AOB，其中O為支點(diǎn)，B為阻力作用點(diǎn)，F(xiàn)2為阻力，動(dòng)力作用在手柄上。（1）圖甲中的螺絲刀屬于________杠桿。（2）請?jiān)诖痤}紙相應(yīng)位置圖中，畫出對應(yīng)F2的最小動(dòng)力F的示意圖。________4.（2020·湖州）為了防止門被風(fēng)吹動(dòng)，常在門背后和墻上安裝如圖甲所示的“門吸”。圖乙是簡化后的模型門可以繞軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，門寬為1．2米?！伴T吸”與O位置關(guān)系、“門吸”引力大小和方向如圖乙所示。(摩擦力忽略不計(jì))（1）關(guān)門所需的最小力F是________牛。（2）在圖乙中畫出F的作用點(diǎn)和方向。5.（2018九上·天臺(tái)月考）小科家里進(jìn)行裝修，裝修的工人從建材市場運(yùn)來一些質(zhì)量均勻的矩形實(shí)木板和墻面漆，每塊木板的規(guī)格是1.2m×2m×0.015m，密度為0.7×103kg/m3，每一桶墻面漆的質(zhì)量為30kg。（1）木板的重力為________N。

（2）工人用一個(gè)豎直向上的力F將木板的一端勻速抬起到某個(gè)位置（如圖甲所示），在抬起過程中，力F的變化趨勢是________。A．變大

B．變小

C．先變大后變小

D．不變

（3）小科和工人身形相近，他們一起用一根輕桿將墻面漆抬起，工人抬起輕桿的A端，小科抬著B端，兩人施力的方向都為豎直向上，且保持輕桿水平（如圖乙所示），其中，AB為1.2m，桶懸掛點(diǎn)C離A端為0.4m，則小科對木板的力F2為多少？題組C培優(yōu)拔尖練1.（2020九上·椒江期中）如圖所示，AB為一輕質(zhì)杠桿，O為支點(diǎn)，OB=60cm，OA=20cm兩端分別懸掛實(shí)心鋁球和實(shí)心銅球，杠桿在水平位置平衡，若將兩球同時(shí)浸沒在水中，（鋁的密度為2.7×103kg/m3，銅的密度為8.9×103kg/m3）則杠桿還能保持平衡嗎？請結(jié)合公式加以推斷說明。2.如圖為油桶，油桶質(zhì)量為50kg，油桶高為0.8m，底部直徑為0.6m，據(jù)此回答(視油桶的重力集中點(diǎn)在幾何中心O點(diǎn)，g取10N/kg)。（1）在推翻油桶如圖甲→乙的過程中，至少需要對油桶做功________J。（2）若將翻倒的空油桶(如圖乙)重新豎起來所用最小力為F，F(xiàn)＝________N。3.（2019·杭州模擬）為了確定甲、乙兩個(gè)物體的重力之比，小明設(shè)計(jì)了如圖所示裝置，輕質(zhì)細(xì)桿AB可以繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，將甲、乙兩個(gè)均勻?qū)嵭膱A柱體分別懸掛在A、B兩處，細(xì)桿恰好靜止處于水平位置。（1）若測得OA的長度為a，OB的長度為b，則甲、乙兩個(gè)物體|甲|乙的重力之比為________。（2）小明將甲緩慢同下移動(dòng)一段距離使桿緩慢轉(zhuǎn)過一定角度（細(xì)線始終保持豎直方向），然后松手，細(xì)桿將________（填“順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)”、“逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)”或“靜止不動(dòng)"）；（3）小明發(fā)現(xiàn)細(xì)桿的長度較長，身邊只有量程較小的刻度尺，無法直接測量OA和OB的長度，于是小明將甲向右移動(dòng)了較小一段距離，同時(shí)將乙向左移動(dòng)，直至細(xì)桿第二次靜止平衡，用刻度尺分別測出甲、乙移動(dòng)距離為△a和△b，則甲，乙兩個(gè)物體的重力之比為________，請你列式證明。

4.（2020·金華模擬）如圖甲所示，有一輕質(zhì)杠桿，O為支點(diǎn)，且OA>OB。（1）在A、B兩端各掛上質(zhì)量分別為m1和m2的實(shí)心物體，恰好水平平衡，則兩物體的質(zhì)量大小關(guān)系為________

；（2）若將m1和m2兩物體分別同時(shí)浸沒在水中，如圖乙，要使杠桿仍然保持水平平衡，則支點(diǎn)O應(yīng)向________(選填“左”或“右”)側(cè)移動(dòng)。5.[2020.紹興模擬]如圖所示，將重力不計(jì)的吸盤內(nèi)部空氣排盡后與水平地磚完全貼合，已知貼合的面積為30cm2，大氣壓強(qiáng)為1×105Pa，AB為輕質(zhì)杠桿，O為轉(zhuǎn)軸，OA與OB的長度之比為1∶3，保持杠桿水平，某人在B端用豎直向下的拉力F將吸盤沿豎直方向剛好拉離地磚。(1)求吸盤所受的大氣壓力F0；(2)求人所用拉力F；(3)若人沿圖中虛線方向施加拉力F′將吸盤拉離地磚，請分析拉力F′大小變化情況并請畫出拉力F′的力臂。6.（2020·湖州模擬）學(xué)校新安裝了分類垃圾桶，某次轉(zhuǎn)移垃圾時(shí)小寶拔掉了鎖扣，在垃圾箱上端邊緣施加了一個(gè)始終垂直于桶壁的力F將垃圾桶由圖甲位置壓到圖乙位置：（1）為了粗略知道圖乙中所用的力F的大小，小永畫出了圖丙模型，并測得以下數(shù)據(jù)：AB=54cm，AD=36cm，突軸O到BC距離為30cm，如果桶和垃圾的總質(zhì)量為18kg，重心X到BC距離為18cm且位置不變。那么，圖乙中所用的力F=________N；（2）在將垃圾桶由圖甲位置壓到圖乙位置的過程中，小永所用力F的大小將________(選填“一直變小”、“一直變大”、“始終不變”或“無法確定”)。專題四杠桿動(dòng)態(tài)變化與平衡分析計(jì)算知識(shí)點(diǎn)01杠桿的動(dòng)態(tài)平衡問題變化根據(jù)杠桿的平衡條件F1L1=F2L2可分析出①當(dāng)力的大小不變（如重力）方向改變時(shí)，得出另一個(gè)力的影響。②當(dāng)力的方向不變（如垂直的力）大小改變時(shí)，得出另一個(gè)力的影響。【即學(xué)即練1】（2019九上·寧波月考）如圖所示，O為杠桿的支點(diǎn)，為了提高重物P，用一個(gè)跟杠桿保持垂直的力使杠桿由豎直位置轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置,在這個(gè)過程中（

）A.杠桿始終是省力的

B.杠桿始終是費(fèi)力的

C.先是省力的，后是費(fèi)力的

D.先是費(fèi)力的，后是省力的【答案】C【解析】分析杠桿旋轉(zhuǎn)的過程中，動(dòng)力臂和阻力臂的大小關(guān)系，根據(jù)杠桿的平衡條件判斷即可。【解答】在杠桿由豎直位置轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置時(shí)，動(dòng)力臂L1的長度始終不變。在開始的一端時(shí)間內(nèi)，動(dòng)力臂L1＞L2，為省力杠桿；后來，動(dòng)力臂L1＜L2，為費(fèi)力杠桿，因此這個(gè)杠桿先是省力的，后是費(fèi)力的。

故選C。【即學(xué)即練2】（2020·富陽模擬）如圖所示，OAB是杠桿，OA與BA垂直，在OA的中點(diǎn)處掛一個(gè)G＝10N的重物，杠桿重力及摩擦均不計(jì)。若加在B點(diǎn)的動(dòng)力F甲使OA在水平位置保持靜止，如圖甲所示，那么，該杠桿________(選填“一定”或“不一定”)是省力杠桿；若動(dòng)力F乙始終與OA垂直，將杠桿由水平位置勻速向上提升重物，如圖乙所示，動(dòng)力F乙的大小變化是________(選填“變大”、“變小”、“先變大后變小”或“先變小后變大”)；若動(dòng)力F丙由豎直向上的方向沿逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)到水平向左的方向，在此過程中OA始終保持水平靜止，如圖丙所示，請?jiān)诖痤}卷上畫出動(dòng)力F丙隨時(shí)間t的變化趨勢________?！敬鸢浮坎灰欢?；變?。弧窘馕觥浚?）阻力臂為，動(dòng)力F甲的方向不確定，那么動(dòng)力臂的長度可能大于，也可能小于，所以該杠桿不一定是省力杠桿；

（2）在杠桿由水平位置勻速向上提升重物的過程中，阻力G保持不變，但是阻力臂L2不斷減小，動(dòng)力臂L1=OA保持不變；根據(jù)杠桿的平衡條件G×L2=F乙×OA可知，動(dòng)力F乙逐漸變??；

（3）如下圖所示：

若動(dòng)力F丙由豎直向上的方向沿逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)到水平向左的方向，當(dāng)動(dòng)力臂為OB時(shí)最長，即動(dòng)力臂先變大后變小。根據(jù)杠桿的平衡條件G×L2=F丙×L1可知，G和L2保持不變，那么動(dòng)力F丙的變化應(yīng)該是先變小后變大。如下圖所示：

知識(shí)點(diǎn)02杠桿的最小力問題做此類題，必須先找準(zhǔn)杠桿的動(dòng)力、阻力、動(dòng)力臂、阻力臂，以及各力臂的變化，此類題只需找出最長動(dòng)力臂即可，可根據(jù)這個(gè)思路進(jìn)行判斷?！炯磳W(xué)即練3】如圖，圓柱形物體重力為G、橫截面積是半徑為R的圓，要從高度為0.5R的臺(tái)面上滾過去，請畫出最省力的作用點(diǎn)和力方向________；此時(shí)力F和G的關(guān)系是：________。【答案】；F＜G

【解析】在杠桿上，當(dāng)以支點(diǎn)到作用點(diǎn)之間的線段為動(dòng)力臂時(shí)最長，這時(shí)動(dòng)力最小，因此找到圓周上到支點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)即可。

在圓周上，兩點(diǎn)之間最長的就是直徑。從支點(diǎn)做通過支點(diǎn)的直徑，與圓周的交點(diǎn)就是力的作用點(diǎn)，然后通過它做這條直徑的垂線即可。

由杠桿平衡條件，F(xiàn)1L1=F2L2可知，在阻力跟阻力臂的乘積一定時(shí)，動(dòng)力臂越長，動(dòng)力越??；元的直徑作為最長力臂，由圖知，動(dòng)力的方向應(yīng)該向上，作用點(diǎn)在圓的切線位置，如圖，比較可知，L1＞L2，所以F＜G

【即學(xué)即練4】（2020九上·西湖期中）如圖所示，一根粗細(xì)均勻的輕質(zhì)杠桿AOBC按圖水平放置（支點(diǎn)在O點(diǎn)），其各段的長度關(guān)系為AO:BO:BC=4:3:4，重量為G的物體豎直懸掛在A點(diǎn)，（1）請?jiān)趫D上畫出使杠桿水平平衡的最小力的示意圖。（2）請根據(jù)杠桿平衡條件分析，（1）中最小力F=________G。（3）若考慮到粗細(xì)均勻杠桿的實(shí)際重力存在，則（2）中最小力的實(shí)際大小F實(shí)________（“大于”、“等于”、“小于”）F?！敬鸢浮浚?）（2）0.8（3）等于【解析】（1）在杠桿上，當(dāng)以支點(diǎn)到力的作用點(diǎn)之間的線段為動(dòng)力臂時(shí)最長，此時(shí)動(dòng)力最小；

（2）首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出動(dòng)力臂的長度，然后根據(jù)杠桿的平衡條件列式計(jì)算；

（3）杠桿的重力作用在中心處，當(dāng)杠桿在水平方向平衡時(shí)，重力作用下恰好從支點(diǎn)O經(jīng)過，此時(shí)杠桿的重力被支點(diǎn)平衡掉，對杠桿的平衡不會(huì)產(chǎn)生影響，因此動(dòng)力F的大小保持不變?！窘獯稹浚?）連接OC，然后通過C點(diǎn)作OC的垂線，在向下的方向上標(biāo)上箭頭表示動(dòng)力F，如下圖所示：

（2）三角形OBC為直角三角形，那么斜邊OC=；

根據(jù)杠桿的平衡條件得到：G×OA=F×OC；

G×4=F×5；解得：。

（3）若考慮到粗細(xì)均勻杠桿的實(shí)際重力存在，則（2）中最小力的實(shí)際大小F實(shí)等于F。知識(shí)點(diǎn)03杠桿能否再次平衡根據(jù)杠桿平衡條件得到：；當(dāng)兩個(gè)物體力改變時(shí)（如浮力），左邊：；右邊：；再根據(jù)原來的平衡判斷左右是否有新的平衡同理當(dāng)兩個(gè)物體力臂改變時(shí)（如左右同時(shí)移動(dòng)），建立左右新的等式判斷是否平衡即可【即學(xué)即練5】（2019·杭州模擬）小華在做實(shí)驗(yàn)時(shí)提出了如圖所示兩個(gè)模型，兩杠桿均處于平衡狀態(tài)，甲杠桿上平衡的是兩個(gè)同種密度但體積不同的實(shí)心物體，乙杠桿上平衡的是兩個(gè)體積相同但密度不同的實(shí)心物體，若將它們都浸沒在水中，則兩杠桿將（

）A.仍保持平衡

B.都失去平衡

C.甲仍保持平衡，乙失去平衡

D.甲失去平衡，乙仍保持平衡【答案】C【解析】當(dāng)杠桿上的物體浸沒在水中時(shí)，作用在杠桿上的拉力等于重力減去浮力，即F=G-F浮，比較后來力和力臂的乘積大小關(guān)系即可判斷杠桿是否平衡。

【解答】甲圖：原來杠桿平衡，

根據(jù)杠桿平衡條件得到：；

即；

①

當(dāng)兩個(gè)物體浸沒在水中時(shí)，左邊：；

右邊：；

根據(jù)①式可知，；

那么甲中杠桿還是平衡的。

乙圖：當(dāng)兩個(gè)物體浸沒在水中時(shí)，

左邊：；

右邊：；

根據(jù)阿基米德原理可知，兩個(gè)物體體積相同，則；

那么：；

根據(jù)①式可知，；

那么乙圖中杠桿左端下沉。

故選C。【即學(xué)即練6】（2019九上·余杭期中）材料相同的甲、乙兩個(gè)物體分別掛在杠桿A、B兩端，O為支點(diǎn)（OA＜OB），如圖所示，杠桿處于平衡狀態(tài).如果將甲、乙物體（不溶于水）浸沒于水中，杠桿將會(huì)（

）A.A端下沉

B.B端下沉

C.仍保持平衡

D.無法確定【答案】C【解析】甲、乙浸沒在水中后，兩個(gè)物體都會(huì)受到浮力，此時(shí)它們對杠桿的拉力F=G-F浮，根據(jù)杠桿的平衡條件和阿基米德原理，冰結(jié)合必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)對兩邊力和力臂的乘積大小進(jìn)行比較即可。

【解答】甲、乙兩物體的密度相同，且OA＜OB，

根據(jù)杠桿的平衡條件可知，G甲×L甲=G乙×L乙，

即：ρgV甲L甲=ρgV乙L乙，

所以：V甲L甲=V乙L乙-------------①，

如果將甲、乙物體（不溶于水）浸沒于水中，

甲乙受到的浮力分別為：F浮甲=ρ水gV甲，F(xiàn)浮乙=ρ水gV乙，

左邊為：（G甲-ρ水gV甲）×L甲=G甲×L甲-ρ水gV甲×L甲------------②

右邊為：（G乙-ρ水gV乙）×L乙=G乙×L乙-ρ水gV乙×L乙-----------③

由于V甲L甲=V乙L乙，

所以：ρ水gV甲×L甲=ρ水gV乙×L乙，

則由②③兩式可知，此時(shí)左右兩邊拉力與力臂的乘積相同，故杠桿仍然會(huì)保持平衡。分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.（2019·衢州）如圖是起重機(jī)用四種方案將地面上的一棵大樹扶起的瞬間，其中拉力最小的是（

）A.

B.

C.

D.【答案】C【解析】杠桿原理亦稱“杠桿平衡條件”。要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)力（動(dòng)力和阻力）的大小跟它們的力臂成反比。動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，用代數(shù)式表示為F1·L1=F2·L2。

【解答】由圖可知，該方法是利用杠桿原理來拉起大樹的，其中樹與地面接觸的地方是支點(diǎn)，因此拉力最小一定是動(dòng)力臂最大的，對比四個(gè)圖可知，C、D力的作用點(diǎn)是距離支點(diǎn)最遠(yuǎn)的，則要比AB省力；而F3垂直樹干，F(xiàn)4不垂直，所以F3的力臂大于F4的力臂，即F3最?。?/p>

2.（2019九上·鄞州期中）如圖所示，作用在杠桿一端始終與杠桿垂直的力F，將杠桿緩慢勻速地由位置A拉至位置B，在這個(gè)過程中力F的大小將(

)A.變大

B.不變

C.變小

D.先變大后變小【答案】A【解析】注意分析杠桿改變位置的過程中，動(dòng)力臂和阻力臂的變化，然后根據(jù)杠桿的平衡條件分析動(dòng)力F的變化即可。根據(jù)圖片可知，物體的重力為阻力，拉力F為動(dòng)力；

根據(jù)杠桿的平衡條件得到：G×L2=F×L1；

由于拉力F始終與杠桿垂直，所以動(dòng)力臂L1保持不變；

在杠桿旋轉(zhuǎn)的過程中，阻力臂L2逐漸增大，那么G×L2=F×L1中的乘積變大；因?yàn)長1不變，所以動(dòng)力F不斷增大，故A正確，而B、C、D錯(cuò)誤。3.如圖AB為一可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的杠桿，在A端通過繩子作用一個(gè)拉力，使杠桿平衡，保持重物不動(dòng)，而使繩繞A點(diǎn)沿圖中虛線緩慢逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則F（

）A.先變大后變小B.先變小后變大C.不變D.無法判斷【答案】B【解析】在杠桿上，從支點(diǎn)到力的作用點(diǎn)為力臂時(shí)最長，此時(shí)動(dòng)力最小；分析拉力在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中動(dòng)力臂的長度變化即可。

【解答】分析可知，當(dāng)力F與杠桿AB垂直時(shí)，此時(shí)動(dòng)力臂最長，因此在力F轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，動(dòng)力臂先變長后變短；根據(jù)杠桿的平衡條件可知，力F先變小后變大。故選B。4.如圖所示，一根可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻硬棒重為G，在棒的一端始終施加水平力F，將棒從圖示．位置緩慢提起至虛線位置的過程中(

)A.F的力臂變小，F(xiàn)的大小變大

B.F的力臂變大，F(xiàn)的大小變小

C.重力G與它的力臂乘積保持不變

D.重力G與它的力臂乘積變大【答案】B【解析】力臂是從杠桿的支點(diǎn)到力的作用線之間的垂線段的長度；根據(jù)杠桿的平衡條件F1L1=F2L2分析即可?！窘獯稹咳缦聢D所示，

根據(jù)杠桿的平衡條件得到：G×L2=F×L1；

即：G×OA×cosα=F×OB×sinα；

當(dāng)∠α增大時(shí)，cosα變小，而sinα變大；

因此重力和它的力臂乘積變小，故C、D錯(cuò)誤；

因?yàn)镺B×sinα變大，所以動(dòng)力F的力臂變大，而F卻變小，故B正確，A錯(cuò)誤。

5.（2019九下·秀洲月考）用細(xì)繩系住厚度不均勻的木板的O處，木板恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)，且上表面保持水平。如圖，兩玩具車同時(shí)從O點(diǎn)分別向木板的兩端勻速運(yùn)動(dòng)，要使木板在此過程始終保持平衡，必須滿足的條件是（

）A.兩車的質(zhì)量必須相等

B.兩車的速度必須相等

C.質(zhì)量較小的車速度較大

D.兩車同時(shí)到達(dá)木板兩端【答案】C【解析】兩輛小車對木板的壓力相當(dāng)于動(dòng)力和阻力，O點(diǎn)就是杠桿的支點(diǎn)；根據(jù)杠桿的平衡條件得到：

因?yàn)椋?；所以：；?/p>

因?yàn)椋海凰裕?；?/p>

那么質(zhì)量小的車速度肯定大，這時(shí)杠桿才能平衡，故C正確。

6.（2019九下·蕭山月考）如圖所示，兩端分別站著一個(gè)大人和一個(gè)小孩，杠桿水平平衡。如果他們同時(shí)都以相同的速度向支點(diǎn)緩慢走去，杠桿將(

)A.小孩那端下沉

B.大人那端下沉

C.仍保持平衡

D.無法確定【答案】A【解析】要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)力（動(dòng)力和阻力）的大小跟它們的力臂成反比。動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，用代數(shù)式表示為F1×L1=F2×L2。式中，F(xiàn)1表示動(dòng)力，L1表示動(dòng)力臂，F(xiàn)2表示阻力，L2表示阻力臂?！窘獯稹扛鶕?jù)題意可知，杠杠初始平衡時(shí)G1G2當(dāng)一個(gè)大人和一個(gè)小孩同時(shí)都以相同的速度向支點(diǎn)緩慢走時(shí)，兩力臂的減少量相同，根據(jù)杠桿平衡的條件可知，G1L1的減少量大于G2L2的減少量，即G1L1的剩余量小于G2L2的剩余量；故小孩那端下沉；故B、C、D錯(cuò)誤；A正確；

7.（2018九上·天臺(tái)月考）如圖所示，可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的輕質(zhì)杠桿，在D點(diǎn)掛一個(gè)重為G的物體M，用一把彈簧測力計(jì)依次在A、B、C三點(diǎn)沿圓O相切的方向用力拉，每次都使杠桿在水平位置平衡，讀出三次的示數(shù)分別為F1、F2、F3，它們的大小關(guān)系是（

）

A.F1＜F2＜F3

B.F1＞F2＞F3

C.F1=F2=F3

D.F1＞F2=F3【答案】C【解析】首先分析杠桿的五要素，再根據(jù)杠桿的平衡條件：動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂，分析解答。杠桿的平衡條件為動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂。物體重力不變，位置不變，即阻力和阻力臂都不變，阻力臂為圓半徑。又由于三次拉力的動(dòng)力臂相等，都為圓的半徑，所以三次的拉力相等，都等于物體重力，C符合題意。

8.（2018·拱墅模擬）重為G的均勻木棒豎直懸于O點(diǎn)，在其下端施一水平拉力F，讓棒緩慢轉(zhuǎn)到圖中虛線所示位置。在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中(

)A.動(dòng)力臂逐漸變大

B.阻力臂逐漸變小

C.動(dòng)力F逐漸變大

D.動(dòng)力F保持不變【答案】C【解析】力臂的定義為支點(diǎn)到力的作用線的垂直距離，與動(dòng)力對應(yīng)的力臂叫動(dòng)力臂，與阻力對應(yīng)的力臂叫阻力臂；在杠桿平衡（靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)）時(shí)，動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂；【解答】重為G的均勻木棒豎直懸于O點(diǎn)，在其下端施一水平拉力F，讓棒緩慢轉(zhuǎn)到圖中虛線所示位置的過程中，動(dòng)力臂逐漸減小，阻力臂變大，杠桿平衡時(shí)，動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂，所以動(dòng)力F逐漸變大；故A、B、D錯(cuò)誤，C正確；

題組B能力提升練1.（2020九上·杭州月考）如圖所示，一根質(zhì)量分布均勻的木棒，能繞O處轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)（不計(jì)摩擦）.在木棒最下端用力，使之由A處緩慢地抬升到B處.下列說法合理的是（

）A.始終水平方向的拉力F1大小將保持不變

B.始終與桿垂直的拉力F2大小將保持不變

C.始終豎直方向的拉力F3會(huì)逐漸增大

D.三次拉力抬升木棒的過程中所做的功均相等【答案】D【解析】（1）（2）（3）根據(jù)杠桿的平衡條件分析三個(gè)力的變化；

（4）抬升木棒，其實(shí)就是克服木棒的重力做功，根據(jù)W=Gh比較即可。

【解答】在木棒慢慢抬起的過程中，阻力臂逐漸增大，根據(jù)杠桿的平衡條件得到：G×L2=F×L1可知：G×L2的乘積不斷變大；

拉力F1的動(dòng)力臂L1逐漸變小，因此F1逐漸變大，故A錯(cuò)誤；

拉力F2的動(dòng)力臂保持不變，因此F2逐漸變大，故B錯(cuò)誤；

拉力F3的方向與阻力G的方向平行，雖然二者的力臂都在變大，但是它們的比值不變，因此拉力F3不變，故C錯(cuò)誤；

三次拉力做功都是克服杠桿的重力做功，根據(jù)W=Gh可知，三次做的功大小相等，故D正確。

2.如圖所示，一根不計(jì)重力的輕質(zhì)硬棒用一鉸鏈固定在O點(diǎn)，另一端用細(xì)線掛一重物，現(xiàn)在桿的中點(diǎn)處施加一個(gè)始終水平的力F，在緩慢把桿拉至接近水平的過程中，杠桿的省費(fèi)力情況是________(選填“始終省力”“始終費(fèi)力”“先省力后費(fèi)力”或“先費(fèi)力后省力”)，拉力F大小的變化情況是________?！敬鸢浮肯仁×筚M(fèi)力；一直變大【解析】（1）根據(jù)動(dòng)力臂和阻力臂的大小變化關(guān)系判斷杠桿的省力和費(fèi)力情況；

（2）根據(jù)動(dòng)力臂的變化情況，利用杠桿的平衡條件分析確定拉力F的大小變化。

【解答】（1）在開始的一段時(shí)間內(nèi)，動(dòng)力臂大于阻力臂，為省力杠桿。在后面的時(shí)間內(nèi)，動(dòng)力臂小于阻力臂，為費(fèi)力杠桿。

因此杠桿的省費(fèi)力情況是：先省力后費(fèi)力。

（2）將桿拉至接近水平的過程中，動(dòng)力臂不斷減小，阻力臂從0開始不斷增大。根據(jù)杠桿的平衡條件F×L1=G×L2可知，拉力F一直增大。3.（2020·衢州）在實(shí)際生活中，常用螺絲刀將螺絲釘擰進(jìn)（出）物體。圖甲中正在擰螺絲釘?shù)穆萁z刀，可視為圖乙所示的杠桿AOB，其中O為支點(diǎn)，B為阻力作用點(diǎn)，F(xiàn)2為阻力，動(dòng)力作用在手柄上。（1）圖甲中的螺絲刀屬于________杠桿。（2）請?jiān)诖痤}紙相應(yīng)位置圖中，畫出對應(yīng)F2的最小動(dòng)力F的示意圖。________【答案】（1）省力

（2）【解析】（1）比較動(dòng)力臂和阻力臂的大小確定杠桿的分類；

（2）根據(jù)杠桿的平衡條件可知，動(dòng)力臂最長時(shí)動(dòng)力最??；在圓中，通過圓心的半徑是距離圓心最長的線段。

【解答】（1）根據(jù)圖乙可知，動(dòng)力臂為OA，阻力臂為OB，因?yàn)镺A>OB，所以螺絲刀屬于省力杠桿；

（2）將BO連接并延長，與大圓周相交于A點(diǎn)，這時(shí)的OA就是最長的力臂，通過力的作用點(diǎn)A作OA的垂線段即可，如下圖所示：

4.（2020·湖州）為了防止門被風(fēng)吹動(dòng)，常在門背后和墻上安裝如圖甲所示的“門吸”。圖乙是簡化后的模型門可以繞軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，門寬為1．2米?！伴T吸”與O位置關(guān)系、“門吸”引力大小和方向如圖乙所示。(摩擦力忽略不計(jì))（1）關(guān)門所需的最小力F是________牛。（2）在圖乙中畫出F的作用點(diǎn)和方向。【答案】（1）4

（2）【解析】（1）將O點(diǎn)看作杠桿的支點(diǎn)，門吸對門的吸力6N為阻力，阻力臂為0.8m，當(dāng)人的推力作用在門邊且與門垂直時(shí)，此時(shí)動(dòng)力臂最長為1.2m，根據(jù)杠桿的平衡條件計(jì)算最小的力F；

（2）根據(jù)（1）中的分析完成作圖?！窘獯稹浚?）將O點(diǎn)看作杠桿的支點(diǎn)，門吸對門的吸力6N為阻力，阻力臂為0.8m，當(dāng)人的推力作用在門邊且與門垂直時(shí)，此時(shí)動(dòng)力臂最長為1.2m，

根據(jù)杠桿的平衡條件得到：F2×L2=F1×L1；

6N×0.8m=F1×1.2m；

解得：F1=4N；

（2）以門寬為動(dòng)力臂，從門的邊緣作門的垂線段，這就是最小力F，如下圖所示：

5.（2018九上·天臺(tái)月考）小科家里進(jìn)行裝修，裝修的工人從建材市場運(yùn)來一些質(zhì)量均勻的矩形實(shí)木板和墻面漆，每塊木板的規(guī)格是1.2m×2m×0.015m，密度為0.7×103kg/m3，每一桶墻面漆的質(zhì)量為30kg。（1）木板的重力為________N。

（2）工人用一個(gè)豎直向上的力F將木板的一端勻速抬起到某個(gè)位置（如圖甲所示），在抬起過程中，力F的變化趨勢是________。A．變大

B．變小

C．先變大后變小

D．不變

（3）小科和工人身形相近，他們一起用一根輕桿將墻面漆抬起，工人抬起輕桿的A端，小科抬著B端，兩人施力的方向都為豎直向上，且保持輕桿水平（如圖乙所示），其中，AB為1.2m，桶懸掛點(diǎn)C離A端為0.4m，則小科對木板的力F2為多少？【答案】（1）252

（2）D

（3）墻面漆的重力為：G'=m'g=30kg×10N/kg=300N；以A為支點(diǎn)，根據(jù)杠桿的平衡條件可知：G'LG=F2L2，則【解析】根據(jù)密度公式和重力公式求出重力的大??；(2)知道兩力臂的大小關(guān)系，知道阻力G的大小，利用杠桿的平衡條件求動(dòng)力與物重G的大小關(guān)系；確定動(dòng)力臂和阻力臂的大小關(guān)系，再利用杠桿平衡條件分析拉力F與物重G的大小關(guān)系；由此得出動(dòng)力F的大小變化情況.

【解答】（1）木板的重力為G=Mg=pgV=x1.2m×2mx0.015m=252N，（2）

如圖，杠桿在Α位置，LOA=2Loc，根據(jù)杠桿平衡可知：FLOA=GLOC，則F=G；杠桿在Β位置，0A‘為動(dòng)力臂，0C為阻力臂，阻力不變?yōu)镚，由得根據(jù)杠桿平衡條件可知FLOA=GLOC，則F=G.由此可知當(dāng)杠從Α位置勻速提到Β位置的過程中，力F的大小不變，故選D.題組C培優(yōu)拔尖練1.（2020九上·椒江期中）如圖所示，AB為一輕質(zhì)杠桿，O為支點(diǎn)，OB=60cm，OA=20cm兩端分別懸掛實(shí)心鋁球和實(shí)心銅球，杠桿在水平位置平衡，若將兩球同時(shí)浸沒在水中，（鋁的密度為2.7×103kg/m3，銅的密度為8.9×103kg/m3）則杠桿還能保持平衡嗎？請結(jié)合公式加以推斷說明?！敬鸢浮咳鐖D，杠桿處于平衡狀態(tài)，根據(jù)杠桿平衡條件得即則當(dāng)兩球同時(shí)浸沒在水中，杠桿兩端力乘以力臂，左端----①右端----②由①②得即左端力與力臂的乘積小于右端力與力臂的乘積，所以杠桿的右端（銅球端）下沉【解析】①將鋁球的重力看作阻力，阻力臂為AO；銅球的重力看作動(dòng)力，動(dòng)力臂為OB，根據(jù)杠桿的平衡條件F1L1=F2L2列出平衡關(guān)系式，接下來用密度公式G=ρVg將其中的重力G拆開，推導(dǎo)得出鋁球和銅球的體積之比；

②當(dāng)兩個(gè)球都浸沒在水中時(shí)，都會(huì)受到浮力，那么作用在杠桿上的拉力F=G-F浮=G-ρ水gV，然后列式計(jì)算出杠桿兩邊力和力臂的乘積，接下來將得到的兩個(gè)式子作比，進(jìn)而得到力和力臂乘積的大小關(guān)系。哪邊力和力臂的乘積大，哪邊就下沉。2.如圖為油桶，油桶質(zhì)量為50kg，油桶高為0.8m，底部直徑為0.6m，據(jù)此回答(視油桶的重力集中點(diǎn)在幾何中心O點(diǎn)，g取10N/kg)。（1）在推翻油桶如圖甲→乙的過程中，至少需要對油桶做功________J。（2）若將翻倒的空油桶(如圖乙)重新豎起來所用最小力為F，F(xiàn)＝________N?！敬鸢浮浚?）50（2）200【解析】（1）在推翻油桶的過程中，油桶的重心會(huì)升高，根據(jù)W=Gh計(jì)算對油桶做的功即可；

（2）將油桶看做一個(gè)杠桿，而對角線就是最長的力臂，根據(jù)杠桿的平衡條件計(jì)算即可。

【解答】（1）根據(jù)勾股定理可知，油桶的對角線；

在推翻油桶的過程中，重心上升的高度為：h=；

那么至少需要對油桶做功：W=Gh=50kg×10N/kg×0.1m=50J；

（2）根據(jù)乙圖可知，可以將B點(diǎn)看做支點(diǎn)，那么重力為阻力，阻力臂為：；對角線BC的長度最大，因此動(dòng)力臂為BC，動(dòng)力與BC垂直。

根據(jù)杠桿的平衡條件得到：G×=F×BC；

500N×=F×1m；

解得：F=200N。3.（2019·杭州模擬）為了確定甲、乙兩個(gè)物體的重力之比，小明設(shè)計(jì)了如圖所示裝置，輕質(zhì)細(xì)桿AB可以繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，將甲、乙兩個(gè)均勻?qū)嵭膱A柱體分別懸掛在A、B兩處，細(xì)桿恰好靜止處于水平位置。（1）若測得OA的長度為a，OB的長度為b，則甲、乙兩個(gè)物體|甲|乙的重力之比為________。（2）小明將甲緩慢同下移動(dòng)一段距離使桿緩慢轉(zhuǎn)過一定角度（細(xì)線始終保持豎直方向），然后松手，細(xì)桿將________（填“順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)”、“逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)”或“靜止不動(dòng)"）；（3）小明發(fā)現(xiàn)細(xì)桿的長度較長，身邊只有量程較小的刻度尺，無法直接測量OA和OB的長度，于是小明將甲向右移動(dòng)了較小一段距離，同時(shí)將乙向左移動(dòng)，直至細(xì)桿第二次靜止平衡，用刻度尺分別測出甲、乙移動(dòng)距離為△a和△b，則甲，乙兩個(gè)物體的重力之比為________，請你列式證明。

【答案】（1）b：a

（2）靜止不動(dòng)

（3）△b：△a【解析】（1）甲、乙兩個(gè)物體的重力就是作用在杠桿上的阻力和動(dòng)力，根據(jù)杠桿的平衡條件計(jì)算；

（2）分析動(dòng)力臂和阻力臂的比值是否發(fā)生變化，如果不發(fā)生變化，那么杠桿依然平衡；

（3）甲和乙分別向中間移動(dòng)后，動(dòng)力臂和阻力臂都縮短了，根據(jù)杠桿的平衡條件計(jì)算即可。

【解答】（1）甲的重力看作阻力，阻力臂是OA；乙的重力看作動(dòng)力，動(dòng)力臂是OB，根據(jù)杠桿的平衡條件得到：G甲×a=G乙×b那么：；

（2）小明將甲向下移動(dòng)一段距離，動(dòng)力臂和阻力臂都縮短了，但是根據(jù)相似三角形的原理可知，縮短后的動(dòng)力臂和阻力臂的比值仍然等于原來的比值，即比值不變，那么根據(jù)杠桿的平衡條件可知，細(xì)桿將靜止不動(dòng)；

（3）甲向右移動(dòng)后，動(dòng)力臂為：a-△a；

乙向左移動(dòng)后，阻力臂為：b-?b；

根據(jù)杠桿的平衡條件得到：G甲×(a-△a)=G乙×(b-?b)

那么：；因?yàn)椋?；所以：?/p>

4.（2020·金華模擬）如圖甲所示，有一輕質(zhì)杠桿，O為支點(diǎn)，且OA>OB。（1）在A、B兩端各掛上質(zhì)量分別為m1和m2的實(shí)心物體，恰好水平平衡，則兩物體的質(zhì)量大小關(guān)系為________

；