立體幾何中的向量方法

山東金榜苑文化傳媒集團步步高大一輪復(fù)習(xí)講義立體幾何中的向量方法(Ⅱ)——求空間角與距離憶一憶知識要點

1.直線的方向向量與平面的法向量的確定

(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量,

則求法向量的方程組為

2.空間向量與空間角的關(guān)系

(1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2所成的角θ滿足cos

θ＝|cos〈m1,m2〉|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α所成角θ滿足sinθ＝|cos〈m,n〉|.(3)求二面角的大小

1°如圖①,AB,CD是二面角α—l—β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ＝．

2°如圖②③,n1,n2分別是二面角α—l—β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ＝cos〈n1,n2〉或－cos〈n1,n2〉.憶一憶知識要點

3.點面距的求法如圖,設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝題號答案12345求異面直線所成的角

【例1】在長方體ABCD—A1B1C1D1中,已知AB＝4,AD＝3,AA1＝2.E,F分別是線段AB,BC上的點,且EB＝BF＝1.求直線EC1與FD1所成的角的余弦值．

(1)本題易于建立空間直角坐標(biāo)系,把EC1與FD1所成角看作向量與的夾角,用向量法求解．

(2)平移線段C1E讓C1與D1重合,轉(zhuǎn)化為平面角,放到三角形中，用幾何法求解．本題可以從兩個不同角度求異面直線所成的角.一是把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運算,二是體現(xiàn)傳統(tǒng)方法作—證—算;應(yīng)注意體會兩種方法的特點.“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵.平移線段法,或化為向量的夾角.一般地,異面直線AC,BD的夾角β的余弦為如圖,在四棱錐O—ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC＝

.OA⊥底面ABCD,OA＝2,M為OA的中點,N為BC的中點.(1)證明:直線MN∥平面OCD;(2)求異面直線AB與MD所成角的大小.求直線與平面所成的角【例2】如圖所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,側(cè)棱AA1＝2,D,E分別是CC1,A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成角的正弦值．

平面的法向量,有時需要求出,有時題目本身就有,要準(zhǔn)確理解題意,把法向量找出來.如本題中由于E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,則EG⊥平面ABD,即為平面ABD的法向量.如圖所示,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB＝4,AA1＝,點D是BC的中點,點E在AC上,且DE⊥A1E.(1)證明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；

(2)求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值．(1)證明:由正三棱柱ABC—A1B1C1的性質(zhì)知,AA1⊥平面ABC.又DE?平面ABC，所以DE⊥AA1.又DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE?平面A1DE,故平面A1DE⊥平面ACC1A1.求二面角【例3】(2011·遼寧)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA＝AB＝

PD.(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.注意到DA,DP,DC兩兩垂直,因而可考慮建立空間直角坐標(biāo)系求解.求二面角【例3】(2011·遼寧)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA＝AB＝1/2PD.(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P—ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,PA⊥平面ABCD,PA＝3,AD＝2,AB＝2,BC＝6.(1)求證:BD⊥平面PAC；

(2)求二面角P—BD—A的大?。罂臻g距離【例4】在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA＝SC＝,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.求空間距離【例4】在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA＝SC＝,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.解:取CD中點O,連接OB,OM,

則OB⊥CD，OM⊥CD.

又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD.取O為原點,直線OC,BO,OM為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．

(12分)如圖，已知長方體ABCD—A1B1C1D1,AB＝2,AA1＝1,直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°,AE垂直BD于點E，F(xiàn)為A1B1的中點．

(1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值；

(2)求平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值.11利用空間向量求空間角解:以A為坐標(biāo)原點,以AB,AD,AA1所在直線分別為x

軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).[2分]第一步：建立空間直角坐標(biāo)系．第二步：確定點的坐標(biāo)．第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)．第四步：計算向量的夾角(或函數(shù)值)．第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角．第六步：反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范．11利用空間向量求空間角11利用空間向量求空間角

(12分)如圖，已知長方體ABCD—A1B1C1D1,AB＝2,AA1＝1,直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°,AE垂直BD于點E，F(xiàn)為A1B1的中點．

(1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值；

(2)求面BDF與面AA1B所成二面角的余弦值.

(1)利用向量求角是高考的熱點,幾乎每年必考,主要是突出向量的工具性作用.(2)本題易錯點是學(xué)生在建立坐標(biāo)系時不能明確指出坐標(biāo)原點和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范.(3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進行轉(zhuǎn)化，否則易錯．

1.若利用向量求角,各類角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來運算．

(1)求兩異面直線a,b的夾角θ,須求出它們的方向向量a,b的夾角,則cos

θ＝|cos〈a,b〉|.(2)求直線l與平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角.則sinθ＝|cos〈n，a〉|.(3)求二面角α—l—β的大小θ，可先求出兩個平面的法向量n1,n2所成的角,則θ＝〈n1,n2〉或π－〈n1,n2〉.2.求點到平面的距離,若用向量知識,則離不開以該點為端點的平面的斜線段．

1.利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角．因為向量夾角與各空間角的定義、范圍不同．

2.求點到平面的距離，有時利用等積法求解可能更方便．作業(yè)布置作業(yè)紙:課時規(guī)范訓(xùn)練:P.1-2預(yù)祝各位同學(xué)，2013年高考取得好成績!一、選擇題二、填空題題號123答案BBBA組

專項基礎(chǔ)訓(xùn)練題組

7.如圖所示，已知點P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對角線BD′上,∠PDA＝60°.(1)求DP與CC′所成角的大??；

(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大?。B接BD,B′D′,在平面BB′D′D中,延長DP交B′D′于H.三、解答題

8.如圖所示，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E為PA的中點，過E作平行于底面的平面EFGH分別與另外三條側(cè)棱交于F,G,H,已知底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD，∠BCD＝135°.(1)求異面直線AF，BG所成的角的大?。?/p>

(2)設(shè)平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小為θ,求cosθ.三、解答題三、解答題三、解答題一、選擇題二、填空題題號123答案BCDB組專項能力提升題組

7.如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1和CC1的中點．

(1)求證：EF∥平面ACD1；

(2)求異面直線EF與AB所成角的余弦值；

(3)在棱BB1上是否存在一點P,使得二面角P—AC—B的大小為30°?若存在,求出BP的長,若不存在,請說明理由．三、解答題故異面直線EF與AB所成角的余弦值為.三、解答題三、解答題8.如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB為直角,AB∥CD,AD＝CD＝2AB,E,F分別為PC,CD的中點.(1)求證：AB⊥平面BEF；

(2)設(shè)PA＝k·AB,若平面EBD與平面BDC的夾角大于45°,求k的取值范圍．

(1)證明:由已知DF∥AB,AB＝

CD＝DF,且∠DAB為直角,故ABFD是矩形，從而AB⊥BF.又PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.因為AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.在△PDC中,E,F分別是PC,CD的中點,EF∥PD,所以AB⊥EF.又BF∩EF＝F，所以AB⊥平面BEF.三、解答題三、解答題點、線、面之間的位置關(guān)系空間幾何體空間幾何體的結(jié)構(gòu)空間幾何體的體積、表面積柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征三視圖與直觀圖的畫法空間角角的范圍圖形計算公式線線角線面角面面角ll①法向量法注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量(在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱)的夾角.DCBA②方向向量法：設(shè)二面角α-l-β的大小為θ，其中l(wèi)①點P在棱上②點P在一個半平面上③點P在二面角內(nèi)ιpαβABABpαβιABOαβιp—定義法—三垂線定理法—垂面法作二面角的平面角的常用方法

l

1.定義法3.垂面法2.

垂線法空間角圖形角的范圍計算公式線線角線面角面面角求點到平面的距離定義:一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做點到平面的距離.即過這個點到平面的垂線段的長度.ABO方法2:等體積法求距離.方法1:利用定義先做出過這個點到平面的垂線段,再計算這個垂線段的長度.

APO

點P為平面外一點，點A為平面內(nèi)的任一點，平面的法向量為n,過點P作平面

的垂線PO，記PA和平面

所成的角為

.則點P到平面的距離求點到平面的距離方法3:向量法空間的角異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角空間的距離點到平面的距離直線與平面所成的距離平行平面之間的距離相互之間的轉(zhuǎn)化直線與平面所成的角異面直線所成的角定義法法向量法方向向量法則D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，(1)∵正方形ABCD，∴OC⊥DB.∵PD⊥平面ABCD,OC?平面ABCD，∴PD⊥OC.∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角.所以PC與平面PBD所成的角為300.解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,∵PD=AD=2,又∵DB∩PD=D,∴OC⊥平面PBD.(2)設(shè)平面PAC的法向量為令x=1,則y=1,z=1，所以D到平面PAC的距離(3)假設(shè)在PB上存在E點，使PC⊥平面ADE，所以存在E點且E為PB的中點時PC⊥平面ADE.【點評】這類探索問題用向量法來分析容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論.由PC⊥AE,PC⊥DE,得此時E(1,1,1).ACDEB例2．解：(Ⅰ)設(shè)平面ADE的法向量為所以，設(shè)平面ABE的法向量為（Ⅱ）由（Ⅰ）得，解:⑴⑵求二面角P-BC-D的余弦值大?。凰远娼荘-BC-D的余弦值大小是⑶求點D到平面PBC的距離.⑵求二面角P-BC-D的余弦值大?。凰远娼荘-BC-D的余弦值是因為二面角P-BC-D的大小是銳角,⑶求點D到平面PBC的距離.例4.

xyzHADCBM解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖所示.………3分設(shè)面PBA的法向量為令x=1得y=1，z=1.證明：(1)連結(jié)AC1交A1C于E，連結(jié)DE．∵AA1C1C為矩形，則E為AC1的中點．又D是AB的中點，∴在△ABC1中，DE∥BC1.∴BC1∥平面CA1D.又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D，EE(1)證法二：(1)證法三：A1B1C1ABCDD1又AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面AA1B1B.又CD?平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.又AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA1⊥CD.證明：(2)∵AC＝BC，D為AB的中點，∴在△ABC中，AB⊥CD.

【例8】如右圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；

(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F,使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．解：如右圖(1)取AD的中點G，連結(jié)PG，BG，BD.∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中,∠DAB＝60°,AD＝AB，∴△ABD為等邊三角形,∴BG⊥AD.∴AD⊥PB.∴AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG，G(2)連結(jié)CG，DE，且CG與DE相交于H點，在△PGC中作HF∥PG,交PC于F點,連結(jié)DF.∴平面DHF⊥平面ABCD.∵PG⊥平面ABCD.∴FH⊥平面ABCD.又

FH?平面DHF，即F為PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD.∵H是CG的中點，∴F是PC的中點.今日作業(yè)則D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，(1)∵正方形ABCD，∴OC⊥DB.∵PD⊥平面ABCD,OC?平面ABCD，∴PD⊥OC.∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角.所以PC與平面PBD所成的角為300.解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,∵PD=AD=2,又∵DB∩PD=D,∴OC⊥平面PBD.(2)設(shè)平面PAC的法向量為令x=1,則y=1,z=1，所以D到平面PAC的距離注：可用等體積法(3)假設(shè)在PB上存在E點，使PC⊥平面ADE，所以存在