高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納(新高考地區(qū)專用)考點(diǎn)21三角恒等變換4種常見考法歸類(原卷版+解析)

考點(diǎn)21三角恒等變換4種常見考法歸類考點(diǎn)一兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（一）給角求值（二）給值（式）求值（三）給值求角（四）三角函數(shù)式的化簡（五）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二二倍角公式（一）給角求值（二）給值（式）求值（三）給值求角（四）與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合（五）與誘導(dǎo)公式的綜合（六）利用二倍角公式化簡求值考點(diǎn)三輔助角公式的應(yīng)用考點(diǎn)四簡單的三角恒等變換（一）半角公式的應(yīng)用（二）三角恒等式的證明（三）三角恒等變換的綜合問題1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β記憶口訣：1、余余正正符號反2、同名相乘、加減相反3、諧音：“吃吃睡睡，顛倒黑白”S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(異名相乘、加減一致)S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(異名相乘、加減一致)記憶口訣：1、正余余正符號同2、異名相乘、加減一致3、諧音：“上錯(cuò)廁所，一一對應(yīng)”T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；(兩式相除、上同下異)．變形：①tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)②tanα·tanβ＝eq\f(tanα－tanβ,tan(α－β))－1T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；(兩式相除、上同下異)．變形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)②tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan(α＋β))(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相對的，如：eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍.S2αsin2α＝2sin_αcos_α；變形：sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）2.簡單的三角恒等變換(1)降冪公式sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2).sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.(2)升冪公式1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))eq\s\up12(2).1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.注：萬能公式(4)其他常用變式3.輔助角公式（同角異名1次）asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，或tanφ＝eq\f(b,a).其中φ稱為輔助角，它的終邊所在象限由點(diǎn)（a，b）決定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq\f(30°,2).(2)，α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β).α－β＝(α－γ)＋(γ－β)(3)eq\f(π,3)－α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，eq\f(π,6)－α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))，eq\f(π,3)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))，eq\f(π,4)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α)).eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))6.應(yīng)用和、差、倍角公式化簡求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”；(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用；(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．7.和、差、倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；(2)和差角公式變形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1?tanα·tanβ)；(3)倍角公式變形：降冪公式．(4)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題．8.解決非特殊角求值問題的基本思路有：①化非特殊角為特殊角；②化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去后求值；③化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)，進(jìn)行約分求值；④當(dāng)有α，2α，3α，4α同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)式子中時(shí)，一般將α向2α，3α(或4α)向2α轉(zhuǎn)化，再求關(guān)于2α式子的值．9.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則注：三角函數(shù)式化簡、求值的一般思路：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等.10.給值(式)求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．(2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．(3)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．(4)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．(5)給值求值型恒等變換問題，重在對所給條件進(jìn)行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所給值的符號判斷角所在的象限等.必要時(shí)還要進(jìn)行估算，如銳角α的余弦值為eq\f(3,5)，由eq\f(1,2)＜eq\f(3,5)＜eq\f(\r(2),2)，及余弦函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減可知45°＜α＜60°，從而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等.另外，注意三種主要變換：①變角，通常是“配湊”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等；②變名，通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手段通常有“切化弦”“升冪與降冪”等；③變式，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手段通常有：“常值代換”如1＝taneq\f(π,4)，1＝sin2α＋cos2α“逆用變換公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等.其中角的變換居核心地位.11.已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．（在給值求角時(shí)，一般地選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設(shè)確定所求角的范圍，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出角.確定角的范圍是關(guān)鍵，一定要使所選的函數(shù)在此范圍內(nèi)是單調(diào)的，必要時(shí)，還需根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍.）(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)（已知三角函數(shù)值求角，選三角函數(shù)時(shí)可按下列規(guī)則：(i)已知正切值，常選正切函數(shù)；(ii)已知正、余弦值，常選正弦或余弦函數(shù)；(iii)若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，常選正、余弦函數(shù)；(iv)若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，常選正弦函數(shù)；(v)若角的范圍是(0，π)或(π，2π)，常選余弦函數(shù).）(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．12.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時(shí)常常借助半角公式求解．(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍．(3)選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan

eq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常先利用sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)計(jì)算．13.三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡．(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同．(4)比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”．(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．考點(diǎn)一兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（一）給角求值1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的值是A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）______．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）__________.（二）給值（式）求值5．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知，且，，則（

）A． B． C． D．6．（江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知，且，則cosβ=（

）A． B． C． D．07．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．8．（山西省晉中市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（A卷））已知，為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．9．（河南省名校青桐鳴2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知，，則（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，則_____11．【多選】（河北省承德市2023屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知，，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．C． D．12．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）已知，，則（

）A． B． C． D．13．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知、均為銳角，且，，則_____________.（三）給值求角14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知都是銳角，，則___________.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若，則________．16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，是方程的兩根，且，則（

）．A． B． C．或 D．17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，，則的值是（

）A． B． C． D．18．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的值可能為（

）A． B． C． D．19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角為銳角，，且滿足，(1)證明：；(2)求.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，求的值為_____．（四）三角函數(shù)式的化簡22．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A．0 B． C． D．23．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則__________.24．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．26．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則的最大值為（

）A． B． C． D．（五）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用27．（河南省部分學(xué)校2023屆高三高考仿真適應(yīng)性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．8 B． C．4 D．28．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）在中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且，.，，則DC=___________.29．【多選】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．30．（廣東省潮州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知.(1)求角的大?。?2)求的取值范圍.考點(diǎn)二二倍角公式（一）給角求值31．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．32．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測）的值為（

）A． B． C． D．133．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，___________.35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．（二）給值（式）求值36．【多選】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，其中，則（

）A． B． C．D．37．（2023·福建泉州·校考模擬預(yù)測）已知，則______．38．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市一中校考期中）已知，則________．39．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，其中，為銳角，則以下命題正確的是（

）A． B．C． D．40．（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則__________．41．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知，，則的值為（

）A．0 B． C． D．42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．－1 C． D．43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．（三）給值求角44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知且，則=（

）A． B．C． D．或45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，則______．（四）與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則_________47．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則_________．48．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．1 C． D．（五）與誘導(dǎo)公式的綜合49．（2023春·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的值為（

）.A． B． C． D．51．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．52．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A． B． C． D．（六）利用二倍角公式化簡求值53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________．54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．5 B． C．2 D．455．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的值；(2)已知，求的值．考點(diǎn)三輔助角公式的應(yīng)用56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為________，最小值為________.57．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若，則函數(shù)的值域?yàn)開_____.58．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.59．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則__________.60．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）若，則（

）A． B． C． D．61．（2023秋·福建莆田·高三?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的值域；考點(diǎn)四簡單的三角恒等變換（一）半角公式的應(yīng)用62．（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）已知，則__________.63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，則（

）．A． B． C． D．64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，是第三象限的角，則＝（）A．2 B． C．﹣2 D．65．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時(shí)被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數(shù)公式是（

）A． B．C． D．（二）三角恒等式的證明66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足．(1)證明：；(2)求的最大值．67．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）小明在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．①；②；③；④；⑤．(1)請依據(jù)②式求出這個(gè)常數(shù)；(2)相據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將小明的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．68．（2023春·江蘇宿遷·高三?？茧A段練習(xí)）已知為斜三角形．(1)證明：；(2)若為銳角三角形，，求的最小值．（三）三角恒等變換的綜合問題69．（2023春·北京·高三清華附中?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求相應(yīng)的的值.70．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知向量，.設(shè).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，角、、所對的邊分別為、、.若，，三角形的面積為，求邊的長.71．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，分別是角的對邊，且滿足.(1)求角的大??；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.72．（2023春·四川成都·高三成都外國語學(xué)校?？计谥校┮阎蛄浚O(shè)函數(shù)，．(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)減區(qū)間；(2)若將的圖像上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像．當(dāng)（其中）時(shí)，記函數(shù)的最大值與最小值分別為與，設(shè)，且使對都有成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．73．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校聯(lián)考期中）嘉祥教育秉承“為生活美好?社會吉祥而努力”的企業(yè)理念及“堅(jiān)韌不拔?創(chuàng)造第一”的企業(yè)精神，經(jīng)過30年的發(fā)展和積累，目前已建設(shè)成為具有高度文明素質(zhì)和良好社會信譽(yù)的綜合性教育集團(tuán).某市有一塊三角形地塊，因發(fā)展所需，當(dāng)?shù)卣F(xiàn)劃撥該地塊為教育用地，希望嘉祥集團(tuán)能幫助打造一所新的教育品牌學(xué)校.為更好地利用好這塊土地，集團(tuán)公司決定在高三年級學(xué)生中征集解決方案.如圖所示，是中點(diǎn)，分別在上，擬建成辦公區(qū)，四邊形擬建成教學(xué)區(qū)，擬建成生活區(qū)，和擬建成專用通道，，記.(1)若，求教學(xué)區(qū)所在四邊形的面積；(2)當(dāng)取何值時(shí)，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？考點(diǎn)21三角恒等變換4種常見考法歸類考點(diǎn)一兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（一）給角求值（二）給值（式）求值（三）給值求角（四）三角函數(shù)式的化簡（五）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二二倍角公式（一）給角求值（二）給值（式）求值（三）給值求角（四）與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合（五）與誘導(dǎo)公式的綜合（六）利用二倍角公式化簡求值考點(diǎn)三輔助角公式的應(yīng)用考點(diǎn)四簡單的三角恒等變換（一）半角公式的應(yīng)用（二）三角恒等式的證明（三）三角恒等變換的綜合問題1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β記憶口訣：1、余余正正符號反2、同名相乘、加減相反3、諧音：“吃吃睡睡，顛倒黑白”S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(異名相乘、加減一致)S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(異名相乘、加減一致)記憶口訣：1、正余余正符號同2、異名相乘、加減一致3、諧音：“上錯(cuò)廁所，一一對應(yīng)”T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；(兩式相除、上同下異)．變形：①tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)②tanα·tanβ＝eq\f(tanα－tanβ,tan(α－β))－1T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；(兩式相除、上同下異)．變形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)②tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan(α＋β))(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相對的，如：eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍.S2αsin2α＝2sin_αcos_α；變形：sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）2.簡單的三角恒等變換(1)降冪公式sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2).sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.(2)升冪公式1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))eq\s\up12(2).1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.注：萬能公式(4)其他常用變式3.輔助角公式（同角異名1次）asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，或tanφ＝eq\f(b,a).其中φ稱為輔助角，它的終邊所在象限由點(diǎn)（a，b）決定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq\f(30°,2).(2)，α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β).α－β＝(α－γ)＋(γ－β)(3)eq\f(π,3)－α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，eq\f(π,6)－α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))，eq\f(π,3)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))，eq\f(π,4)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－α)).eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))6.應(yīng)用和、差、倍角公式化簡求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”；(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用；(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．7.和、差、倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；(2)和差角公式變形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1?tanα·tanβ)；(3)倍角公式變形：降冪公式．(4)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題．8.解決非特殊角求值問題的基本思路有：①化非特殊角為特殊角；②化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去后求值；③化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)，進(jìn)行約分求值；④當(dāng)有α，2α，3α，4α同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)式子中時(shí)，一般將α向2α，3α(或4α)向2α轉(zhuǎn)化，再求關(guān)于2α式子的值．9.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則注：三角函數(shù)式化簡、求值的一般思路：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等.10.給值(式)求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．(2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．(3)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．(4)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．(5)給值求值型恒等變換問題，重在對所給條件進(jìn)行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所給值的符號判斷角所在的象限等.必要時(shí)還要進(jìn)行估算，如銳角α的余弦值為eq\f(3,5)，由eq\f(1,2)＜eq\f(3,5)＜eq\f(\r(2),2)，及余弦函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減可知45°＜α＜60°，從而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等.另外，注意三種主要變換：①變角，通常是“配湊”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等；②變名，通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手段通常有“切化弦”“升冪與降冪”等；③變式，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手段通常有：“常值代換”如1＝taneq\f(π,4)，1＝sin2α＋cos2α“逆用變換公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等.其中角的變換居核心地位.11.已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．（在給值求角時(shí)，一般地選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設(shè)確定所求角的范圍，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出角.確定角的范圍是關(guān)鍵，一定要使所選的函數(shù)在此范圍內(nèi)是單調(diào)的，必要時(shí)，還需根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍.）(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)（已知三角函數(shù)值求角，選三角函數(shù)時(shí)可按下列規(guī)則：(i)已知正切值，常選正切函數(shù)；(ii)已知正、余弦值，常選正弦或余弦函數(shù)；(iii)若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，常選正、余弦函數(shù)；(iv)若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，常選正弦函數(shù)；(v)若角的范圍是(0，π)或(π，2π)，常選余弦函數(shù).）(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．12.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時(shí)常常借助半角公式求解．(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍．(3)選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan

eq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常先利用sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)計(jì)算．13.三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡．(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同．(4)比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”．(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．考點(diǎn)一兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（一）給角求值1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的值是A． B． C． D．【答案】C【解析】變形后，根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算可得答案.【詳解】，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角恒等變換化簡求值即可.【詳解】已知可化為：.故選：A3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）______．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，可得：.故答案為：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）__________.【答案】2【分析】根據(jù)三角恒等變換公式化簡求值即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以故答案為?.（二）給值（式）求值5．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)，，求出，，再利用兩角差的余弦公式求【詳解】解析：，，，，，，故選：A.6．（江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知，且，則cosβ=（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】利用三角恒等變換計(jì)算即可，注意整體思想的運(yùn)用.【詳解】解法一：∵，∴，又，∴，∴，故選：D．解法二：∵，∴，∴，即∵∴，故選：D．7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正切函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.8．（山西省晉中市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（A卷））已知，為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件，結(jié)合同角關(guān)系求，再由特殊角三角函數(shù)值求，再利用兩角差的余弦公式求.【詳解】因?yàn)?，所以，又，為銳角，所以，，且．因?yàn)?，為銳角，，所以，又，所以，故．故選：D.9．（河南省名校青桐鳴2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切化弦以及兩角和差公式解出，代入兩角差的余弦公式即可.【詳解】由題意可得，即，，故.故選：A.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，則_____【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，由求出，從而求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】，，所以，，，，所以.故答案為：11．【多選】（河北省承德市2023屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知，，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及誘導(dǎo)公式可得可得，進(jìn)而可判斷A，根據(jù)和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.【詳解】由于且，所以，又，，故或，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足，故，所以，故A錯(cuò)誤，對于B，，故B正確，對于C,，故C錯(cuò)誤，對于D，由B可知，所以，故D正確，故選：BD12．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求得，再使用湊配角由求.【詳解】，解得，則．故選：D13．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知、均為銳角，且，，則_____________.【答案】/【分析】利用題目信息以及平方關(guān)系分別計(jì)算得、角的正弦、余弦值，再利用兩角差的正弦公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，即，所以，又，即，則，又、均為銳角，所以，，所以，，所以.故答案為：（三）給值求角14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知都是銳角，，則___________.【答案】/【分析】要求，先求，結(jié)合已知可有，利用兩角差的余弦公式展開可求.【詳解】、為銳角，，，由于為銳角，故答案為：15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若，則________．【答案】【詳解】因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,所以===,又因?yàn)?所以β=.16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，是方程的兩根，且，則（

）．A． B． C．或 D．【答案】B【分析】利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩根，所以所以，因?yàn)樗郧遥?，所以，所以，故選:B.17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得，利用兩角和差余弦公式可求得，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】，，，，，又，.故選：B.18．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】首先由兩角和的正切公式得出，即可得到的取值；【詳解】解：由題意得，所以，所以的值可能為，．故選：AC19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦公式可求得的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的余弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，又，所以，所?（2）解：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，由?）知，，所以．因?yàn)?，，則，所以．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角為銳角，，且滿足，(1)證明：；(2)求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角的正切公式計(jì)算可得即可證明；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，，再根據(jù)兩角和差的正弦公式，結(jié)合求解即可【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（2）由，結(jié)合角為銳角，解得，，因?yàn)?，且所?又，所以21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，求的值為_____．【答案】/【分析】注意到，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解，注意范圍的確定.【詳解】，則，注意到，于是，不妨記，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：，而，于是.故答案為：.（四）三角函數(shù)式的化簡22．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和差的正弦公式將題給條件化簡，得到關(guān)于的方程，解之即可求得的值.【詳解】，，又，則，則故選：A23．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則__________.【答案】2【分析】利用兩角和的正弦公式，化簡求，再化簡求值.【詳解】已知，所以，，.故答案為：224．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和的正弦公式將式子展開，然后平方得到，然后利用已知條件得到，并求出和的值，代入所求式子即可求解.【詳解】由可得，則有，平方可得，則，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，故選：C.25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式公式得到，再將弦化切，求出，最后利用兩角差的正切公式及二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以，解得或，因?yàn)?，所以，所?故選：D26．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校考一模）已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對題目條件進(jìn)行三角恒等變化，得，將轉(zhuǎn)化為，求出最值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，即，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，取得最大值.故選：B.（五）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用27．（河南省部分學(xué)校2023屆高三高考仿真適應(yīng)性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，?所以.所以.故選：A28．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）在中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且，.，，則DC=___________.【答案】3【分析】在中，利用余弦定理得到進(jìn)而在中，利用兩角差正弦公式得到結(jié)果．【詳解】在中，，可得.又由余弦定理，，可得.在中，，由此可得，由已知可得，代入可得，所以，所以.故答案為：3.29．【多選】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A，B，表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由可得，且，若，則，解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；若，則，，所以，所以，故B正確；，由于，故，故，故C錯(cuò)誤；由于，故，而，所以，所以，故D正確，故選：ABD30．（廣東省潮州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式即可求解，（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1），又,所以,由于為三角形的內(nèi)角，所以,（2）由于，所以,故,由于為銳角三角形，所以且，故，則，故，故的取值范圍為考點(diǎn)二二倍角公式（一）給角求值31．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用二倍角公式，兩角和差的正弦、正切公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得；【詳解】解：對于A：，故A正確；對于B：，故B錯(cuò)誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確；故選：ACD32．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測）的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)和差公式和二倍角公式化簡,即可求解.【詳解】解：，，故，故選：D.33．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡所求代數(shù)式.【詳解】原式.故選：B.34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，___________.【答案】2【分析】由平方關(guān)系結(jié)合倍角公式得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，故答案為?5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡可得的值.【詳解】由已知可得.故選：A.（二）給值（式）求值36．【多選】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，其中，則（

）A． B． C．D．【答案】BCD【分析】對于A：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系來計(jì)算判斷；對于B：利用倍角公式來計(jì)算判斷；對于C：利用倍角公式來計(jì)算判斷；對于D：利用兩角差的余弦公式來計(jì)算判斷.【詳解】對于A：若，其中，則，，故A錯(cuò)誤；對于B：，且，則，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確．故選：BCD.37．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測）已知，則______．【答案】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系先求出，再用二倍角公式求出、，最后再利用余弦的和角公式求．【詳解】∵，，∴，∴，，∴，故答案為：．38．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎?，則________．【答案】【分析】平方，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系即正弦二倍角公式求解.【詳解】兩邊平方得：，解得：.故答案為：39．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，其中，為銳角，則以下命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和與差的余弦公式和積化和差公式即可求解.【詳解】因?yàn)?為銳角),故,故正確;因?yàn)?所以,故B錯(cuò)誤;由,故,故C正確;且,所以,故D錯(cuò)誤.故選:AC.40．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考階段練習(xí)）已知，，則__________．【答案】/【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合降冪公式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：由，，得，所以．故答案為：41．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知，，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】將已知條件化簡后兩邊平方，由此求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于，所以，所以由化簡得，兩邊平方得，即，解得（負(fù)根舍去），由于，所以.故選：A.42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．－1 C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式、商數(shù)關(guān)系可得，再由和角正切公式展開求得，最后由求值即可.【詳解】由，所以，則，所以，則，故，由.故選：C43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用降冪公式，化簡求值.【詳解】，解得：.故選：B（三）給值求角44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知且，則=（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用三角恒等變換求出的值，再判斷的范圍即可得解.【詳解】因，則，，因，，則，又，有，于是得，因此，，所以.故選：C45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，則______．【答案】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式化簡即可求值.【詳解】因?yàn)椋曰?，又，所以，故答案為：（四）與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則_________【答案】/【分析】方法1,、利用正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式化為齊次式，求得，結(jié)合，即可求解；方法2、利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得和的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】解法1、因?yàn)?，則，解得或，又因?yàn)?，所以，所以．解?、因?yàn)?，可得，所以，，所以且，解得，，所以．故答案為?47．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則_________．【答案】/0.5【分析】由平方關(guān)系及二倍角公式可得，代入，求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以原式．故答案為?8．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式，結(jié)合商數(shù)關(guān)系式弦化切，再代入可解得結(jié)果．【詳解】．故選：B．（五）與誘導(dǎo)公式的綜合49．（2023春·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得到，再利用二倍角公式和商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，故選：D．50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用倍角公式以及誘導(dǎo)公式，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∵，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換解決給值求值問題，屬基礎(chǔ)題.51．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角余弦公式，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意得,故選：B52．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.【詳解】.故選：D（六）利用二倍角公式化簡求值53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________．【答案】【分析】根據(jù)和、差角的正、余弦公式與商數(shù)關(guān)系式化簡即可求解．【詳解】．故答案為：．54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．5 B． C．2 D．4【答案】A【分析】先求得，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等知識求得正確答案.【詳解】，所以，則，所以故選：A55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，最后代入數(shù)值即可；（2）由，結(jié)合倍角公式即可求得（1）．∴．（2）由，得．考點(diǎn)三輔助角公式的應(yīng)用56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為________，最小值為________.【答案】【分析】利用兩角差的余弦公式以及輔助角公式化簡合并得到，即可得到最大最小值.【詳解】，，，.故答案為：；.57．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若，則函數(shù)的值域?yàn)開_____.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式、三角恒等變換化簡，再應(yīng)用正弦型函數(shù)性質(zhì)求值域即可.【詳解】，∴時(shí)，，得：.故答案為：58．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.【答案】【分析】利用輔助角公式求得，根據(jù)倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡目標(biāo)式，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故可得，則故答案為：.59．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則__________.【答案】/【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可得，從而求，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?所以，解得.所以.故答案為:.60．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用二倍角公式化簡已知得到，其中．再求出即得解.【詳解】由，得．因?yàn)椋?，所以，所以，于是，其中．所?所以從而．故選：D61．（2023秋·福建莆田·高三?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的值域；【答案】(1)最小正周期為，遞增區(qū)間為，；(2)【分析】（1）由二倍角公式，結(jié)合輔助角公式得，再利用周期、正弦型函數(shù)單調(diào)性求結(jié)果；（2）由的范圍求的范圍，進(jìn)而可求出的范圍，從而可求的值域.【詳解】（1），∴函數(shù)的最小正周期為.令，，則，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）∵，則，∴，∴，故函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?考點(diǎn)四簡單的三角恒等變換（一）半角公式的應(yīng)用62．（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）已知，則__________.【答案】【分析】利用半角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，故答案為?63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系，半角公式化簡得到，結(jié)合角的范圍，求出，從而求出正切值.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，．故選：B．64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，是第三象限的角，則＝（）A．2 B． C．﹣2 D．【答案】C【分析】將表達(dá)式中的正切化成正余弦，由，求出，代入即可求解．【詳解】由且是第三象限的角，可得，又由，即.故選：C.65．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時(shí)被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數(shù)公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中的定義寫出，用表示出，然后分析可得．【詳