2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

選擇題(共9小題)

1.下列命題正確的是()

A.(sinir)'=cosn

B.已知函數(shù)/(x)=ln(2x+l),若f(xo)=1,則xo=O

C.已知函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，若f(1)=2,則而/(1+2竽_/(1)=2

9

⑵--

D.設(shè)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且/G)4

2.曲線f(%)=3/一］在點(diǎn)(1,/(1))處的切線的方程為()

A.10x+y-8=0B.10x-y-8=0C.8x-y-6=0D.8x+y-6=0

3.如果函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于y=/(x)判斷正確的是(

A.在區(qū)間(2,4)上是嚴(yán)格減函數(shù)

B.在區(qū)間(1,3)上是嚴(yán)格增函數(shù)

C.x=-3是極小值點(diǎn)

D.x=4是極小值點(diǎn)

1

3

-X2

4.已知/(%)3-%在區(qū)間(m,6-m)上有極小值，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(一8,V5)B.(-2,V5)C.[-2,V5)D.(-V5,1)

5.函數(shù)/(%)=%+(-仇%的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-2,3)B.(-8,一2)U(3,+8)

C.(3,+8)D.(0,3)

6.已知/(%)=/+3扇+法+。2在工=-1處有極值0,貝！J()

A.11或4B.一4或一HC.11D.4

7.已知函數(shù)/(x)=/+〃%,若，叫‘0+^2'⑴=&則。=()

A.8B.6C.4D.2

f(l+2d%)一/⑴

8.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了(龍)，且/(1)=5,則〃TH

Ax

5

A.2B.-C.5D.10

2

9.下列說法正確的是()

A.函數(shù)在某區(qū)間上的極大值不會小于它的極小值

B.函數(shù)在某區(qū)間上的最大值不會小于它的最小值

C.函數(shù)在某區(qū)間上的極大值就是它在該區(qū)間上的最大值

D.函數(shù)在某區(qū)間上的最大值就是它在該區(qū)間上的極大值

二.填空題(共6小題)

11

10.若曲線>=/“(無+。)的一條切線為y=e尤-b(e為自然對數(shù)的底數(shù))，其中a,b為正實(shí)數(shù)，則一+二的

''eab

取值范圍是.

3

11.若函數(shù)f(x)=號一恭2+4X+1在區(qū)間(1,4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

12.若直線>=尤+1和曲線y=a/力尤+2相切，則實(shí)數(shù)a的值為.

13.已知函數(shù)/(x)=kec-2x,若腕€R,f(xo)WO,則實(shí)數(shù)人的最大值是.

14.若函數(shù)/(x)ex-2x,則使得/(x)>/(2x-1)成立的尤的取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(x)=logax(a>0且aWl),若f1(1)=1,則a=.

三.解答題(共5小題)

16.已知函數(shù)/(%)=々爐+區(qū)+1在x=0處有極值2.

(I)求a,b的值；

(II)證明：f(x)>ex-x.

1

17.已知函數(shù)/(%)=I—％+a仇％,6/GR.

(I)求曲線y=/G)在(1,/(D)處的切線方程；

(II)若/(x)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞減，求〃的取值范圍：

(III)若〃>0,于(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)xi,X2,證明："J"2)<a一2.

18.若函數(shù)y=/(x)存在零點(diǎn)〃，函數(shù)y=g(x)存在零點(diǎn)。，使得則稱/(x)與g(x)互為

親密函數(shù).

1

(1)判斷函數(shù)/(x)=2%+x-2與g(%)=%①(2%)-％-而是否為親密函數(shù)，并說明理由；

42

(2)若函數(shù)/z(x)=/2_1+1與％a)=x+mjc+(2根+1)x+m+2互為親密函數(shù)，求機(jī)的取值范圍.

附：物3n1.1.

19.已知函數(shù)尤)=a/+simx+l在區(qū)間(0,芻內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，其中aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：f(x)在區(qū)間(0,堂內(nèi)有唯一零點(diǎn).

1

20.已知/(X)=2ae2x—(2a+l)e"+2x.

(1)當(dāng)。＞0時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若/(x)W0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

參考答案與試題解析

一.選擇題(共9小題)

1.下列命題正確的是()

A.(sinn)'=cosn

B.已知函數(shù)，(x)=ln(2x+l),若f(xo)=1,則%o=O

C.已知函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，若f'(1)=2,則〃根絲土絲上@=2

D.設(shè)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為(無)，且/(x)=/+3對7(2)+lnx,則/''(2)=—

【考點(diǎn)】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可判斷AB的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算可判斷。的正誤，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)的運(yùn)算規(guī)則可判斷C的正誤.

【解答】解：對A：(sinit)'=0,故4錯(cuò)誤；

1221

對2：廣(久)=蓋1(2久+1)'=春;，若f(xo)=1,則另F=1即&=*，故8錯(cuò)誤；

對C：碗"1+2：止'⑴=2f(1)=4,故C錯(cuò)誤；

x^O△%

11Q

對D(x)=2x+3/’(2)+。，故/'(2)=4+3/'(2)+京故/，(2)=—故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.曲線/Xx)=3*一,在點(diǎn)(1,7(1))處的切線的方程為()

A.10x+y-8=0B.10x-y-8=0C.Sx-y-6=0D.8x+y-6=0

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程.

【專題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

11

【解答】解:由/(久)=3/—3得//(乃=9/+衰，則/(1)=10,而/⑴=2,

則曲線f(x)=3/一［在點(diǎn)(1,/(1))處的切線的方程為y-2=10(x-1),

即1Ox-j-8=0.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題.

3.如果函數(shù)>=/（無）的導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則以下關(guān)于y=/（x）判斷正確的是（）

A.在區(qū)間（2,4）上是嚴(yán)格減函數(shù)

B.在區(qū)間（1,3）上是嚴(yán)格增函數(shù)

C.x=-3是極小值點(diǎn)

D.x=4是極小值點(diǎn)

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象分析/（%）在不同區(qū)間上取值的正負(fù)，然后判斷了（x）相應(yīng)的單調(diào)性，即可判斷每

個(gè)選項(xiàng).

【解答】解：對于A,由圖象知/（x）在（2,4）上取正值，所以/（x）在（2,4）上遞增，A錯(cuò)誤；

對于2,由圖象知/（無）在（1,3）上取正值，所以/（x）在（1,3）上遞增，B正確；

對于C,由圖象知/（無）在某個(gè)（-3-c,-2）上取負(fù)值，這里c>0,

所以/（x）在（-3-c,-2）上遞減，從而x=-3不可能是/（x）的極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；

對于。，由圖象知，（x）在（3,4）上取正值，在某個(gè)（4,4+4）上取負(fù)值，這里1>0,

所以了（無）在（3,4）上遞增，在（4,4+d）上遞減，從而x=4是/（%）的極大值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.已知/（%）=一%在區(qū)間（m,6-n?）上有極小值，則實(shí)數(shù)“Z的取值范圍是（）

A.（-8,V5）B.（-2,V5）C.[-2,V5）D.（—遍，1）

【考點(diǎn)】由函數(shù)的極值求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系可求.

【解答】解：f(x)=x2-1,

易得，當(dāng)尤>1或X<-1時(shí)，/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)-1〈尤<1時(shí)，/(無)<0,函數(shù)單調(diào)遞

減，

故當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得極小值，

因?yàn)?'(久)=/產(chǎn)—萬在區(qū)間(m,6-m2)上有極小值，

所以；77<1<6-tn2,

解得一百<m<1.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.函數(shù)/(久)=x+3-bur的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-2,3)B.(-8,一2)U(3,+8)

C.(3,+8)D.(0,3)

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】求導(dǎo)，令f(%)<0,并結(jié)合函數(shù)的定義域，得解.

【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

n/、r61X2—x—6(x—3)(工+2)

f(x)=1——7=----5——=------W-----

令f(x)<0,則-2c尤<3,

又x>0,所以0<x<3,

所以了(無)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵，考

查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知無)=?+3以2+bx+/在x=-1處有極值0,貝!Ja+6=()

A.11或4B.-4或-11C.11D.4

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】c

【分析】先求解導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)極值的概念求解參數(shù)的值即可.

【解答】解：根據(jù)題意，f(x)=3^+6ax+bf

???函數(shù)/(%)在冗=-1處有極值0,

:.f(-1)=3-6〃+Z?=0且/(-1)=-1+3〃-Z?+〃2=o,

??〃=1,b=3〃=2,Z7=9,

a=l,Z?=3時(shí)/(x)=37+6x+3N0恒成立，此時(shí)函數(shù)無極值點(diǎn),

???〃=2,6=9,

〃+/?=n.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的極值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7.己知函數(shù)/(x)—x'+ax,若lim/⑴=8,則。=()

2ix->o

A.8B.6C.4D.2

【考點(diǎn)】變化率的極限與導(dǎo)數(shù)的概念.

【專題】整體思想；定義法；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得lim"1+q2―"1)=八1),再求導(dǎo)求解即可解出.

【解答】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得：lim/(1+^~/(1)=f(1),即7(1)=8,

因?yàn)?(x)=4x3+a,所以/(1)=4+a=8,

解得。=4.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且/(1)=5,則碗'(1+2，)-f⑴=()

5

A.2B.-C.5D.10

2

【考點(diǎn)】含Ax表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由極限的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的定義可得limf(l+2第二41)=2f(1),進(jìn)而得到答案.

【解答】解：函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)為了（X）,且了（1）=5,

/(1+24%)一/1)/(1+2/x)—/⑴

則Um=2xlim=2/(1)=10,

Zlx->0Ax2Ax

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，涉及極限的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.下列說法正確的是（）

A.函數(shù)在某區(qū)間上的極大值不會小于它的極小值

B.函數(shù)在某區(qū)間上的最大值不會小于它的最小值

C.函數(shù)在某區(qū)間上的極大值就是它在該區(qū)間上的最大值

D.函數(shù)在某區(qū)間上的最大值就是它在該區(qū)間上的極大值

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理.

【答案】B

【分析】根據(jù)極值和最值的聯(lián)系與區(qū)別即可判斷.

【解答】解：如圖，為函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［。，切上的圖象：

對于選項(xiàng)A：極大值無1）＜極小值/（X4）,故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)2：根據(jù)最大值的概念可知，函數(shù)的最大值一定大于或等于它的最小值，故2正確；

如圖所示，函數(shù)/（無）在區(qū)間團(tuán)，切上的極大值/（X3）,而不是最大值，故C錯(cuò)誤；

同時(shí)，最大值/（b）不是極大值，故。也錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念，考查數(shù)形結(jié)合思想與邏輯推理能力，屬于中檔題.

二.填空題（共6小題）

11

10.若曲線y=/〃（尤+a）的一條切線為y=e尤-b（e為自然對數(shù)的底數(shù)），其中a,b為正實(shí)數(shù)，則一+工的

''eab

取值范圍是⑵+8）

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】［2,+8）.

【分析】先令導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，得到a,b的關(guān)系式,

11

最后結(jié)合函數(shù)思想求出一+工的范圍.

eab

【解答】解：由己知令=±=e,

11

解得故切點(diǎn)為（一一a,-1）,

ee

代入切線得2=b+ea>0,故OVaVg

111111bea1

所以一+-=-(6+ea)(一+,)=一(2+—+—)>-(2+2

eab2eab2'eab72'

當(dāng)且僅當(dāng)6=1,4=《時(shí)取等號，

11

故一+722即為所求.

eab

故答案為：［2,+8）.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

3

11.若函數(shù)/⑺=a-拄2+4X+1在區(qū)間（1,4）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（4,5）

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】函數(shù)思想；方程思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由己知，得，（無）=尤2-派+4=0在（1,4）上存在變號零點(diǎn)，參變分離后利用導(dǎo)數(shù)討論新

函數(shù)的單調(diào)性后，可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3

【解答】解：?函數(shù)/（久）=今一品2+4x+1,（x）=J?-ax+4,

若函數(shù)/（無）在區(qū)間（1,4）上不單調(diào)，

則，（無）=/-辦+4=0在（1,4）上存在變號零點(diǎn)，

4

由/-得，

QX+4=0,a=%+-x

令0（%）=%+$xC（1,4）,g/（X）=（久+2學(xué)—2）,

???g（x）在（1,2）遞減，在（2,4）遞增,

444

-9-1+-9⑷-4+-5

而g（2）=2+2-4,1-5,4-

???4V〃V5,

實(shí)數(shù)。的取值范圍為（4,5）.

故答案為：（4,5）.

【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)思想與方程思想，屬中檔題.

12.若直線>=尤+1和曲線y=a說計(jì)2相切，則實(shí)數(shù)a的值為1.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】1.

【分析】首先求導(dǎo)得y，再設(shè)切點(diǎn)為（xo,yo）,根據(jù)斜率左=1,得色=1,再將（xo,yo）分別

代入直線與曲線中，聯(lián)立方程組，解方程即可求出參數(shù)a.

【解答】解：已知y=a玩什2,得y，=%設(shè)切點(diǎn)為（尤o,yo）,

已知直線斜率左=1,得巴=1,再將（尤o,yo）分別代入直線與曲線中，

（ay

x（a=1

可得（>0=久0+1,解得久0=1.

,,9Do=2

（y。=alnx0+2，

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

2

13.已知函數(shù)/⑴=kex-2x,若"ER,f（xo）WO,則實(shí)數(shù)左的最大值是".

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.

【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】

e

【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為kw奈設(shè)9（%）=黃，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）單調(diào)性與最大值，即可求

解.

【解答】解：由/（尤）W0,可得左/-2xW0,即kW等，

設(shè)9。）=留，可得9'（x）=號等=

當(dāng)0<尤<1時(shí)，g'（%）>0,g（%）單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以，當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g⑴

22

因?yàn)锳oER,/Go)W①所以所以實(shí)數(shù)人的最大值為一.

,,,2

故答案為：二

e

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.若函數(shù)/G)=^-e~x-2x,則使得/(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是{x|x<l}.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】{無仇<1}.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)/(x)的單調(diào)性，得出/(x)>/(2x-1)等價(jià)于X>2x-1,求解即可.

【解答】解：由/(尤)="-/「2彳可得：函數(shù)定義域?yàn)镽,/(尤)=/+〃-2.

因?yàn)椋?黑工N2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)等號成立，

所以,(尤)NO,

則函數(shù)/(無)=爐-I*-2x為R上的增函數(shù).

所以/(x)>/(2尤-1)等價(jià)于％>2尤-1,解得：x<l.

故答案為：

【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

15.已知函數(shù)/(%)=logax(a>0且),若/'(1)=1,則a=e.

【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】e.

【分析】根據(jù)已知條件，對/(x)求導(dǎo)，再結(jié)合,(1)=1,即可求解.

【解答】解：函數(shù)/(X)=logaX(4>0且。=1),

則了9=焉，

f⑴=1，

1

則了(1)=而而=L解得"=e.

故答案為：e.

【點(diǎn)評】本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題(共5小題)

16.已知函數(shù)/(%)=〃/+公+1在x=0處有極值2.

(I)求mb的值；

(II)證明：f(x)>ex-x.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(I)〃=1,b=-1.

(II)見證明過程.

【分析】(I)/(x)=aex+b,根據(jù)函數(shù)/(x)=〃/+法+1在x=0處有極值2,可得/(0)=0,f

(0)=2,解得b.即可得出.

(II)由(I)可知，f(%)="-x+1.要證f(x)>ex-x.只需證：/-x+l>ex-x.即-ex+1

>0.令g(x)=ex-ex+L利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值即可證明結(jié)論.

【解答】(I)解：f(x)=〃/+'

???函數(shù)/(%)=〃/+法+1在％=0處有極值2,

:(0)=〃+/?=0,f(0)=〃+1=2,

解得a=l,b=-1.

經(jīng)檢驗(yàn)，a=l,Z?=-l符合題意.

(II)證明：由(I)可知，f(x)

要證/(x)>ex-x.

只需證：-x+l>ex-x.

即/-e%+l>0.

令g(x)-ex+1,則(x)="-e.

令父(%)=0,解得％=1.

列表如下：

X(-8,1)1(1,+°°)

g'(X)-0+

g⑴單調(diào)遞減1單調(diào)遞增

可得：尤=1時(shí)，g(x)有最小值g(1)=e-e+l=l>0.

故/(x)成立.

【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，

考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

1

17.已知函數(shù)/1(%)=彳—x+aZnx,aeR.

(I)求曲線y=/(x)在(1,/(D)處的切線方程；

(II)若f⑺在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍：

(IID若40,/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)無1,無2,證明：<a-2.

Xi-X2

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(I)y=(a-2)(x-1)；

(II)(-8,韻；

(IID證明見解析.

【分析】(I)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；

(II)根據(jù)單調(diào)性可知X?-辦+1〉。在(3,+8)上恒成立,利用分離變量法可得a<X+p由/(x)=%H-i

>h(3)可得結(jié)果；

11

(III)設(shè)OVxiV%2,則X2>1,將所證不等式轉(zhuǎn)化為丁一%2+2仇%2V°，令g(%)=鼠一%+2仇%,利

用導(dǎo)數(shù)可求得g(%)<0,由此可證得結(jié)論.

【解答】解：(I)由題意知：f/(x)=-當(dāng)-1+：,〃久)定義域?yàn)?0,+8),

?:f(1)=4-2,又/(I)=0,

，曲線y=/(x)在(1,/(D)處的切線方程為>=(〃-2)(x-1)；

(II)(久)=_*]+'=-2孩+1,又/(X)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞減，

..._尤2監(jiān)+1w0在(3,+8)上恒成立，即/-以+120在(3,+8)上恒成立，

X乙

1

???。4%+艮在(3,+8)上恒成立，

11

設(shè)力(%)=%4—，則〃/(%)—1--29

XX乙

1n

當(dāng)x>3時(shí)，h'(x)>0,：.h(x)單調(diào)遞增，M.〃(x)>/(3)=號,

：.a<^-,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(—8,學(xué)];

證明：(III)由(II)知：XI,X2滿足了2-依+1=0,.\X1X2=1,

不妨設(shè)0<XlVx2,則X2>1,

1Znx1-Znx2lnxr-lnx2-2lnx2

-l+cz=-2+a=-2+Q

1,打一％2%1%2Xi-%2%l-%2---x?

%2

則要證“巧一"犯)<a_2,即證q聿竺Z<a,

第1一汽2十一%2

x2

11

即證22<x2—彳，也即證丁一%2+21nx2<0成立，

2

設(shè)函數(shù)g(%)=--x+2lnx,則gz(x)=-^-l+-=-('？<0,

XX乙xX乙

?9.g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，又g(1)=0,

???當(dāng)(1,+8)時(shí)，g(x)<0,

1r

———x?+2lnx?VO,BP-----------<a—2.

X2Xr-X2

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，涉及到已知單調(diào)性求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等

式等知識；證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)㈦p變量的問題轉(zhuǎn)化為單一變量的問題，從而將不等式證明轉(zhuǎn)化為

關(guān)于單一變量的函數(shù)最值的求解問題，屬于難題.

18.若函數(shù)y=/(x)存在零點(diǎn)〃，函數(shù)y=g(x)存在零點(diǎn)b,使得則稱/(x)與g(%)互為

親密函數(shù).

(1)判斷函數(shù)/(x)=2*+x-2與g(x)=xbi(2x)-x-而是否為親密函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)h(x)—ex~2-x+1與k(x)=x4+/ra:2+(2加+1)x+m+2互為親密函數(shù)，求m的取值范圍.

附：加3yl.1.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)是，理由見解析；

43

⑵[一石，-1]-

【分析】(1)先判斷函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的單調(diào)性；再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理確定零點(diǎn)的存在區(qū)

間；最后根據(jù)親密函數(shù)的定義即可判斷.

(2)先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)無(x)的單調(diào)性，求出最值，得出函數(shù)/?(無)的零點(diǎn)；再根據(jù)h⑺與k(x)

互為親密函數(shù)得出函數(shù)左(x)零點(diǎn)b的取值范圍1W6W3,從而將題目條件轉(zhuǎn)化為方程-爪=等在

0+1)2

[b3]上有解；最后構(gòu)造函數(shù)/⑶=1+%+/(1WxW3),利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性和值域即可求

。+1)

解.

【解答】解：(1)記。是函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)，6是函數(shù)y=g(x)的零點(diǎn).

因?yàn)?'(無)=2%x-2在R上單調(diào)遞增，且/&)=四+*-2<0,/(I)=2+1-2>0,

所以由零點(diǎn)的存在性定理可得：ae8,1).

11

因?yàn)?lt;9(%)=%伍(2%)—x--JQ-x[Zn(2x)—1]—

所以函數(shù)丁=且(x)的定義域?yàn)?0,+8),g'(%)=ln(2x).

令屋(x)>0,得工>.；令屋(x)<0,得OVxV.,

所以g(x)在(0,》上單調(diào)遞減，在8,+8)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(l)=ln2—1—點(diǎn)VO,又搟)=,"3——白>0,

所以由零點(diǎn)的存在性定理可得：66(1,1).

所以|a-6|WL故/(x)與g(x)互為親密函數(shù).

(2)因?yàn)榈?x)=ex~2-x+1,

所以〃(X)=，一2一1,函數(shù)〃(％)的定義域?yàn)镽.

令〃(X)>0得x>2；令h'(無)<0得x<2,

則/?(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

所以//(尤)min=h(2)=0,故(X)有唯一的零點(diǎn)2.

記6是函數(shù)y=%(x)的零點(diǎn).

因?yàn)?/(x)與k(x)=x4+mx2+(2m+1)尤+加+2互為親密函數(shù),

由|2-例W1,得1W6W3,

所以左(x)=0在口，3]上有解.

x4+x+2_X4+X+2

由（）可得一

kx=0,m=22

x+2x+l-（x+i）

設(shè).)=*("“三與，則?⑺=皆落干.

設(shè)G（尤）=2d+4尤3-尤-3（1WXW3）,則G'（無）=8x3+12?-1,

G'(無)在［1,3］上單調(diào)遞增，則G'(x)》G'(1)=19>0,

所以G(x)在［1,3］上單調(diào)遞增，則G(尤)NG(1)=2>0,

所以產(chǎn)(%)>0,從而尸(x)為增函數(shù)，則E⑴令(x)WF(3),即lWF(x)W箸.

所以1W—mW普，解得一竿■WmW—1,故機(jī)的取值范圍為［一善，—1］.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，方程與函數(shù)的關(guān)系及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等，考查運(yùn)

算求解能力，屬于中檔題.

19.已知函數(shù)/⑴=a/+sinx+l在區(qū)間(0,今內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，其中a€R,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：/(%)在區(qū)間(0,岑)內(nèi)有唯一零點(diǎn).

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)(-1,0)；

(2)證明見解析.

【分析】(1)求導(dǎo)得/(x),分和a<0討論,(無)的單調(diào)性，并保證在(0,芻內(nèi)有唯一零點(diǎn)

XI即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)確定了(無)在區(qū)間(0,苧)上的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.

【解答】解：(1)由題意可得了'(x)=aex+cosx,當(dāng)x€(0,*)時(shí)，cosxG(0,1),

①當(dāng)a20時(shí)，/(x)>0,/(%)在(0,今上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意；

②當(dāng)。<0時(shí)，令g(x)=f(x),則在(0,*)上g'(X)=aex-siiix<0,

所以/(無)在(0,芻上單調(diào)遞減，

因?yàn)閺V(0)=a+L/z(|)=a—V0,且/⑴連續(xù)不間斷，

所以,(0)=a+l>0,解得a>-l,

由零點(diǎn)存在定理，此時(shí),(尤)在(0，芻內(nèi)有唯一零點(diǎn)XI,

所以當(dāng)尤6(0,xi)時(shí)，f'(無)>0；當(dāng)xe(“時(shí)，f'⑴<0,

所以/(x)在(0,芻內(nèi)有唯一極大值點(diǎn)尤1,符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,0).

(2)證明：由⑴知-當(dāng)xe匿，.)時(shí),y=aex<0,y=cosxWO,

所以在匿，竽)上,(X)=a，+cosx<0,f(x)在匿，竽)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xe(0,xi)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(%]，芋)時(shí)，f(%)單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(XI)>/(0)=<7+1>0,所以在(0,XI)內(nèi)無零點(diǎn)，

當(dāng)比6(”等)時(shí)，因?yàn)?(XI)>0,/(苧)=ae竽V0,且/(無)連續(xù)不間斷，

所以由零點(diǎn)存在定理，/⑴在(“堂內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即/(無)在(0,孝)內(nèi)有唯一零點(diǎn).

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及函數(shù)零點(diǎn)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

1

20.已知f(%)=-^ae2x—(2a+l)ex+2x.

(1)當(dāng)〃>0時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若/(%)W0,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)答案見解析；

(2)[ln2-1,0].

【分析】(1)根據(jù)題意，求得f(%)=(〃/-1)(炭-2).分0<a<^,a=^,■^三種情況討論，

進(jìn)而求得函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)分〃W0,。>0兩種情況討論，結(jié)合函數(shù).f(x)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【解答】解：(1)f(x)=(〃炭-1)S-2),

11

當(dāng)〃>0時(shí)，f'(x)=0,c%=-或，=2,即％="一或％=/〃2,

Jaa

當(dāng)a=2時(shí)，x=ln-=ln2,f(x)20,f(x)在(-8,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0V]時(shí)，x-In->ln2,

當(dāng)x</〃2或久>》公時(shí)，f(x)20,當(dāng)仇2V￥〈仇公時(shí)，f'(x)<0,

所以了(%)在(-8,1n2)遞增，在(仇2,仇》遞減，在(仇+8)遞增.

11

當(dāng)時(shí)，x=Zn-<ln2,

11

當(dāng)％V仇一或x〉/幾2時(shí)，f(x)20,當(dāng)"一Vr<7九2時(shí)，f(x)<0,

aJaJ

所以/(x)在(一8,遞增，在(m:，"2)遞減，在(山2,+8)遞增.

(2)當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)=("-2),

f(x)=0,x=ln2,

當(dāng)xV加2時(shí)，f(x)20,當(dāng)x>加2時(shí)，f(x)<0,

所以/(%)在(-8,歷2)遞增，在(濟(jì)2,+8)遞減.

?*ymax=f(/〃2)=2〃-2(2。+1)+2/H2--2〃-2+2/幾2,

由/(x)W0可得，-2〃-2+2/〃2W0,解得：仇2-IWaWO.

/(x)=yae2x—(2a+l)ex+2x

1rx2Q+1、2Q1(2a+l)2

2'aJ2a2

_2

1x2(z+l.2Io(2(1+1)

=-^ar(ex-------Y+2%---——；

2'aJ2a

2

若a>0,則取久>(2%D,有/(x)>0,與已知/(x)WO矛盾.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[/〃2-1,0].

【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.變化率的極限與導(dǎo)數(shù)的概念

變化率的極限與導(dǎo)數(shù)的概念

2.含Ax表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

含△了表達(dá)式的極限計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

①。=0(C為常數(shù))

②(V)'=nx,l''(n￡R)

③(sinr)'=cosx

(4)(cos尤)'=-siiu-

⑤S)'="

111

⑥(a*)'—(aY)*lna(a>0且a￥l)?[logo%)]'=-*(logae)?[lnx]'-

2、和差積商的導(dǎo)數(shù)

①,(x)+g(x)]'=f(尤)+g'(尤)

②[/'(x)-g(尤)]'—f'(尤)-g'(尤)

③1/(X)g(尤)]'=f(無)g(x)+f(x)g'(尤)

④[3,「(x)g(x)—f(x)g'(x)]

g(x)[g(x)2]

3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)y=u⑺，t=v(x),則y'(無)=u'(/)v'(x)=u'[v(x)]v'(無)

【解題方法點(diǎn)撥】

1.由常數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公

式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

2.對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且

要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用.在實(shí)施化簡時(shí)，首先要注意化簡的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失

誤.

【命題方向】

題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)

典例1：已知函數(shù)八尤)=酸血+療+4(fl￡R,6eR),f(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則/(2014)+/(.-2014)

+f(2015)-f(-2015)=()

A.0B.2014C.2015D.8

解：f(x)=acosx+3bx2,

'.f(-x)=acos(-x)+3b(-x)2

?,./(x)為偶函數(shù)；

f(2015)-f(-2015)=0

：.f(2014)+f(-2014)

=asm(2014)+Z??20143+4+asin(-2014)+b(-2014)3+4=8；

：.f(2014)+f(-2014)+f(2015)-f(-2015)=8

故選。.

題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

典例2：下列式子不正確的是（）

1

A.(3/+cosx)'=6x-siiu-B.Qlnx-2')=---2xln2

x

sinxxcosx—sinx

C.(2sin2x)'=2cos2xD.(——)

x

解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

對于選項(xiàng)A,（3X2+COSX）'=6x-sinx成立，故A正確；

對于選項(xiàng)5,（仇%-2"）'=2一2%仇2成立，故5正確；

對于選項(xiàng)C,（2sin2x）'=4cos2xW2cos2x,故。不正確;

對于選項(xiàng)0,（陋），=xcosqs譏尤成立,故。正確.

XX乙

故選c

4.簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

①C'=0（C為常數(shù)）

②(V)/=m〃「1(HGR)

③(siiir)'=cosx

④(cosx)'=-sinx

⑤(")'=/

11

⑥(〃)'=(〃)*(。＞0且〃W1)⑦[logax)]'=-*(logae)(。＞0且aWl)⑧[加劃’=

2、和差積商的導(dǎo)數(shù)

①[f(x)+g(%)],=f(x)+g'(x)

②[f(x)-g(x)]'=f(x)-g'(x)

③1/(X)§(X)r=f(%)g(x)+f(x)g'(x)

④答了二[f(x)g(%)—f(x)g'Q)]

g(x)[g(x)2]

3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)y=u(?),t=v