北京市密云區(qū)2024-2025學(xué)年高三5月教學(xué)測評數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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北京市密云區(qū)2024-2025學(xué)年高三5月教學(xué)測評數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.2.雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=03.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.4.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.5.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.6.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.64 C. D.327.已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對于任意的實數(shù)都有,當時,,若,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.設(shè)雙曲線的右頂點為,右焦點為,過點作平行的一條漸近線的直線與交于點,則的面積為()A. B. C.5 D.69.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.510.已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是()A. B. C. D.11.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.12.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),滿足,.,若是等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式_______.14.若函數(shù)的圖像上存在點,滿足約束條件,則實數(shù)的最大值為__________.15.已知點是雙曲線漸近線上的一點,則雙曲線的離心率為_______16.已知函數(shù)則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,已知直線(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程;(2)設(shè)點的極坐標為,直線與曲線的交點為,求的值.18.(12分)如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(12分)在直角坐標系中,已知圓,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標方程;(2)過原點作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點,與圓M交于O,B兩點,求面積的最大值.20.(12分)已知.(1)若曲線在點處的切線也與曲線相切,求實數(shù)的值;(2)試討論函數(shù)零點的個數(shù).21.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,若(1)求角的大小(2)若,求的周長22.(10分)設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)在和之間插入個實數(shù),使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點,判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點,所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】試題分析:漸近線方程是﹣y2=1,整理后就得到雙曲線的漸近線.解:雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故選A.點評:本題考查了雙曲線的漸進方程,把雙曲線的標準方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進方程.屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】

根據(jù)題意,求出集合A,進而求出集合和,分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D此題考查集合的交并集運算,屬于簡單題目,4.C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當時,,在上單調(diào)遞減,當時,,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當時,,在遞減;當時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.5.C【解析】

由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.6.A【解析】

根據(jù)三視圖,還原空間幾何體,即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖,還原空間幾何體如下圖所示:可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐,其底面是邊長為4的正方形,高為4,故.故選:A本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用,由三視圖還原空間幾何體,棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】

先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式,解得結(jié)果.【詳解】令,則當時,,又,所以為偶函數(shù),從而等價于,因此選B.本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.8.A【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程求出右頂點、右焦點的坐標,再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程,通過解方程組求出點的坐標,最后利用三角形的面積公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知中:,因此右頂點的坐標為,右焦點的坐標為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點作平行的一條漸近線的直線與交于點,所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點的坐標是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運算能力.9.C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點:復(fù)數(shù)的代數(shù)運算,復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)的模10.D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù),運用圖象判斷根的個數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個,2個解,故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選:D本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用,分類思想的運用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.11.A【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)相等的條件,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,是基礎(chǔ)題.12.C【解析】

由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,可得有解,令,則,對分類討論,得出時,取得極大值,也即為最大值,進而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,即有解,令,則,則當時,;當時,,故時,取得極大值,也即為最大值,當趨近于時,趨近于,所以滿足條件.故選:C.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,考查抽象概括、運算求解等數(shù)學(xué)能力,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

利用遞推關(guān)系,等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為,所以,因為是等比數(shù)列,所以數(shù)列的公比為1.又,所以當時,有.這說明在已知條件下,可以得到唯一的等比數(shù)列,所以,故答案為:.該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式,屬于簡單題目.14.1【解析】由題知x>0,且滿足約束條件的圖象為由圖可知當與交于點B(2,1),當直線過B點時,m取得最大值為1.點睛:線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一、準確無誤地作出可行域;二、畫標準函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三、一般情況下,目標函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.15.【解析】

先表示出漸近線,再代入點,求出,則離心率易求.【詳解】解:的漸近線是因為在漸近線上,所以,故答案為:考查雙曲線的離心率的求法,是基礎(chǔ)題.16.【解析】

先由解析式求得(2),再求(2).【詳解】(2),,所以(2),故答案為:本題考查對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì),分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對號入座”,屬于容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)由公式可化極坐標方程為直角坐標方程;(2)把點極坐標化為直角坐標,直線的參數(shù)方程是過定點的標準形式,因此直接把參數(shù)方程代入曲線的方程,利用參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:(1),則,∴,所以曲線的直角坐標方程為,即(2)點的直角坐標為,易知.設(shè)對應(yīng)參數(shù)分別為將與聯(lián)立得本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化,考查直線參數(shù)方程,解題時可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩點間距離問題.18.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)取中點,連,,由等邊三角形三邊合一可知,,即證.(2)以,,為正方向建立空間直角坐標系,由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值.試題解析:(Ⅰ)證明:連,,則和皆為正三角形.取中點,連,,則,,則平面,則(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如圖所示,分別以,,為正方向建立空間直角坐標系,則,,,設(shè)平面的法向量為,因為,,所以取面的法向量取,則,平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(1),(2)【解析】

先求出,再求圓的半徑和極坐標方程;(2)設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標方程,得.即圓M的極坐標方程為.(2)設(shè),則,用代替.可得,本題主要考查直角坐標和極坐標的互化,考查極徑的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20.(1)(2)答案不唯一具體見解析【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,設(shè)切點的坐標,用不同的方式求出兩種切線方程,但兩條切線本質(zhì)為同一條,從而得到方程組,再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值,進而求得;(2)對函數(shù)進行求導(dǎo)后得,對分三種情況進行一級討論,即,,,結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理,可得函數(shù)零點情況.【詳解】解:(1)曲線在點處的切線方程為,即.令切線與曲線相切于點,則切線方程為,∴,∴,令,則,記,于是,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,于是,.(2),①當時,恒成立,在上單調(diào)遞增,且,∴函數(shù)在上有且僅有一個零點;②當時,在R上沒有零點;③當時,令,則,即函數(shù)的增區(qū)間是,同理,減區(qū)間是,∴.ⅰ)若,則,在上沒有零點;ⅱ)若,則有且僅有一個零點;ⅲ)若,則.,令,則,∴當時,單調(diào)遞增,.∴又∵,∴在R上恰有兩個零點,綜上所述,當時,函數(shù)沒有零點;當或時,函數(shù)恰有一個零點;當時,恰有兩個零點.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識,求解切線有關(guān)問題時,一定要明確切點坐標.以導(dǎo)數(shù)為工具,研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì),從而得到函數(shù)的零點個數(shù),此時如果用到零點存在定理,必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個端點值的函數(shù)值相乘小于0,才算完整的解法.21.(1)(2)11【解析】

(1)利用二倍角公式將式子化簡成,再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再將平方,利用向量數(shù)量積可得,從而可求周長.【詳

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