雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c間的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)考點(diǎn)二：等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線方程是y＝±x，離心率為eq\r(2).考點(diǎn)三:直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．(2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；Δ＝0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；Δ<0?直線與雙曲線有0個(gè)公共點(diǎn)．考點(diǎn)四：弦長公式若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).重難點(diǎn)技巧：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.【題型歸納】題型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（焦點(diǎn)、焦距）1．（2023·全國·高二）若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m為（

）A．1 B． C． D．不確定【答案】C【分析】由雙曲線的方程可確定焦點(diǎn)在軸，根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)可得答案.【詳解】由雙曲線的方程知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的焦點(diǎn)也在x軸上，所以，解得，故.故選：C.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線與雙曲線，則兩雙曲線的（

）A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通過的范圍，結(jié)合曲線，求解焦距，實(shí)半軸長，虛半軸長，判斷選項(xiàng)即可．【詳解】的實(shí)半軸的長為5，虛半軸的長為3，實(shí)數(shù)滿足，曲線是雙曲線，實(shí)半軸的長為，虛半軸的長為，顯然兩條曲線的實(shí)軸的長與虛軸的長不相等，所以A、B均不正確；焦距為：，焦距相等，所以D正確；離心率為：和，不相等，所以C不正確．故選：D．3．（2022秋·山西·高二長治市上黨區(qū)第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知雙曲線，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．的離心率為 D．的虛軸長為【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)為，離心率為，虛軸長為．故選：A.題型二：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸）4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知雙曲線與，下列說法正確的是（）A．兩個(gè)雙曲線有公共頂點(diǎn)B．兩個(gè)雙曲線有公共焦點(diǎn)C．兩個(gè)雙曲線有公共漸近線D．兩個(gè)雙曲線的離心率相等【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程可得答案.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在x軸上，而雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在y軸上，故A、B錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，故C正確；雙曲線的離心率，而雙曲線的離心率，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的實(shí)軸長為 B．C的漸近線方程為C．C的離心率為 D．C的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】C【分析】求出實(shí)半軸、虛半軸、半焦距，即可按定義逐個(gè)判斷.【詳解】對A，C的實(shí)軸長為，A錯(cuò)；對B，C的漸近線方程為，B錯(cuò)；對C，C的離心率為，C對；對D，C的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，D錯(cuò).故選：C6．（2023秋·四川眉山·高二仁壽一中校考期末）等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，，則的實(shí)軸長為（

）A．2 B．22 C．4 D．8【答案】C【分析】設(shè)出雙曲線方程，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用，即可求得結(jié)論.【詳解】解：設(shè)等軸雙曲線的方程為，拋物線，，則，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn)，，則，.將，代入，得，，等軸雙曲線的方程為，即，的實(shí)軸長為.故選：C.題型三：等軸雙曲線7．（2022秋·江蘇連云港·高二期末）經(jīng)過點(diǎn)，并且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】等軸雙曲線的方程可設(shè)為，將代入解出即可.【詳解】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將代入得：，即，所以等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線交于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為，，由得，則，，不妨假設(shè)，則，由圖象的對稱性可知，可化為，即，解得，故雙曲線方程為：，故選：C9．（2023春·上海·高二期中）若雙曲線的右支上一點(diǎn)到直線的距離為，則的值為（

）A． B． C．或 D．2或【答案】B【解析】點(diǎn)在雙曲線上，則有，即，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式能夠求出的值，由此能夠得到的值.【詳解】點(diǎn)在雙曲線上，則有，即．，∴，又點(diǎn)在右支上，則有，∴，∴，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題.題型四：雙曲線的漸近線問題10．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校）過原點(diǎn)的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），交x軸于C點(diǎn)，直線BC交雙曲線于點(diǎn)D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可設(shè)，，，分別表示出，逐步轉(zhuǎn)化，即可求得本題答案.【詳解】因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，因?yàn)榕c軸垂直，所以，設(shè)，則，而所以，，所以，所以漸近線方程為.故選：B11．（2023春·四川成都·高二?？计谥校┮阎p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，有①，②，聯(lián)立兩式，解可得、的值，即可得答案．【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線，所以，①，②聯(lián)立①、②可得：，，則雙曲線的方程為：；故選：C．12．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線的定義，以及條件，得到，再根據(jù)，即可求解雙曲線漸近線的斜率.【詳解】作于點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，由雙曲線的定義知|，所以，故，因?yàn)椋?，即，得，所以，得，故雙曲線的漸近線方程為，即.故選：B題型五：雙曲線的的離心率問題13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，一條漸近線與圓在第一象限交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】C【分析】連接，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合，得到，化簡得到，進(jìn)而得出離心率的方程，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，由雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)題意，點(diǎn)在第一象限，將代入，可得，可得由求根公式，可得，因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)由，可得，即，因?yàn)?，所以，即，化簡得，兩邊同除以，得，解得或（舍去）．故選：C.14．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線分別交雙曲線左?右兩支于兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，，則雙曲線的離心率（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得，進(jìn)而在中，利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋环猎O(shè)，由，可得，由雙曲線的定義可得，，即，，則，可得，在中，由余弦定理可得，即，則，所以．故選：B．15．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，分析可知為直角三角形，設(shè)，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)?，則，，所以，，因?yàn)椋瑒t，設(shè)，則，則，由勾股定理可得，即，整理可得，因?yàn)椋獾茫?，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.題型六：雙曲線的弦長、焦點(diǎn)弦問題16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，過傾斜角為的直線與雙曲線漸近線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，求得過傾斜角為的直線方程，判斷，求出坐標(biāo)，繼而求得，即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線可知，，故其漸近線方程為，過傾斜角為的直線方程為，即，不妨設(shè)l與漸近線的交點(diǎn)如圖示：由于，即；聯(lián)立，解得，即，則，聯(lián)立，解得，即，則，則,故的面積為，故選：D17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【分析】由已知可得四邊形為矩形，從而可得，，由雙曲線的性質(zhì)可求得，從而可得，利用勾股定理及雙曲線的定義可求得，由三角形面積公式即可得解．【詳解】直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則四邊形為矩形，所以，，由雙曲線可得，，則，所以，所以，又，所以，解得，所以．故選：C．18．（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，P為右支上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，圓I為的內(nèi)切圓，且與x軸切于A點(diǎn)，過作，垂足為B，若，則的面積為（

）A． B． C．9 D．2【答案】B【分析】由題意及圓的切線的性質(zhì)可知，為的中點(diǎn)，結(jié)合雙曲線定義得，設(shè)內(nèi)切圓I的圓心橫坐標(biāo)為，則，得即，又由得，，然后利用三角形的面積求解即可.【詳解】由題意知：，內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)是點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，圓I與切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)，連接，由及圓的切線的性質(zhì)知，，為的中點(diǎn)，由圓的切線的性質(zhì)知，，∴，設(shè)內(nèi)切圓I的圓心橫坐標(biāo)為，則，，即，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，,在中，有：,的面積為.故選：B.題型七：雙曲線中的定值、定點(diǎn)問題19．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線C：一個(gè)焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式去接即可；（2）設(shè)其方程為，，設(shè)，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理，化簡可得，從而得到定點(diǎn)與定值.【詳解】（1）由雙曲線得漸近線方程為，設(shè)，則，∴雙曲線C方程為；（2）依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，代入得，設(shè)，，，則，，∴若要上式為定值，則必須有，即，∴，故存在點(diǎn)滿足20．（2023春·山東濰坊·高二校考階段練習(xí)）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，記直線的斜率為，直線的斜率為，求.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上求參數(shù)，即可得雙曲線方程，進(jìn)而寫出漸近線方程；（2）設(shè)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，結(jié)合是雙曲線上一點(diǎn)及，整理化簡即可求值.【詳解】（1）由題意得，，解得.所以雙曲線方程為：，于是其漸近線為或，即或.（2）設(shè)，，因?yàn)?，所以，整理?因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以.21．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是雙曲線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，進(jìn)而求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而寫出直線的方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合化簡可得，分和兩種情況討論即可求證，進(jìn)而求出定點(diǎn).【詳解】（1）由題意知，解得，，，雙曲線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，得，則，，所以直線方程為，令，則，同理直線方程為，令，則，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線方程為，恒過定點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)符合題意，綜上所述，直線過定點(diǎn).題型八：雙曲線中的向量、定直線問題22．（2023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┮阎€上任意一點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)設(shè)，若過的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與交于點(diǎn).證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行求解；（2）設(shè)出經(jīng)過的直線方程，且，利用的坐標(biāo)表示出的橫坐標(biāo)，然后結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）由于，符合雙曲線的定義，于是，即，故，注意到，且焦點(diǎn)在軸上，故曲線的方程為（2）若過的直線與交于兩點(diǎn)，則斜率不會(huì)是，否則和右支只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)該直線為，和雙曲線聯(lián)立可得，則，故，設(shè)，則方程可寫作：，的方程可寫作：，聯(lián)立的方程可得，，整理可得，，則，利用在直線上，于是，于是，故，即，故交點(diǎn)一定落在上.23．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)在雙曲線上，求證：；(3)在（2）的條件下，求的面積．【答案】(1)(2)證明見解析(3)6【分析】（1）首先根據(jù)離心率設(shè)出雙曲線方程，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；（2）首先將點(diǎn)代入雙曲線方程求，再根據(jù)斜率公式或是數(shù)量積公式，證明垂直；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果，代入面積公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以可設(shè)雙曲線方程為．因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即．所以雙曲線方程為，即（2）由（1）可知，雙曲線中，所以，不妨設(shè)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，則，．方法一：，，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，，所以,所以，所以．方法二：因?yàn)椋?，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以．（3）的底邊長，的高，所以．24．（2023春·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C的漸近線為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定的漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再利用待定系數(shù)法求解作答.（2）設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，求解作答.【詳解】（1）雙曲線的漸近線化為，設(shè)雙曲線的方程為，即，又雙曲線的右焦點(diǎn)，則，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，顯然，由消去整理得，顯然，，而，則，化簡得，即，而，解得，所以直線的方程為，即.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以線段AB存在，故選：C26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，結(jié)合離心率定義推得，即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線的一條漸近線與直線垂直，得，即，則.，故選：B.27．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）“”是“雙曲線的離心率大于2”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)離心率求出參數(shù)的取值范圍，即可判斷.【詳解】若雙曲線的離心率大于，則，解得，所以“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件；故選：C28．（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀┮阎p曲線，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．若的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則C．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D．若，則的漸近線方程為【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)雙曲線的解析式得出，通過計(jì)算即可判斷出A錯(cuò)誤，然后根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)即可判斷出B錯(cuò)誤，再然后分為、兩種情況，依次求出，即可判斷出C錯(cuò)誤，最后根據(jù)雙曲線的漸近線方程的求法即可得出結(jié)果.【詳解】對于A項(xiàng)：因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)：因?yàn)榈捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則漸近線方程為，D正確.故選：D29．（2023秋·全國·高二期中）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上，焦距為，漸近線斜率為；(3)離心率，且經(jīng)過點(diǎn)；(4)經(jīng)過點(diǎn)，且一條漸近線的方程為．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）依題意設(shè)所求雙曲線為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，即可得解；（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即可得到漸近線方程，從而求出、，即可得解；（3）由離心率得到，即可得到雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，即可得解；（4）設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，即可得解；【詳解】（1）橢圓的焦點(diǎn)，由題意設(shè)所求雙曲線為，雙曲線過點(diǎn)，，整理得，解得或（舍去），所求雙曲線方程為．（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則漸近線為，焦距為，漸近線斜率為，，，又，所以，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（3）離心率，經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，所以雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，，解得，所以雙曲線方程為，即.（4）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為.30．（2023春·新疆和田·高二?？计谥校┮阎p曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，且過點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用雙曲線參數(shù)關(guān)系及點(diǎn)在雙曲線上列方程求，即得方程；（2）根據(jù)所得雙曲線方程確定，且到軸距離為，結(jié)合三角形面積公式求面積即可.【詳解】（1）由且，則，又點(diǎn)在雙曲線上，則，綜上，，即雙曲線的方程為.（2）由（1）知：，而到軸距離為，所以的面積為.【高分突破】一、單選題31．（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？迹┰O(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與相交于、兩點(diǎn)，若為正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，利用雙曲線的定義求出，進(jìn)而可求得，利用勾股定理可求出的值，由此可得出雙曲線的離心率的值.【詳解】設(shè)，因?yàn)檩S，則點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則為線段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，所以，，所以，，則，所以，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.32．（2023秋·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由離心率求得，求出漸近線方程，寫出圓方程后，兩方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)后，由直線的傾斜角可得結(jié)論．【詳解】由已知，，，所以雙曲線的漸近線方程為即為，圓方程為，即，取漸近線方程，由，解得或，不妨設(shè)，，顯然軸，又，即的傾斜角為，從而．故選：B．33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在上,且,,則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義得到的長,再在中利用余弦定理求出的關(guān)系,從而得到的值即可得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線的定義可得:,則,在中由余弦定理得,即:,即,因?yàn)?所以,即的漸近線方程為.故選:C.34．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的右支上，若，且直線與C的一條漸近線平行，則C的離心率為（

）．A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義、直線斜率、勾股定理列式可得關(guān)系，從而可得雙曲線離心率.【詳解】如圖，雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的定義可得①，因?yàn)?，所以，則②，又直線與C的一條漸近線平行，所以③，聯(lián)立①③得：，代入②得：，即，則雙曲線的離心率.故選：D.35．（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，則該雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離的平方為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再求出到漸近線的距離作答.【詳解】雙曲線的半焦距，則焦點(diǎn)，由，知點(diǎn)在的中垂線上，設(shè)點(diǎn)，由，得，解得，即點(diǎn)或，而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得，雙曲線的漸近線為，點(diǎn)到漸近線的距離為，所以該雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離的平方為.故選：D36．（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C的右支上一點(diǎn)．若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，然后由公式可得，即可得漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為．由題可知，，則，所以，所以，所以C的漸近線方程為．故選：C二、多選題37．（2023秋·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．若以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的左頂點(diǎn)，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的離心率為2【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由為等腰直角三角形，列出方程求得及，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過雙曲線的左頂點(diǎn)，可得為等腰直角三角形，又因?yàn)檫^且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)椋?，解得，所以雙曲線的離心率為，所以D正確；由，可得雙曲線的漸近線方程為，所以B正確．故選：BD.38．（2023春·安徽阜陽·高二校聯(lián)考期中）已知曲線，則下列敘述正確的有（

）A．若曲線為圓，則B．若，則曲線的離心率為2C．若，則曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為D．若，則曲線是雙曲線且其漸近線方程為【答案】ACD【分析】結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷A，根據(jù)等軸雙曲線的定義和性質(zhì)判斷B，根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷C，根據(jù)雙曲線的漸近線方程判斷D.【詳解】若方程的曲線為圓，則，正確；若，則曲線為等軸雙曲線，所以雙曲線的離心率為，B不正確；若，則曲線為焦點(diǎn)在軸上，中心為原點(diǎn)，長半軸上為，短半軸長為的橢圓，半焦距為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確；若，則曲線是中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，雙曲線的實(shí)半軸長為，虛半軸長為，雙曲線的漸近線方程為，D正確.故選：ACD.39．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，為上一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．的離心率為B．的最小值為C．若，為的左、右頂點(diǎn)，與，不重合，則直線，的斜率之積為D．設(shè)的左焦點(diǎn)為，若的面積為，則【答案】ACD【分析】根據(jù)題意列關(guān)于的等式，從而可得雙曲線的方程，計(jì)算離心率，的最小值，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)滿足的方程，列式計(jì)算，在焦點(diǎn)三角形中，由雙曲線的定義，余弦定理以及三角形面積公式列式即可計(jì)算出.【詳解】由已知可得，，所以，則的方程為，離心率為，A正確；因?yàn)榈淖钚≈禐椋訠錯(cuò)誤；設(shè)，則，，，所以C正確；設(shè)，由可得，得，則，所以D正確．故選：ACD40．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則（

）A．B．的面積為C．直線與圓相交D．的離心率【答案】ABD【分析】先計(jì)算出，再計(jì)算即可判斷A，C；由可判斷B；在中，由余弦定理可得的齊次式，計(jì)算可得的離心率.【詳解】設(shè)的半焦距為，則，，不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，在Rt中，，所以與圓相切，則正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則B正確；在Rt中，，在中，由余弦定理，得，即，化簡得，又，所以，解得，D正確.故選：.41．（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形為矩形且，則下列正確的是（

）A． B．E的漸近線方程為C．矩形的面積為 D．E的離心率為【答案】AD【分析】對A、D：根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可求得，分析運(yùn)算；對B：由，可得，進(jìn)而可求的漸近線方程；對C：由矩形的面積計(jì)算.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形為矩形，由雙曲線的定義可得：，則，對A：∵四邊形為矩形，則，A正確；對B：由選項(xiàng)A可得：，則，，注意到雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，則E的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；對C：矩形的面積為，C錯(cuò)誤；對D：由A選項(xiàng)知，，所以，D正確.故選：AD.42．（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，則（

）A．存在四條直線，使B．與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．若、都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是D．存在直線，使弦的中點(diǎn)為【答案】BC【分析】由直線與雙曲線相交，聯(lián)立方程組，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，由于，所以右焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為：.聯(lián)立得：，恒成立.所以，，則，.所以.所以，解得，所以只有兩條，故A錯(cuò)誤；對于B，雙曲線的漸近線為，所以，過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B正確；對于C，若、都在該雙曲線的右支上，則，即，所以，解得.故C正確；對于D，假設(shè)存在直線，使弦的中點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得：，恒成立.所以，所以，所以直線方程為，但是由于不在直線上，故不存在這樣的直線，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題43．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，則它的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為.【答案】【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，結(jié)合離心率可求得，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由雙曲線方程知，焦點(diǎn)在軸上，且，又，則，，所以雙曲線的一條漸近線方程為，即：.其中一個(gè)焦點(diǎn)為，則焦點(diǎn)F到漸近線的距離.故答案為：.44．（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【分析】設(shè)雙曲線C的方程為，根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)求得，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，可設(shè)雙曲線C的方程為，又C過點(diǎn)，所以，，整理得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：45．（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，且，則C的離心率為．【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合條件求解即可.【詳解】

因?yàn)椋O(shè)，則有根據(jù)雙曲線的定義，因?yàn)?，所以在直角三角形與直角三角形，又因?yàn)橛纱私獾盟?，故答案為?46．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知，為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且，則雙曲線的漸近線方程為.【答案】【分析】