廣東省深圳市龍崗區(qū)2025年初三第一次(4月)診斷數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

廣東省深圳市龍崗區(qū)2025年初三第一次(4月)診斷數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖,矩形ABCD的頂點A、C分別在直線a、b上,且a∥b,∠1=60°,則∠2的度數(shù)為()A.30° B.45° C.60° D.75°2.如圖,在正方形ABCD中,E為AB的中點,G,F(xiàn)分別為AD、BC邊上的點,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,則GF的長為()A.2 B.3 C.4 D.53.已知3a﹣2b=1,則代數(shù)式5﹣6a+4b的值是()A.4B.3C.﹣1D.﹣34.如圖是一個放置在水平桌面的錐形瓶,它的俯視圖是()A. B. C. D.5.一個多邊形的每個內(nèi)角都等于120°,則這個多邊形的邊數(shù)為()A.4 B.5 C.6 D.76.某商品的進價為每件元.當售價為每件元時,每星期可賣出件,現(xiàn)需降價處理,為占有市場份額,且經(jīng)市場調(diào)查:每降價元,每星期可多賣出件.現(xiàn)在要使利潤為元,每件商品應(yīng)降價()元.A.3 B.2.5 C.2 D.57.能說明命題“對于任何實數(shù)a,|a|>﹣a”是假命題的一個反例可以是()A.a(chǎn)=﹣2 B.a(chǎn)= C.a(chǎn)=1 D.a(chǎn)=8.商場將某種商品按原價的8折出售,仍可獲利20元.已知這種商品的進價為140元,那么這種商品的原價是()A.160元B.180元C.200元D.220元9.為了增強學(xué)生體質(zhì),學(xué)校發(fā)起評選“健步達人”活動,小明用計步器記錄自己一個月(30天)每天走的步數(shù),并繪制成如下統(tǒng)計表:步數(shù)(萬步)1.01.21.11.41.3天數(shù)335712在每天所走的步數(shù)這組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A.1.3,1.1 B.1.3,1.3 C.1.4,1.4 D.1.3,1.410.若分式的值為零,則x的值是()A.1 B. C. D.2二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.一個凸邊形的內(nèi)角和為720°,則這個多邊形的邊數(shù)是__________________12.如圖,直線,點A1坐標為(1,0),過點A1作x軸的垂線交直線于點B1,以原點O為圓心,OB1長為半徑畫弧交x軸于點A2;再過點A2作x軸的垂線交直線于點B2,以原點O為圓心,OB2長為半徑畫弧交x軸于點A3,…,按照此做法進行下去,點A8的坐標為__________.13.已知線段AB=2cm,點C在線段AB上,且AC2=BC·AB,則AC的長___________cm.14.《孫子算經(jīng)》中記載了一道題,大意是:100匹馬恰好拉了100片瓦,已知1匹大馬能拉3片瓦,3匹小馬能拉1片瓦,問有多少匹大馬、多少匹小馬?設(shè)有x匹大馬,y匹小馬,根據(jù)題意可列方程組為______.15.把一張長方形紙條按如圖所示折疊后,若∠AOB′=70°,則∠B′OG=_____.16.化簡:=_____.17.在一個不透明的口袋中,有3個紅球、2個黃球、一個白球,它們除顏色不同之外其它完全相同,現(xiàn)從口袋中隨機摸出一個球記下顏色后放回,再隨機摸出一個球,則兩次摸到一個紅球和一個黃球的概率是_____.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)為了傳承祖國的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校組織了一次“詩詞大會”,小明和小麗同時參加,其中,有一道必答題是:從如圖所示的九宮格中選取七個字組成一句唐詩,其答案為“山重水復(fù)疑無路”.(1)小明回答該問題時,僅對第二個字是選“重”還是選“窮”難以抉擇,隨機選擇其中一個,則小明回答正確的概率是;(2)小麗回答該問題時,對第二個字是選“重”還是選“窮”、第四個字是選“富”還是選“復(fù)”都難以抉擇,若分別隨機選擇,請用列表或畫樹狀圖的方法求小麗回答正確的概率.九宮格19.(5分)第二十四屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2月20日在北京舉行,北京將成為歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市.某區(qū)舉辦了一次冬奧知識網(wǎng)上答題競賽,甲、乙兩校各有名學(xué)生參加活動,為了解這兩所學(xué)校的成績情況,進行了抽樣調(diào)查,過程如下,請補充完整.[收集數(shù)據(jù)]從甲、乙兩校各隨機抽取名學(xué)生,在這次競賽中他們的成績?nèi)缦?甲:乙:[整理、描述數(shù)據(jù)]按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):學(xué)校人數(shù)成績甲乙(說明:優(yōu)秀成績?yōu)?,良好成績?yōu)楹细癯煽優(yōu)?)[分析數(shù)據(jù)]兩組樣本數(shù)據(jù)的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:學(xué)校平均分中位數(shù)眾數(shù)甲乙其中.[得出結(jié)論](1)小明同學(xué)說:“這次競賽我得了分,在我們學(xué)校排名屬中游略偏上!”由表中數(shù)據(jù)可知小明是_校的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)(2)張老師從乙校隨機抽取--名學(xué)生的競賽成績,試估計這名學(xué)生的競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為_;(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷一所你認為競賽成績較好的學(xué)校,并說明理由:;(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)20.(8分)如圖,△ABC和△ADE分別是以BC,DE為底邊且頂角相等的等腰三角形,點D在線段BC上,AF平分DE交BC于點F,連接BE,EF.CD與BE相等?若相等,請證明;若不相等,請說明理由;若∠BAC=90°,求證:BF1+CD1=FD1.21.(10分)如圖,以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O,⊙O與BC邊的交點D恰好為BC的中點,過點D作⊙O的切線交AC邊于點E.(1)求證:DE⊥AC;(2)連結(jié)OC交DE于點F,若,求的值.22.(10分)如圖所示,△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,EC的延長線交BD于點P.(1)把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1,BD,CE的關(guān)系是(選填“相等”或“不相等”);簡要說明理由;(2)若AB=3,AD=5,把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn),當∠EAC=90°時,在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,PD=,簡要說明計算過程;(3)在(2)的條件下寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為,最大值為.23.(12分)“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“粽子”的習(xí)俗.我市某食品廠為了解市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況,在節(jié)前對某居民區(qū)市民進行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(尚不完整).請根據(jù)以上信息回答:(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?(2)將兩幅不完整的圖補充完整;(3)若居民區(qū)有8000人,請估計愛吃D粽的人數(shù);(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一個,煮熟后,小王吃了兩個.用列表或畫樹狀圖的方法,求他第二個吃到的恰好是C粽的概率.24.(14分)如圖,已知等腰三角形ABC的底角為30°,以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D,過點D作DE⊥AC,垂足為E.(1)證明:DE為⊙O的切線;(2)連接DC,若BC=4,求弧DC與弦DC所圍成的圖形的面積.

參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解析】試題分析:過點D作DE∥a,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADC=90°,∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°,∵a∥b,∴DE∥a∥b,∴∠4=∠3=30°,∠2=∠5,∴∠2=90°﹣30°=60°.故選C.考點:1矩形;2平行線的性質(zhì).2、B【解析】∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,∴∠AGE+∠AEG=90°,∠BFE+∠FEB=90°,∵∠GEF=90°,∴∠GEA+∠FEB=90°,∴∠AGE=∠FEB,∠AEG=∠EFB,∴△AEG∽△BFE,∴,又∵AE=BE,∴AE2=AG?BF=2,∴AE=(舍負),∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9,∴GF的長為3,故選B.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,利用勾股定理即可得解,解題的關(guān)鍵是證明△AEG∽△BFE.3、B【解析】

先變形,再整體代入,即可求出答案.【詳解】∵3a﹣2b=1,∴5﹣6a+4b=5﹣2(3a﹣2b)=5﹣2×1=3,故選:B.本題考查了求代數(shù)式的值,能夠整體代入是解此題的關(guān)鍵.4、B【解析】

根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形解答即可.【詳解】錐形瓶從上面往下看看到的是兩個同心圓.故選B.本題考查三視圖的知識,解決此類圖的關(guān)鍵是由三視圖得到相應(yīng)的平面圖形.從正面看到的圖是正視圖,從上面看到的圖形是俯視圖,從左面看到的圖形是左視圖,能看到的線畫實線,被遮擋的線畫虛線.5、C【解析】試題解析:∵多邊形的每一個內(nèi)角都等于120°,∴多邊形的每一個外角都等于180°-120°=10°,∴邊數(shù)n=310°÷10°=1.故選C.考點:多邊形內(nèi)角與外角.6、A【解析】

設(shè)售價為x元時,每星期盈利為6125元,那么每件利潤為(x-40),原來售價為每件60元時,每星期可賣出300件,所以現(xiàn)在可以賣出[300+20(60-x)]件,然后根據(jù)盈利為6120元即可列出方程解決問題.【詳解】解:設(shè)售價為x元時,每星期盈利為6120元,

由題意得(x-40)[300+20(60-x)]=6120,

解得:x1=57,x2=1,

由已知,要多占市場份額,故銷售量要盡量大,即售價要低,故舍去x2=1.

∴每件商品應(yīng)降價60-57=3元.

故選:A.本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.此題找到關(guān)鍵描述語,找到等量關(guān)系準確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵.此題要注意判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.7、A【解析】

將各選項中所給a的值代入命題“對于任意實數(shù)a,”中驗證即可作出判斷.【詳解】(1)當時,,此時,∴當時,能說明命題“對于任意實數(shù)a,”是假命題,故可以選A;(2)當時,,此時,∴當時,不能說明命題“對于任意實數(shù)a,”是假命題,故不能B;(3)當時,,此時,∴當時,不能說明命題“對于任意實數(shù)a,”是假命題,故不能C;(4)當時,,此時,∴當時,不能說明命題“對于任意實數(shù)a,”是假命題,故不能D;故選A.熟知“通過舉反例說明一個命題是假命題的方法和求一個數(shù)的絕對值及相反數(shù)的方法”是解答本題的關(guān)鍵.8、C【解析】

利用打折是在標價的基礎(chǔ)之上,利潤是在進價的基礎(chǔ)上,進而得出等式求出即可.【詳解】解:設(shè)原價為x元,根據(jù)題意可得:80%x=140+20,解得:x=1.所以該商品的原價為1元;故選:C.此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用,根據(jù)題意列出方程是解決問題的關(guān)鍵.9、B【解析】

在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是1.1,得到這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,第15、16個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù).【詳解】在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是1.1,即眾數(shù)是1.1.要求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù),把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,第15、16個兩個數(shù)都是1.1,所以中位數(shù)是1.1.故選B.本題考查一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù),在求中位數(shù)時,首先要把這列數(shù)字按照從小到大或從的大到小排列,找出中間一個數(shù)字或中間兩個數(shù)字的平均數(shù)即為所求.10、A【解析】試題解析:∵分式的值為零,∴|x|﹣1=0,x+1≠0,解得:x=1.故選A.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、1【解析】

設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式:,列方程計算即可.【詳解】解:設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得解得.故答案為:1.此題考查的是根據(jù)多邊形的內(nèi)角和,求邊數(shù),掌握多邊形內(nèi)角和公式是解決此題的關(guān)鍵.12、(128,0)【解析】

∵點A1坐標為(1,0),且B1A1⊥x軸,∴B1的橫坐標為1,將其橫坐標代入直線解析式就可以求出B1的坐標,就可以求出A1B1的值,OA1的值,根據(jù)銳角三角函數(shù)值就可以求出∠xOB3的度數(shù),從而求出OB1的值,就可以求出OA2值,同理可以求出OB2、OB3…,從而尋找出點A2、A3…的坐標規(guī)律,最后求出A8的坐標.【詳解】點坐標為(1,0),

點的橫坐標為1,且點在直線上

在中由勾股定理,得

,

在中,

.

.

.

.

故答案為.本題是一道一次函數(shù)的綜合試題,也是一道規(guī)律試題,考查了直角三角形的性質(zhì),特別是所對的直角邊等于斜邊的一半的運用,點的坐標與函數(shù)圖象的關(guān)系.13、【解析】

設(shè)AC=x,則BC=2-x,根據(jù)AC2=BC·AB列方程求解即可.【詳解】解:設(shè)AC=x,則BC=2-x,根據(jù)AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),解得:x=或(舍去).故答案為.本題考查了黃金分割的應(yīng)用,關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比.14、【解析】分析:根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組,從而可以解答本題.詳解:由題意可得,,故答案為點睛:本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,列出相應(yīng)的方程組.15、55°【解析】

由翻折性質(zhì)得,∠BOG=∠B′OG,根據(jù)鄰補角定義可得.【詳解】解:由翻折性質(zhì)得,∠BOG=∠B′OG,∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG=180°,∴∠B′OG=(180°﹣∠AOB′)=(180°﹣70°)=55°.故答案為55°.考核知識點:補角,折疊.16、【解析】

先算除法,再算減法,注意把分式的分子分母分解因式【詳解】原式===此題考查分式的混合運算,掌握運算法則是解題關(guān)鍵17、【解析】

先畫樹狀圖展示所有36種等可能的結(jié)果數(shù),再找出兩次摸到一個紅球和一個黃球的結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公式求解.【詳解】畫樹狀圖如下:由樹狀圖可知,共有36種等可能結(jié)果,其中兩次摸到一個紅球和一個黃球的結(jié)果數(shù)為12,所以兩次摸到一個紅球和一個黃球的概率為,故答案為.本題考查了列表法或樹狀圖法:通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1);(2)【解析】試題分析:(1)利用概率公式直接計算即可;(2)畫出樹狀圖得到所有可能的結(jié)果,再找到回答正確的數(shù)目即可求出小麗回答正確的概率.試題解析:(1)∵對第二個字是選“重”還是選“窮”難以抉擇,∴若隨機選擇其中一個正確的概率=,故答案為;(2)畫樹形圖得:由樹狀圖可知共有4種可能結(jié)果,其中正確的有1種,所以小麗回答正確的概率=.考點:列表法與樹狀圖法;概率公式.19、80;(1)甲;(2);(3)乙學(xué)校競賽成績較好,理由見解析【解析】

首先根據(jù)乙校的成績結(jié)合眾數(shù)的定義即可得出a的值;(1)根據(jù)兩個學(xué)校成績的中位數(shù)進一步判斷即可;(2)根據(jù)概率的定義,結(jié)合乙校優(yōu)秀成績的概率進一步求解即可;(3)根據(jù)題意,從平均數(shù)以及中位數(shù)兩方面加以比較分析即可.【詳解】由乙校成績可知,其中80出現(xiàn)的次數(shù)最多,故80為該組數(shù)據(jù)的眾數(shù),∴a=80,故答案為:80;(1)由表格可知,甲校成績的中位數(shù)為60,乙校成績的中位數(shù)為75,∵小明這次競賽得了分,在他們學(xué)校排名屬中游略偏上,∴小明為甲校學(xué)生,故答案為:甲;(2)乙校隨便抽取一名學(xué)生的成績,該學(xué)生成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為:,故答案為:;(3)乙校競賽成績較好,理由如下:因為乙校的平均分高于甲校的平均分說明平均水平高,乙校的中位數(shù)75高于甲校的中位數(shù)65,說明乙校分數(shù)不低于70分的學(xué)生比甲校多,綜上所述,乙校競賽成績較好.本題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義與簡單概率的計算的綜合運用,熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.20、(1)CD=BE,理由見解析;(1)證明見解析.【解析】

(1)由兩個三角形為等腰三角形可得AB=AC,AE=AD,由∠BAC=∠EAD可得∠EAB=∠CAD,根據(jù)“SAS”可證得△EAB≌△CAD,即可得出結(jié)論;(1)根據(jù)(1)中結(jié)論和等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠EBF=90°,在Rt△EBF中由勾股定理得出BF1+BE1=EF1,然后證得EF=FD,BE=CD,等量代換即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)CD=BE,理由如下:∵△ABC和△ADE為等腰三角形,∴AB=AC,AD=AE,∵∠EAD=∠BAC,∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD,即∠EAB=∠CAD,在△EAB與△CAD中,∴△EAB≌△CAD,∴BE=CD;(1)∵∠BAC=90°,∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠ABF=∠C=45°,∵△EAB≌△CAD,∴∠EBA=∠C,∴∠EBA=45°,∴∠EBF=90°,在Rt△BFE中,BF1+BE1=EF1,∵AF平分DE,AE=AD,∴AF垂直平分DE,∴EF=FD,由(1)可知,BE=CD,∴BF1+CD1=FD1.本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理等知識,結(jié)合題意尋找出三角形全等的條件是解決此題的關(guān)鍵.21、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)連接OD,根據(jù)三角形的中位線定理可求出OD∥AC,根據(jù)切線的性質(zhì)可證明DE⊥OD,進而得證.(2)連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義用OB表示出OF、CF的長,根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.【詳解】解:(1)連接OD.∵DE是⊙O的切線,∴DE⊥OD,即∠ODE=90°.∵AB是⊙O的直徑,∴O是AB的中點.又∵D是BC的中點,.∴OD∥AC.∴∠DEC=∠ODE=90°.∴DE⊥AC.(2)連接AD.∵OD∥AC,∴.∵AB為⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵D為BC的中點,∴AB=AC.∵sin∠ABC==,設(shè)AD=3x,則AB=AC=4x,OD=2x.∵DE⊥AC,∴∠ADC=∠AED=90°.∵∠DAC=∠EAD,∴△ADC∽△AED.∴.∴.∴.∴.∴.22、(1)BD,CE的關(guān)系是相等;(2)或;(3)1,1【解析】分析:(1)依據(jù)△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,即可BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,進而得到△ABD≌△ACE,可得出BD=CE;(2)分兩種情況:依據(jù)∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,可得△PCD∽△ACE,即可得到=,進而得到PD=;依據(jù)∠ABD=∠PBE,∠BAD=∠BPE=90°,可得△BAD∽△BPE,即可得到,進而得出PB=,PD=BD+PB=;(3)以A為圓心,AC長為半徑畫圓,當CE在⊙A下方與⊙A相切時,PD的值最?。划擟E在在⊙A右上方與⊙A相切時,PD的值最大.在Rt△PED中,PD=DE?sin∠PED,因此銳角∠PED的大小直接決定了PD的大?。謨煞N情況進行討論,即可得到旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值以及最大值.詳解:(1)BD,CE的關(guān)系是相等.理由:∵△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE;故答案為相等.(2)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,若點C在AD上,如圖2所示:∵∠EAC=90°,∴CE=,∵∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,∴△PCD∽△ACE,∴,∴PD=;若點B在AE上,如圖2所示:∵∠BAD=90°,∴Rt△ABD中,BD=,BE=AE﹣AB=2,∵∠ABD=∠PBE,∠BAD=∠BPE=90°,∴△BAD∽△BPE,∴,即,解得PB=,∴PD=BD+PB=+=,故答案為或;(3)如圖3所示,以A為圓心,AC長為半徑畫圓,當CE在⊙A下方與⊙A相切時,PD的值最??;當CE在在⊙A右上方與⊙A相切時,PD的值最大.如圖3所示,分兩種情況討論:在Rt△PED中,PD=DE?sin∠PED,因此銳角∠PED的大小直

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