中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法技巧-整體思想解析

方法技巧專題三整體思想解析

在數(shù)學(xué)思想中整體思想是最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想。它是通過研究問題的整體形式、

整體結(jié)構(gòu)，并對其進行調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問題獲解的一種方法.簡單地說就是從整體去觀察、

認識問題、從而解決問題的思想。運用整體思想，可以理清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維都礙，可以

使繁難的問題得到巧妙的解決。它是數(shù)學(xué)解題中一個極其重要而有效的策略，是提高解題

速度的有效途徑。

整體思想的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補形、

整體改造等等.在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，

整體思想都有很好的應(yīng)用，因此，每年的中考中涌現(xiàn)了許多別具創(chuàng)意、獨特新穎的涉及整

體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識方面具有獨特的作用.

一、數(shù)與式中的整體思想

【例題】（2017廣東）已知4a+3b=l,則整式8a+6b-3的值為-1.

【考點】33：代數(shù)式求值.

【分析】先求出8a+6b的值，然后整體代入進行計算即可得解.

【解答】解：?.?4a+3b=1,

8a+6b=2,

8a+6b-3=2-3=-1；

故答案為：-1.

【同步訓(xùn)練】

（2017湖北江漢）已知2a-3b=7,則8+6b-4a=-6.

【考點】33：代數(shù)式求值.

【分析】先變形，再整體代入求出即可.

【解答】解：：2a-3b=7,

/.8+6b-4a=8-2（2a-3b）=8-2X7=-6,

故答案為：-6.

二、方程（組）與不等式（組）中的整體思想

【例題】先閱讀，然后解方程組.

解方程組0'軸

(4(x-y)-y=5.6

可由①得x-y=l,③

然后再將③代入②得4Xl-y=5,求得y=-l,

從而進一步求得，二:這種方法被稱為“整體代入法”，

請用這樣的方法解下列方程組

'2x-3y-2=0,

2x-3y-2=0,X

解：|"產(chǎn)+2y=9,2

由①得2x-3y=2,③

把③代入②得,半+2y=9,

解得y=4,

把y=4代入③得，2x-3X4=2,

解得x=7,

【同步訓(xùn)練】

仔細觀察下圖，認真閱讀對話

根據(jù)對話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標價各是多少元?

【考點】一元一次不等式組的應(yīng)用.

【分析】設(shè)餅干的標價是X元/袋，（X是整數(shù)）牛奶的標價是y元/袋，由題意得

'x+y>10

■9，用整體代入的思想求出x的取值，注意為整數(shù)且小于10,代入②可求

-^-x+y=10-0.8

110,

牛奶的價格.

【解答】解：設(shè)餅干的標價是X元/袋，（X是整數(shù)）牛奶的標價是y元/袋，由題意

得

'x+y>10①

-^-x+y=10-0.8②'

由②得y=9.2-0.9x③

③代入①得x+9.2-0.9x>10

.\x>8

???x是整數(shù)且小于10

x=9

把x=9代入③得y=9.2-0.9X9=1.1（元）

答：餅干的標價是9元/盒，牛奶的標價是1.1元/袋.

三、函數(shù)與圖像中的整體思想

【例題】某學(xué)校藝術(shù)館的地板由三種正多邊形的小木板鋪成，設(shè)這三種多邊形的邊數(shù)

分別為x、y、z,求的值.

xyz

【考點】平面鑲嵌（密鋪）.

【分析】根據(jù)邊數(shù)求出各個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件列出方程，進

而即可求出答案.

【解答】解：由題意知，這3種多邊形的3個內(nèi)角之和為360度，

已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z,

那么這三個多邊形的內(nèi)角和可表示為：-2）X180+（廠2）><1叫6-2）*國

xyz

=360,

兩邊都除以180得：1-2+1-2+1-2=2,

、y±

兩邊都除以2得：1+1-^=1.

：xvz2

【點評】本題考查了平面鑲嵌（密鋪）.解決本題的關(guān)鍵是知道這3種多邊形的3個

內(nèi)角之和為360度，據(jù)此進行整理分析得解.

【同步訓(xùn)練】

（2017浙江衢州）“五?一”期間，小明一家乘坐高鐵前往某市旅游，計劃第二天租

用新能源汽車自駕出游.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）設(shè)租車時間為x小時，租用甲公司的車所需費用為y元，租用乙公司的車所需

1

費用為y元，分別求出y,y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

212

（2）請你幫助小明計算并選擇哪個出游方案合算.

甲公司：按日收取固定租金80元

另外再按出租車時間計費；

乙公司：無固定租金，直接以租3

時間計婁，每小時賽是3阮

方案一:選擇甲公司；

方褰二:選擇乙公司.

選擇哪個方案合理呢？

【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用；FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的信息，分別運用待定系數(shù)法，求得y,y關(guān)于x的函

12

數(shù)表達式即可；

（2）當y=y時，15x+80=30x,當y>y時，15x+80>30x,當y<y時，15x+80>30x,

121212

分求得X的取值范圍即可得出方案.

【解答】解：（1）設(shè)丫=1^+80,

11

把點（1,95）代入，可得

95=k+80,

1

解得k=15,

1

.\y=15x+80（x20）；

i

設(shè)y=kx,

22

把（1,30）代入，可得

30=k,即k=30,

22

Ay=30x（x20）；

2

（2）當y=y時，15x+80=30x,

12

解得X=竽；

當y>y時，15x+80>30x,

12

解得x<學(xué)；

當y<y時，15x+80>30x,

12

解得x>竽；

.?.當租車時間為"小時，選擇甲乙公司一樣合算；當租車時間小于①小時，選擇乙

33

公司合算；當租車時間大于竽小時，選擇甲公司合算.

四、幾何與圖形中的整體思想：

【例題】小明把一副含45°,30°的直角三角板如圖擺放，其中NC=NF=90°,Z

A=45°,ZD=30°,則Na+NB等于()

A.180B.210C.360D.270

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)分別表示出Na和NB,計算即可.

【解答】解：Za=Zl+ZD,

NB=N4+NF,

/.Na+NB=Z1+ZD+Z4+ZF

=Z2+ZD+Z3+ZF

=Z2+Z3+30°+90°

=210°,

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的

兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

【同步訓(xùn)練】如圖，^ABC中，AC=8,BC=5,AB的垂直平分線DE交AB于點D,交邊

AC于點E,則4BCE的周長為13.

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB,根據(jù)三角形的周長公式計算即可.

【解答】解：是AB的垂直平分線，

.*.EA=EB,

則4BCE的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13,

故答案為：13.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線

段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【達標檢測】

1.(2017.江蘇宿遷)若a-b=2,則代數(shù)式5+2a-2b的值是9.

【考點】33：代數(shù)式求值.

【分析】原式后兩項提取2變形后，將已知等式代入計算即可求出值.

【解答】解：：a-b=2,

I.原式=5+2(a-b)=5+4=9,

故答案為：9

2.已知卜”是方程組Jax+by=］的解，則a2_乩=1.

v=-3lbx+av=3

【考點】97：二元一次方程組的解.

【分析】根據(jù)」X=2是方程組16+by=2的解，可以求得a+b和a-b的值，從而可以

ly=-3lbx+av=3

解答本題.

【解答】解：???(尸2是方程組，ax+by=2的解，

Iv=-3lbx+av=3

.(2a-3b=2①

**l2b-3a^3②，

解得，①-②，得

①+②，得

a+b=-5,

a2-b2=(a+b)(a-b)=(-5)X(-A)=1,

b

故答案為：L

3.四邊形中，如果有一組對角都是直角，那么另一組對角一定()

A.都是鈍角B.都是銳角

C.是一個銳角、一個鈍角D.互補

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【分析】由四邊形的內(nèi)角和等于360。，又由有一組對角都是直角，即可得另一組對

角一定互補.

【解答】解：如圖：

?.?四邊形AB形的內(nèi)角和等于等于，

BPZA+ZB+ZC+ZD=360°,

VZA=ZC=90°,

AZB+ZD=180°.

...另一組對角一定互補.

故選D.

【點評】此題考查了四邊形的內(nèi)角和定理.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握四

邊形的內(nèi)角和等于360°.

4.四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì).只要善于觀察、

樂于探索，我們還會發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論.

(1)四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線，將四邊形分成四個三角

形(如圖①)，其中相對的兩對三角形的面積之積相等.你能證明這個結(jié)論嗎？試試看.

已知：在四邊形ABCD中，。是對角線BD上任意一點.(如圖①)

求證：s*s=s*s；

△OBCAOADAOABAOCD

（2）在三角形中（如圖②），你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫出你猜想的結(jié)論,

并證明：若不能，說明理由.

①②

【解析】證明：（1）分別過點A、C,做AELDB,交DB的延長線于E,CFLBD于F,

則有：S=BO?AE,

△AOB

S=DO*CF,

△COD

S=