《數(shù)據(jù)、模型與決策》 課件 第3章.數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA

第3章線(xiàn)性規(guī)劃模型在市場(chǎng)、人員、財(cái)務(wù)中的應(yīng)用與決策

管理要素有哪些？本章內(nèi)容框架自1947年Dantzig提出線(xiàn)性規(guī)劃的單純型方法后，線(xiàn)性規(guī)劃的理論體系和計(jì)算方法日趨系統(tǒng)和完善。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，線(xiàn)性規(guī)劃模型已廣泛應(yīng)用于商業(yè)領(lǐng)域，如投資決策分析、運(yùn)輸問(wèn)題計(jì)劃等。下面我們通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明線(xiàn)性規(guī)劃模型在市場(chǎng)、人員安排、財(cái)務(wù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用及其模型的求解方法與決策。線(xiàn)性規(guī)劃模型在物流領(lǐng)域中的應(yīng)用與決策，我們放在第6章介紹。

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問(wèn)題的提出建模過(guò)程：1.理解要解決的問(wèn)題，了解題中的目標(biāo)和條件；2.定義決策變量（x1，x2，…，xn

），決策變量的一組定值表示一個(gè)方案；3.用決策變量的線(xiàn)性函數(shù)形式表達(dá)目標(biāo)函數(shù)，確定目標(biāo)是極大化，還是極小化（MAX或MIN）；3.用決策變量的一組等式或不等式來(lái)表示解決問(wèn)題過(guò)程中必須遵循的約束條件（≥、≤或＝）；5.根據(jù)決策變量的物理性質(zhì)確定變量是否有非負(fù)性。一般形式：目標(biāo)函數(shù)：Max（Min）Z=c1x1+c2x2+…+cn

xn

約束條件：s.t.a11x1+a12x2+…+a1n

xn

≤（=,≥）b1

a21x1+a22x2+…+a2n

xn

≤（=,≥）b2…………

am1x1+am2x2+…+amn

xn

≤（=,≥）bm

x1，x2，…，xn≥05問(wèn)題的提出線(xiàn)性規(guī)劃模型的三要素：

1、決策變量用符號(hào)來(lái)表示可控制的因素

2、目標(biāo)函數(shù)MaxZ或MinZ3、約束條件s.t.(subjectto)滿(mǎn)足于線(xiàn)性規(guī)劃研究的兩大問(wèn)題：

1、資源一定，任務(wù)目標(biāo)最優(yōu)；

2、任務(wù)一定，要求使用的資源最少。3.1市場(chǎng)調(diào)查問(wèn)題模型的建立與決策

例：某市場(chǎng)調(diào)查公司受某廠(chǎng)的委托，調(diào)查消費(fèi)者對(duì)某種新產(chǎn)品的了解和反應(yīng)情況。該廠(chǎng)對(duì)市場(chǎng)調(diào)查公司提出了一下要求：（1）共對(duì)500個(gè)家庭進(jìn)行調(diào)查（2）在被調(diào)查的家庭中，至少有200個(gè)是沒(méi)有孩子的家庭，同時(shí)至少有200個(gè)是有孩子的家庭（3）至少對(duì)300個(gè)被調(diào)查家庭采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查，其余家庭可采用口頭調(diào)查；（4）在有孩子的被調(diào)查家庭中，至少有50%的家庭采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查；（5）在沒(méi)有孩子的被調(diào)查家庭中，至少有60%的家庭采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查。對(duì)不同家庭采用不同調(diào)查方式的費(fèi)用見(jiàn)表3.1

表3.1.1市場(chǎng)調(diào)查費(fèi)用表

家庭類(lèi)型

調(diào)查費(fèi)用（元）問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查

口頭調(diào)查有孩子的家庭5030沒(méi)有孩子的家庭4025華中市場(chǎng)調(diào)查公司應(yīng)如何進(jìn)行調(diào)查，使得在滿(mǎn)足廠(chǎng)方要求的條件下使得總調(diào)查費(fèi)用最?。拷猓焊鶕?jù)題意，本問(wèn)題的決策變量如下：X1—對(duì)有孩子家庭采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查的數(shù)目，X2—對(duì)有孩子家庭采用口頭調(diào)查的數(shù)目，X3—對(duì)沒(méi)有孩子家庭采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查的數(shù)目，X4—對(duì)沒(méi)有孩子家庭采用口頭調(diào)查的數(shù)目。

家庭類(lèi)型

調(diào)查家庭數(shù)問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查

口頭調(diào)查有孩子的家庭X1X2沒(méi)有孩子的家庭X3X4本問(wèn)題的目標(biāo)是使得總調(diào)查費(fèi)用最小。由表3.1.1

可知各種情況下每調(diào)查一個(gè)家庭的費(fèi)用，因此，總調(diào)查費(fèi)用應(yīng)等于各種情況下的調(diào)查費(fèi)用之和。即：

50X1+30

X2+40X3+25X4該公司的目標(biāo)是使得總費(fèi)用最小化，即：

min50X1+30

X2+40X3+25X4本問(wèn)題的約束條件包括：調(diào)查家庭總數(shù)約束，有孩子與沒(méi)有孩子的被調(diào)查家庭數(shù)約束，采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查的家庭數(shù)約束，以及采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查的家庭的比例約束。由此，可得本問(wèn)題的線(xiàn)性規(guī)劃模型如下：o.b.Min50X1+30

X2+40X3+25X4s.t.X1+X2+X3+X4=500（調(diào)查家庭總數(shù)約束）

X1+

X2≥200（有孩子家庭調(diào)查數(shù)約束）

X3+X4≥200（沒(méi)有孩子家庭調(diào)查數(shù)約束）

X1+X3≥300（采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查的家庭數(shù)約束）

X1≥0.5*（X1+X2）（有孩子家庭采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查比例約束）

X3≥0.6*（X3+X4）（沒(méi)有孩子家庭采用問(wèn)卷式書(shū)面調(diào)查比例約束）

X1，

X2，X3，X4≥0（非負(fù)約束）圖3-2數(shù)據(jù)設(shè)置與求解公式圖3-3規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置圖3-4選項(xiàng)的設(shè)置圖3-5求解結(jié)果3.2人力資源分配問(wèn)題模型的建立與決策例：某通訊中心需全天24小時(shí)為客戶(hù)提供熱線(xiàn)電話(huà)服務(wù)，中心接線(xiàn)員分別于班次開(kāi)始時(shí)上班，每次需連續(xù)工作8小時(shí)。已知各個(gè)班次所需接線(xiàn)員如表3-2所示。問(wèn)：中心至少聘用多少接線(xiàn)員才能使通訊中心正常運(yùn)轉(zhuǎn)？班次時(shí)間需要接線(xiàn)員數(shù)量/人10：00~4：00524：00~8：001038：00~12：0020412：00~16：0027516：00~20：0030620：00~24：0015表3-2各班次所需接線(xiàn)員人數(shù)解：設(shè)分別表示各個(gè)班次安排的接線(xiàn)員數(shù)量。則可建立下述的線(xiàn)性規(guī)劃模型求解該問(wèn)題：目標(biāo)函數(shù)：MinZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6

約束條件：s.t.x1+x6≥5

x1+x2≥10

x2+x3≥20

x3+x4≥27

x4+x5≥30

x5+x6≥15

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0且取整該模型的已知數(shù)據(jù)、決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件等設(shè)置如圖3-6所示圖3-6數(shù)據(jù)設(shè)置與求解公式圖3-7規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置圖3-8求解結(jié)果例（排班問(wèn)題）某航空公司準(zhǔn)備增加中心機(jī)場(chǎng)的往來(lái)航班，需雇傭更多的服務(wù)人員。分析新的航班時(shí)刻表，以確定一天中不同時(shí)段為實(shí)現(xiàn)客戶(hù)滿(mǎn)意水平必須工作的服務(wù)人員數(shù)。每班8小時(shí)，分5班，各班時(shí)間安排：排班16:00~14:00，排班28:00~16:00，排班312:00~20:00，排班416:00~24:00，排班522:00~6:00，時(shí)段＼排班12345人數(shù)6:00~8:00√488:00~10:00√√7910:00~12:00√√6512:00~14:00√√√8714:00~16:00√√6416:00~18:00√√7318:00~20:00√√8220:00~22:00√4322:00~24:00√√5224:00~6:00√15每人每天工資170160175180195問(wèn)題是：確定各排班的人數(shù)，以最小的成本提供令人滿(mǎn)意的服務(wù)。（不同時(shí)段在崗，工資不同）G7=SUMPRODUCT(B7:F7,每班人數(shù))總?cè)藬?shù)=SUM(B19:F19)總成本=SUMPRODUCT(單位成本,每班人數(shù))總工資每天30610元 求解結(jié)果：6點(diǎn)班 48名 早8點(diǎn)班 31名 中午班 39名 下午4點(diǎn)班 43名 晚上10點(diǎn)班 15名決策變量：設(shè)xi

為各排班i

的人數(shù)（i=1,…,5）目標(biāo)函數(shù)：人員總費(fèi)用最少約束條件：每個(gè)時(shí)段的在崗人數(shù)必須不少于最少需要人數(shù)例

投資組合優(yōu)化問(wèn)題。某公司董事會(huì)決定將20萬(wàn)元現(xiàn)金進(jìn)行債券投資。經(jīng)咨詢(xún)，現(xiàn)有五種較好的投資對(duì)象，黃河汽車(chē)、長(zhǎng)江汽車(chē)、華南電器、西南電器、縝山紙業(yè)。債券名稱(chēng)黃河汽車(chē)長(zhǎng)江汽車(chē)華南電器西南電器縝山紙業(yè)回報(bào)率6.5%9.2%3.5%5.5%3.2%為減少風(fēng)險(xiǎn)，董事會(huì)要求，對(duì)汽車(chē)業(yè)投資不得超過(guò)12萬(wàn)元，對(duì)電器業(yè)投資不得超過(guò)8萬(wàn)元，其中對(duì)長(zhǎng)江汽車(chē)的投資不得超過(guò)對(duì)汽車(chē)業(yè)投資的65%，對(duì)紙業(yè)的投資不得低于對(duì)汽車(chē)業(yè)投資的20%。該公司應(yīng)如何投資，才能在滿(mǎn)足董事會(huì)要求的前提下使得總回報(bào)額最大？

3.3投資組合線(xiàn)性規(guī)劃模型的建立與決策解：（1）決策變量本問(wèn)題的決策變量是對(duì)五種投資對(duì)象的投資額。設(shè)：該公司對(duì)五種債券的投資額分別為x1，x2，x3，x4，x5（萬(wàn)元）。（2）目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是使得公司總回報(bào)額最大（3）約束條件總投資額為20萬(wàn)現(xiàn)金汽車(chē)業(yè)的投資不得超過(guò)12萬(wàn)電器資業(yè)的投不得超過(guò)8萬(wàn)對(duì)長(zhǎng)江汽車(chē)的投資不得超過(guò)對(duì)汽車(chē)業(yè)投資的65%對(duì)紙業(yè)的投資不得低于對(duì)汽車(chē)業(yè)投資的20%非負(fù)o.b.max0.065X1+0.092X2+0.045X3+0.055X4+0.042X5(總投資額最大化)s.t.X1+X2+X3+X4+X5=200000（總投資額約束）X1+X2≤120000（汽車(chē)業(yè)投資約束）X3+X4≤80000（電器業(yè)投資約束）X2≤0.65（X1+X2）（長(zhǎng)江汽車(chē)業(yè)投資約束）X5≥0.20（X1+X2）（紙業(yè)投資約束）X1、X2、X3、X4、X5≥0（非負(fù)約束）該模型的已知數(shù)據(jù)、決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件等設(shè)置如圖3-9所示。圖3-9設(shè)置與求解公式數(shù)據(jù)圖3-10規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置圖3-11求解結(jié)果債券名稱(chēng)黃河汽車(chē)長(zhǎng)江汽車(chē)華南電器西南電器縝山紙業(yè)回報(bào)額（元）420007800005600024000表3-4五種債券回報(bào)額表這時(shí)，滿(mǎn)足所有的約束條件，且總回報(bào)額最大，達(dá)到13994元。

混合兩種以上的資源來(lái)生產(chǎn)一種以上的產(chǎn)品時(shí),就出現(xiàn)了混合問(wèn)題.

例題：GS石油公司通過(guò)合成3種石油成分來(lái)生產(chǎn)汽油產(chǎn)品.這些產(chǎn)品以不同的價(jià)格出售,這3種石油成分的成本也不同.公司想通過(guò)決定一種混合這3種石油成分以生產(chǎn)汽油產(chǎn)品的方案來(lái)獲得最大的產(chǎn)品利潤(rùn).

現(xiàn)有的資料顯示,一般規(guī)格的汽油的售價(jià)是每加侖1.0美元,而特殊規(guī)格汽油是每加侖1.08美元.在當(dāng)前的生產(chǎn)計(jì)劃期內(nèi),GS公司可以得到的那3種石油成分每加侖的成本和總量見(jiàn)表:石油成分單位成本(美元)最大供應(yīng)量(加侖)

10.50500020.6010000

30.8410000混合問(wèn)題GS公司的混合問(wèn)題就是要決定一般規(guī)格汽油和特殊規(guī)格汽油的每種石油成分的用量分別為多少.具體要求見(jiàn)表:

產(chǎn)品規(guī)格

一般規(guī)格汽油最多百分之30成分1

最少百分之40成分2

最多百分之20成分3

特殊規(guī)格汽油最少百分之25成分1

最多百分之40成分2

最少百分之30成分3

資源分配問(wèn)題例3.5

某公司是商務(wù)房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)項(xiàng)目的主要投資商。目前，該公司有機(jī)會(huì)在三個(gè)建設(shè)項(xiàng)目中投資： 項(xiàng)目1：建造高層辦公樓； 項(xiàng)目2：建造賓館； 項(xiàng)目3：建造購(gòu)物中心。每個(gè)項(xiàng)目都要求投資者在四個(gè)不同的時(shí)期投資：在當(dāng)前預(yù)付定金，以及一年、二年、三年后分別追加投資。表3-1顯示了四個(gè)時(shí)期每個(gè)項(xiàng)目所需資金（百萬(wàn)元）。投資者可以按一定的比例進(jìn)行投資和獲得相應(yīng)比例的收益。年份辦公樓項(xiàng)目賓館項(xiàng)目購(gòu)物中心項(xiàng)目0（現(xiàn)在）408090160805029080203107060凈現(xiàn)值457050公司目前有2500萬(wàn)元資金可供投資，預(yù)計(jì)一年后，又可獲得2000萬(wàn)元，兩年后獲得另外的2000萬(wàn)元，三年后還有1500萬(wàn)元以供投資。那么，該公司要在每個(gè)項(xiàng)目中投資多少比例，才能使其投資組合獲得最大的總凈現(xiàn)值？解：這是一個(gè)資源分配問(wèn)題。(1)決策變量設(shè)：x1，x2，x3分別為在辦公樓項(xiàng)目、賓館項(xiàng)目、購(gòu)物中心項(xiàng)目中的投資比例(2)目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是總凈現(xiàn)值最大(3)約束條件本題的約束條件是公司在各期可獲得的資金限制（資源約束）。但要注意的是：前一期尚未使用的資金，可以在下一期使用（為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，不考慮資金可獲得的利息）。因此，每一時(shí)點(diǎn)的資金限制就表現(xiàn)為累計(jì)的資金。表3-2顯示了累計(jì)的資金數(shù)據(jù)。年份辦公樓項(xiàng)目賓館項(xiàng)目購(gòu)物中心項(xiàng)目可用資金0（現(xiàn)在）40809025110016014045219024016065320031022080凈現(xiàn)值457050數(shù)學(xué)模型（線(xiàn)性規(guī)劃模型）

資源分配問(wèn)題電子表格模型例3.5的解法2例3.5還可用另外一種解法，引入剩余變量si。數(shù)學(xué)模型為：例3.5的解法2例3.5還可用另外一種解法，引入剩余變量si。電子表格模型為：注意：在“規(guī)劃求解”中，決策變量不連續(xù)時(shí)，用;隔開(kāi)Theendofchapter4

第3章.數(shù)據(jù)包絡(luò)分析DEA什么是包絡(luò)分析?431978年，著名運(yùn)籌學(xué)家、美國(guó)德克薩斯大學(xué)教授A(yíng).Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運(yùn)籌學(xué)雜志”上。正式提出了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡(jiǎn)稱(chēng)C2R模型。該模型用以評(píng)價(jià)部門(mén)間的相對(duì)有效性（因此被稱(chēng)為DEA有效）。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）源起數(shù)據(jù)包絡(luò)分析概述

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是線(xiàn)性規(guī)劃模型的應(yīng)用之一，常被用來(lái)衡量擁有相同目標(biāo)的運(yùn)營(yíng)單位的相對(duì)效率。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線(xiàn)性規(guī)劃的用于評(píng)價(jià)同類(lèi)型組織（或項(xiàng)目）工作績(jī)效相對(duì)有效性的特殊工具手段。這類(lèi)組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營(yíng)業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類(lèi)組織之間的績(jī)效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績(jī)效排序。45但當(dāng)被衡量的同類(lèi)型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無(wú)法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機(jī)構(gòu)的運(yùn)營(yíng)單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素，如利潤(rùn)、市場(chǎng)份額和成長(zhǎng)率。在這些情況下，很難讓經(jīng)理或董事會(huì)知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營(yíng)單位效率高，哪個(gè)單位效率低。因而，需采用一種全新的方法進(jìn)行績(jī)效比較。這種方法就是二十世紀(jì)七十年代末產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）。DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問(wèn)題的能力是具有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的。46數(shù)據(jù)包絡(luò)分析應(yīng)用現(xiàn)狀DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引了眾多的應(yīng)用者，應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國(guó)軍用飛機(jī)的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面．目前，這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域正在不斷地?cái)U(kuò)大。它也可以用來(lái)研究多種方案之間的相對(duì)有效性（例如投資項(xiàng)目評(píng)價(jià)）；研究在做決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出決策后它的相對(duì)效果如何（例如建立新廠(chǎng)后，新廠(chǎng)相對(duì)于已有的一些工廠(chǎng)是否為有效)。DEA模型甚至可以用來(lái)進(jìn)行政策評(píng)價(jià)。最引人注目的研究是把DEA與其它評(píng)價(jià)方法進(jìn)行比較。例如將DEA應(yīng)用于北卡羅來(lái)納州各醫(yī)院的有效性評(píng)價(jià)。已有的按計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方式給出的回歸生產(chǎn)函數(shù)認(rèn)為，此例中不存在規(guī)模收益。DEA的研究發(fā)現(xiàn)，盡管使用同樣的數(shù)據(jù)，回歸生產(chǎn)函數(shù)不能象DEA那樣正確測(cè)定規(guī)模收益．其關(guān)鍵在于：DEA和回歸方法雖然都使用給定的同樣數(shù)據(jù)，但使用方式不一樣；DEA致力于每個(gè)單個(gè)醫(yī)院的優(yōu)化，而不是對(duì)整個(gè)集合的統(tǒng)計(jì)回歸優(yōu)化在其它的研究中，例如在評(píng)價(jià)醫(yī)院經(jīng)營(yíng)有效性時(shí)，將DEA與馬薩諸塞州有效性評(píng)定委員會(huì)使用的比例方法進(jìn)行了比較，當(dāng)使用模擬方法對(duì)DEA進(jìn)行檢驗(yàn)后認(rèn)為，盡管由回歸函數(shù)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)有利于回歸方法的使用，但是DEA方法顯得更有效。2024/9/847數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）模型簡(jiǎn)介DEA是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃（包括線(xiàn)性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、具有錐形結(jié)構(gòu)的廣義最優(yōu)化、半無(wú)限規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等）模型，評(píng)價(jià)具有多個(gè)輸入、特別是多個(gè)輸出的“部門(mén)”或“單位”（稱(chēng)為“決策單元”，簡(jiǎn)記DMU）間的相對(duì)有效性（稱(chēng)為DEA有效）。實(shí)際上“效率”或“相對(duì)有效性”的概念也是指產(chǎn)出與投入之比，不過(guò)是加權(quán)意義之下的產(chǎn)出投入比。根據(jù)對(duì)各DMU觀(guān)察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于可能集的“生產(chǎn)前沿面”上。在DEA中一般稱(chēng)被衡量績(jī)效的組織為決策單元（decisionmakingunit——DMU）。設(shè)：n個(gè)決策單元（j=1，2，…，n）每個(gè)決策單元有相同的m項(xiàng)投入（輸入）（i=1，2，…，m）每個(gè)決策單元有相同的s項(xiàng)產(chǎn)出（輸出）（r=1，2，…，s）

Xij——第j決策單元的第i項(xiàng)投入

yrj——第j決策單元的第r項(xiàng)產(chǎn)出衡量第j0

決策單元是否DEA有效數(shù)據(jù)包絡(luò)分析基本概念

決策單元12…n投入項(xiàng)目12…mX11X12…X1nX21X22…X2n…………Xm1Xm2…Xmn12…n決策單元y11y12…y1ny21y22…y2n…………ys1ys2…ysn12…s產(chǎn)出項(xiàng)目

衡量某一決策單元j0是否DEA有效——是否處于由包絡(luò)線(xiàn)組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個(gè)由n個(gè)決策單元組成（線(xiàn)性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項(xiàng)產(chǎn)出均不低于

j0

決策單元的各項(xiàng)產(chǎn)出，它的各項(xiàng)投入均低于

j0決策單元的各項(xiàng)的各項(xiàng)投入。即有：

構(gòu)建DEA模型的思路∑

j

yrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

j

xij≤Exij0

（i=1，2，…，m，E＜1）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn

這說(shuō)明

j0

決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。

基于上述事實(shí)，可以寫(xiě)出如下線(xiàn)性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：minE

S.t.∑

j

yrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

j

xij≤Exij0

（i=1，2，…，m）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn結(jié)果分析：1、當(dāng)求解結(jié)果有E＜1

時(shí)，則j0決策單元非DEA有效；2、否則，則j0決策單元DEA有效。例1：碩士點(diǎn)教育質(zhì)量評(píng)價(jià)某系統(tǒng)工程研究所對(duì)我國(guó)金屬熱處理專(zhuān)業(yè)的26個(gè)碩士點(diǎn)的教育質(zhì)量，進(jìn)行了有效性評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)采用的指標(biāo)體系為：輸入：導(dǎo)師人數(shù)；實(shí)驗(yàn)設(shè)備；圖書(shū)資料；學(xué)生入學(xué)情況。輸出：科研成果；論文篇數(shù)；學(xué)生畢業(yè)時(shí)的情況。

問(wèn)題舉例例2：行風(fēng)（行業(yè)作風(fēng)）建設(shè)有效性評(píng)價(jià)本項(xiàng)目研究人員選定江蘇省S市交通客運(yùn)系統(tǒng)作為對(duì)象，包括7家交通客運(yùn)汽車(chē)公司。選定了輸入指標(biāo)4項(xiàng)，輸出指標(biāo)4項(xiàng)。分別是：輸入指標(biāo)：1、年末職工總數(shù)（單位：人）；

2、單位成本（單位：元/千人公里）；

3、燃料單位消耗（單位：升/千人公里）；

4、行車(chē)責(zé)任事故率（單位：次/千人公里）。輸出指標(biāo)：1、勞動(dòng)生產(chǎn)率（單位：元/人）；

2、行車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)率（%）；

3、群眾滿(mǎn)意率（按問(wèn)卷調(diào)查）（%）

4、車(chē)輛服務(wù)合格率（包括：服務(wù)態(tài)度、服務(wù)措施、車(chē)輛設(shè)施等）（%）

例3：銀行分理處相對(duì)有效性評(píng)價(jià)振華銀行的4個(gè)分理處的投入產(chǎn)出如下表。求各個(gè)分理處的運(yùn)行是否DEA有效。（產(chǎn)出單位：處理筆數(shù)/月）分理處投入產(chǎn)出職員數(shù)營(yíng)業(yè)面積（m2）儲(chǔ)蓄存取貸款中間業(yè)務(wù)分理處1分理處2分理處3分理處415202120140130120135180010008009002003504504201600100013001500解：若先確定分理處1的運(yùn)行是否DEA有效。建立線(xiàn)性規(guī)劃模型：例3：銀行分理處相對(duì)有效性評(píng)價(jià)minE1800

1+10002+800

3+900

4≥1800200

1+3502+450

3+420

4≥2001600

1+10002+1300

3+1500

4≥1600S.t.15

1+202+21

3+20

4≤15E140

1+1302+120

3+135

4≤140E

1+2+

3+

4=1

j

≥0（j=1，2，3，4）求解結(jié)果分析：對(duì)分理處1，E=1，說(shuō)明分理處1的運(yùn)行DEA有效。對(duì)分理處2，E=0.996，說(shuō)明分理處2的運(yùn)行非DEA有效。對(duì)分理處3，E=1，說(shuō)明分理處3的運(yùn)行DEA有效。對(duì)分理處4，E=1，說(shuō)明分理處4的運(yùn)行DEA有效。57數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）的建模例1：王先生的快餐連鎖店王先生是一家快餐連鎖公司在某地分公司的經(jīng)理。在該地區(qū)，王先生管理著10個(gè)下屬的快餐連鎖店。王先生正在對(duì)這10家快餐連鎖店去年的業(yè)績(jī)進(jìn)行評(píng)估，并依據(jù)或部分依據(jù)各連鎖店的相對(duì)效率，提出關(guān)于這10家快餐連鎖店經(jīng)理年終獎(jiǎng)的分配方案。王先生收集了反映該10家快餐連鎖店效率的有關(guān)數(shù)據(jù)，見(jiàn)表5-1。其中：連鎖店的輸出包括三個(gè)項(xiàng)目：凈利潤(rùn)，平均顧客滿(mǎn)意度和增長(zhǎng)率。連鎖店的輸入包括兩個(gè)項(xiàng)目：總工作時(shí)間和生產(chǎn)成本。王先生希望采用DEA分析這些數(shù)據(jù)，以確定每個(gè)連鎖店的效率。本例中的輸入、輸出目標(biāo)有多個(gè)，運(yùn)用DEA可以很方便地處理這類(lèi)問(wèn)題。5810家快餐連鎖店的輸入與輸出數(shù)據(jù)連鎖店序號(hào)顧客滿(mǎn)意度凈利潤(rùn)（百萬(wàn)元）增長(zhǎng)率（%）工作時(shí)間（萬(wàn)小時(shí)）生產(chǎn)成本（千萬(wàn)元）193107.9136.75290148.4209.07395127.6228.69492108.0166.3159368.5166.34691410.094.43785109.0247.2889069.2173.23996156.7157.421089108.7216.3559DEA模型的目標(biāo)函數(shù)是使得E的值最小化，這里的E既是決策變量又是目標(biāo)函數(shù)。如果求解結(jié)果為E=1或E>1（實(shí)際上E>1在理論上不可能），則表明合成連鎖店需要與連鎖店4相同或更多的輸入資源，以獲得不低于連鎖店4的輸出，這時(shí)無(wú)法斷定連鎖店4是相對(duì)低效的；如果E<1，則表明合成連鎖店可用比連鎖店4低的輸入資源，卻得到不低于連鎖店4的輸出，這時(shí)合成連鎖店具有更高的效率，這是可以斷定連鎖店4是相對(duì)低效。MinEs.t.93+90+95+92+93+91+85+90+96+899210+14+12+10+6+4+10+6+15+10107.9+8.4+7.6+8+8.5+10+9+9.2+6.7+8.7813+20+22+16+16+9+24+17+15+2116E6.75+9.07+8.69+6.31+6.34+4.43+7.28+3.23+7.42+6.356.31E60快餐連鎖店DEA模型電子表格ABCDEFGHIJKL1例快餐連鎖店4的效率2連鎖店3輸出指標(biāo)123456789104滿(mǎn)意度939095929391859096895凈利潤(rùn)101412106410615106增長(zhǎng)率7.98.47.688.51099.26.78.778輸入指標(biāo)9工作時(shí)間132022161692417152110生產(chǎn)成本6.759.078.696.316.344.437.283.237.426.35111213模型141516權(quán)重效率17x1x2x3x4x5x6x7x8x9X10E18最優(yōu)解000000.23100.27300.49600.8851920約束條件左邊右邊MinE0.885權(quán)重之和＝11=122滿(mǎn)意度94.206>=9223凈利潤(rùn)10.00>=1024增長(zhǎng)率8.145>=825工作時(shí)間14.160<=14.16026生產(chǎn)成本5.585<=5.584快餐連鎖店DEA模型的公式ABCDEFGHIJKL1例快餐連鎖店4的效率2連鎖店3輸出指標(biāo)123456789104滿(mǎn)意度939095929391859096895凈利潤(rùn)101412106410615106增長(zhǎng)率7.98.47.688.51099.26.78.778輸入指標(biāo)9工作時(shí)間132022161692417152110生產(chǎn)成本6.759.078.696.316.344.437.283.237.426.35111213模型141516權(quán)重

效率17x1x2x3x4x5x6x7x8x9X10E18最優(yōu)解000000.23100.27300.49600.8851920約束條件左邊右邊MinE=L18權(quán)重之和＝1=sum(b18:k18)=122滿(mǎn)意度=sumproduct(B4:K4,$B$18:$K$18)>=E423凈利潤(rùn)=sumproduct(B5:K5,$B$18:$K$18)>=E524增長(zhǎng)率=sumproduct(B6:K6,$B$18:$K$18)>=E625工作時(shí)間=sumproduct(B9:K9,$B$18:$K$18)<=E9*$L$1826生產(chǎn)成本=sumproduct(B10:K10,$B$18:$K$18)<=E10*$L$186263運(yùn)用電子表格求解運(yùn)用Excel的規(guī)劃求解功能，可以求出本問(wèn)題的解。在規(guī)劃求解參數(shù)框內(nèi)鍵入目標(biāo)函數(shù)、決策變量和約束條件，如圖5-1所示；單擊“選擇”項(xiàng)，選擇“線(xiàn)性規(guī)劃”和“假定非負(fù)”，單擊“求解”，即在電子表格上得到規(guī)劃的解。從表可見(jiàn)，最優(yōu)解為：0，0.231，0.273，0.496，E=0.885。這時(shí)目標(biāo)函數(shù)E=0.885。64求解結(jié)果分析從本題的最優(yōu)解可知，目標(biāo)函數(shù)E=0.885，即連鎖店4的效率指數(shù)得分為0.885。這說(shuō)明合成連鎖店只要能夠得到相當(dāng)于連鎖店4輸入資源的88.5%作為其輸入資源，就可以獲得不小于連鎖店4的輸出，因此，通過(guò)DEA分析得到的結(jié)論是：合成連鎖店比連鎖店4具有更高的效率，而連鎖店4則是相對(duì)低效的。從本題的最優(yōu)解還可以知道，合成連鎖店是由權(quán)重為23.1%的連鎖店6，27.3%的連鎖店8和49.6%的連鎖店9加權(quán)平均所構(gòu)成的。即合成連鎖店的輸入和輸出分別是由權(quán)重為23.1%的連鎖店6，27.3%的連鎖店8和49.6%的連鎖店9的輸入和輸出加權(quán)平均所得出的。65通過(guò)對(duì)約束條件的分析，還可以得到關(guān)于連鎖店4和其他連鎖店的效率比較方面的信息。合成連鎖店至少可以獲得與連鎖店4相同的輸出，事實(shí)上，合成連鎖店能夠以小于連鎖店4的輸入資源，獲得比連鎖店4大1.206的滿(mǎn)意度，以及比連鎖店4高0.146的增長(zhǎng)率（比較C22:C24和單元格E22:E24可得）。從表5-2中的工作時(shí)間約束可見(jiàn)，合成連鎖店使用的工作時(shí)間僅相當(dāng)于連鎖店4的工作時(shí)間的88.5%左右（比較單元格C25和E9可得）。顯然合成連鎖店比連鎖店4具有更高的效率。可以確定，連鎖店4與其他連鎖店相比，是相對(duì)低效的。根據(jù)DEA分析得到的結(jié)果，管理者應(yīng)進(jìn)一步考察和改善連鎖店的運(yùn)作情況，以確定采取哪些措施可以使得連鎖店4更有效地使用資源，并獲得更多的產(chǎn)出。66利用DEA模型分析4類(lèi)醫(yī)院（普通醫(yī)院、校醫(yī)院、鎮(zhèn)醫(yī)院和國(guó)家醫(yī)院）的相對(duì)效率。這些醫(yī)院具有相同（或相似）的投入（輸入量）和產(chǎn)出（輸出量）。例如，建立一個(gè)用于分析鎮(zhèn)醫(yī)院相對(duì)效率的線(xiàn)性模型。輸入量全職非主治醫(yī)師人數(shù)提供的經(jīng)費(fèi)可供住院的床位數(shù)輸出量開(kāi)診日的藥物治療服務(wù)開(kāi)診日的非藥物治療服務(wù)接受過(guò)培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目接受過(guò)培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目例5：醫(yī)院相對(duì)效率評(píng)價(jià)2024/9/8輸入量全職非主治醫(yī)師人數(shù)提供的經(jīng)費(fèi)可供住院的床位數(shù)輸出量開(kāi)診日的藥物治療服務(wù)開(kāi)診日的非藥物治療服務(wù)接受過(guò)培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目接受過(guò)培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目投入方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國(guó)家醫(yī)院全職非主治醫(yī)師285.20162.30275.70210.40提供的經(jīng)費(fèi)（千元）123.8128.70348.50154.10可提供的住院床位數(shù)（千張）106.7264.21104.10104.044類(lèi)醫(yī)院的年輸入量（年消耗）輸出方式普通醫(yī)院學(xué)校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國(guó)家醫(yī)院開(kāi)診日的藥物治療（千次）48.1434.6236.7233.16開(kāi)診日的非藥物治療（千次）43.1027.1145.9856.46接受過(guò)培訓(xùn)的護(hù)士數(shù)目253148175160接受過(guò)培訓(xùn)的實(shí)習(xí)醫(yī)師數(shù)目412723844類(lèi)醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務(wù)）2024/9/8鎮(zhèn)醫(yī)院相對(duì)效率評(píng)價(jià)——DEA分析通過(guò)建立一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃模