2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)47直線平面垂直的判定及其性質(zhì)含解析蘇教版

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)47直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題1．設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，故選A.2．設(shè)α為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是(B)A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a⊥α，a∥b，則b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，則b∥αD．若a∥α，a⊥b，則b⊥α解析：若a∥α，b∥α，則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；易知B正確；若a⊥α，a⊥b，則b∥α或b?α，故C錯(cuò)誤；若a∥α，a⊥b，則b∥α或b?α或b與α相交，故D錯(cuò)誤．3．(2024·武漢調(diào)研)已知兩個(gè)平面相互垂直，下列命題①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線；②一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線；③一個(gè)平面內(nèi)隨意一條直線必垂直于另一個(gè)平面；④過一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面．其中正確命題個(gè)數(shù)是(C)A．3 B．2C．1 D．0解析：構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖，①在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，BD?平面ABCD，但A1D與BD不垂直，故①錯(cuò)；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1內(nèi)的隨意一條直線，l與平面ABCD內(nèi)同AB平行的全部直線垂直，故②正確；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，但A1D與平面ABCD不垂直，故③錯(cuò)；④在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩4．(2024·成都檢測)已知a，b是兩條異面直線，直線c與a，b都垂直，則下列說法正確的是(C)A．若c?平面α，則a⊥αB．若c⊥平面α，則a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：對于A，直線a可以在平面α內(nèi)，也可以與平面α相交；對于B，直線a可以在平面α內(nèi)，或者b在平面α內(nèi)；對于D，假如a⊥α，b⊥α，則有a∥b，與條件中兩直線異面沖突．5．(2024·貴州適應(yīng)性考試)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下面四個(gè)命題：①若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ；②若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n；③若m∥α，n?α，則m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，則m∥n.其中正確命題的序號是(D)A．①④ B．①②C．②③④ D．④解析：對于①，同垂直于一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能相交，命題①錯(cuò)誤；對于②，在兩個(gè)相互垂直的平面內(nèi)的兩條直線可能相互平行，可能相交，也可能異面，命題②錯(cuò)誤；對于③，直線m與n可能異面，命題③錯(cuò)誤；對于④，由面面平行的性質(zhì)定理知命題④正確．故正確命題的序號是④，選D.6．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(B)A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析：如圖，取正三角形ABC的中心O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．因?yàn)榈酌孢呴L為eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的體積為eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3).所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，因?yàn)橹本€與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAO＝eq\f(π,3).7．如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.8．(2024·湖北黃岡模擬)如圖，AC＝2R為圓O的直徑，∠PCA＝45°，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點(diǎn)A、C重合的點(diǎn)，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，則下列不正確的是(B)A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC解析：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AN?平面ABP，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又PC?平面PBC，∴AN⊥PC，又∵PC⊥AS，AS∩AN＝A，∴PC⊥平面ANS，又PC?平面PBC，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正確，C，D明顯正確，故選B.二、填空題9.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為4.解析：∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形，由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．10.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線AB解析：∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．11．(2024·南昌模擬)側(cè)面為等腰直角三角形的正三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).解析：記該正三棱錐為P-ABC，P為頂點(diǎn)，△ABC為底面，由題意知，正三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，PA＝PB＝PC，△ABC為正三角形．如圖，在平面ABC上，過點(diǎn)A作BC的垂線AD交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PO⊥AD交AD于點(diǎn)O，連接PD，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以D是BC的中點(diǎn)，又PB＝PC，所以PD⊥BC.因?yàn)锳D∩PD＝D，所以BC⊥平面PAD，因?yàn)镻O?平面PAD，所以BC⊥PO，又AD∩BC＝D，所以PO⊥平面ABC，所以∠PAO是PA與底面ABC所成的角，設(shè)側(cè)棱長是1，在等腰直角三角形PBC中，BC＝eq\r(2)，PD＝eq\f(\r(2),2)，AD＝eq\f(\r(6),2)，PA與底面ABC所成角的正弦值為eq\f(PD,AD)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(3),3).12.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上．點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為eq\f(2\r(5),5).解析：點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，明顯點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值．當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長度最小，此時(shí)P′C＝eq\f(2×1,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5).三、解答題13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD，所以AE⊥PD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P，C)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD.證明：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB∥CD.又AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因?yàn)锳B?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB⊥AD.因?yàn)锳F⊥EF，(1)中已證AB∥EF，所以AB⊥AF.又AB⊥AD，由點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)C)，所以點(diǎn)F異于點(diǎn)D，所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.15．(2024·四川綿陽質(zhì)檢)如圖，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點(diǎn)C是半圓弧上不同于A，B的隨意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(D)A．MN∥ABB．MN與BC所成的角為45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC解析：∵M(jìn)，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，∴MN∥AC，故A錯(cuò)誤；∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵M(jìn)N∥AC，∴MN與BC所成的角是90°，故B錯(cuò)誤；∵∠ACO<∠ACB＝90°，∴OC與平面VAC不垂直，故C錯(cuò)誤；∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵VA垂直于半圓O所在的平面，∴VA⊥BC，又VA∩AC＝A，∴BC⊥平面VAC，又BC?平面VBC，∴平面VAC⊥平面VBC，故D正確．16．(2024·河南鄭州測試)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，PD⊥BF.(1)求證：AD⊥PB.(2)若E在線段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱錐D-CEG的體積；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：連接PF，∵△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB?平面BFP，∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，∴BF⊥平面PAD.又BF?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.連接CF，交DE于點(diǎn)H，過H作HG∥PF交PC于點(diǎn)