教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題24

教師資格認定考試初級中學數(shù)學模擬題24一、單項選擇題1.

在空間直角坐標系中，向量α，β，γ的坐標依次為(1，0，-1)，(1，-2，0)，(-1，2，1)，則(3α+β-γ)×(α-β+γ)的坐標為__（江南博哥）____。A.(16，4，16)B.(16，-4，16)C.(-16，4，16)D.(16，4，-16)正確答案：A[解析]3α+β-γ的坐標為(5，-4，-4)，α-β+γ的坐標為(-1，4，0)，所以。故本題選A。

2.

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出了數(shù)感、符號意識、空間觀念等10個核心概念，以下不屬于這10個核心概念的是______。A.幾何直觀B.推理能力C.函數(shù)思想D.應用意識正確答案：C[解析]《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出，“在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識”。故本題選C。

3.

分類是一種重要的數(shù)學思想，分類的過程就是對事物共性的______過程。A.描述B.推理C.歸納D.抽象正確答案：D[解析]《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》在關于“感悟數(shù)學思想”的描述中指出，分類是一種重要的數(shù)學思想，在研究數(shù)學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。

4.

設有非零向量a，b，c，若a·b=0，a×c=0，則b·c=______。A.0B.-1C.1D.3正確答案：A[解析]已知a·b=0，a×c=0，所以b與a垂直，c與a共線，又由于a是非零向量，所以b與c垂直，于是b·c=0。故本題選A。

5.

某人在每天上班途中要經(jīng)過4個設有紅綠燈的十字路口。設每個路口遇到綠燈的事件是相互獨立的，且紅燈持續(xù)20秒，而綠燈持續(xù)30秒。則他在途中遇到綠燈的次數(shù)的方差為______。A.0.24B.0.6C.0.96D.0.85正確答案：C[解析]他在每個十字路口遇到綠燈的概率為，因為在每個路口遇到綠燈的事件相互獨立，所以他在途中遇到綠燈的次數(shù)服從二項分布B(4，0.6)。根據(jù)二項分布方差的計算公式知，他在途中遇到綠燈的次數(shù)的方差為4×0.6×(1-0.6)=0.96。故本題選C。

6.

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出，對于學生基礎知識和基本技能達成情況的評價，必須精準把握課程內(nèi)容中的要求。下列做法不符合要求的是______。A.在設計試題時，應淡化特殊的解題技巧，不出偏怪題B.在考試中，幾何命題的證明應以“圖形的性質(zhì)”中列出的基本事實和定理作為依據(jù)C.考查的內(nèi)容一般應限在必學范圍內(nèi)D.選學內(nèi)容“三元一次方程組”可以列入考試范圍正確答案：D[解析]《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出，“解簡單的三元一次方程組”是選學內(nèi)容，不做考試要求。故本題選D。

7.

設其中g(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x=0處______。A.極限不存在B.極限存在但不連續(xù)C.連續(xù)，但不可導D.可導正確答案：D[解析]由等價無窮小替換知，，由“無窮小量乘以有界量仍為無窮小量”知，，所以存在且為0。而f(0)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)，又，所以，f(x)在x=0處可導。故本題選D。

8.

極限的值為______。A.0B.+∞C.5D.ln5正確答案：C[解析]。結合函數(shù)圖像可知，當x→+∞時，5x的增長速度遠遠快于x5的增長速度，所以，進而可知，。故本題選C。

二、簡答題(每小題7分，共35分)1.

設實對稱矩陣，求正交矩陣Q，使得QTAQ為對角矩陣。正確答案：，實對稱矩陣A的特征值為-1(二重)，5。當λ1=-1時，，可得實對稱矩陣的特征值-1對應的特征向量α1=(-1，1，0)T，α2=(-1，0，1)T；當λ=5時，，可得實對稱矩陣的特征值5對府的特征向量α3=(1，1，1)T。

因為實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交，所以α3與α1，α2正交，從而只需對α1，α2施密特正交化，令β1=α1=(-1，1，0)T，。對β1，β2，α3單位化，。實對稱矩陣A經(jīng)正交變換QTAQ可以得到對應的對角矩陣為，其中。

2.

設α1，α2，α3線性無關，證明：α1+α2，α2+α3，α1+α3線性無關。正確答案：設k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1，α2，α3線性無關，所以解方程組得，k1=k2=k3=0。因此，α1+α2，α2+α3，α1+α3線性無關。

3.

求過點(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又與直線相交的直線的方程。正確答案：(方法一)所求直線記為l，由題意可知，與平面3x-4y+z-8=0平行的平面系方程為3x-4y+z+k=0，又直線l過點(1，0，4)，代入求得k=-7，即直線l在平面3x-4y+z-7=0上。聯(lián)立方程可求得直線與直線l的交點為(21，25，44)，因為直線l還經(jīng)過點(1，0，4)，所以直線l的一個方向向量l=(4，5，8)，因此所求直線的方程為。

(方法二)設過點(1，0，4)且與平面3x-4y+z-8=0平行的平面為π1，所求直線l在π1內(nèi)，根據(jù)平行平面的關系易得，π1的一般方程為3x-4y+z-7=0。

直線過點(-1，3，0)，且一個方向向量為s=(1，1，2)，又平面π1的一個法向量為n=(3，-4，1)，因為sn≠0，所以直線與π1相交，所以直線l與直線所確定的平面π2與π1相交，相交直線即為l。

平面π2過點(-1，3，0)和點(1，0，4)，且與向量s=(1，1，2)平行，設π2上任意一點的坐標為(x，y，z)，則向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有，所以π2的一般方程為2x-z+2=0。

因此，所求直線l的一般方程為

4.

簡述在教與學的活動中，教師的引導作用應該如何體現(xiàn)。正確答案：教師可以通過恰當?shù)膯栴}，或者準確、清晰、富有啟發(fā)性的講授，來引導學生積極思考，激發(fā)學生的好奇心。例如，在“二次根式”的教學中可以采用問題串的形式來引入。

教師也可以通過恰當?shù)臍w納和示范，使學生理解知識、掌握技能、積累經(jīng)驗、感悟思想。例如，在“勾股定理”的新課導入中可以通過介紹畢達哥拉斯的故事，激發(fā)學生好奇心，引發(fā)學生對新知的興趣和思考。

教師引導時應關注學生的差異性，用不同層次的問題或教學手段，引導每一個學生都能積極參與學習活動，從而提高教學活動的針對性和有效性。

5.

設矩陣，若，求矩陣M的逆矩陣M-1。正確答案：由，可得解得所以。下面用兩種方法求矩陣M的逆矩陣。

(方法一)

，所以。

(方法二)

根據(jù)計算。因為，所以，因此。

三、解答題(本大題共10分)設V是n維歐氏空間，α≠0是V中的一個固定向量，證明：1.

V1={x|(x，α)=0，x∈V}是V的子空間；正確答案：解：任取x，y∈V1，則(x，α)=0，(y，α)=0。因為(x+y，α)=(x，α)+(y，α)=0，所以有x+y∈V1，即加法封閉；設k∈P，有(kx，α)=k(x，α)=0，所以kx∈V1，即數(shù)乘也封閉，所以V1是V的子空間。

2.

V1的維數(shù)等于n-1。正確答案：解：設x=(x1，x2，…，xn)∈V1，則(x，α)=a1x1+a2x2+…+anxn=0，因為α≠0，所以r(α)=1，進而可知，齊次線性方程a1x1+a2x2+…+anxn=0含有n-1個線性無關的解向量。這n-1個線性無關解向量是V1的一個基，所以V1的維數(shù)等于n-1。

四、論述題(本大題共15分)1.

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出了“四基”，包括基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。請結合教學實際談談如何積累學生的數(shù)學活動經(jīng)驗。正確答案：“數(shù)學活動經(jīng)驗”是一種基本的數(shù)學素養(yǎng)，也是數(shù)學教學關注的目標之一。課堂教學是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的主要陣地，在教學中，教師要重視數(shù)學實踐活動，積累活動經(jīng)驗?；顒邮墙?jīng)驗的源泉，不親歷實踐活動就根本談不上經(jīng)驗。課堂實踐活動是學生運用學具按照學習內(nèi)容和教師要求進行的實際活動，它有助于學生理解和掌握所學知識。例如，在學習“平行四邊形”時，可以讓學生動手制作或畫出不同的平行四邊形，找…其特點。數(shù)學源于生活，根植于生活。數(shù)學教學要從學生的生活經(jīng)驗、已有知識出發(fā)，把生活經(jīng)驗數(shù)學化，將數(shù)學問題生活化。例如，學習“平行線”時，我們可以以馬路上的斑馬線、筆直的鐵軌等為例，來引導學生思考學習。

五、案例分析題(本大題共20分)閱讀案例，并回答問題。下面是數(shù)學教師王老師在一節(jié)習題課上的教學片段。

師：下面大家看這道題。(黑板上出示題目：化簡。)大家思考一分鐘。

(學生思考后)

師：誰來說一下怎么化簡?

學生A：老師，我的想法是分母有理化，分子分母同乘，分母就化成了a-b。

師：很好，說明你已經(jīng)熟練掌握分母有理化的一般方法。把你的化簡過程寫在黑板上。

師：大家想想有沒有其他做法。

學生B：老師，這道題也可以這樣做：將分子因式分解，，然后再約分。

師：你的思維已經(jīng)轉(zhuǎn)向了分子，又聯(lián)想到因式分解，很好!把你的化簡過程也寫在黑板上。

師：好的，兩位同學的解法都寫在黑板上了，大家比較兩種解法，給大家一分鐘思考時間，看這兩種解法都正確嗎?

問題：1.

判斷學生A和學生B的解法正確嗎?并說明理由；正確答案：雖然兩位學生的計算結果都是，但學生A在分母有理化的時候分子分母同乘，如果a=b，這一步就不符合分式的運算性質(zhì)，即學生A的解法有邏輯錯誤。學生B的解法是正確的。

2.

如果你是王老師，請完成后續(xù)的教學。正確答案：教學過程

師：兩種解法的計算結果一樣，都是，大家覺得有什么問題嗎?可以大膽地說出來。

教師預留時間供學生思考討論，并做如下引導。

師：分母有理化的時候分子、分母同乘，如果a=b，會出現(xiàn)什么問題?還符合分式的運算性質(zhì)嗎?

預留時間供學生驗證交流，之后進行小結。

師：在計算的過程中很多時候看著正確，細細探究卻是有問題的，這個時候就不能相信直覺，而是要有嚴密的邏輯思維。在數(shù)學的推理計算過程中，每一步都要有理有據(jù)、合情合理，即使再簡單的過程都要有依據(jù)，大家要養(yǎng)成多問自己“為什么可以這樣做”的習慣，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣。

六、教學設計題(本大題共30分)針對平行四邊形性質(zhì)和判定的一節(jié)復習課，教學目標如下：

①進一步掌握平行四邊形的性質(zhì)；

②進一步理解平行四邊形的判定定理；

③會運用四邊形邊、角及對角線之間的關系判斷一個四邊形是否為平行四邊形；

④通過對平行四邊形性質(zhì)和判定定理的復習，在加深理解與記憶同時，體會數(shù)學方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

根據(jù)上述教學目標，完成下列任務：1.

寫出平行四邊形的性質(zhì)和判定方法；正確答案：平行四邊形性質(zhì)：

①平行四邊形的對邊相等；

②平行四邊形的對角相等；

③平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定方法：

①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

2.

為了落實上述教學目標①中的一個性質(zhì)，設計教學片段，并說明設計意圖；正確答案：教學片段

一、復習回顧

回顧平行四邊形的性質(zhì)有哪些?又是怎么證明的?

如圖，在中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：AE=CF。

要求：①引導學生復習平行四邊形的性質(zhì)；②學會用平行四邊形的性質(zhì)來證明一些命題；③學生做完題目之后，教師板書證明過程。

證明過程如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，AD=CB，

又∠AED=∠CFB=90°，

∴△ADE≌△CBF(AAS)，

∴AE=CF。

【設計意圖】教師帶領學生復習舊知，可以幫助學生進一步鞏固舊知，包括平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法，同時有助于學生進一步了解平行四邊形的性質(zhì)，給出習題讓學生用熟悉的方法自主解題，有助于教師對學生學習情況的把握，為后續(xù)教學做鋪墊，學生解題后，教師板書，有助于規(guī)范學生的解題過程。

二、活動探究

現(xiàn)有一個平行四邊形ABCD，求證：∠B=∠D。

師生活動：教師出示問題，學生獨立思考、回答。

教師追問：是不是可以用前面的方法來證明呢?

(預設)學生證明過程：

證明：連接AC，

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又AC是△ABC和△CDA的公共邊，

∴△ABC≌△CDA，

∴∠B=∠D。

教師繼續(xù)提出如下問題，預留時間供學生探究。

追問1：不添加輔助線，大家能否直接運用平行四邊形定義，證明其對角相等?

追問2：已知平行四邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，大家能確定其他內(nèi)角的度數(shù)嗎?

教師小結：

①如果不添加輔助線的話，還可以利用以前學的平行線的性質(zhì)，通過類比的方法，將這道題看做兩條平行直線被第三條直線所截的情形，有內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補的特點，∵∠B+∠A=180°，∠A+∠D=180°，∴∠B=∠D。

②已知平行四邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角相等，就確定兩個角的度數(shù)了，再根據(jù)兩條平行直線被第三條直線所截的同旁內(nèi)角互補的特點，就能夠確定四個角的度數(shù)了。

【設計意圖】通過復習平行四邊形性質(zhì)的證明，鞏固已經(jīng)學過的知識，從而達到教學目標的要求，通過追問