山西省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)合考試試題文

PAGEPAGE9山西省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)合考試試題文考生留意：1.本試卷分第=1\*ROMANI卷（選擇題）和第=2\*ROMANII卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上．3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．第=1\*ROMANI卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（2＋3i）（3－i）的虛部為（）A.7B.7iC.9D.32.已知集合，則（）A.（3，4）B.（－1，3）C.D.3.已知命題，則為（）A.B.C.D.4.已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，，則f（－1）＝（）A.5B.1C.－1D.－35.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）A.7B.9C.11D.136.設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題不正確的是（）A.若l∥m，l⊥，則m⊥B.若l∥m，l∥，則m∥C.若l∥，m⊥，則l⊥mD.若，則l⊥m7.下圖是某品牌汽車2024年12個(gè)月的月銷售量（單位：臺(tái)）的折線圖．依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A.2024年下半年，該品牌汽車的月銷售量逐月增加B.與前一個(gè)月相比，月銷售量增量最大的是12月C.2024年，該品牌汽車月銷售量的中位數(shù)是1893臺(tái)D.2024年上半年，該品牌汽車月銷售量的平均數(shù)是916.5臺(tái)8.亭是我國(guó)古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場(chǎng)所，也是園林風(fēng)景的重要點(diǎn)綴．重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個(gè)圓錐以及一個(gè)圓臺(tái)（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺(tái)部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺(tái)部分的側(cè)面積為（）（參考公式：圓臺(tái)的表面積（分別是上、下底面的半徑，l是母線長(zhǎng)））A.B.C.D.9.已知函數(shù)，則（）A.f（x）的最小正周期為2B.f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增C.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.要得到函數(shù)y＝2cos2x－1的圖象，只需將y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度10.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則△ABC面積的最大值為（）A.B.C.D.11.已知x＝－1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則f（x）的極大值為（）A.B.6C.2D.6或212.如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)PO，PF分別交E于Q，R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A.B.C.D.第=2\*ROMANII卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知向量a＝（2，3），b＝（1，5），則a?（a－b）＝．14.已知拋物線與直線l：xー2y＋6＝0相切，則p＝．15.若x，y滿意約束條件，則的最小值是．16.十六、十七世紀(jì)之交，約輸?納皮爾潛心探討二十余年，獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)，在此基礎(chǔ)上，布里格斯進(jìn)一步改善對(duì)數(shù)，制造了第一個(gè)常用對(duì)數(shù)表．在計(jì)算器被獨(dú)創(chuàng)之前，對(duì)數(shù)給數(shù)學(xué)的計(jì)算帶來(lái)了極大的便利，拉普拉斯對(duì)此贊美道：“對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)讓天文學(xué)家的壽命增倍．”某天文學(xué)家須要計(jì)算，經(jīng)過(guò)查表得到如下參考數(shù)據(jù)，則最終計(jì)算結(jié)果為．x2.7051.3231.2616.5726.5746.5766.5780.43220.12160.10070.81770.81780.81800.8181三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每道試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．某機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)乩夏耆藢?duì)于去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的看法，隨機(jī)從該地區(qū)調(diào)査了300位老年人，結(jié)果如下：男女情愿9060不情愿6090（1）能否有99.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否情愿去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老與性別有關(guān)？（2）從情愿去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老的150位老年人中，按性別用分層抽樣的方法選取5位老年人，再?gòu)倪@5位老年人中隨意選取2位，求選中的2位老年人性別不同的概率．附：．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82818.（12分）已知數(shù)列滿意．（1）若是等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前2024項(xiàng)和．19.（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝2，側(cè)面PCD為等邊三角形，且平面PCD⊥平面ABCD．（1）證明：BP⊥CD．（2）若M是棱PC上一點(diǎn)，且PM＝2MC，求M到平面PBD的距離．20.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，且E的離心率．（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知E的右焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過(guò)F且與直線BF垂直．若l與E交于M，N兩點(diǎn)，求△BMN的面積．21.已知函數(shù)f（x）＝ax－sinx．（1）若a＝1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0．（2）已知函數(shù)，當(dāng)a≤1時(shí)，證明．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）分別求出C的一般方程和l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在l上，求的最小值．23.[選修4－5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式f（x）＞6的解集；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x－1）－f（x＋3），求g（x）的最大值．2024~2025學(xué)年山西省高二下學(xué)期5月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)參考答案（文科）1.A，故其虛部為72.C因?yàn)椋裕?.D存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，故選D．4.C．5.A因?yàn)椋裕?.B若l∥m，l∥，則m∥或m．7.D由圖可知，10月份的月銷售量相比于9月份是削減的，A不正確．12月份的月銷售量比11月份增加了5700－4224＝1476臺(tái)，7月份的月銷售量比6月份增加了2451－916＝1535臺(tái)，B不正確．2024年，該品牌汽車月銷售量的中位數(shù)是臺(tái)，C不正確．2024年上半年，該品牌汽車月銷售量的平均數(shù)是臺(tái)，D正確．8.A由題可知，圓臺(tái)的母線，故圓臺(tái)的側(cè)面積．9.D，所以f（x）的最小正周期，A不正確．當(dāng)時(shí)，，f（x）不單調(diào)，B不正確．令，解得，且，所以f（x）圖象的對(duì)稱中心為，C不正確．，D正確．10.D因?yàn)?，所以，即．又，所以sinA＝，即．因?yàn)?，所以．由余弦定理知，．因?yàn)椋詁c≤9，故△ABC的面積．11B因?yàn)椋裕謝＝－1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得m＝3或m＝－1.當(dāng)m＝3時(shí)，，f（x）無(wú)極值．當(dāng)m＝－1時(shí)，，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，故當(dāng)x＝－1時(shí)f（x）取得極大值，且極大值為6．12.B如圖，取E的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知，P＝QF，P∥QF，設(shè)，則，，．在中，，解得或m＝0（舍去），所以．在中，，整理得，故E的離心率為．13.－4因?yàn)閍＝（2，3），b＝（1，5），所以a?（a－b）＝2×1＋3X（－2）＝－414.3聯(lián)立方程組，整理得．因?yàn)镃與l相切，所以，解得p＝3或p＝0（舍去）．15.18表示可行域內(nèi)隨意一點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)O（0，0）之間的距離的平方．作出約束條件，所表示的可行域（圖略），可知當(dāng)OA與直線x＋y－6＝0垂直，且A為垂足時(shí)，z取得最小值，此時(shí)點(diǎn)O（0，0到直線x＋y－6＝0的距離，故．16.6.572＝0.8177，比照參考數(shù)據(jù)，．17.解：（1）由題可知，．………………4分因?yàn)?2＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否情愿去養(yǎng)老機(jī)構(gòu)養(yǎng)老與性別有關(guān)．………………6分（2）應(yīng)在男性老年人中選取位，分別記為A，B，C；女性老年人中選取2位分別記為a，b．………………8分從這5人中任選2人，總的基本領(lǐng)件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10種，性別不同的事務(wù)有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共6種，……10分所以所求的概率．………………12分18.解：（1）設(shè)的公比為q，則，………………2分解得，………………4分所以．………………6分（2）因?yàn)?，所以……………?分………………10分………………11分．………………12分19.（1）證明：如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接PO，BO．因?yàn)椤鱌CD是等邊三角形，所以PO⊥CD．……………1分因?yàn)锳B∥CD，∠ADC＝90°，AB＝CD，所以BO⊥CD．……………3分又，所以CD⊥平面PBO．………………4分又平面PBO，所以BP⊥CD．………………5分（2）解：連接MB，MD．因?yàn)镃D＝4，所以．…6分又PM＝2MC，所以．………………7分因?yàn)锽O⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD且交線為CD，所以BO⊥平面PCD．………………8分又BO＝AD＝2，所以．………………9分因?yàn)?，所以．………?0分設(shè)M到平面PBD的距離為d，因?yàn)?，所以，……………?1分解得，即M到平面PBD的距離為．……………12分20.解：（1）因?yàn)镋的上頂點(diǎn)為，所以．……………1分又E的離心率，所以，解得，………………2分故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．………………4分（2）由（1）可知，F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，0）．因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)F且與直線BF垂直，所以l的方程為．…………5分分別設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，…………6分則．………………7分所以．…………9分因?yàn)?，…………?0分所以△BMN的面積．………………12分21.證明：（1）因?yàn)閍＝1，所以，…2分所以f（x）是增函數(shù)．…3分又x≥0，所以f（x）≥f（0）＝0.………………5分（2）因?yàn)閍≤1，x≥0，所以．…………7分設(shè)函數(shù)，則，………………8分令函數(shù)，則，……………9分由（1）可知，，所以是減函數(shù)，所以，即，故h（x）是減函數(shù)，則h（x）≤h（0）＝0，…11分所以當(dāng)a≤1時(shí)，．………………12分22.解：（1）由題可知，C