1.2 空間向量基本定理（解析版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

.2空間向量的基本定理知識(shí)點(diǎn)一空間的基底【【解題思路】基底的判斷思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為一個(gè)基底．(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷．【例1-1】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）（多選）已知空間向量，，不共面，則以下每組向量能做基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【解析】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，，所以、、共面，這組向量不能做基底；對(duì)于B選項(xiàng)，假設(shè)，，共面，則存在、使得，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，則無(wú)解，假設(shè)不成立，故，，不共面，這組向量能做基底；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)，，共面，則存在、，使得，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，則無(wú)解，所以假設(shè)不成立，故，，不共面，這組向量能做基底；選項(xiàng)D，因?yàn)?，則，，共面，這組向量不能做基底.故選：BC.【例1-2】（22-23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）若是空間的一個(gè)基底，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則k=（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】依題意，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，于是，因此，解得.故選：B【變式】1．（23-24高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·期末）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【解析】由于構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故不共面，對(duì)于A(yíng)，與共面，不共面，故，，不共面，否則，若，，共面，則共面，不符題意，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，方程組無(wú)解，假設(shè)不成立，故，，不共面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，與共面，由于不共面，故，與不共面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，，共面，故選：D2．（23-24高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）（多選）若是空間的一個(gè)基底，則下列向量中可以和，構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】對(duì)于A(yíng)，，∴，，共面，不能構(gòu)成基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，∴，，共面，不能構(gòu)成基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以，，不共面，構(gòu)成基底，C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以，，不共面，構(gòu)成基底，D正確.故選：CD3．（23-24高二下·江蘇南京·期中）（多選）已知向量能構(gòu)成空間的一組基底，則能與向量構(gòu)成空間另一組基底的向量是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以三個(gè)向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故D正確；故選：BCD.知識(shí)點(diǎn)二空間向量基本定理【【解題思路】用基底表示向量的步驟(1)定基底：確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有基底的向量，不能含有其他形式的向量．【例2-1】（23-24高二下·上海閔行·期末）如圖，四棱柱的底面為平行四邊形，為與的交點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，則故選：C.【例2-2】（23-24高二上·貴州安順·期末）如圖，空間四邊形OABC中，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，設(shè)，則（

）

A． B． C． D．1【答案】B【解析】，，，，即，，，所以.故選：B【變式】1．（22-23高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在四面體OABC中，，點(diǎn)在線(xiàn)段OA上，且為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，.故選：D2．（23-24高二上·陜西榆林·期中）如圖所示的三棱錐A-BCD中，令，，，且M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以，，所以，所以?故選：A3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四邊形，點(diǎn)E在線(xiàn)段DC上，滿(mǎn)足，，則（）A．- B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上滿(mǎn)足，由向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，所以，所?故選：A.4．（23-24高二上·北京·期中）平行六面體的所有棱長(zhǎng)都是1，為中點(diǎn)，，，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】依題意，又，所以，.故選：C知識(shí)點(diǎn)三證明平行、共面問(wèn)題【【解題思路】證明平行、共面問(wèn)題的思路(1)利用向量共線(xiàn)的充要條件來(lái)證明點(diǎn)共線(xiàn)或直線(xiàn)平行．(2)利用空間向量基本定理證明點(diǎn)線(xiàn)共面或線(xiàn)面平行．【例3】（2023高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，分別是的中點(diǎn)，在上且，在上且，判斷與是否共線(xiàn)？【答案】共線(xiàn)【解析】由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，可得，即，又由向量的共線(xiàn)定理，可得與共線(xiàn)．【變式】1．（2024江西南昌·期中）已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量，，，.(1)求證：四點(diǎn)共面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴、、、四點(diǎn)共面；（2）∵，∴又因?yàn)槠矫?平面,所以平面又∵，∴，平面,平面,平面，又，平面所以，平面平面.2．（2024廣東云浮）如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1D1,D1D,D1C1的中點(diǎn).(1)求證:EG∥AC;(2)求證:平面EFG∥平面AB1C．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】證明把{}作為空間的一個(gè)基底.(1)因?yàn)?所以=2.所以EG∥AC.(2)由(1)知EG∥AC,又AC?平面AB1C,EG?平面AB1C,所以EG∥平面AB1C.因?yàn)?所以=2.所以FG∥AB1.又AB1?平面AB1C,FG?平面AB1C,所以FG∥平面AB1C.又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C.知識(shí)點(diǎn)四夾角、證明垂直【【解題思路】求夾角、證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法利用數(shù)量積定義可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，進(jìn)而求得線(xiàn)線(xiàn)角，兩直線(xiàn)垂直可作為求夾角的特殊情況．【例4-1】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)用，，表示，并求出；(2)求證：.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)是的重心，得，所以，因?yàn)檎拿骟w中，，，故，所以，即；（2）由（1）可知，，，所以，所以.【例4-2】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）如圖所示，平行六面體中，.(1)用向量表示向量，并求；(2)求直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值.【答案】(1)，(2)【解析】（1），則，所以.（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)榍遥裕?，則.則與所成的角的余弦值為.【變式】1．（23-24高二下·廣東中山·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求異面直線(xiàn)和夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，又，，，，，故，故；（2），設(shè)異面直線(xiàn)和夾角為，則.2．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，在平行六面體中，，．設(shè)，，．(1)用基底表示向量，，；(2)證明：平面．【答案】(1)，，．(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）已知，，，得：，，．（2）證明：設(shè)，又，則，且，則，得，即，同理可得，因?yàn)?，，平面，平面，且，所以平面?．（2024山東青島·期末）如圖所示，在三棱柱中，，是的中點(diǎn).(1)用表示向量；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，時(shí)，.【解析】（1）（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使，設(shè)，顯然.因?yàn)椋?，?設(shè)，又，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，.知識(shí)點(diǎn)五距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題【【解題思路】求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題的思路選擇已知長(zhǎng)度和夾角的三個(gè)向量作為基向量，利用基底表示向量，將距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的模的問(wèn)題．【例5】（23-24吉林延邊·階段練習(xí)）平行六面體中.則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，故，故.故選：A【變式】1．（23-24高二上·江蘇無(wú)錫·期中）在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題作圖如下:由，則，由為的中點(diǎn)，則，則，在正四面體中，易知，.故選：D.2．（23-24高二上·吉林·階段練習(xí)）在三棱臺(tái)中，，，的重心為，的中點(diǎn)為，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，的重心為，為在邊上的中線(xiàn)，即為的中點(diǎn)，三棱臺(tái)中，，,,，三棱臺(tái)中，面面，且面分別交面，面于，，，，則，得，所以.故選：D.3．（23-24高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）如圖，平行六面體的各棱長(zhǎng)均為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，兩邊平方得，，所以.故選：B.【題組一空間的基底】1．（23-24高二下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）（多選）已知是三個(gè)不共面的向量，則下列向量組中，可以構(gòu)成基底的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，故A不符合題意；對(duì)于B，假設(shè)共面，則必有不全為0的實(shí)數(shù)，使得，又不共面，則，無(wú)解，所以不共面，它們能構(gòu)成一個(gè)基底，故B符合題意；對(duì)于C，假設(shè)共面，則必有不全為0的實(shí)數(shù)，使得，又不共面，則，無(wú)解，所以不共面，它們能構(gòu)成一個(gè)基底，故C符合題意；對(duì)于D，假設(shè)共面，則必有不全為0的實(shí)數(shù)，使得，又不共面，則，無(wú)解，所以不共面，它們能構(gòu)成一個(gè)基底，故D符合題意.故選：BCD2．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）（多選）設(shè)，且是空間的一個(gè)基底，則下列向量組中，可以作為空間一個(gè)基底的向量組有（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】如圖所示，

令，則，，A：由四點(diǎn)共面，則向量也共面，故A不符合題意；B：由四點(diǎn)不共面，則向量也不共面，故B符合題意；C：由四點(diǎn)不共面，則向量也不共面，故C符合題意；D：由四點(diǎn)不共面，則向量也不共面，故D符合題意.故選：BCD.3．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）（多選）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則空間的另一個(gè)基底可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以可以得兩兩都不是共線(xiàn)向量，假設(shè)是共面向量，則有顯然無(wú)實(shí)數(shù)解，假設(shè)不成立，因此不是共面向量，因此可以成為一組基底；B：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以可以得兩兩都不是共線(xiàn)向量，因?yàn)?，所以是共面向量，因此不能成為一組基底；C：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以可以得兩兩都不是共線(xiàn)向量，假設(shè)是共面向量，則有顯然無(wú)實(shí)數(shù)解，假設(shè)不成立，因此不是共面向量，因此可以成為一組基底；D：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以可以得兩兩都不是共線(xiàn)向量，因?yàn)椋允枪裁嫦蛄?，因此不能成為一組基底，故選：AC4．（22-23高二下·江蘇·階段練習(xí)）（多選）空間四個(gè)點(diǎn)O，A，B，C，為空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法正確的是（）A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線(xiàn)B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線(xiàn)C．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)D．O，A，B，C四點(diǎn)不共面【答案】ACD【解析】因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，且四點(diǎn)不共面，若O，A，B，C四點(diǎn)共面，則為共面向量，不可能構(gòu)成空間基底，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，ACD正確.故選：ACD5．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）（多選）下列命題中正確的是（

）A．若三個(gè)非零向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則必定共面B．若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共線(xiàn)C．若是空間的一個(gè)基底，仍是空間的另一個(gè)基底D．若是空間的一個(gè)基底，是空間的另一個(gè)基底【答案】ABC【解析】對(duì)于A(yíng)，三個(gè)非零向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則必定共面，A正確；對(duì)于B，任取非零向量，非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，則，，因此共線(xiàn)，B正確；對(duì)于C，假定共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，而不共面，于是，顯然此方程組無(wú)解，即假定是錯(cuò)的，因此不共面，是空間的一個(gè)基底，C正確；對(duì)于D，由，得共面，不能作為空間的一個(gè)基底，D錯(cuò)誤.故選：ABC【題組二空間向量基本定理】1．（23-24重慶·期末）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，設(shè)，則用表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在三棱錐中，點(diǎn)N為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱PC上，且滿(mǎn)足，設(shè)，故，所以，點(diǎn)N為棱的中點(diǎn)，所以，故.故選：B．2．（23-24高二下·福建龍巖·期末）在三棱錐中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，.故選：C3．（23-24高二下·河南焦作·期末）如圖所示，在三棱錐中，，，，點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕?，即，所以，因?故選：A.4．（2024安徽蕪湖·期中）在四棱錐中，底面是平行四邊形，是的中點(diǎn)，則可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意可得.故選：C5（23-24天津·階段練習(xí)）如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榭臻g四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，故選：D6．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】連，，

可得.故選：A.7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面體中，為的中點(diǎn)，若，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】，又，所以，所以.故選：B【題組三證明平行、共面】1．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知O、A、B、C為空間四點(diǎn)，且對(duì)空間中任意一個(gè)向量，若存在唯一的一組實(shí)數(shù)、、，使得不成立，則（

）A．、、共線(xiàn) B．、共線(xiàn)C．、共線(xiàn) D．O、A、B、C四點(diǎn)共面【答案】D【解析】由空間向量基本定理，對(duì)空間中任意一個(gè)向量，若存在唯一的一組實(shí)數(shù)、、，使得不成立，則是共面向量，因此四點(diǎn)四點(diǎn)共面，故選：D．2.（2024·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點(diǎn)共面，、、、四點(diǎn)共面；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）因?yàn)?，所以，、、為共面向量，因?yàn)?、、有公共點(diǎn)，故、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?，則、、為共面向量，因?yàn)?、、有公共點(diǎn)，故、、、四點(diǎn)共面；（2），，，，，因?yàn)?、無(wú)公共點(diǎn)，故.3．（2024廣東）如圖，三棱柱中，，，點(diǎn)，分別在和上，且滿(mǎn)足，.(1)證明：平面；(2)若為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】(1)過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，由題意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面(2)由題意得，故，，故【題組四夾角、證明垂直】1．（22-23高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，⊥，⊥，⊥，，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，證明：⊥．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)椤?，⊥，⊥，所以，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，故所以⊥，得證．2．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖：三棱柱中，，是的中點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)是棱所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【解析】（1），因?yàn)椋?，則，所以的長(zhǎng)為；（2），因?yàn)?，所以，即，即，解?3．（23-24高二上·四川涼山·期中）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，．

(1)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）設(shè)，，，則，，，又，則.（2）由，則，則.，故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為．4．（2024湖北）已知空間四邊形中，，且分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，用向量方法證明．【答案】證明見(jiàn)詳解【解析】設(shè)，由題意得，，，因?yàn)?，所以，又，所以，所?5．（23-24高二上·山西太原·期中）如圖，四面體OABC各棱的棱長(zhǎng)都是1，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，記．

(1)用向量表示向量；(2)利用向量法證明：．【答案】(1)(2)證明詳見(jiàn)解析【解析】（1）連接，則（2），所以，所以.

6．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，在所有棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱中，為的中點(diǎn)．

(1)用以為空間的一組基底表示向量．(2)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)存在，【解析】（1）由已知得，．（2）設(shè)線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使得，且，則．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，．【題組五距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題】1．（23-24高二上·山東