中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題輔助線復(fù)習(xí)

中考?jí)狠S題專(zhuān)題幾何(輔助線)

精選1.如圖,Rt/XABC中，NABC=90°,DE垂直平分AC,垂足為。,BC,且AB=3,BC=4,則AD的長(zhǎng)為.

精選2.如圖，AABC中，ZC=60°,NCAB與/CBA的平分線AE,BF相交于點(diǎn)D,

求證：DE=DF.

精選3.已知：如圖，。。的直徑AB=8cm,P是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。。的切線，切點(diǎn)為C,連接AC.

(1)若NACP=120°，求陰影部分的面積；

⑵若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，NCPA的平分線交AC于點(diǎn)M,NCMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理

由；若不變，求出/CMP的度數(shù)。

精選4、如圖1,RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)0是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以0A為半徑作。。與AC

邊交于點(diǎn)P，

(1)當(dāng)0A/時(shí)，求點(diǎn)。到BC的距離；

2

(2)如圖1,當(dāng)0A=K時(shí)，求證：直線BC與。。相切；此時(shí)線段AP的長(zhǎng)是多少？

8

(3)若BC邊與。。有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出0A的取值范圍；

(4)若C0平分NACB,則線段AP的長(zhǎng)是多少？

圖1圖2

初中數(shù)學(xué)

A

精選5.如圖，已知&BC為等邊三角形，ZBDC=120°,A。平分NBOC,

求證：BD+DC=AD.

精選6、已知矩形ABCO的一條邊八。=8,將矩形ABC。折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.

（第6題圖）

（1）如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)。，連結(jié)AP、OP、0A.

①求證：AOCPs4PDA；

②若AOCP與的面積比為1：4,求邊AB的長(zhǎng)；

（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求N04B的度數(shù)；

（3）如圖2,在（1）的條件下，擦去折痕A。、線段0P,連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A

????0?

不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=P/W,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作ME,8P于點(diǎn)E.試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、

N在移動(dòng)過(guò)程中，線段E尸的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度.

精選7、如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2,一個(gè)銳角等于60。的菱形紙片，小芳同學(xué)將一個(gè)三角形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)

與該菱形頂點(diǎn)D重合，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)E、F,

ZEDF=60°,當(dāng)CE=AF時(shí)，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF.

（1）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)CE手AI5寸，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明

理由；

（2）再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CB、BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3請(qǐng)直接寫(xiě)出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；

（3）連EF,若4DEF的面積為y,CE=x,求y與x的關(guān)系式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最小值，最小值是多少？

初中數(shù)學(xué)

初中數(shù)學(xué)

精選8、等腰RtAABC中，/BAC=90。，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是x軸、y軸兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直角邊AC交x軸于點(diǎn)D,斜邊

BC交y軸于點(diǎn)E；

(1)如圖(1),若A(0,1),B(2,0),求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖(2),當(dāng)?shù)妊黂tAABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí)，連接DE,求證：ZADB=ZCDE

(3)如圖(3),在等腰RtAABC不斷運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若滿足BD始終是/ABC的平分線，試探究：線段OA、OD、

BD三者之間是否存在某一固定的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

精選9.如圖，正方形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線/、小小(上，這四條直線中相鄰兩條之間的距

1

離依次為、h、h(h>0,h>0,h>0).

123123

(1)求證：h=h；

13

(2)設(shè)正方形ABC。的面積為S,求證：S=(h+h)2+/!2.

121

3

(3)若力+力=1,當(dāng)/z變化時(shí)，說(shuō)明正方形的面積

2121

S隨的變化情況.第題圖

1

初中數(shù)學(xué)

參考答案

精選1

解：?.?RtZXABC中，ZABC=90°,>48=3,BC=4,

?',7'C=VAB2+BC2=V32+42=5'

；DE垂直平分AC,垂足為。，

15

OA=-AC=-,ZAOD=ZB=90°,

22

'：AD//BC,

：.4=NC,

?.AAOD^ACBA,

...旦迎，即典=",解得人。=空

ACBC548

故答案為：—.

8

精選2

證明：在AB上截取AG,使AG=AF,

易證△AOF0ZkADG(SAS).

：.DF=DG.VZC=60°,

AD,B。是角平分線，易證/AOB=120。.

ZADF=ZADG=ZBDG=NBDE=60°.

BffiABDE^ABDG(ASA).

DE=DG=DF.

精選3、

解：(1)連接oc.

?；PC為。o的切線，

APCXOC.

.?.NPCO=90度.

,?ZACP=120°

ZACO=30°

VOC=OA,

；./A=/ACO=30度.

.?.ZBOC=60°

0C=4

.\PC=4*tan60<>=4^3

87r

,'?S陰影=SAOPC-S扇形BOC=873-

(2)/CMP的大小不變，ZCMP=45°

由(1)知/BOC+/OPC=90°

VPM平分/APC

初中數(shù)學(xué)

.?.ZAPM=-ZAPC

2

VZA=-ZBOC

2

AZPMC=ZA+ZAPM=-（ZBOC+ZOPC）=45".

2

精選4、

解：（1）在RtAABE中,於=1AC2+BC2=432+42=5,（1分）

過(guò)點(diǎn)。作OD_LBC于點(diǎn)D,則OD〃AC,

5--

.,.△ODB^AACB,POOB；0D_---&,ODW

ACAB352

.?.點(diǎn)。到BC的距離為2（3分）

2

（2）證明：過(guò)點(diǎn)。作OE_LBC于點(diǎn)E,OF_LAC于點(diǎn)F,

5-里

VAOEB^AACB,.?里口.?理=-----0E土.

ACAB358

直線BC與。。相切.（5分）

此時(shí)，四邊形OECF為矩形，

159

；.AF=AC-FC=3--

88

q

VOFXAC,.\AP=2AF=".（7分）

4

⑶緊OA號(hào)（9分）

O4

（4）過(guò)點(diǎn)。作OG_LAC于點(diǎn)G,OH_LBC于點(diǎn)H,

則四邊形OGCH是矩形，且AP=2AG,備用圖管用圖

又平分/ACB,；.OG=OH,矩形OGCH是正方形.（10分）

設(shè)正方形OGCH的邊長(zhǎng)為x,則AG=3-x,

VOG//BC,VAAOG^AABC,

.0GAG

??二,?

BCAC

X），.，.AP=2AG=—.（12分）

?-3-x--x，x77

初中數(shù)學(xué)

精選5、

證法1:（截長(zhǎng)）如圖，截OF=DB,易證△DBF為等邊三角，然后證△BOC會(huì)△BFA即可;

證法2:（截長(zhǎng)）如圖，截OF=DC,易證△￡?小為等邊三角，然后證△BDC絲即可;

證法3:（補(bǔ)短）如圖，延長(zhǎng)BD至F,使DF=DC,此時(shí)BO+OC=BO+OF=BF,

易證△DCF為等邊△,再證即可.

證法4:（四點(diǎn)共圓）兩組對(duì)角分別互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

設(shè)AB=AC=BC=a,根據(jù)（圓內(nèi)接四邊形）托勒密定理：

CD,a+BD?a=AD,a,得證.

B

精選6、

解：(1)如圖1,①：四邊形ABC。是矩形，.,.AD=BC,DC=AB,NDAB=/B=/C=/D=90°.

由折疊可得：AP=AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO.ZAPO=ZB.

：.ZAPO=90°.

：.ZAPD=90°-ZCPO=ZPOC.

,:/D=/C,ZAPD=ZPOC.

.?.△OCPs/^pDA.

②:△OCP與△PDA的面積比為1：4,

.OC_OP_CP_RJ

''PD"PA-DAvT2'

APD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

'：AD=8,：.CP=4,BC=8.

設(shè)OP=x,貝UOB=x,CO=8-x.

在RtdPCO中，

VZC=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,

；.x2=(8-x)2+42.

解得：x=5.

：.AB=AP=2OP=W.

...邊AB的長(zhǎng)為10.

初中數(shù)學(xué)

(2)如圖1,

：P是CO邊的中點(diǎn)，

/.DP=-DC.

2

VDC=AB,AB=AP,

：.DP=-AP.

2

VZD=90°,

DP1

■.sin/DAP=—=一.

AP2

：.ZDAP=30°.

"：ZDAB=90°,ZPAOZBAO,ZDAP=30°,

：.ZOAB=30°.

：.ZOAB的度數(shù)為30°.

(3)作MQ〃/W,交PB于點(diǎn)Q,如圖2.

'：AP=AB,MQ//AN,

：.ZAPB=ZABP,ZABP=ZMQP.

：./APB=/MQP.

：.MP=MQ.

VMP=MQ,ME_LPQ,

PE=EQ=-PQ.

2

,:BN=PM,MP=MQ,

：.BN=QM.

：MQ//AN,

：.ZQMF=ZBNF.

在△MFQ和△A/FB中,

FZQMF=ZBNF

ZQFI=ZBFN.

QM=BN

:.QF=BF.

：.QF=-QB.

2

初中數(shù)學(xué)

/.EF=EQ+QF=-PQ+-QB=-PB.

222

由（1）中的結(jié)論可得：

PC=4,BC=8,ZC=90°.

,,PB=q4+42=45/"^.

：.EF=-PB=2[5-

2

...在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為2浜.

精選7、

解：(1)DF=DE.理由如下：

如答圖1,連接BD.

;四邊形ABCD是菱形，

；.AD=AB.

又；NA=60°,

AABD是等邊三角形，

；.AD=BD,ZADB=60°,

.,.ZDBE=ZA=60°

VZEDF=60°,

，ZADF=ZBDE

AZADF=ZBDE.?在4ADF與^BDE中，AD=BD

ZA=ZDBE

.'.△ADF^ABDE(ASA),

，DF=DE；

(2)DF=DE.理由如下：

如答圖2,連接BD.；四邊形ABCD是菱形，

；.AD=AB.

XVZA=60°,

初中數(shù)學(xué)

AABD是等邊二角形,

，AD=BD,ZADB=60°,

AZDBE=ZA=60°

VZEDF=60°,

NADF=NBDE.

'NADF=NBDE

?.?在AADF與ABDE中，，AD=BD

ZA=ZDBE

.".△ADF^ABDE(ASA),

，DF=DE；

(3)由(2)知，AADF^ABDE.貝1S^ADF=S,、BDE，AF=BE=X.

』近：(x+1)2+立.即(x+l)2+近.

依題意得：=-(2+x)xsin60°x2x2sin60°=

Y=SABEF+SAABD

22444

該拋物線的開(kāi)口方向向上，

=在

最小值2°

答圖1

精選8、

(1)解：過(guò)點(diǎn)c作CF，y軸于點(diǎn)F,

.\ZAFC=90°,

.\ZCAF+ZACF=90°.

?.,△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,

；.AC=AB,ZCAF+ZBAO=90°,/AFC=/BAC,

AZACF=ZBAO.

在小ACF和4ABO中，

rZAFC=ZBAC

■ZACF=ZBA0-

AC=AB

AAACF^AABO(AAS)

初中數(shù)學(xué)

.?.CF=OA=1,AF=0B=2

.?.OF=1

C(-1,-1)；

(2)證明：過(guò)點(diǎn)C作CGLAC交y軸于點(diǎn)G,

.?.ZACG=ZBAC=90°,

.?.ZAGC+ZGAC=90°.

VZCAG+ZBAO=90°,

-?.ZAGC=ZBAO.

VZADO+ZDAO=90°,ZDAO+ZBAO=90°,

.\ZADO=ZBAO,

.\ZAGC=ZADO.

在小ACG和^ABD中

'NAGO/ADO

'ZACG=ZBAC

AC二AB

?.AACG^AABD(AAS),

...CG=AD=CD.

VZACB=ZABC=45",

；./DCE=/GCE=45°,

在小DCE和^GCE中，

rDC=GC

,ZDCE=ZGCE,

CE=CE

.?.△DCE^AGCE(SAS),

；./CDE=/G,

.\ZADB=ZCDE；

(3)解：在OB上截取OH=OD,連接AH

由對(duì)稱(chēng)性得AD=AH,NADH=NAHD.

VZADH=ZBAO.

.\ZBAO=ZAHD.

：BD是/ABC的平分線，

.\ZABO=ZEBO,

VZAOB=ZEOB=90°.

在小AOB和AEOB中，

rZAB0=ZEB0

<OB=OB,

ZA0B=ZE0B

?.AAOB^AEOB(ASA),

；.AB=EB,AO=EO,

.,.ZBAO=ZBEO,

ZAHD=ZADH=ZBAO=ZBEO.

-?.ZAEC=ZBHA.

在^AEC^CABHA中，

初中數(shù)學(xué)

，ZAEC=ZBHA

ZCAE=ZABO,

AC=AB

.".△ACE^ABAH(AAS)

.".AE=BH=20A

VDH=20D

BD=2(OA+OD).

精選9、

(1)證：設(shè)4。與/交于點(diǎn)E,BC與，交于點(diǎn)F,