全國乙卷2024年高三數(shù)學(xué)1月大聯(lián)考理科試題含解析

2024年高三數(shù)學(xué)1月大聯(lián)考（全國乙卷）理科試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C D.2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.3.榫卯，是一種中國傳統(tǒng)建筑、家具及其他器械主要結(jié)構(gòu)方式，是在兩個構(gòu)件上采納凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式.春秋時(shí)期聞名的工匠魯班運(yùn)用榫卯結(jié)構(gòu)制作出了魯班鎖，且魯班鎖可拆解，但是要將它們拼接起來則須要較高的空間思維實(shí)力和足夠的耐性.如圖（1），六通魯班鎖是由六塊長度大小一樣，中間各有著不同鏤空的長條形木塊組裝而成.其主視圖如圖（2）所示，則其側(cè)視圖為（）A. B. C. D.4.已知平面對量，，且，則（）A.1 B.14 C. D.5.已知，則（）A B. C. D.6.使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.7.某精密儀器易因電壓不穩(wěn)損壞，自初裝起，第一次電壓不穩(wěn)儀器損壞的概率為.若在第一次電壓不穩(wěn)儀器未損壞的條件下，其次次電壓不穩(wěn)儀器損壞的概率為，則連續(xù)兩次電壓不穩(wěn)儀器未損壞的概率為（）A.0.72 B.0.7 C.0.2 D.0.188.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫胶瘮?shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.9.已知，，，則（）A. B. C. D.10.已知數(shù)列滿意，，設(shè)的前項(xiàng)和為，若，不等式恒成立，則的最小值為（）A. B.2 C.5 D.611.已知雙曲線C：的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，以線段AF為直徑的圓M與雙曲線的一條漸近線相交于B，D兩點(diǎn)，且滿意（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若圓M的面積S滿意，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，且滿意，，，，，給出下列結(jié)論：①，；②；③當(dāng)時(shí)，的解集為；④若函數(shù)的圖象與直線在y軸右側(cè)有3個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的綻開式中含項(xiàng)的系數(shù)為________.14.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且對隨意，都有，則________.15.已知拋物線，其準(zhǔn)線為l且與x軸交于點(diǎn)D，其焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為H.若，則線段HF的長度為________.16.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則下列說法正確的是________.（填寫全部正確說法的序號）①平面截正方體所得截面圖形的周長為；②點(diǎn)B到平面的距離為；③平面將正方體分割成兩部分，較小一部分的體積為；④三棱錐的外接球的表面積為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.記的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求A；（2）若AD是角A的平分線且，求的最小值.18.某地區(qū)一中學(xué)為了調(diào)查老師是否常常運(yùn)用多媒體教學(xué)與老師年齡的關(guān)系，規(guī)定在一個月內(nèi)運(yùn)用多媒體上課的次數(shù)超過本月上課總次數(shù)的一半視為常常運(yùn)用，否則視為不常常運(yùn)用.現(xiàn)對120名老師進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，匯總有效數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：45歲以下45歲及以上合計(jì)常常運(yùn)用402060不常常運(yùn)用204060合計(jì)6060120（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，推斷能否有的把握認(rèn)為老師是否常常運(yùn)用多媒體教學(xué)與老師年齡有關(guān)？（2）若從45歲以下的被調(diào)查老師中按是否常常運(yùn)用多媒體教學(xué)采納分層抽樣的方式抽取6名老師，再從這6名老師中隨機(jī)選取3名老師，記其中常常運(yùn)用多媒體教學(xué)的老師的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.0.100.050.0250.0100.0050.00127063.8415.0246.6357.87910.82819.如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形為等腰梯形，，且，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、，直線與圓相切，切點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過圓上隨意一點(diǎn)作圓的切線，交橢圓于、兩點(diǎn)，試推斷：是否為定值？若是，求出該值，并證明；若不是，請說明理由.21.已知函數(shù).（1）若當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)，若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和當(dāng)時(shí)，直線l的一般力程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)F，，求直線l的傾斜角.[選修4-5，不等式選講]23.已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2024年高三1月大聯(lián)考（全國乙卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【1題答案】【答案】D【2題答案】【答案】B【3題答案】【答案】C【4題答案】【答案】B【5題答案】【答案】D【6題答案】【答案】C【7題答案】【答案】A【8題答案】【答案】B【9題答案】【答案】D【10題答案】【答案】C【11題答案】【答案】B【12題答案】【答案】C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.【13題答案】【答案】9【14題答案】【答案】4039【15題答案】【答案】【16題答案】【答案】③④三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.【17題答案】【答案】（1）（2）4【18題答案】【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為老師是否常常運(yùn)用多媒體教學(xué)與老師年齡有關(guān)（2）分布列見解析，2【19題答案】【答案】（1）證明見解析（2）【20題答案】【答案】（1）（2