人教版初中八年級數(shù)學(xué)上冊同步講義-因式分解的應(yīng)用（原卷版）

第06講因式分解的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能夠?qū)κ阶舆M(jìn)行分組，然后在利用相應(yīng)的分解方法

①分組分解法

進(jìn)行分解。

②實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解

2.能夠在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解因式。

③因式分解的應(yīng)用

3.能夠熟練的運(yùn)用因式分解進(jìn)行求值，化簡，證明等。

思維導(dǎo)圖

求值問甄

*明問題

因式分篇的應(yīng)用

計(jì)算向9s

知識點(diǎn)01分組分解因式

1.分組分解因式：

對于四項(xiàng)或者超過四項(xiàng)的多項(xiàng)式分解時(shí)，我們通常要對其進(jìn)行分組，使其分在同一組的項(xiàng)能夠使用提

公因式法或公式法或者式子相乘法進(jìn)行分解。從而達(dá)到對整個多項(xiàng)式進(jìn)行分解的目的。

考點(diǎn)題型：①分組分解因式。

【即學(xué)即練1】

1.把1-1-廬_2必分解因式，正確的分組為（）

A.1-(c^+lP'+lab)B.-(b2-2ab)

C.(1-2ab)+(-tz2-Z>2)D.(1-a2-廬)-2ab

【即學(xué)即練2】

2.因式分解/+026-仍2_〃的值為()

A.(a-b)2(a+b)B.(a+b)2(a-b)

C.ab(a+b)2D.ab(a-6)2

【即學(xué)即練3】

3.八年級課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：將2。-3仍-4+66因式分解.經(jīng)過小組合作交流，

得到了如下的解決方法：

解法一：原式=(2a-3a6)-(4-6b)

=a(2-3b)-2(2-36)

=(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-<3ab-6b)

=2(a-2)-3b(a-2)

=(a-2)(2-36)

小明由此體會到，對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利

用提公因式法、公式法等方法達(dá)到因式分解的目的.這種方法可以稱為分組分解法.(溫馨提示：因式

分解一定要分解到不能再分解為止)

請你也試一試?yán)梅纸M分解法進(jìn)行因式分解：

(I)因式分解：x2-a2+x+a；

(II)因式分解：ax+cr-2ab-bx+b~.

知識點(diǎn)02實(shí)屬范圍內(nèi)分解因式

1.實(shí)數(shù)范圍反內(nèi)分解因式：

一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無法分解因式，可是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解

因式是指可以把因式分解到實(shí)數(shù)的范圍，既可以用無理數(shù)來表示。

題型考點(diǎn)：①實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。

【即學(xué)即練11

4.把下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:

(1)/-7；(2)x3-2x；(3)/一2、&+3；(4)x4-25.

【即學(xué)即練2】

5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：X3-X2-2X+2.

【即學(xué)即練3】

6.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)6y2+5；(2)x2-11；(3)。2-2愿。+3；(4)5x2-2.

知識點(diǎn)03因式分解的綜合應(yīng)用

1.因式分解的步驟：

第一步：觀察式子是否有公因式可提。若有公因式，則先用公因式進(jìn)行因式分解。

第二步：觀察式子項(xiàng)數(shù)：

①若式子是兩項(xiàng)，則觀察是否具有平方差公式的特點(diǎn)，若具有平方差公式的特點(diǎn)則用平方差公式分

解，若不具有則不能分解。

②若式子是三項(xiàng)，則觀察是否具有完全平方公式的特點(diǎn)，如果具有完全平方公式的特點(diǎn)則用完全平

方公式分解。若不具有完全平方公式的特點(diǎn)則觀察是否可用十字相乘法分解，若能則用十字相乘法分解，

若不能用十字相乘法分解則多項(xiàng)式不能分解。

因式分解一定要分解徹底，即無論用什么方法都不能再繼續(xù)分解。

題型考點(diǎn)：①分解因式。

【即學(xué)即練1】

7.分解因式：

(1)4(3冽+2〃)2-9(加-〃)2(2)X4+5X2-36；

(3)x3y-2x2y2+3x-6y；(4)(x2+x+l)(X2+X+2)-12；

(5)4X4+12X3+13X2+6X+1；(6)y(y+1)(x2+l)+x(2y2+2y+l).

【即學(xué)即練2】

8.分解因式：

(1)8Q%2+28QZ?%；(2)a4-64；

(3)x2+(2q+3)x+(/閂。)；(4)4x2+4xy+12x+6y+y2+8.

知識點(diǎn)04因式分解的綜合應(yīng)用

1.因式分解的綜合應(yīng)用：

利用因式分解解決求值問題。

利用因式分解解決證明問題。

利用因式分解解決計(jì)算問題。

題型考點(diǎn)：①因式分解的實(shí)際應(yīng)用。

【即學(xué)即練1】

9.若a+b=3,x+y=1,則代數(shù)式°2+2仍+62_苫-y+2015的值是()

A.2019B.2017C.2024D.2023

【即學(xué)即練2】

10.已知a、b、c是△48C的三邊長，且滿足°2+262+c2=2仍+2bc,那么據(jù)此判斷的形狀是()

A.等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【即學(xué)即練3】

11.已知x-y=工，xy——,則/y-xf的值是()

23

A.2B.1C.里D.-2

363

【即學(xué)即練4】

12.生活中我們經(jīng)常用到密碼，如到銀行取款.有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理

是：將一個多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式x4-y4因式分解的結(jié)果是(x-y)(x+y)(x2+y2),當(dāng)取x=9,

y=9時(shí)，各個因式的值是：(x-y)=0,(x+y)=18,(/+/)=162,于是就可以把“018162”作

為一個六位數(shù)的密碼.類似地，對于多項(xiàng)式4x3-孫2,當(dāng)取x=10,夕=10時(shí)，用上述方法可以產(chǎn)生一個

六位數(shù)密碼.則這個密碼可以是()

A.102030B.103020C.101030D.102010

【即學(xué)即練5】

13.有些多項(xiàng)式不能直接運(yùn)用提取公因式法分解因式，但它的某些項(xiàng)可以通過適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合(或把某項(xiàng)適當(dāng)

地拆分)成為一組，利用分組來分解多項(xiàng)式的因式，從而達(dá)到因式分解的目的，例如加x+〃x+w+〃y=

(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(機(jī)+〃)=(m+n)Cx+y),根據(jù)上面的方法因式分解：

(1)2ax+3bx+4ay+6by；

(2)m3-mn2-m^n+n3；

(3)已知a,b,c是△45。的三邊，且滿足q2-M+c2=2ac-bc,判斷△45。的形狀并說明理由.

題型精講

題型01因式分解

【典例1】

因式分解:

(1)4ab-2a2,b；(2)25/-9爐;

(3)2a2b-Sab2+Sb3；(4)x2(x-3)+9(3-x).

【典例2】

將下列各式因式分解：

(1)a(x-3)+26(x-3)；(2)2x3-8x；

(3)(2x+y)2-(x+2y)2(4)-x2-4y2+4xy.

【典例3】

分解因式：

(1)a(x-y)+b(y-x)；(2)3機(jī)2〃-12機(jī)幾+12〃；

(3)(f+9)2-36/；(4)(x+l)(x+2)

【典例4】

閱讀下列材料：將一個形如/取x+g的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足］=加7且〃=優(yōu)+",則可以把

x2+px+q因式分解成(x+m)(x+〃).

例如：①，+4x+3=(x+1)(x+3)；

②x2-4x-12=(x-6)(x+2).

根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解.

(I)x2-6x+8；

(2)x2-2x-15；

(3)(x-4)(x+7)+18.

題型02分組分解因式

【典例1】

閱讀下列材料:

一般地，沒有公因式的多項(xiàng)式，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí)，經(jīng)常把這些項(xiàng)分成若干組，然后各組運(yùn)用

提取公因式法或公式法分別進(jìn)行分解，之后各組之間再運(yùn)用提取公因式法或公式法進(jìn)行分解，這種因式

分解的方法叫做分組分解法.如：

因式分解：am+bm+an+bn

—(am+bm)+(an+bn)

=m(a+6)+n(a+b)

=(a+b)(m+n).

(1)利用分組分解法分解因式：

①3%-3y+am-ay,

②。2》+。2尹我+丹.

(2)因式分解：a2+2ab+b2-1=(直接寫出結(jié)果).

【典例2】

常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式只用上述一種方法無法分解，例如9爐

-2x+6y,我們細(xì)心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式就可

以完整的分解了，過程為：

X2-Qy2-2x+6y=(x2-9_y2)-2(x-3y)=(x-3y)(x+3y)-2(x-3y)=(x-3j)(x+3y-2).

這種方法叫分組分解法，利用這種方法分解因式：

(I)x2-2xy+y2-16；

(2)xy2-2xy+2,y-4.

【典例3】

有些多項(xiàng)式不能直接運(yùn)用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些項(xiàng)可以通過適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合(或把某項(xiàng)適

當(dāng)?shù)夭鸱?成為一組，利用分組來分解多項(xiàng)式的因式，從而達(dá)到因式分解的目的.

例如：mx+nx+my+ny—(mx+nx)+Qmy+ny')—x(加+〃)+y(小+力)=(m+n)Cx+y).

根據(jù)上面的方法因式分解：

(1)2(2X+3bx+4ay+6by；

(2)x2+2xy+y2-z2.

【典例4】

我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法，

分組分解法是將一個多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，再用提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法.例如：ax+by+bx+ay

=(ax+bx)+(即+勿)=x(a+b)+y(a+b)=(q+b)Cx+y).

請你仿照以上方法，解決下列問題.

分解因式：(1)%2-y2+2x-2y；

(2)x2-10x+25-y2.

題型03實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式

【典例1】

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:

(1)4x2-20；(2)x2-2?x+3.

【典例2】

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:

(1)am2-6ma+9a；(2)9a4-4b4.

【典例3】

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

（1）nr-3（2）2a2-5⑶X2-2A/3X+3-

題型04因式分解的應(yīng)用

【典例1】

已知xy=2,y~x=1,

(1)求2x2y-2xy2的值;（2）求x+y的值.

【典例2】

如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“崇德尚美數(shù)”.

如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20這三個數(shù)都是“崇德尚美數(shù)”.

（I）判斷：36“崇德尚美數(shù)”（填“是”或“不是”）；

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為殊+2和”（其中左取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“崇德尚美數(shù)”是

4的倍數(shù)嗎？為什么？

(3)若長方形相鄰兩邊長為兩個連續(xù)偶數(shù)，試判斷該長方形的面積是否為“崇德尚美數(shù)”？為什么？(請

推理證明)

【典例3】

觀察下列分解因式的過程：

x2+2xy-3y2

解：原式=—+2冷+了2-y2-3y2

—(x2+2xy+y2)-4y2

=(x+y)2-(2y)2

=(x+y+2j)(x+y-2y)

=(x+3j)(x-y).

像這種通過增減項(xiàng)把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成完全平方形式的方法稱為配方法.

<1)請你運(yùn)用上述配方法分解因式：x2-4xy-5y2；

(2)已知的三邊長a,b,c都是正整數(shù)，且滿足/+廬=8°+66-25,求△/3C周長的最大值.

【典例4】

閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用

上述方法無法分解，如："m2-mn+2m-2^,細(xì)心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，

后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成

整個式子的因式分解了，過程為m~-mn+2m-2n=(w2-mu)+(2m-2〃)=m(w-n)+2(m-M)

(m-n)(m+2).此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問

題：

(1)因式分解：a3-3a2+6a-18；

(2)已知冽+〃=5,m-n=1,求冽2-九2+2冽-2〃的值；

(3)△45。的三邊a,b,c滿足〃2+262+。2=2仍+2bc,判斷△45C的形狀并說明理由.

【典例5】

閱讀材料：要將多項(xiàng)式。冽冽+加分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，再把它的后兩項(xiàng)分成一組,

從而得至!J：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n),這時(shí)a(加+〃)+b(加+〃)

中又有公因式(m+?),于是可以提出(加+幾)，從而得到(冽+〃)(q+b),因此有am+an+bm+bn=(am+an)

+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+w)(Q+6),這種方法稱為分組法.請回答下列問題：

(1)嘗試填空：2x-IS+xy-9y=；

(2)解決問題：因式分解；ac-bc+a2-b2.

(3)拓展應(yīng)用：已知三角形的三邊長分別是a,b,c,且滿足Q2-2M+2b2-2bc+c2=0,試判斷這個三

角形的形狀，并說明理由.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列因式分解正確的是(

A.ax+y=aB.x2-4x+4=(x+2)2

C.2x2-x=x(2x-1)D.x2-16=(x-4)2

2.下列多項(xiàng)式，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定可以分解因式的是（）

222

A.X-x+3B.x-mx-C.v2-2x+3D.x-x-2m

3.多項(xiàng)式，爐-爐-，+1因式分解的結(jié)果是（）

A.(x2+l)(產(chǎn)+1)

B.(x-1)(x+1)(y2+l)

C.(x2+l)(y+1)(j-1)

D.(x+1)(x-1)(y+1)(j-1)

4.三角形的三邊a,b,c滿足（a+6）2-c2=2aZ）,則此三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

5.已知整數(shù)a,6滿足2a6+4a=6+3,貝！Ia+b的值是（）

A.0或-3B.1C.2或3D.-2

6.如果a-b=2,那么代數(shù)式/-z/b+ab?-4°的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

7.小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：x-y,a-b,2,x2-y2,a,x+y,

分別對應(yīng)下列六個字：華，我、愛、美、游、中，現(xiàn)將2a（x2-^）-2b（x2-y2）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)

的密碼信息可能是（）

A.愛我中華B.我游中華C.中華美D.我愛游

2222

8.在△A8C中，三邊分別為a、b、c,且滿足（a+6+c）=25,a+b+c=^-,則。為（）

A.等腰三角形B.不等邊三角形

C.等邊三角形D.無法判斷

9.因式分解：x2+y2-z2-2xy—.

10.已知x+y=l,xy--3,貝（］中3=.

11.若。=2005,6=2006,c—2.001,SRa2+b2+c2-ab-be-ac—.

12.現(xiàn)在生活人們已經(jīng)離不開密碼，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，

方便記憶.原理是：如對于多項(xiàng)式d=y4因式分解的結(jié)果是（x-y）（x+y）（x2+y2）,若取x=9,y=

9時(shí)則各個因式的值是：x-y=o,x+y=18,^+2=162,把這些值從小到大排列得到018162,于是就可

以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項(xiàng)式4--x/,取x=21,y=19時(shí)，請你寫出一個用上

述方法產(chǎn)生的密碼.

13.閱讀下列材料：

在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要

分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分

解的方法稱為“換元法”.

下面是小胡同學(xué)用換元法對多項(xiàng)式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4進(jìn)行因式分解的過程.

解：設(shè)x2-2x=y,

原式=(廠1)(y+3)+4(第一步)

=爐+2》+1(第二步)

=(y+1)2(第三步)

=(x2-2x+l)2(第四步)

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

(1)小胡同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的；

A.提取公因式法

B.平方差公式法

C.完全平方公式法

(2)老師說，小胡同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分