版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
函數(shù)的極值與最大(小)值第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用人教A版
數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解函數(shù)的最大值、最小值的含義.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大(小)值.3.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中最優(yōu)化問(wèn)題的方法.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值1.一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條
的曲線,那么它必有最大值和最小值.
不一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得,且
最大值和最小值都是唯一的2.一般地,求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的
;
(2)將函數(shù)y=f(x)的
與
處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是
,最小的一個(gè)是
.
連續(xù)不斷
極值各極值端點(diǎn)最大值最小值名師點(diǎn)睛1.給定的區(qū)間必須是閉區(qū)間,如果是開(kāi)區(qū)間,盡管函數(shù)圖象是連續(xù)的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,2)上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,但在該區(qū)間上,函數(shù)f(x)既沒(méi)有最大值,也沒(méi)有最小值.2.如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào),那么函數(shù)的最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得.3.函數(shù)的最大(小)值是一個(gè)整體性概念,最大值(最小值)必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值(最小值).思考辨析極值與最值有何區(qū)別和聯(lián)系?提示
(1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì),是在局部對(duì)函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況,是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較.(2)函數(shù)在閉區(qū)間上的極值不一定是最值,需要將極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.(3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值,那么極大值就是最大值,極小值就是最小值.自主診斷1.如下圖,可知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的極大值為
;極小值為
;最大值為
,最小值為
.
f(x1),f(x3)f(x2),f(x4)f(b)f(x4)2.下列結(jié)論正確的是(
)A.若f(x)在區(qū)間[a,b]上有極大值,則極大值一定是區(qū)間[a,b]上的最大值B.若f(x)在區(qū)間[a,b]上有極小值,則極小值一定是區(qū)間[a,b]上的最小值C.若f(x)在區(qū)間[a,b]上有極大值,則極大值一定是在x=a和x=b處取得D.若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上存在最大值和最小值D解析
函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的極值不一定是最值,最值也不一定是極值,極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得,而若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上一定存在最大值和最小值.3.[蘇教版教材例題]求f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[-1,4]上的最大值與最小值.解
f'(x)=2x-4.令f'(x)=0,解得x=2.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如表所示.x-1(-1,2)2(2,4)4f'(x)-6-0+4f(x)8↘-1↗3從上表可知,函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[-1,4]上的最大值是8,最小值是-1.知識(shí)點(diǎn)2生活中的優(yōu)化問(wèn)題在實(shí)際生產(chǎn)生活中,求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題,通常稱為優(yōu)化問(wèn)題.名師點(diǎn)睛用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活問(wèn)題的基本思路思考辨析在實(shí)際問(wèn)題中,若在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)在該點(diǎn)處取最大(小)值嗎?你能列舉幾個(gè)關(guān)于利潤(rùn)的等量關(guān)系嗎?提示
根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷,函數(shù)在該點(diǎn)處取最大(小)值,并且極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值,極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值.舉例:利潤(rùn)=收入-成本,利潤(rùn)=每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷售件數(shù).自主診斷1.要做一個(gè)圓錐形漏斗,其母線長(zhǎng)為20cm,要使其體積最大,則高應(yīng)為(
)B2.[蘇教版教材習(xí)題]把長(zhǎng)為60cm的鐵絲圍成矩形,當(dāng)長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)矩形的面積最大?解
設(shè)矩形的長(zhǎng)為x
cm,則寬為(30-x)cm,矩形面積為S(x)=x(30-x)=30x-x2(0<x<30).令S'(x)=30-2x=0,得x=15.當(dāng)0<x<15時(shí),S'(x)>0;當(dāng)15<x<30時(shí),S'(x)<0.所以S(x)在x=15處取得極大值,這個(gè)極大值也是S(x)的最大值.答:當(dāng)長(zhǎng)為15
cm,寬為15
cm時(shí),矩形面積最大.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求函數(shù)的最大(小)值角度1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值【例1-1】
求下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最大值與最小值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];分析求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的極值點(diǎn),先求出極值,再結(jié)合定義域,將所有極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較求得最大(小)值.解
f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)
+0-
f(x)-14單調(diào)遞增極大值-10單調(diào)遞減-12所以當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取最小值f(-1)=-14,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)取最大值f(0)=-10.規(guī)律方法
求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,需注意以下三點(diǎn):1對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并檢驗(yàn)f'(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi)2研究函數(shù)的單調(diào)性,確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值3比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最值變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值與最小值:(1)f(x)=x3-12x2+45x-10,x∈[0,10];解
f'(x)=3x2-24x+45=3(x2-8x+15)=3(x-3)(x-5).令f'(x)=0,得x1=3,x2=5.又f(0)=-10,f(10)=1
000-1
200+450-10=240,f(3)=27-12×9+45×3-10=44,f(5)=53-12×52+45×5-10=40.因?yàn)閒(0)<f(5)<f(3)<f(10),所以f(x)最大值=240,f(x)最小值=-10.所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)有最小值f(0)=0;當(dāng)x=2π時(shí),f(x)有最大值f(2π)=π.角度2.求函數(shù)在開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間上的最大(小)值【例1-2】
求下列函數(shù)的最大值與最小值:(1)f(x)=lnx-x+1;分析沒(méi)有給定相應(yīng)的閉區(qū)間,因此應(yīng)分析函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性與極值情況,根據(jù)單調(diào)性與極值畫(huà)出函數(shù)的大致圖象,結(jié)合圖象求出最大值與最小值.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.所以f(x)在x=1處取得唯一極大值,也是最大值,且最大值為f(1)=ln
1-1+1=0,無(wú)最小值.(2)f(x)=(x2-3)ex.解
函數(shù)f(x)的定義域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-3)和(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-3,1)內(nèi)單調(diào)遞減,因此函數(shù)f(x)在x=-3處取得極大值,極大值f(-3)=6e-3;在x=1處取得極小值,極小值f(1)=-2e.從函數(shù)圖象可得函數(shù)f(x)的最小值就是函數(shù)的極小值f(1)=-2e,而函數(shù)f(x)無(wú)最大值.規(guī)律方法
求函數(shù)在開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間上最大(小)值的方法求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間或開(kāi)區(qū)間上的最大(小)值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通過(guò)單調(diào)性和極值情況,畫(huà)出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最大(小)值.A探究點(diǎn)二含參數(shù)的最大(小)值問(wèn)題角度1.求含參數(shù)的函數(shù)的最大(小)值
①當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)>0,解得0<x<a,令f'(x)<0,解得x>a,故f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞減.②當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.變式探究本例(2)中改為“求f(x)的最大值”.解
當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,無(wú)最大值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減.故當(dāng)x=a時(shí),f(x)max=f(a)=-ln
a.規(guī)律方法
求解函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值,需注意以下幾點(diǎn):(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f'(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)根據(jù)極值點(diǎn)與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系(即極值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi))確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)后確定函數(shù)的極值.(3)分類討論后比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最大(小)值.變式訓(xùn)練3已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.★★角度2.與函數(shù)最大(小)值和參數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題
③若-e<a<-1,當(dāng)0<x<ln(-a)時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在(0,ln(-a))上單調(diào)遞減,當(dāng)ln(-a)<x<1時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(ln(-a),1)上單調(diào)遞增.規(guī)律方法
已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維,一般先求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,探索最值點(diǎn),根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問(wèn)題.變式訓(xùn)練4[2024江蘇淮安高三階段練習(xí)]已知函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+alnx,a∈R.(1)若f(x)在x=1處取得極值,求f(x)的極值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為-2a,求a的取值范圍.①當(dāng)a≤1,x∈[1,e]時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(1)=-2a,滿足題意;②當(dāng)1<a<e時(shí),令f'(x)>0,則x>a或0<x<,所以f(x)在[1,a]上單調(diào)遞減,在[a,e]上單調(diào)遞增,此時(shí),f(x)的最小值為f(a),且f(a)<f(1)=-2a,不滿足題意;③當(dāng)a≥e時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,f(x)的最小值為f(e),且f(e)<f(1)=-2a,不滿足題意.綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].探究點(diǎn)三生活中的優(yōu)化問(wèn)題【例3】
某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數(shù),已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.分析(1)根據(jù)x=5時(shí),y=11求a的值;(2)把每日的利潤(rùn)表示為銷售價(jià)格x的函數(shù),用導(dǎo)數(shù)求最大值.于是當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(3,4)4(4,6)f'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以,當(dāng)x=4時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.故當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.規(guī)律方法
利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,其中最大(小)者為f(x)在區(qū)間上的最大(小)值.求解時(shí)應(yīng)注意:(1)合理選擇變量,正確寫(xiě)出函數(shù)解析式,給出函數(shù)定義域;(2)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系;(3)必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.變式訓(xùn)練5[北師大版教材例題]如圖①,一邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮,四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器,如圖②.所得容器的容積V(單位:cm3)是關(guān)于截去的小正方形的邊長(zhǎng)x(單位:cm)的函數(shù).圖①
圖②
(1)隨著x的變化,容積V是如何變化的?(2)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?解
(1)根據(jù)題意,可得V=V(x)=(48-2x)2x.由實(shí)際情況可知函數(shù)V(x)的定義域?yàn)閧x|0<x<24}.所以V'(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=(48-2x)(-6x+48)=12(x-24)(x-8).解方程V'(x)=0,得x1=8,x2=24.根據(jù)x1,x2列出下表,分析V'(x)的符號(hào)、V(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn).x(0,8)8(8,24)V'(x)+0-V=V(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減根據(jù)表可知,x=8是函數(shù)V=V(x)的極大值點(diǎn),相應(yīng)的極大值為V=V(8)=(48-16)2×8=8
192(cm3).V=(48-2x)2x的大致圖象如圖.根據(jù)對(duì)函數(shù)變化規(guī)律的討論可知:當(dāng)0<x≤8時(shí),函數(shù)V=V(x)單調(diào)遞增;當(dāng)8≤x<24時(shí),函數(shù)V=V(x)單調(diào)遞減.(2)區(qū)間(0,24)上任意點(diǎn)的函數(shù)值都不超過(guò)V(8),因此,x=8是函數(shù)的最大值點(diǎn).此時(shí)V=V(8)=8
192(cm3)是函數(shù)V=V(x)在區(qū)間(0,24)上的最大值.即當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為8
cm時(shí),得到的容器容積最大,最大容積為8
192
cm3.探究點(diǎn)四構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)不等式【例4】
求證:ex≥x+1.證明
設(shè)函數(shù)f(x)=ex-(x+1),x∈R,f'(x)=ex-1.當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)的最小值為f(0)=0.即ex≥x+1.變式探究求證:lnx≤x-1.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)的最大值為f(1)=0,所以ln
x-(x-1)≤0,即ln
x≤x-1.(方法2)將例4變形可得ex-1≥x,所以當(dāng)x>0時(shí),ln
x≤x-1.規(guī)律方法
1.在函數(shù)不等式的證明中,若不等式的兩邊含有自變量時(shí),可移項(xiàng)后構(gòu)造函數(shù),證明所構(gòu)造的函數(shù)的最大(小)值與0的大小關(guān)系,常見(jiàn)的方法是:欲證明f(x)>g(x),可
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年度辦公室裝修與家具采購(gòu)一體化合同范本3篇
- 初中音樂(lè)教學(xué)論文六篇
- 小班清明節(jié)語(yǔ)言課程設(shè)計(jì)
- 自控課程設(shè)計(jì)校正概論
- 網(wǎng)絡(luò)工程課程設(shè)計(jì)項(xiàng)目
- 電子鐘課程設(shè)計(jì)微機(jī)原理
- 智能榨汁機(jī)課程設(shè)計(jì)
- 2024綜合安全生產(chǎn)年終個(gè)人工作總結(jié)(30篇)
- 《高科技武器》課件
- 2024年職業(yè)技能鑒定中級(jí)題庫(kù)
- 老化測(cè)試記錄表
- 金屬齒形墊片安全操作規(guī)定
- (完整版)ABAQUS有限元分析實(shí)例詳解
- 區(qū)塊鏈技術(shù)與應(yīng)用學(xué)習(xí)通課后章節(jié)答案期末考試題庫(kù)2023年
- 2023學(xué)年度廣東省廣州市天河區(qū)九年級(jí)(上)期末化學(xué)試卷(附詳解)
- 拍賣行業(yè)務(wù)管理制度拍賣行管理制度
- 焊接工序首件檢驗(yàn)記錄表
- 七年級(jí)上學(xué)期期末考試歷史試卷及答案(人教版)
- 飲品創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目計(jì)劃書(shū)
- 外國(guó)文學(xué)史期末考試題庫(kù)(含答案)
- GB 18384-2020電動(dòng)汽車安全要求
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論