2022年下半年教師資格證《高中數(shù)學(xué)》真題及答案

2022年下半年教師資格證《高中數(shù)學(xué)》真題及答案[單選題]1.極限的值是()。A.-1B.C.D.1正確答案：C參考解析：本題主要考查極限的相關(guān)知識。由洛必達(dá)法則得，，C項正確。A、B、D三項：與題干不符，排除。故正確答案為C。[單選題]2.函數(shù)的間斷點有()。A.0個B.1個C.2個D.無窮多個正確答案：C參考解析：本題主要考查間斷點的相關(guān)知識。函數(shù)在，即x=1或x=2處無定義，其余點皆連續(xù)，因此函數(shù)f(x)有且只有兩個間斷點，C項正確。A、B、D三項：與題干不符，排除。故正確答案為C。[單選題]3.曲線在點(0,1)處的切線方程是()。A.y=2x-1B.y=2x+1C.y=3x-1D.y=3x+1正確答案：D參考解析：本題主要考查切線方程的相關(guān)知識。對求導(dǎo)得，，因此當(dāng)x=0時，，所以曲線在點(0,1)處的切線方程為y-1=3(x-0)，即y=3x+1。D項正確。A、B、C三項：與題干不符，排除。故正確答案為D。[單選題]4.矩陣的秩是()。A.1B.2C.3D.4正確答案：C參考解析：本題主要考查矩陣的相關(guān)知識。對矩陣進(jìn)行初等變換，，因此矩陣的秩為3。C項正確。A、B、D三項：與題干不符，排除。故正確答案為C。[單選題]5.已知與是非零向量，則“”是“”的()。A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件正確答案：B參考解析：本題主要考查向量的相關(guān)知識。設(shè)非零向量與的夾角為。若，則，，又，則，可得；若，則，，=0。因此“”是“”的充要條件。B項正確。A、C、D三項：與題干不符，排除。故正確答案為B。[單選題]6.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲4次，其中有2次正面朝上的概率是()。A.B.C.D.正確答案：B參考解析：本題主要考查概率的相關(guān)知識。將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲4次，其中有2次正面朝上的概率是。B項正確。A、C、D三項：與題干不符，排除。故正確答案為B。[單選題]7.“文華逾九章，拓?fù)涔奖胧穬?；俊杰勝十書，機(jī)器證明譽(yù)寰球”是對數(shù)學(xué)家成就的高度概括，這位數(shù)學(xué)家是()。A.吳文俊B.蘇步青C.祖沖之D.李善蘭正確答案：A參考解析：本題主要考查數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識。A項：“文華逾九章，拓?fù)涔奖胧穬?；俊杰勝十書，機(jī)器證明譽(yù)寰球”是對數(shù)學(xué)家吳文俊的高度概括，吳文俊的研究工作涉及數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域，其主要成就表現(xiàn)在拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)機(jī)械化兩個領(lǐng)域。他為拓?fù)鋵W(xué)做了奠基性的工作；他的示性類和示嵌類研究被國際數(shù)學(xué)界稱為“吳公式”，“吳示性類”，“吳示嵌類”，至今仍被國際同行廣泛引用，A項正確。B項：蘇步青是中國著名的數(shù)學(xué)家、教育家，中國微分幾何學(xué)派創(chuàng)始人，被譽(yù)為“東方國度上燦爛的數(shù)學(xué)明星”、“東方第一幾何學(xué)家”、“數(shù)學(xué)之王”，主要從事微分幾何學(xué)和計算幾何學(xué)等方面的研究，在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)研究方面取得出色成果，在一般空間微分幾何學(xué)、高維空間共軛理論、幾何外型設(shè)計、計算機(jī)輔助幾何設(shè)計等方面取得突出成就，不符合題干，排除。C項：祖沖之是南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在劉徽開創(chuàng)的探索圓周率的精確方法的基礎(chǔ)上，首次將“圓周率”精算到小數(shù)第七位，不符合題干，排除。D項：李善蘭是中國近代著名的數(shù)學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)和植物學(xué)家，創(chuàng)立了二次平方根的冪級數(shù)展開式，研究各種三角函數(shù)，反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式(現(xiàn)稱“自然數(shù)冪求和公式”)，這是李善蘭也是19世紀(jì)中國數(shù)學(xué)界最重大的成就，不符合題干，排除。故正確答案為A。[單選題]8.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不包括()。A.數(shù)學(xué)建模B.數(shù)學(xué)文化C.數(shù)據(jù)分析D.數(shù)學(xué)運算正確答案：B參考解析：本題主要考查課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)知識?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。B項正確。A、C、D三項：與題干不符，排除。故正確答案為B。[問答題]1.已知由方程所確定的隱函數(shù)為，求。正確答案：詳見解析參考解析：方程兩邊對x求導(dǎo)，可得，整理得，將x=0代入方程，得y(0)=1，故。[問答題]2.已知兩點，，求垂直且平分線段的平面方程。正確答案：詳見解析參考解析：設(shè)垂直且平分線段的平面為，則平面過線段的中點M(2,-1,1)，且向量是平面的一個法向量，因此平面的方程為2(x-2)+2(y+1)-4(z-1)=0，即x+y-2z+1=0。故垂直且平分線段的平面方程為x+y-2z+1=0。[問答題]3.甲、乙兩個工廠為某公司生產(chǎn)一批產(chǎn)品，次品率分別為2%、1%。已知甲、乙兩個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占這批產(chǎn)品總數(shù)的40%、60%，公司質(zhì)檢員從中任意抽取一件產(chǎn)品。（1）求這件產(chǎn)品是次品的概率；（5分）（2）若這件產(chǎn)品是次品，求該產(chǎn)品出自甲工廠的概率。（2分）正確答案：詳見解析參考解析：（1）“抽到的產(chǎn)品是甲工廠生產(chǎn)的”記為事件A，“抽到的產(chǎn)品是乙工廠生產(chǎn)的”記為事件B，“抽到的產(chǎn)品是次品”記為事件C，則任意抽取一件產(chǎn)品，這件產(chǎn)品是次品的概率為。（2）若抽取的產(chǎn)品是次品，則該產(chǎn)品出自甲工廠的概率為。[問答題]4.分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，簡述分類的原則和學(xué)習(xí)分類的意義。正確答案：詳見解析參考解析：一般地，分類應(yīng)保證“不重不漏”，因此在分類時應(yīng)遵循以下原則：（1）同一性原則。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類依據(jù)。如將三角形分為銳角三角形、鈍角三角形和等腰直角三角形，分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，這顯然是錯誤的。（2）互斥性原則。分類后的每個情況應(yīng)當(dāng)互不相容，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個情況，又屬于另一個情況。如將實數(shù)分為非正數(shù)和非負(fù)數(shù)是錯誤的，因為非正數(shù)和非負(fù)數(shù)都包含0。（3）層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次;多次分類是把分類后所得的情況再進(jìn)行分類，直至滿足需要為止，分層不能越級。如實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)又分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。學(xué)習(xí)分類討論的意義：①將題目化難為簡，提高學(xué)生的發(fā)散思維。②把抽象思維變成形象思維，進(jìn)而解決相應(yīng)的問題。③運用分類思想能夠幫助學(xué)生有條理、有順序、不重復(fù)、不遺漏地歸納整理知識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。④加深學(xué)生對知識的理解，提高做題的有效性。[問答題]5.結(jié)合拋擲硬幣的試驗，簡述概率和頻率的區(qū)別與聯(lián)系。正確答案：詳見解析參考解析：概率和頻率的區(qū)別與聯(lián)系：（1）概率和頻率都是統(tǒng)計系統(tǒng)各元件發(fā)生的可能性大小。（2）頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近慨率；概率是系統(tǒng)固有的準(zhǔn)確值，是客觀存在的，與試驗的次數(shù)無關(guān)。（3）在實際問題中，通常頻率值容易得到，因此常用頻率作為概率的估計值。比如，投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上是一個隨機(jī)事件，如果僅拋擲10次，正面朝上的次數(shù)可能是1~10次，結(jié)果不能確定，如果做成下上萬次試驗，出現(xiàn)正面的頻率會逐漸穩(wěn)定在0.5；從概率的角度看，投擲硬幣1次出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5，與試驗的次數(shù)無關(guān)。[問答題]6.求線性方程組的通解。正確答案：詳見解析參考解析：由題可得線性方程組的增廣矩陣為，對增廣矩陣進(jìn)行初等變換得，得，可求基礎(chǔ)解系如下：令，

；令，得特解，因此線性方程組的通解為

，其中k為任意常數(shù)。[問答題]7.“幾何與代數(shù)”是高中數(shù)學(xué)必修課程內(nèi)容中的一個主題，該主題的內(nèi)容包括立體幾何、平面解析幾何、平面向量、空間向量、復(fù)數(shù)，試論述：（1）將“幾何與代數(shù)”整體設(shè)計為一個主題的緣由；(6分）（2）復(fù)數(shù)與平面向量之間的關(guān)系。(9分）正確答案：詳見解析參考解析：（1）將“幾何與代數(shù)”整體設(shè)計為一個主題，主要有以下兩方面原因。①高中課程的需求。高中數(shù)學(xué)中，幾何與代數(shù)是聯(lián)系密切的整體，特別是向量作為溝通幾何與代數(shù)的橋梁，很好地將幾何直觀與代數(shù)運算融合在一起，即將形與數(shù)結(jié)合在一起。高中課程的這一特點決定了將“幾何與代數(shù)”整體設(shè)計為一個主題有利于課程內(nèi)容的連貫和完整。②學(xué)生學(xué)習(xí)的需求。代數(shù)用法則和公式能夠有效地對抽象的知識進(jìn)行推理，但缺乏直觀；幾何源自于圖形的發(fā)展，比較直觀易懂，但卻難以得到深化。因此，只有將兩者結(jié)合起來，幾何為抽象的代數(shù)提供原始的模型，代數(shù)為幾何提供有效的方法，才有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。（2）復(fù)數(shù)本質(zhì)上是有序數(shù)對，因此復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)的所有點組成的集合是一一對應(yīng)的，與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量組成的集合是一一對應(yīng)的，這種對應(yīng)關(guān)系為用向量方法解決復(fù)數(shù)問題或用復(fù)數(shù)方法解決向量問題創(chuàng)造了條件，如復(fù)數(shù)的加減運算可以用向量的加減運算的平行四邊形法則或三角形法則來理解。[問答題]8.案例：某習(xí)題課上有這樣一道習(xí)題，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。某同學(xué)的解法如下：函數(shù)，由于是增函數(shù)，所以只需求的增區(qū)間，因為，易見該二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。（1）指出這名學(xué)生在求解過程中的錯誤，并敘述理由；（8分）（2）給出上述題目的正確解答過程。（12分）正確答案：詳見解析參考解析：（1）這名學(xué)生的求解過程主要有下面兩處錯誤：①沒有考慮函數(shù)的定義域，即要在定義域內(nèi)求函數(shù)的增區(qū)間；②該生在求二次函數(shù)的增區(qū)間時，錯誤地認(rèn)為函數(shù)值大于零的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間。（2）函數(shù)，由可知，函數(shù)的定義域為，令，由于y=lnt是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的“同增異減”法則，只需求二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，易得該二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。[問答題]9.（材料）下面是某高中數(shù)學(xué)教材“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)的內(nèi)容片段：取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓。如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點、（如圖所示），套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，移動筆尖的過程中，細(xì)繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離的和等于常數(shù)。我們把平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于||）的點的軌跡叫作橢圓（ellipse）。這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距。由橢圓的定義可知，上述移動的筆尖（動點）畫出的軌跡是橢圓。下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓的方程。根據(jù)上面的內(nèi)容，完成下列任務(wù)：（1）寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程（設(shè)橢圓的焦距為2c，繩長為2a，焦點在x軸上）；（10分）（2）根據(jù)材料設(shè)計這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計，包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點、教學(xué)過程（含引導(dǎo)學(xué)生研究的活動和設(shè)計意圖）。（20分）正確答案：詳見解析參考解析：（1）以經(jīng)過橢圓兩焦點、的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示：設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c>0），那么焦點、的左邊分別為(-c,0)、(c,0)，由于繩長是2a，根據(jù)橢圓的定義，點M與焦點、的距離之和為2a。由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集，，因為，，所以，化簡可得，等式兩邊同除以得，，有橢圓得定義可知，2a>2c>0，即a>c，所以，假設(shè)，那么橢圓方程可簡化為。(a>b>c)。（2）教學(xué)目標(biāo)：①了解橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程是什么；理解橢圓方程是如何推導(dǎo)形成的；應(yīng)用橢圓方程解決實際問題。②通過自主探究與小組討論等活動，提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。③激發(fā)求知欲，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、勤于動腦的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)重點：橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)過程：環(huán)節(jié)一：情境導(dǎo)入教師活動：教師拿出之前準(zhǔn)備好的器具，并向?qū)W生展示繪制過程：取一條定長的細(xì)繩,把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖。接著引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，提出問題：看看你能畫出什么曲線？。學(xué)生活動：就教師的提問展開獨立思考或進(jìn)行討論。教師活動：針對學(xué)生表現(xiàn)，順勢引出課題《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》【設(shè)計意圖】這樣的過程可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考。環(huán)節(jié)二：新課講授①初步感知教師活動：教師組織學(xué)生動手實踐，提出問題：如果改變定長和定點，觀察所畫的曲線有什么共同的特點，你能用數(shù)學(xué)語言刻畫這些曲線上的點滿足的條件嗎？給予一定的時間，組織學(xué)生自主探究再回答，教師針對學(xué)生的回答結(jié)果做相應(yīng)評價。學(xué)生活動：通過自主探究，學(xué)生回答出橢圓上的點到焦點的距離之和等于常數(shù)。教師活動：教師給出橢圓的定義。平面內(nèi)一點與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于||）的點的軌跡叫作橢圓。②小組討論教師活動：教師再次拋出問題：根據(jù)橢圓的定義，如果橢圓的焦點在x軸上，那么你能求出橢圓的方程嗎？教師組織學(xué)生根據(jù)目標(biāo)問題四人一組進(jìn)行討論，教師進(jìn)行巡視指導(dǎo)，交流討論結(jié)束后，找學(xué)生代表回答討論結(jié)果，教師評價。學(xué)生活動：預(yù)設(shè)學(xué)生給出推導(dǎo)過程，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集，，因為，，所以，化簡可得，等式兩邊同除以得，，有橢圓得定義可知，2a>2c>0，即a>c，所以，假設(shè)，那么橢圓方程可簡化為(a>b>c)。③總結(jié)歸納教師活動：教師給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并組織學(xué)生梳理和總結(jié)本節(jié)新課的重難點并展示相關(guān)例題，引