2019-2020學年新教材高中數(shù)學第6章平面向量初步6.1.1向量的概念課時25向量的概念練習含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-課時25向量的概念知識點一位移與向量1.下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案D解析一個量是不是向量，就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，所以不是向量．2．下列結論中正確的是()A．對任一向量a，|－a|>0總是成立的B．模為0的向量的方向是不確定的C．向量就是有向線段D．任意兩個單位向量的方向相同答案B解析若向量a為零向量，則|－0|＝0，故A錯誤；模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，B正確；有向線段是向量的幾何表示，是個圖形，而向量是帶方向的量，不是有向線段，C錯誤；任意兩個單位向量的長度相等，但方向不一定相同，D錯誤．3．一個人從A點出發(fā)向西走了5米到C，又向南走了5米到達B點，求此人從A到B的位移．解如下圖，位移為向西南方向走了5eq\r(2)米．知識點二向量的相等與平行4.下列關于向量的說法正確的個數(shù)是()①始點相同，方向相同的兩個非零向量的終點相同；②始點相同，相等的兩個非零向量的終點相同；③兩個平行的非零向量的方向相同；④兩個共線的非零向量的始點與終點一定共線．A．3B．2C．1D．0答案C解析始點相同，方向相同的兩個非零向量若長度不相等，則終點不相同，故①不正確；始點相同，相等的兩個非零向量的終點相同，故②正確；兩個平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正確；兩個共線的非零向量的始點與終點不一定共線，所對應的直線可能平行，故④不正確．5．下列四個命題：①模為0的向量與任意向量平行；②單位向量與任一向量平行；③兩個方向相反的向量必是共線向量；④兩個非零向量平行，則這兩個向量相等．其中為真命題的是________．答案①③解析模為0的向量為零向量，零向量的方向是不確定的，與任意向量平行，故①正確；單位向量的方向不確定，故②不正確；兩個方向相反的向量必是共線向量，③正確；兩個非零向量平行，方向可能相同也可能相反，因此這兩個向量不一定相等．故④不正確．6．如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，O為其中心，分別寫出：(1)向量eq\o(OA,\s\up6(→))的起點、終點和長度；(2)與向量eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量；(3)與向量eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量．解(1)向量eq\o(OA,\s\up6(→))的起點為O，終點為A，長度為2.(2)與eq\o(OA,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→)).(3)與Oeq\o(A,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→)).易錯點對相等向量的概念把握不準致誤7.在?ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設點集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq\o(MN,\s\up6(→))|M，N∈S}，且M，N不重合，試求集合T中元素的個數(shù)．易錯分析求解本題時，若不能準確把握“方向相同且長度相等的有向線段表示同一向量”，就會誤認為T中元素的個數(shù)為20.正解S＝{A，B，C，D，O}，S中任意兩點連成的有向線段有：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))；eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))；eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))；eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))；eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→)).由平行四邊形的性質可知(如圖)，共有8對向量相等，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))，又集合中元素具有互異性，所以集合T中的元素共有12個．一、選擇題1．在⊙O中，以O點為始點，圓周上任一點為終點作向量，則該向量可以確定的要素是()A．方向 B．大小C．大小和方向 D．以上均不對答案B解析由于⊙O半徑的確定性，因此該向量的長度(大小)是確定的．2．下列各命題中，正確命題的個數(shù)為()①若|a|＝|b|，則a＝b；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝Deq\o(C,\s\up6(→))，則A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④若0∥a，0∥b，則a∥b.A．4B．3C．2D．1答案D解析①|a|＝|b|只說明兩向量大小相等，不能得出兩向量同向，故此命題不正確；②由Aeq\o(B,\s\up6(→))＝Deq\o(C,\s\up6(→))可得|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且Aeq\o(B,\s\up6(→))∥Deq\o(C,\s\up6(→))，由于eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D可能在同一條直線上，故此命題不正確；③正確；④0與任意向量平行，命題不正確．3．如圖，已知D，E，F(xiàn)是正三角形ABC三邊的中點，由A，B，C，D，E，F(xiàn)六點中的兩點構成的向量中與eq\o(DF,\s\up6(→))(eq\o(DF,\s\up6(→))除外)共線的向量個數(shù)為()A．2 B．4C．5 D．7答案D解析與eq\o(DF,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→)).4．兩列火車從同一站臺沿相反方向開去，走了相同的路程，設兩列火車的位移向量分別為a和b(假定兩列火車始終沿同一直線行駛)，則下列說法中錯誤的是()A．a與b為平行向量B．a與b為模相等的向量C．a與b為共線向量D．a與b為相等的向量答案D解析根據(jù)題意，依次分析選項可知A，B，C均成立，對于D，a與b為反向的共線向量，則a和b不相等，D錯誤．5．已知D為平行四邊形ABPC兩條對角線的交點，則eq\f(|\o(PD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2答案C解析因為四邊形ABPC是平行四邊形，D為對角線BC與AP的交點，所以D為PA的中點，所以eq\f(|\o(PD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)的值為1.如圖．二、填空題6．把同一平面內所有模不小于1，不大于2的向量的始點，移到同一點O，則這些向量的終點構成的圖形的面積等于________．答案3π解析這些向量的終點構成的圖形是一個圓環(huán)，其面積為π·22－π·12＝3π.7．如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個交點，從中選取2個交點組成向量，則與eq\o(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq\r(2)的向量的個數(shù)是________．答案8解析找出與AC平行的直線，確定長度為2eq\r(2)的線段，共有eq\o(FH,\s\up6(→))，eq\o(HF,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(AJ,\s\up6(→))，eq\o(JA,\s\up6(→))，eq\o(KC,\s\up6(→))，eq\o(CK,\s\up6(→))，故共有8個．三、解答題8．如圖，已知平面上點C和向量eq\o(AB,\s\up6(→))，作出同時滿足下列三個條件的向量．(1)以C為始點；(2)與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等；(3)與eq\o(AB,\s\up6(→))平行．解如圖，向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))即為所求向量．9．如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，求向量eq\o(EC,\s\up6(→))的模．解在?ABCD和?ABDE中，易知eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴E，D，C三點共線．∴|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6.10．如圖，O是正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED，OCFB都是正方形，在圖中所示的向量中：(1)分別找出與eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)找出與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量；(3)找出與eq\o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量．解(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→)).(2)與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(3)與eq\o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量有：eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).11．如圖所示，四邊形ABCD中eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N，M分別是AD，BC上的點，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→)).求證：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).證明由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))可知，AB∥CD且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，故四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(CB,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))且|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|.又由eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))同理可得，四邊形CNAM是平行四邊形，∴eq\o(CM,\s\up6(→))∥eq\o(NA,\s\up6(→))且|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NA,\s\up6(→))|.∵|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|－|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|－|eq\o(MB,\s\up6(→))|，|eq\o(NA,\s\up6(→)