江蘇省南京市棲霞區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)模試卷（含解析）

江蘇省南京市棲霞區(qū)重點(diǎn)名校2024年中考數(shù)學(xué)模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.若等式（-5）口5―1成立，貝后內(nèi)的運(yùn)算符號為（）

A.+B.—C.xD.4-

2.若關(guān)于x、y的方程組xIy=.k尸4有實(shí)數(shù)解'則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.k>4B.k<4C.k<4D.k>4

3.下列方程有實(shí)數(shù)根的是（）

A.X4+2=0VX2-2=-1

C.x+2x—1=0

x—1x—1

使CE=gcD,過點(diǎn)B作BF〃DE,與AE的延長線

4.如圖，ZACB=90°,D為AB的中點(diǎn),連接DC并延長到E,

交于點(diǎn)F,若AB=6,則BF的長為（）

5.如圖，在AABC中，邊上的高是（）

B.BHC.CDD.AF

6.如圖，一個斜邊長為10cm的紅色三角形紙片，一個斜邊長為6cm的藍(lán)色三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼

成一個直角三角形，則紅、藍(lán)兩張紙片的面積之和是（）

黃

*-------lOrm--------]

A.60cm2B.50cm2C.40cm2D.30cm2

7.已知x2+mx+25是完全平方式，則m的值為（）

A.10B.±10C.20D.±20

8.圓錐的底面直徑是80cm,母線長90c帆，則它的側(cè)面積是

A.36071cm2B.12071cm2C.ISOO^cm2D.3600^cm2

9.已知圓內(nèi)接正三角形的面積為3B，則邊心距是（）

A.2B.1C.73D.

~T

10.如圖，圓O是等邊三角形內(nèi)切圓，則/BOC的度數(shù)是（）

A

BC

A.60°B.100°C.110°D.120°

11.一元二次方程3x2-6x+4=0根的情況是

A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

12.如圖是由5個大小相同的正方體搭成的幾何體，這個幾何體的俯視圖是（）

/

從正面看

B.^‘JT

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.關(guān)于工的一元二次方程4/+4依+a+l=O有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則且出

的值等于

a—1

1

14.若式子仁―彳有意義,則x的取值范圍是____.

j2x+3

15.若一組數(shù)據(jù)1,2,3,x的平均數(shù)是2,則x的值為.

16.如圖，無人機(jī)在空中C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60。、45°,如果無人機(jī)距地面高度CD為10。6米，

點(diǎn)A、D、B在同一水平直線上，則A、B兩點(diǎn)間的距離是米.（結(jié)果保留根號）

17.若式子七日有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

x

18.設(shè)西、々是一元二次方程V—5x—1=0的兩實(shí)數(shù)根，則再2+%2的值為.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60。角，在離電線桿6米的B處

安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30。，已知測角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長（結(jié)果保留根號）.

4x-3y=11,①

20.（6分）解方程組

2x+y=13.②

21.（6分）某海域有A、B兩個港口，B港口在A港口北偏西30。方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口出

發(fā),沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75。方向的C處，求：

（1）ZC=°；

（2）此時刻船與B港口之間的距離CB的長（結(jié)果保留根號）.

22.(8分)深圳某書店為了迎接“讀書節(jié)”制定了活動計(jì)劃，以下是活動計(jì)劃書的部分信息:

“讀書節(jié)“活動計(jì)劃書

書本類別科普類文學(xué)類

進(jìn)價(jià)」(單位：元)1812

(1)用不超過16800元購進(jìn)兩類圖書共1000本；科普類圖書不少于600

備注本；

(1)已知科普類圖書的標(biāo)價(jià)是文學(xué)類圖書標(biāo)價(jià)的L5倍，若顧客用540元購買的圖書，能單獨(dú)購買科普類圖書的數(shù)量

恰好比單獨(dú)購買文學(xué)類圖書的數(shù)量少10本，請求出兩類圖書的標(biāo)價(jià)；經(jīng)市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：他們高估了“讀書節(jié)”對圖書

銷售的影響，便調(diào)整了銷售方案，科普類圖書每本標(biāo)價(jià)降低。(0<a<5)元銷售，文學(xué)類圖書價(jià)格不變，那么書店應(yīng)

如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？

23.(8分)程大位是珠算發(fā)明家，他的名著《直指算法統(tǒng)宗》詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用書中有如下問題：

一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁.意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果

大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，大、小和尚各有多少人？

24.(10分)如圖1,在菱形A3C。中，AB=6后,tan/A8C=2,點(diǎn)E從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿

著射線"4的方向勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒)，將線段CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一個角a(a=N5CD),得到對應(yīng)

線段C尸.

(1)求證：BE=DF;

(2)當(dāng)/=秒時，O歹的長度有最小值，最小值等于;

(3)如圖2,連接8。、EF.BD交EC、E歹于點(diǎn)尸、Q,當(dāng)f為何值時，△EP0是直角三角形?

25.(10分)如圖，拋物線y=ax?-2ax+c(a/0)交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,

4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G.

PM的長；在（2）的條件下，連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的

三角形和AAEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由.

1k

26.（12分）如圖，直線y=-x+2與雙曲線丫=—相交于點(diǎn)A（m,3）,與x軸交于點(diǎn)C.求雙曲線的解析式；點(diǎn)P在

2x

x軸上，如果AACP的面積為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

27.（12分）如圖，為了測量建筑物AB的高度」，在D處樹立標(biāo)桿CD,標(biāo)桿的高是2m,在DB上選取觀測點(diǎn)E、F,

從E測得標(biāo)桿和建筑物的頂部C、A的仰角分別為58。、45°.從F測得C、A的仰角分別為22。、70°.求建筑物AB

的高度（精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：tan22°?0.40,tan58°~1.60,tan70°~2.1.）

DEB

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、D

【解析】

根據(jù)有理數(shù)的除法可以解答本題.

【詳解】

解：（-5）4-5=-1,

...等式（-5）口5=-1成立，貝！I口內(nèi)的運(yùn)算符號為+,

故選D.

【點(diǎn)睛】

考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)的混合運(yùn)算的計(jì)算方法.

2、C

【解析】

利用根與系數(shù)的關(guān)系可以構(gòu)造一個兩根分別是x,y的一元二次方程，方程有實(shí)數(shù)根，用根的判別式K）來確定左的取

值范圍.

【詳解】

解：""xy—k,x+y—4,

,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以構(gòu)造一個關(guān)于機(jī)的新方程，設(shè)x,y為方程近2一4〃?+左=0的實(shí)數(shù)根.

-4?C=16-4左>0,

解不等式16-4左20得

k<4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用和根與系數(shù)的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是了解方程組有實(shí)數(shù)根的意義.

3、C

【解析】

分析：根據(jù)方程解的定義，一一判斷即可解決問題；

詳解：A.,.,工4>0,...工4+2=0無解；故本選項(xiàng)不符合題意；

B.?；正一2*，：?&_2=T無解，故本選項(xiàng)不符合題意;

C.Vx2+2x-1=0,A=8=4=12>0,方程有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；

Y1

D.解分式方程一匚=——，可得x=l,經(jīng)檢驗(yàn)x=l是分式方程的增根，故本選項(xiàng)不符合題意.

x-1x-1

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了無理方程、根的判別式、高次方程、分式方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

?？碱}型.

4、C

【解析】

VZACB=90°,D為AB的中點(diǎn)，AB=6,

1

?\CD=-AB=1.

2

r1

又CE=—CD,

3

/.CE=1,

/.ED=CE+CD=2.

又,；BF〃DE,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

?,.ED是4AFB的中位線，

/.BF=2ED=3.

故選C.

5、D

【解析】

根據(jù)三角形的高線的定義解答.

【詳解】

根據(jù)高的定義，A歹為AABC中邊上的高.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的高的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

6、D

【解析】

標(biāo)注字母，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得NB=NAED,然后求出△ADE和△EFB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊

DE5EF5

成比例求出一=—，即一=一，設(shè)BF=3a,表示出EF=5a,再表示出BC、AC,利用勾股定理列出方程求出a的

BF3BF3

值，再根據(jù)紅、藍(lán)兩張紙片的面積之和等于大三角形的面積減去正方形的面積計(jì)算即可得解.

【詳解】

解:如圖，?.?正方形的邊DE〃CF,

/.ZB=ZAED,

,-,ZADE=ZEFB=90°,

/.△ADE-^AEFB,

.DE_AE_5

??而一而一%一3'

?EF_5

??——9

BF3

設(shè)BF=3a,貝!|EF=5a,

/.BC=3a+5a=8a,

540

AC=8ax—=a,

33

在RtAABC中，AC】+BCi=ABi,

40

即(一a)U(8a)i=(10+6)b

3

1Q

解得/=3，

140

紅、藍(lán)兩張紙片的面積之和=一x—ax8a-(5a)\

23

160,,

=-----a1-lSa1,

3

85,

=—a',

3

8518

——X--f

317

=30cm1.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直角三角形的兩直角邊，利用紅、藍(lán)兩張紙片的面積之和等于大三角形的面積減

去正方形的面積求解是關(guān)鍵.

7、B

【解析】

根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)求解：a2±2ab+b2.

【詳解】

*.,X2+?IX+25是完全平方式，

,'.m=±10,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了完全平方公式:層±2而+眄其特點(diǎn)是首平方，尾平方，首尾積的兩倍在中央，這里首末兩項(xiàng)是x和1的平方,

那么中間項(xiàng)為加上或減去x和1的乘積的2倍.

8、D

【解析】

圓錐的側(cè)面積=；x807rx90=360(hr(cm2).

故選D.

9、B

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，連接4。并延長交5c于點(diǎn)。，則設(shè)。。=x,由三角形重心的性質(zhì)得AZ>=3x,利用銳

角三角函數(shù)表示出50的長，由垂徑定理表示出5c的長，然后根據(jù)面積法解答即可.

【詳解】

如圖，

A

連接4。并延長交3C于點(diǎn)。，則

設(shè)OD=x,貝!|AD=3x,

BD

?:tanZBAZ)=-----,

AD

/.BD-tan30°*AD=Mx,

：.BC=2BD=2y/3x9

?:LBCAD=36,

2

1「「

:.—x2>/3xx3x=3，3，

/.x=l

所以該圓的內(nèi)接正三邊形的邊心距為1,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查正多邊形和圓，三角形重心的性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，面積法求線段的長，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，求出相應(yīng)的圖形的邊心距.

10、D

【解析】

由三角形內(nèi)切定義可知OB、OC是NABC、NACB的角平分線，所以可得到關(guān)系式NOBC+NOCB=，

2

(ZABC+ZACB),把對應(yīng)數(shù)值代入即可求得NBOC的值.

【詳解】

解：???△ABC是等邊三角形，

.*ZA=ZABC=ZACB=60°,

?.?圓O是等邊三角形內(nèi)切圓，

，OB、OC是NABC、NACB的角平分線，

.,.ZOBC+ZOCB=-(ZABC+ZACB)=-(180°-60°)=60°,

22

:.ZBOC=180°-60=120°,

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心以及切線的性質(zhì).關(guān)鍵是要知道關(guān)系式NOBC+NOCB=，(ZABC+ZACB).

2

11、D

【解析】

根據(jù)A=Z?2-4ac,求出△的值，然后根據(jù)△的值與一元二次方程根的關(guān)系判斷即可.

【詳解】

■:。=3乃=-6,c=4,

:.A=ft2-4ac=(-6)2-4x3x4=-12<0,

???方程3x2-6x+4=0沒有實(shí)數(shù)根.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程依2+取+,=0(〃加)的根的判別式A="-4ac：當(dāng)△>()時，一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)

根；當(dāng)△=()時，一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

12、A

【解析】

分析：根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

詳解：從上面看第一列是兩個小正方形，第二列是一個小正方形，第三列是一個小正方形,

故選：A.

點(diǎn)睛：本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、-3

【解析】

分析：先根據(jù)根的判別式得到a-l=L,把原式變形為/+a+3a+3—5a—7,然后代入即可得出結(jié)果.

a

詳解：由題意得：△=(4^)2-4x4(^+1)=0，**?6z2-6/-1=0，I./=〃+,gpa(a-l)=l,.\a-l=-,

a，—8〃a，—8〃

=〃6_8〃2=(昌3_8〃2

a-11

a

—(a+1)，—8(〃+1)—濟(jì)+3a2+3a+1—8〃—8—/+3。？—5a—7

=a(a+1)+3(a+1)—5a—7

=cT—a—4

=1-4=-3

故答案為-3.

點(diǎn)睛:本題考查了一元二次方程axZ+bx+c=O(a/))的根的判別式△=bMac：當(dāng)A>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)A<0,

方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個，相等的實(shí)數(shù)根，也考查了一元二次方程的定義.

,3

14、x>---.

2

【解析】

......…_33

解：依題意得：2x+3>l.解得上>-7.故答案為%>-不.

22

15、1

【解析】

根據(jù)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1和平均數(shù)的計(jì)算公式列式計(jì)算即可.

【詳解】

???數(shù)據(jù)1,L3,%的平均數(shù)是1,

.l+2+3+x

..-----------=2,

4

解得：x=2.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平均數(shù)的定義，根據(jù)平均數(shù)的定義建立方程求解是解題的關(guān)鍵.

16、100(1+73)

【解析】

分析：如圖，利用平行線的性質(zhì)得NA=60。，ZB=45°,在R3ACD中利用正切定義可計(jì)算出AD=100,在R3BCD

中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=CD=100#,然后計(jì)算AD+BD即可.

詳解：如圖，

???無人機(jī)在空中C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60。、45°,

/.ZA=60o,ZB=45°,

*48

在RtAACD中，■:tanA=-----，

AD

…IOOA/3

??AD=----------=100,

tan60°

在RtABCD中，BD=CD=100V3,

/.AB=AD+BD=100+10073=100(1+73).

答：A、B兩點(diǎn)間的距離為100(1+73)米.

故答案為100(1+逝).

點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題：解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)

聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形.

17、xW2且"1

【解析】

根據(jù)被開方數(shù)大于等于1,分母不等于1列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：由題意得，2-且x#L,

解得尤＜2且x/1.

故答案為尤＜2且中1.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識點(diǎn)為：分式有意義，分母不為1；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

18、27

【解析】

試題分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知X]+0=5,X「％2=-1，因此可知

x；+X；=（否+%2）2-2玉巧=25+2=27.

故答案為27.

hr

點(diǎn)睛：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題時靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系：石+%=—-,，

aa

確定系數(shù)a,b,c的值代入求解，然后再通過完全平方式變形解答即可.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、CE的長為（4+.「）米

【解析】

由題意可先過點(diǎn)A作AH_LCD于H.在R3ACH中，可求出CH,進(jìn)而CD=CH+HD=CH+AB,再在RtACED中,

求出CE的長.

【詳解】

過點(diǎn)A作AHLCD,垂足為H,

由題意可知四邊形ABDH為矩形，ZCAH=30°,

；.AB=DH=1.5,BD=AH=6,

*?CH

在RtZkACH中，tan/CAH=——，

AH

.,.CH=AH?tanZCAH,

:.CH=AH?tanZCAH=6tan30°=6x6=2百（米）,

3

?/DH=1.5,

,\CD=273+1.5,

在RtACDE中，

CD

；NCED=60°,sinZCED=——，

CE

2用1.5

，CE=-忑~=(4+^/3)(米)，

~2

答：拉線CE的長為(4+遂)米.

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

x—5

20、[\y=3

【解析】

將②x3,再聯(lián)立①②消未知數(shù)即可計(jì)算.

【詳解】

解：

②x3得：6x+3y=39(3)

①+③得：10%=50

%=5

把x=5代入③得10+3y=39

>=3

x=5

???方程組的解為.

U=3

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次方程組解法，關(guān)鍵是掌握消元法.

21、(1)60；(2)30A/2+10V6

【解析】

(1)由平行線的性質(zhì)以及方向角的定義得出/尸R4=NEAB=30。，ZFBC=15°,那么NA3C=45。，又根據(jù)方向角的定

義得出ZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,利用三角形內(nèi)角和定理求出ZC=60。；

(2)作AD1BC交BC于點(diǎn)D,解RtAABD,得出80=40=30&,解ACD,得出0)=10&,根據(jù)BC=BD+CD

即可求解.

解：(1)如圖所示，

VZEAB=30°,AE//BF,

：.ZFBA=30°,

又NFBC=75°,

:.ZABC=45°,

VZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,

.*.NC=60°.

故答案為60；

VZABD=45°,A5=60,

.?.40=30=300.

在RtAACD中,

VZC=60°,4Z>=300,

...0）=22^1=10幾，

：.BC=BD+CD=30y/2+1076.

答：該船與5港口之間的距離CB的長為（30后+10#）海里.

22、（1）A類圖書的標(biāo)價(jià)為27元，B類圖書的標(biāo)價(jià)為18元；（2）當(dāng)A類圖書每本降價(jià)少于3元時，A類圖書購進(jìn)800

本，B類圖書購進(jìn)200本，利潤最大；當(dāng)A類圖書每本降價(jià)大于等于3元，小于5元時，A類圖書購進(jìn)600本，B類

圖書購進(jìn)400本，利潤最大.

【解析】

（1）先設(shè)B類圖書的標(biāo)價(jià)為x元，則由題意可知A類圖書的標(biāo)價(jià)為1.5x元，然后根據(jù)題意列出方程，求解即可.

（2）先設(shè)購進(jìn)A類圖書f本，總利潤為w元，則購進(jìn)B類圖書為（1000-f）本，根據(jù)題目中所給的信息列出不等式組,

求出，的取值范圍，然后根據(jù)總利潤w=總售價(jià)-總成本，求出最佳的進(jìn)貨方案.

【詳解】

解：(1)設(shè)5類圖書的標(biāo)價(jià)為x元，則A類圖書的標(biāo)價(jià)為1.5x元,

根據(jù)題意可得754-010540

x1.5%

化簡得：540-10x=360,

解得：x=18,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=18是原分式方程的解，且符合題意，

則A類圖書的標(biāo)價(jià)為：1.5x=1.5xl8=27(元)，

答：A類圖書的標(biāo)價(jià)為27元，5類圖書的標(biāo)價(jià)為18元；

(2)設(shè)購進(jìn)A類圖書f本，總利潤為w元，A類圖書的標(biāo)價(jià)為(27口)元(0<a<5),

’18計(jì)12(1000-。勺6800

由題意得，\t>600,

解得：6003s800,

則總利潤"=(27-a-18)t+(18-12)(1000-/)

=(9-a)t+6(1000-/)

=6000+(3-a)t,

故當(dāng)0VaV3時，3-a>0,f=800時，總利潤最大，且大于6000元；

當(dāng)a=3時，3-a=0,無論f值如何變化，總利潤均為6000元；

當(dāng)3<a<5時，3-a<0,f=600時，總利潤最大，且小于6000元；

答：當(dāng)A類圖書每本降價(jià)少于3元時，A類圖書購進(jìn)800本，B類圖書購進(jìn)200本時，利潤最大；當(dāng)A類圖書每本降

價(jià)大于等于3元，小于5元時，A類圖書購進(jìn)600本，5類圖書購進(jìn)400本時，利潤最大.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的最值問題，解答本題的關(guān)鍵在

于讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程和不等式組求解.

23、大和尚有25人，小和尚有75人.

【解析】

設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)100個和尚吃100個饅頭且1個大和尚分3個、3個小和尚分1個，即可得出

關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，

x+y=100

依題意，得：<1,

3x+-y=100

(x=25

解得：(y=75.

答：大和尚有25人，小和尚有75人.

【點(diǎn)睛】

考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

24、(1)見解析；(2)t=(675+6),最小值等于12；(3)，=6秒或6逐秒時，AEP。是直角三角形

【解析】

(1)由/EC尸得結(jié)合。C=3C、CE=CF證AOCF絲△5CE即可得；

(2)作交ZM的延長線于當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動至點(diǎn)時，由。F=8秒知此時。尸最小，求得3H、即可得

答案；

(3)①NEQP=90°時，由NECF=NBCD、BC=DC、EC=JFC得N5C尸=NE。尸=90°,根據(jù)AB=C￡)=66,

tanZABC=tanZADC=2即可求得Z)E；

②NEPQ=90。時，由菱形ABC。的對角線AC,30知EC與AC重合，可得。岳=6逐.

【詳解】

(1)VZECF=ZBCD,即N5CE+NOCE=NZ>CF+NOCE,

:.NDCF=/BCE,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.DC=BC,

在4。。廠和45CE中，

CF=CE

<ZDCF=ZBCE,

CD=CB

:ADCF沿/XBCE(SAS),

；.DF=BE；

(2)如圖1,作BE'IDA交DA的延長線于E'.

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動至點(diǎn)￡7時，DF=BE',此時OF最小,

在RtAABE，中，AB=6y]5，tanZABC=tanZBAE'=2,

...設(shè)AE，=x,則BE，=2x,

'?AB=-^5x—6y/5>x—6,

則AE'=6

：.DE'=6y/5+6,DF=BE'=12,

時間t=6逐+6,

故答案為：6J?+6,12；

(3),:CE=CF,

：.ZCEQ<90°,

①當(dāng)NE。尸=90。時，如圖2①,

'：ZECF=ZBCD,BC=DC,EC=FC,

:.NCBD=NCEF,

；/BPC=NEPQ,

：.NBCP=NEQP=90°,

":AB=CD=6非,tanNABC=tanNAI>C=2,

：.DE=6,

；.f=6秒；

②當(dāng)NEPQ=90。時，如圖2②，

圖2②

,菱形ABCD的對角線ACLBD,

EC與AC重合，

:.DE=6逐,

-'?t=6y/5秒，

綜上所述，f=6秒或6逐秒時，AEP0是直角三角形.

【點(diǎn)睛】

此題是菱形與動點(diǎn)問題，考查菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，最短路徑問題，注意(3)中

的直角沒有明確時應(yīng)分情況討論解答.

484

25、(1)拋物線的解析式為y=—9+§x+4；(2)PM=—gm'9+4m(0<m<3)；(3)存在這樣的點(diǎn)P使APFC

23

與AAEM相似.此時m的值為一或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形.

16

【解析】

(1)將A(3,0),C(0,4)代入y=ax2—2ax+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)先根據(jù)A、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點(diǎn)

P、點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到PM的長.

(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F(xiàn)和E對應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似時，分兩種情況

進(jìn)行討論：①△PFCsaAEM,②△CFPs^AEM；可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據(jù)

相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求出m的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定判

斷出△PCM的形狀.

【詳解】

解：(1)?拋物線y=ax2-2ax+c(a加)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,4),

.4

/產(chǎn)解得「二一7

c=4

48

???拋物線的解析式為y=--x29+jx+4.

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

VA(3,0),點(diǎn)C(0,4),

,解得卜二一j

3k+b=0

b=4

b=4

4

二直線AC的解析式為y=--x+4.

:點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)M在AC上,

一4

?，?M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,—m+4).

3

48

:點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P在拋物線y=—§x29+：x+4上，

_4O8

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m~H—m+4).

33

4,844,

,*.PM=PE—ME=(——n:+—m+4)—(——m+4)=——m~+4m.

3333

4,

，PM=——m2+4m(0<m<3).

3

(3)在(2)的條件下，連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM

相似.理由如下：

-4428428

由題意，可得AE=3-m,EM=一一m+4,CF=m,PF=一一m2+-m+4-4=——m2+-m,

33333

若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，分兩種情況：

①若APFCsaAEM,貝!|PF：AE=FC：EM,即(--m2+-m)：(3-m)=m：(--m+4),

333

口23

m邦且m彳3,..m=—.

16

VAPFC^AAEM,/.ZPCF=ZAME.

,/ZAME=ZCMF,.*.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中，?.?NCMF+NMCF=90°,/.ZPCF+ZMCF=90°,即NPCM=90。.

.,.△PCM為直角三角形.

②若ACFPs/\AEM,貝!|CF：AE=PF：E