安徽省屯溪第一中學2024-2025學年高考數學試題考前最后一卷預測卷（七）含解析

安徽省屯溪第一中學2024-2025學年高考數學試題考前最后一卷預測卷（七）考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線：，直線與分別相交于點，與的準線相交于點，若，則（）A．3 B． C． D．2．已知定義在上的函數的周期為4，當時，，則（）A． B． C． D．3．若復數（）在復平面內的對應點在直線上，則等于()A． B． C． D．4．若復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復數為 D．為純虛數5．下圖為一個正四面體的側面展開圖，為的中點，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．6．關于圓周率π，數學發(fā)展史上出現過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數對；再統(tǒng)計兩數能與構成鈍角三角形三邊的數對的個數；最后再根據統(tǒng)計數估計的值，那么可以估計的值約為（）A． B． C． D．7．直三棱柱中，，，則直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．8．歐拉公式為,(虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式可知，表示的復數位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．在中，內角所對的邊分別為，若依次成等差數列，則（）A．依次成等差數列 B．依次成等差數列C．依次成等差數列 D．依次成等差數列10．“完全數”是一些特殊的自然數，它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和恰好等于它本身.古希臘數學家畢達哥拉斯公元前六世紀發(fā)現了第一、二個“完全數”6和28，進一步研究發(fā)現后續(xù)三個完全數”分別為496，8128，33550336，現將這五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．11．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個數為（）A． B． C． D．12．記為等差數列的前項和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為，現按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級為12人，則抽取的樣本容量為________人.14．復數為虛數單位）的虛部為__________．15．已知向量，且向量與的夾角為_______.16．如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則_________，該幾何體的表面積為_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質媒體遭受到了強烈的沖擊．某雜志社近9年來的紙質廣告收入如下表所示：根據這9年的數據，對和作線性相關性檢驗，求得樣本相關系數的絕對值為0.243；根據后5年的數據，對和作線性相關性檢驗，求得樣本相關系數的絕對值為0.984.（1）如果要用線性回歸方程預測該雜志社2019年的紙質廣告收入，現在有兩個方案，方案一：選取這9年數據進行預測，方案二：選取后5年數據進行預測．從實際生活背景以及線性相關性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？附：相關性檢驗的臨界值表：（2）某購物網站同時銷售某本暢銷書籍的紙質版本和電子書，據統(tǒng)計，在該網站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質版本和電子書同時購買的讀者比例為，現用此統(tǒng)計結果作為概率，若從上述讀者中隨機調查了3位，求購買電子書人數多于只購買紙質版本人數的概率．18．（12分）一酒企為擴大生產規(guī)模，決定新建一個底面為長方形的室內發(fā)酵館，發(fā)酵館內有一個無蓋長方體發(fā)酵池，其底面為長方形(如圖所示)，其中.結合現有的生產規(guī)模，設定修建的發(fā)酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，發(fā)酵池造價總費用不超過65400元（1）求發(fā)酵池邊長的范圍；（2）在建發(fā)酵館時，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數）.問:發(fā)酵池的邊長如何設計，可使得發(fā)酵館占地面積最小.19．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的參數方程；（2）設曲線與曲線在第二象限的交點為，曲線與軸的交點為，點，求的周長的最大值．20．（12分）已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點，求的正切的最大值.21．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關，若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級，若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級.已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.22．（10分）已知都是各項不為零的數列，且滿足其中是數列的前項和，是公差為的等差數列．（1）若數列是常數列，，，求數列的通項公式；（2）若是不為零的常數），求證：數列是等差數列；（3）若（為常數，），．求證：對任意的恒成立．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖，過A,M作準線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C本題考查求拋物線的焦點弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構建關系，屬于中檔題.2．A【解析】

因為給出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉化為，再與一起代入解析式，利用對數恒等式和對數的運算性質，即可求得結果.【詳解】定義在上的函數的周期為4，當時，，，，.故選：A.本題考查了利用函數的周期性求函數值，對數的運算性質，屬于中檔題.3．C【解析】

由題意得，可求得，再根據共軛復數的定義可得選項.【詳解】由題意得，解得，所以，所以，故選：C.本題考查復數的幾何表示和共軛復數的定義，屬于基礎題.4．D【解析】

將復數整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數，正確本題正確選項：本題考查復數的模長、實部與虛部、共軛復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.5．C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點重合，記作，取中點，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點重合，記作：則為中點，取中點，連接，設正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角，，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應用，屬于中檔題.6．D【解析】

由試驗結果知對0～1之間的均勻隨機數，滿足，面積為1，再計算構成鈍角三角形三邊的數對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計的值．【詳解】解：根據題意知，名同學取對都小于的正實數對，即，對應區(qū)域為邊長為的正方形，其面積為，若兩個正實數能與構成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解.7．A【解析】

設，延長至，使得，連，可證，得到（或補角）為所求的角，分別求出，解即可.【詳解】設，延長至，使得，連，在直三棱柱中，，，四邊形為平行四邊形，，（或補角）為直線與所成的角，在中，，在中，，在中，，在中，，在中，.

故選：A.本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.8．A【解析】

計算，得到答案.【詳解】根據題意，故，表示的復數在第一象限.故選：.本題考查了復數的計算，意在考查學生的計算能力和理解能力.9．C【解析】

由等差數列的性質、同角三角函數的關系以及兩角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，從而可得結果.【詳解】依次成等差數列，，正弦定理得，由余弦定理得，，即依次成等差數列，故選C.本題主要考查等差數列的定義、正弦定理、余弦定理，屬于難題.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．10．C【解析】

先求出五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，根據即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據題意，將五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則基本事件總數為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數的應用.11．C【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線平行于平面與平面的交線時也有，，故②錯誤；若，則垂直平面內以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因為，所以，從而，故④正確.故選：C.本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理，是一道基礎題.12．B【解析】

由題得，，解得，，計算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B本題主要考查了等差數列的通項公式，前項和公式，考查了學生運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論.【詳解】設抽取的樣本為，則由題意得，解得.故答案為：本題考查了分層抽樣的知識，算出抽樣比是解題的關鍵，屬于基礎題.14．1【解析】試題分析：，即虛部為1，故填：1.考點：復數的代數運算15．1【解析】

根據向量數量積的定義求解即可．【詳解】解：∵向量，且向量與的夾角為，∴||；所以：?（）2cos2﹣2＝1，故答案為：1．本題主要考查平面向量的數量積的定義，屬于基礎題．16．；【解析】試題分析：如圖：此幾何體是四棱錐，底面是邊長為的正方形，平面平面，并且，，所以體積是，解得，四個側面都是直角三角形，所以計算出邊長，表面積是考點：1．三視圖；2．幾何體的表面積．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）選取方案二更合適；（2）【解析】

(1)可以預見，2019年的紙質廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經不能作為預測后續(xù)數據的依據，而后5年的數據得到的相關系數的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關關系，從而可得結論；(2)求得購買電子書的概率為,只購買紙質書的概率為,購買電子書人數多于只購買紙質書人數有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質書，由此能求出購買電子書人數多于只購買紙質版本人數的概率.【詳解】（1）選取方案二更合適，理由如下：①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強烈的沖擊，從表格中的數據中可以看出從2014年開始，廣告收入呈現逐年下降的趨勢，可以預見，2019年的紙質廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經不能作為預測后續(xù)數據的依據.②相關系數越接近1，線性相關性越強，因為根據9年的數據得到的相關系數的絕對值，我們沒有理由認為與具有線性相關關系；而后5年的數據得到的相關系數的絕對值，所以有的把握認為與具有線性相關關系.(2)因為在該網站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為，紙質版本和電子書同時購買的讀者比例為，所以從該網站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為，只購買紙質書的概率為，購買電子書人數多于只購買紙質書人數有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質書.概率為：.本題主要考查最優(yōu)方案的選擇，考查了相關關系的定義以及互斥事件的概率與獨立事件概率公式的應用，考查閱讀能力與運算求解能力，屬于中檔題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.18．（1）（2）當時，，米時，發(fā)酵館的占地面積最??；當時，時，發(fā)酵館的占地面積最小；當時，米時，發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】

（1）設米，總費用為，解即可得解；（2）結合（1）可得占地面積結合導函數分類討論即可求得最值.【詳解】（1）由題意知:矩形面積米，設米，則米，由題意知:，得，設總費用為，則，解得:，又，故，所以發(fā)酵池邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米；（2）設發(fā)酵館的占地面積為由（1）知:，①時，，在上遞增，則，即米時，發(fā)酵館的占地面積最小；②時，，在上遞減，則，即米時，發(fā)酵館的占地面積最??；③時，時，，遞減；時，遞增，因此，即時，發(fā)酵館的占地面積最??；綜上所述：當時，，米時，發(fā)酵館的占地面積最??；當時，時，發(fā)酵館的占地面積最?。划敃r，米時，發(fā)酵館的占地面積最小.此題考查函數模型的應用，關鍵在于根據題意恰當地建立模型，利用函數性質討論最值取得的情況.19．（1）曲線的直角坐標方程為，曲線的參數方程為為參數（2）【解析】

（1）將代入，可得，所以曲線的直角坐標方程為．由可得，將，代入上式，可得，整理可得，所以曲線的參數方程為為參數．（2）由題可設，，，所以，，，所以，因為，所以，所以當，即時，l取得最大值為，所以的周長的最大值為．20．（1）；（2）【解析】

（1）分析可得必在橢圓上，不在橢圓上，代入即得解；（2）設直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為，可得.則，，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）因為關于軸對稱，所以必在橢圓上，∴不在橢圓上∴，，即.（2）設橢圓上的點（），設直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為又∴.，，（不妨設）.故當且僅當，即時等號成立本題考查了直線和橢圓綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.21．（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質量為B級的情形，并結合相互獨立事件的概率公式，列式計算即可；（2）①先求得一件手工藝品質量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數，進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數；②分別求出一件手工藝品質量為A、B、C、D級的概率，進