2025年中考數(shù)學暑假復習講義：胡不歸問題

胡不歸問題

方法說明

如圖堆NAOB的邊0B上有一點P,當點P位于什么位置時,AP+kQP(O<k<l)最小?此類問題俗稱“胡不歸問

方法歸納

如圖，在OB的下方作射線OC,使得sin/BOC=k。過點P作PH1OC于H,當點A,P,H三點共線時,AP+

k-OP(0<k<l)最小。

H

C

備注：①題目中要求mAP+nOP(m>n>0)的最小值時，常常進行提公因式，變形為小(2P+三。P)的形式；②

題目中已知動點速度，要求動點運動時間最少時，常常把求時間的問題轉(zhuǎn)化為求路程的問題。

典型例題

例5如圖,已知點A(-8,0),點B(-5,-4),直線y=2x+m過點B交y軸于點C,交x軸于點D,拋物線y=ax2+11

x+c經(jīng)過點A,C,D,連接AB,ACo

(1)求拋物線的表達式。

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由。

(3)E為直線AC上方的拋物線上一點，且tanNECA=Z，求點E的坐標。

2

(4)N為線段AC上的動點，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BN運動到點N,再以

每秒、片個單位長度的速度沿線段NC運動到點C,又以每秒1個單位長度的速度沿線段CO向點O運動，當點

P運動到點O后停止，請直接寫出上述運動時間的最小值及此時點N的坐標。

思路點撥

(1)把點B的坐標代入直線解析式，再求出點C,D的坐標，用待定系數(shù)法求拋物線的表達式即可。

(2)觀察圖形可知△ABC為直角三角形，且NBAC=90。。只需根據(jù)點A,B,C的坐標求出三邊長，用勾股定理的

逆定理進行證明即可。

(3)由(2)的結(jié)論可得tan/BC4=^=工。因此只需作點B關于AC的對稱點F,連接CF并與拋物線交于一

AC2

點E,點E即為所求。

(4)由于速度是已知的，那么運動時間的最小值即可轉(zhuǎn)化為求BN+近NC的最小值，也就是我們說的胡不歸問

5

題。再觀察易得sin乙4。F=5也乙8&4=延=逅,因此只需過點N作CF的垂線段NM,當點B,N,M三點共線時運

BC5

動時間取最小值。

解題過程

解:⑴：直線y=2x+m過點B(—5,—4),交y軸于點C,；.—4=2x(—5)+m,解得m=6,：.C(0,6)。

2=64a2

把A(—8,0),C(0,6)代入y=ax+llx+c,得f°-^+：解得/=拋物線的表達式為y=

4IC=6=6

+11%+6o

44

(2)AABC為直角三角形，且NBAC=90。,理由如下。

,點A(-8,0),B(-5,-4),C(0,6),AB2=(-8+5)2+(0+4)2=25,AC2=(-8+0)2+(0-6)2=100,BC2=

(-5+0)2+(-4-6)2=125,AC2+AB2=BC2,：.AABC為直角三角形，且NBAC=90。。

(3)由⑵得AB=5,AC=10,/.tanZBCA=些=!=tanzFCX,/.BCA=/.ECA.

AC2

如圖，延長BA至F,使AF=AB,連接CF,則點B,F關于點A對稱，則F(-11,4),BC=FC。

ZBAC=ZFAC=90°,AZBCA=NFCA,.,.點E為直線CF與拋物線的交點。

設直線CF的解析式為y=kx+b,則「*+2=4,解得一=土直線CF的解析式為y=2%+6。

1b=6(b=6n

y=2%+6v=-113_

1

.?.由［11，解得f11OU，...點E的坐標為(-113,500)o

ly="2+llx+6Iy=%ly2=6V1112〃

441121

(4)【方法一】

如圖，過點N作NMLCF于點M,過點B作BM」CF于點M；并與AC交于點

???AB=5,CF=BC=V125=5A/5,Asm^ACF=sm^BCA=幽=恒，:.MN=在NC。

BC55

???s=lBF-AC=iCF-BM',BM'=%始="婆=4Vs.?.CM，=弋BC2-BM，2=3g

BCF22CF575

設M，(mf—m+6),CM，2=m2+(-Lm+)6—6)2=空5m2=45,解得m=一至=33/5(舍去)。

V117V1177121151_

???B(-5,-4),???直線BM，的解析式為y=—ll)-坦。

22

???A(-8,0),C(0,6),，直線AC的解析式為y=2%+6。

4

y=-11%-x—、

...由［22,解得［3?.點N，的坐標為(―6,Z

1

Iy=3x+6--I2,

由題可知，點P的運動時間t=阻+吧+￡2=BN+芯NC+6=BN+MN+62BM，+6=4,5+6,...當

1Vs15

點N與N，重合且點M與M，重合時，點P的運動時間取最小值，最小值為4,5+6,此時點N的坐標為

【方法二】

過N作MNXBC于M,過F作FM'±BC交AC于N,連接FN,則FN=BN。

■：AB=5,BC=V125=5V5,sm^BCA=嫗=恒=幽,；.MN=空。

BC5NC-5

?.?CO=6,???點P的運動時間t=%+^+^-=BN+MN+6=FN+MN+6>FM'+60

1V51

當F,N,M三點共線時,t最小。

AC=10,BC=5V5,sinzXBC=絲=型=上絲,.?.用3=4V5,...點P運動時間t的最小值為4vs+6。

BC5BF

由直線BC的表達式y(tǒng)=2x+6得點D的坐標為(-3,0)。

■FD=-(-11+3)2+42=4低.?.點D與點M，重合，則點N(即N)為直線FD與直線AC的交點。

由點和得直線的表達式為

A(—8,0)C(0,6)ACy=3X+6O

4

由點F(-ll,4)和D(-3