2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)真題分類專練一課一練含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1新20版練B1數(shù)學(xué)人教A版第四章真題分類專練題組1指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.(浙江學(xué)考)對(duì)隨意的正實(shí)數(shù)a及m,n∈Q,下列運(yùn)算正確的是()。A.(am)n=am+n B.(am)n=aC.(am)n=am-n D.(am)n=amn答案：D解析：(am)n=amn,故選D。2.(浙江學(xué)考)設(shè)函數(shù)f(x)=2ex,g(x)=e3x,其中e為自數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù),則A.對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x恒有f(x)≥g(x)B.存在正實(shí)數(shù)x使得f(x)>g(x)C.對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x恒有f(x)≤g(x)D.存在正實(shí)數(shù)x使得f(x)<g(x)答案：D解析：由已知可得函數(shù)f(x)=2ex,g(x)=e3x的值域均為(0,+∞),則g(x)f(x)=e26x,當(dāng)x>0時(shí),g(x)f(x)>1,即f(x)<g(3.(2024·山東高考)若函數(shù)exf(x)(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì),下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是()。A.f(x)=2-x B.f(x)=x2C.f(x)=3-x D.f(x)=cosx答案：A解析：對(duì)于選項(xiàng)A,f(x)=2-x=12x,則exf(x)=ex·12x=e2x,因?yàn)閑2>1,所以exf(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)=2-x具有M性質(zhì)。而分析B,C,D易知B,C,D中f(4.(湖南高考)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長(zhǎng)率為p,其次年的增長(zhǎng)率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為()。A.p+q2C.pq D.(p答案：D解析：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,原生產(chǎn)總值為a,則(1+p)·(1+q)a=a(1+x)2,解得x=(1+p)(1+5.(浙江高考)已知a,b>0,且a≠1,b≠1。若logab>1,則()。A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0答案：D解析：依據(jù)題意,logab>1?logab-logaa>0?logaba>0?0<a<1,0<ba<1或a>1,ba>1,即0<a<1,0<b<a或a>1,b>a。當(dāng)0<a<1,0<b<6.(2024·貴州二模)若a=212,b=313,c=515,則a,b,c的大小關(guān)系為(A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.b<c<a答案：C解析：a=212,b=313,c=515,明顯,∵b6-a6=9-8=1>0,∴b6>a6,∴b>a。∵a10-c10=32-25>0,a10>c10,∴a>c。綜上可得b>a>c。故選C。7.(2024·全國(guó)Ⅱ高考)設(shè)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=()。A.e-x-1 B.e-x+1C.-e-x-1 D.-e-x+1答案：D解析：依題意得,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1,選D。8.(山東高考)若函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)=(1-4m)x在[0,+∞)上是增函數(shù),則a=。

答案：1解析：函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),則1-4m>0,即m<14。若a>1,則函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最小值為1a=m,最大值為a2=4,解得a=2,m=12,與m<14沖突;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最小值為a2=m,最大值為1a=4,解得a=14,m=題組2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)9.(2024·浙江學(xué)考)計(jì)算lg4+lg25=()。A.2 B.3 C.4 D.10答案：A解析：lg4+lg25=lg100=2。10.(浙江學(xué)考)函數(shù)f(x)=log2(x-1)的定義域?yàn)?)。A.(-∞,-1) B.(-∞,1)C.(0,1) D.(1,+∞)答案：D解析：x-1>0,所以x>1。11.(黑龍江學(xué)考)已知函數(shù)f(x)=lnx,若實(shí)數(shù)a>b>c>e,則f(a)a,f(b)A.f(a)a>f(b)b>C.f(c)c>f(a)a>答案：D解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的特征知選D。12.(2024·全國(guó)Ⅲ高考)下列函數(shù)中,其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱的是()。A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)答案：B解析：方法一:設(shè)所求函數(shù)圖像上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則其關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-x,y),由對(duì)稱性知點(diǎn)(2-x,y)在函數(shù)f(x)=lnx的圖像上,所以y=ln(2-x)。故選B。方法二:由題意知,對(duì)稱軸上的點(diǎn)(1,0)既在函數(shù)y=lnx的圖像上也在所求函數(shù)的圖像上,代入選項(xiàng)中的函數(shù)表達(dá)式逐一檢驗(yàn),解除A,C,D,選B。13.(2024·天津高考)已知a=log2e,b=ln2,c=log1213,則a,b,c的大小關(guān)系為A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案：D解析：方法一:因?yàn)閍=log2e>1,b=ln2∈(0,1),c=log1213=log23>log2e>1,所以c>a>b方法二:log1213=log23,如圖,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2x,y=lnx的圖像,由圖知c>a>b14.(2024·全國(guó)Ⅱ高考)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()。A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)答案：D解析：由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4。因此,函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的定義域是(-∞,-2)∪(4,+∞)。留意到函數(shù)y=x2-2x-8在(4,+∞)上單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞),選D。15.(全國(guó)Ⅱ高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是(A.1B.-∞,13C.-D.-∞,-13答案：A解析：函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,∴f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù),又當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=ln(1+x)-11+x2,f(x)是單調(diào)遞增的,故f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x-1|,解得116.(天津高考)函數(shù)f(x)=log12(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為(A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)答案：D解析：函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(2,+∞),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是由y=log12t與t=g(x)=x2-4復(fù)合而成,又y=log12t在(0,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)y=f(x)在17.(浙江高考)計(jì)算:log222=。2log答案：-12,3解析：log222=log22-12=-12,2log23+lo18.(天津高考)已知a>0,b>0,ab=8,則當(dāng)a的值為時(shí),log2a·log2(2b)取得最大值。

答案：4解析：由于a>0,b>0,ab=8,所以a=8b,所以log2a·log2(2b)=log28b·log2(2b)=(3-log2b)·(1+log2b)=-(log2b)2+2log2b+3=-(log2b-1)2+4,當(dāng)b=2時(shí),有最大值4,此時(shí)a19.(重慶高考)函數(shù)f(x)=log2x·log2(2x)的最小值為答案：-14解析：依題意得f(x)=12log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=log2x+122-14≥-14,當(dāng)且僅當(dāng)log2x=-12,即x=120.(2024·全國(guó)Ⅲ高考)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,則f(-a)=答案：-2 解析：由f(a)=ln(1+a2-a)+1=4,得ln(1+a2-a)=3,所以f(-a)=ln(1+a2+a)+1=-ln121.(云南學(xué)考)函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,8]上的最大值為6,則a=。

答案：2 解析：當(dāng)a>1時(shí),f(x)=logax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,8]上是增函數(shù),所以f(x)max=f(8)=loga8=6,所以a=2。當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)=logax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,8]上是減函數(shù),所以f(x)max=f(2)=loga2=6,所以a=62>1(舍)。綜上可知,a=2題組3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題22.(2024·天津高考)已知a=log372,b=1413,c=log1315,則a,A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案：D解析：log1315=log3-15-1=log35,因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x為增函數(shù),所以log35>log372>log33=1。因?yàn)楹瘮?shù)y=14x為減函數(shù),所以14123.(2024·全國(guó)Ⅰ高考)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則()。A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z答案：D解析：方法一:(作差法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1,則x=lgklg2,y=lgklg3,因?yàn)閗>1,所以lgk>0,所以2x-3y=2lgklg2-3lgklg3=lgk×(2lg3-3lg2)lg2×lg3=lgk×lg98lg2×lg3>0,故2x>3y,2x-5z=2lgklg2-5lgk方法二:(作商法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1。則x=lgklg2,y=lgklg3,所以2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1,5z2x=52×lg2lg5=lg25所以5z>2x>3y。故選D。方法三:(中間值法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1,則x=lgklg2,y=lgklg3,所以3y=lgklg33,2x=lgk因?yàn)?3=69>68=2,2=1032>所以lg33>lg2>lg55又k>1,所以lgk>0,所以lg33>lg2>lg5所以3y<2x<5z。故選D。24.(2024·北京高考)依據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間困難度的上限M約為3361,而可觀測(cè)宇宙中一般物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080。則下列各數(shù)中與MN最接近的是()(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案：D解析：因?yàn)閘g3361=361×lg3≈361×0.48≈173,所以M≈10173,則MN≈10173108025.(天津高考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)。記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()。A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.c<b<a答案：C解析：由f(x)=2|x-m|-1是偶函數(shù)得m=0,則f(x)=2|x|-1。當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=2x-1遞增,又a=f(log0.53)=f(|log0.53|)=f(log23),c=f(0),且0<log23<log25,則f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b。26.(2024·全國(guó)Ⅲ高考)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()。A.flog314>f(2-B.flog314>f(2-C.f(2-32)>f(2D.f(2-23)>f(2答案：C解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=2x在R上是增函數(shù),所以0<2-32<2-23<20=1。因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),所以log314<log313=-1。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,且0<2-32<227.(2024·全國(guó)Ⅰ高考)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則()。A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a答案：B解析：∵a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,c=0.20.3<0.20=1且c>0,∴a<c<b,故選B。題組4求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)的個(gè)數(shù)28.(云南高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2+3x。則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為()。A.{-1,3} B.{-3,-1,1,3}C.{1,3} D.{1,-3}答案：A解析：當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即方程f(x)=x-3的根,由x2+3x=x-3,無解;當(dāng)x<0時(shí),由f(x)是奇函數(shù)得-f(x)=f(-x)=x2+3(-x),即f(x)=-x2+3x。由f(x)=x-3得x=3或-1。故選A。29.(天津高考)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函數(shù)g(x)=3-f(2-xA.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：f(2-x)=2從而g(x)=1+|2-x|,x≥0,3-x2,x<0。在同一坐標(biāo)系下畫出y=f(x),y=g(x)的圖像(圖像略),視察可得兩函數(shù)圖像有題組5確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間30.(廣州學(xué)考)函數(shù)f(x)=12x-x+2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案：D解析：f(2)·f(3)=122×123-3+2=131.(北京高考)已知函數(shù)f(x)=6x-log2x。在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4,+∞)答案：C解析：因?yàn)閒(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=32-log24=-12<0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,4),故選題組6由函數(shù)零點(diǎn)的特征求參數(shù)的值或取值范圍32.(2024·全國(guó)Ⅰ高考)已知函數(shù)f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a。若g(xA.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案：C解析：函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)根,即函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-x-a有2個(gè)交點(diǎn),作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖像,如圖所示,由圖可知,-a≤1,解得a≥-1,故選C。33.(2024·山東高考)已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)y=(mx-1)2的圖像與y=x+m的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是()。A.(0,1]∪[23,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2]∪[23,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)答案：B解析：當(dāng)0<m≤1時(shí),需滿意1+m≥(m-1)2,解得0≤m≤3,故這時(shí)0<m≤1。當(dāng)m>1時(shí),需滿意(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0,故這時(shí)m≥3。綜上可知,正實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,1]∪[3,+∞)。34.(山東高考)已知函數(shù)f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0答案：(3,+∞)解析：f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,當(dāng)x>m時(shí),f(x)=x2-2mx-4m=(x-m)2+4m-m2,其頂點(diǎn)為(m,4m-m2);當(dāng)x≤m時(shí),函數(shù)f(x)的圖像與直線x=m的交點(diǎn)為Q(m,m)。①當(dāng)m>0,4m-m2≥m,即0<m≤3時(shí),函數(shù)f(x)的圖像如圖①所示,易得直線y=b與函數(shù)f(x)的圖像有一個(gè)或兩個(gè)不同的交點(diǎn),不符合題意;②當(dāng)4m-m2<m,m>0,即m>3時(shí)題組7函數(shù)模型的應(yīng)用35.(四川高考)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:時(shí))與貯存溫度x(單位:℃)滿意函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù))。若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22℃的保鮮時(shí)間是24小時(shí),則該食品在44℃的保鮮時(shí)間是小時(shí)。

答案：24解析：依題意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k=48eb=48192=14,所以e11k=12或-12(舍去),于是該食品在33℃的保鮮時(shí)間是e33k+b=(e11k)3·eb36.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,排放時(shí)污染物的含量不得超過1%。已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(毫克/升)與過濾時(shí)間t(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為P=P0e-kt(k,P0均為正的常數(shù),其中P0為t=0時(shí)的污染物數(shù)量)。假如在前5個(gè)小時(shí)的過濾過程中污染物被解除了90%,那么至少還需()過濾才可以排放。A.12時(shí) B.59時(shí) C.5時(shí) 答案：C解析：由題意,前5個(gè)小時(shí)解除了90%的污染物。因?yàn)镻=P0e-kt,所以(1-90%)P0=P0e-5k,所以0.1=e-5k,即-5k=ln0.1,解得k=-15ln0.1設(shè)t時(shí)后污染物含量為1%,由1%P0=P0e-kt,得0.01=e-kt,所以-kt=ln0.01,即t5ln0.1=ln0.01=2ln0.1,解得t=10所以至少還需5時(shí)過濾才可以排放,故選C。37.(湖南高考)某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺(tái)產(chǎn)品須要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件)。已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件。該企業(yè)支配支配200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))。(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)須要的時(shí)間;答案：設(shè)完成A,B,C三種部件生產(chǎn)須要的時(shí)間分別為T1(x),T2(x),T3(x)(單位:天),由題設(shè)有T1(x)=2×30006x=1000x,