自動控制原理 教案 項目4 控制系統(tǒng)的根軌跡法

項目名稱項目四控制系統(tǒng)的根軌跡法教學(xué)內(nèi)容根軌跡基本概念及其繪制的基礎(chǔ)——根軌跡方程。繪制根軌跡的基本法則。廣義根軌跡中非最小相位根軌跡、參數(shù)根軌跡、根軌跡簇及零度根軌跡的應(yīng)用。增加開環(huán)零點和增加開環(huán)極點對根軌跡的影響。應(yīng)用MATLAB進行繪制根軌跡的方法。授課時間授課學(xué)時教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解根軌跡的定義及根軌跡方程的含義，以及已知根軌跡相角條件與幅值條件求根軌跡增益的方法。2.理解參數(shù)根軌跡、非最小相位根軌跡、根軌跡簇、零度根軌跡的定義及其繪制方法。3.掌握使用根軌跡分析控制系統(tǒng)的方法。4.了解應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡的方法。技能目標(biāo)1.具備應(yīng)用根軌跡法分析控制系統(tǒng)的能力。2.具備繪制根軌跡的能力。3.具備應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡的能力。素養(yǎng)目標(biāo)1.鍛煉處理人際關(guān)系的能力，積極參加學(xué)校舉辦的活動，主動建立和集體的聯(lián)系。2.不斷學(xué)習(xí)好的學(xué)習(xí)方法和思維模式，提升自己的思維能力，將所學(xué)運用到實踐中。學(xué)情分析通過對本項目的學(xué)習(xí)，理解根軌跡基本概念及其繪制的基礎(chǔ)——根軌跡方程。掌握繪制根軌跡的基本法則。熟悉廣義根軌跡中非最小相位根軌跡、參數(shù)根軌跡、根軌跡簇及零度根軌跡的應(yīng)用。掌握增加開環(huán)零點和增加開環(huán)極點對根軌跡的影響。熟練應(yīng)用應(yīng)用MATLAB進行繪制根軌跡的方法。教學(xué)方法學(xué)生通過課前預(yù)習(xí)、查閱相關(guān)資料，課堂上緊跟著老師的思路，做好隨堂筆記，對老師所講的內(nèi)容要理解，課后要勤加練習(xí)、反思總結(jié)等方法進行本章節(jié)的學(xué)習(xí)。學(xué)生可以通過電腦根據(jù)在課堂上所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，反復(fù)的操作實踐驗證；實訓(xùn)課上要加強訓(xùn)練，同學(xué)之間要相互討論。教學(xué)媒介教材、配套的PPT課件、多媒體教案等 教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)引入1948年，伊萬斯(Evans)根據(jù)反饋系統(tǒng)中開、閉環(huán)傳遞函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了求解閉環(huán)特征根比較簡易的圖解方法，這種方法稱為根軌跡法。即當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)(如開環(huán)增益K或開環(huán)根軌跡增益K?)發(fā)生變化時，用開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點推導(dǎo)出閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點分布軌跡，進而分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、動態(tài)性能，以及參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。利用根軌跡可以根據(jù)對系統(tǒng)瞬態(tài)特性的要求，來調(diào)整參數(shù)或確定開環(huán)零、極點位置。根軌跡法直觀形象，所以在控制工程中獲得了廣泛應(yīng)用。教授新知一、明確教學(xué)目標(biāo)二、教學(xué)內(nèi)容“控制系統(tǒng)的根軌跡法”任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制一、根軌跡的基本概念根軌跡是當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)(如根軌跡增益K?)從零變化到無窮大時，閉環(huán)特征方程的根在s平面上移動的軌跡。根軌跡增益K?是Ⅰ型開環(huán)傳遞函數(shù)對應(yīng)的系數(shù)。可以應(yīng)用直接求根的方法來說明根軌跡的含義。依據(jù)系統(tǒng)的根軌跡圖，能分析當(dāng)參數(shù)(如K?)變化時，對應(yīng)根的變化過程和趨勢，進而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能，以及參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。(一)穩(wěn)定性開環(huán)增益從零變化到無窮大時，根軌跡全部落在左半s平面，因此當(dāng)K?>0(或K=0.5K?>0)時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；隨著K?的變化，使得系統(tǒng)的根軌跡越過虛軸進入右半s平面，則在相應(yīng)K?(或K)值下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；系統(tǒng)在根軌跡與虛軸交點處為臨界穩(wěn)定，對應(yīng)的K?(或K)值就是臨界根軌跡增益。(二)動態(tài)性能當(dāng)0<K?<1(或0<K<0.5)時，閉環(huán)特征根為負實根，系統(tǒng)呈現(xiàn)過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為單調(diào)上升過程。當(dāng)K?=1(或K=0.5)時，閉環(huán)特征根為二重實根，系統(tǒng)呈現(xiàn)臨界阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)仍為單調(diào)上升過程，但響應(yīng)速度較0<K?<1時快。當(dāng)K?>1(或K>0.5)時，閉環(huán)特征根為一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為振蕩衰減過程，且隨著K?的增加，阻尼比減小，超調(diào)量增大。上述分析表明，根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著密切的聯(lián)系，利用根軌跡可以分析當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)(K?或K)變化時系統(tǒng)動態(tài)性能的變化趨勢。二、根軌跡方程控制系統(tǒng)的一般動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖，相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，K?為系統(tǒng)的根軌跡增益，m為開環(huán)零點個數(shù)，n為開環(huán)極點個數(shù)。幅值條件為相角條件為示例可參考書中【例4-1】。三、根軌跡的繪制掌握根軌跡增益K?(或開環(huán)增益K)變化時繪制根軌跡的實用法則，可以方便、快速地繪制系統(tǒng)的根軌跡，這對于分析和設(shè)計系統(tǒng)是非常有益的。法則1根軌跡的起點和終點法則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性法則3實軸上的根軌跡法則4根軌跡的漸近線法則5根軌跡的分離點(或會合點)法則6根軌跡與虛軸的交點法則7根軌跡的出射角和入射角法則8根之和四、根軌跡繪制實例根軌跡繪制實例可參考書中【例4-2】，【例4-3】。任務(wù)二廣義根軌跡當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益K?或開環(huán)增益K發(fā)生變化時，可以使用常規(guī)根軌跡法則繪制根軌跡。但是，當(dāng)系統(tǒng)存在正實部極點其他參數(shù)變化時，根軌跡的繪制方法將有所不同。一、非最小相位根軌跡在s平面右半部具有開環(huán)極點或開環(huán)零點的反饋系統(tǒng)，稱為非最小相位系統(tǒng)；反之，若全部開環(huán)極點和開環(huán)零點在s平面左半部，則稱為最小相位系統(tǒng)。繪制非最小相位系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則與繪制最小相位系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則完全相同，可完全按根軌跡繪制基本規(guī)則進行分析計算。二、參數(shù)根軌跡在繪制反饋系統(tǒng)的根軌跡時，其參量并非都是系統(tǒng)的根軌跡增益K?(或開環(huán)增益K)，有時為研究除根軌跡增益K?外其他參量對系統(tǒng)性能的影響，還常以時間常數(shù)、反饋系數(shù)等為參量繪制根軌跡圖的參變量。除根軌跡增益K?(或開環(huán)增益K)以外的其他參量從零變化到無窮大時繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。三、根軌跡簇的繪制有時需要研究兩個參量同時變化對系統(tǒng)性能的影響。例如，在設(shè)計一個校正裝置傳遞函數(shù)的零、極點時，就需要研究這些零、極點取不同值時對系統(tǒng)性能的影響。為此，需要繪制幾個參量同時變化的根軌跡，所作出的根軌跡是一組曲線，稱為根軌跡簇。根軌跡簇的繪制實例可參考書中【例4-6】。四、零度根軌跡在負反饋條件下，相角條件為相應(yīng)的常規(guī)根軌跡為180°根軌跡。在正反饋條件下，相角條件為繪制的根軌跡稱為0°根軌跡。0°根軌跡與180°根軌跡的幅值條件一致，而二者相角條件不同。因此，繪制180°根軌跡法則中與相角條件無關(guān)的法則可直接用來繪制0°根軌跡，而與相角條件有關(guān)的法則3、法則4、法則7則需要相應(yīng)修改。任務(wù)三開環(huán)零點、極點對系統(tǒng)性能的影響由于根軌跡是由開環(huán)零、極點決定的，因此在系統(tǒng)中增加開環(huán)零、極點或改變零、極點在s平面上的位置，都可以改變根軌跡的形狀。如果系統(tǒng)的性能不能滿足要求，則通過調(diào)整開環(huán)系統(tǒng)零、極點的分布，可以改變根軌跡的形狀，進而改善系統(tǒng)的品質(zhì)。一、增加開環(huán)零點對根軌跡的影響開環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)根軌跡如下圖，其系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?，F(xiàn)附加一個開環(huán)零點，其開環(huán)傳遞函數(shù)為漸近線與實軸的交點和夾角為改變零點z的值，可以改變漸近線的位置σa值，從而改變根軌跡的走向和趨勢。附加的開環(huán)零點對根軌跡的影響為：改變了實軸上根軌跡的分布；改變了根軌跡漸近線與實軸的交點坐標(biāo)值；使根軌跡向左移動(偏移)，附加零點越靠近虛軸，這種作用越大。二、增加開環(huán)極點對根軌跡的影響開環(huán)傳遞函數(shù)為其根軌跡如下圖，系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。增加一個開環(huán)極點，其開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)p分別取-4和0時的根軌跡如下圖(b)和(c)。增加開環(huán)極點，能改變實軸上根軌跡的分布；增加根軌跡漸近線條數(shù)，能改變漸近線與實軸的交點坐標(biāo)，使交點坐標(biāo)向右移動；使根軌跡向右偏移，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定度，開環(huán)極點離虛軸越近，這種作用越大。任務(wù)四應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)實例當(dāng)控制系統(tǒng)的根軌跡作出后，可以對系統(tǒng)進行分析和定量計算，應(yīng)用根軌跡法分析控制系統(tǒng)的實例可參考書中【例4-8】，【例4-9】。任務(wù)五應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡根據(jù)繪制根軌跡的基本規(guī)則能粗略地畫出系統(tǒng)隨某一參數(shù)變化時的根軌跡。應(yīng)用MATLAB也可繪制控制系統(tǒng)的根軌跡。應(yīng)用MATLAB繪制控制系統(tǒng)的根軌跡指令如下。(1)num：分子數(shù)組，由開環(huán)傳遞函數(shù)分子的各項系數(shù)構(gòu)成。(2)den：分母數(shù)組，由開環(huán)傳遞函數(shù)分母的各項系數(shù)構(gòu)成。(3)tf2zp：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零、極點模型。(4)zp2tf：將零、極點模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。(5)conv()：多項式乘積。(6)rlocus()：產(chǎn)生或繪制根軌跡圖，其格式為rlocus(num，den)[r，K]=rlocus(num，den)或[r，K]=rlocus(num，den，K)不直接顯示根軌跡圖，而是顯示矩陣r和增益向量K值。其根軌跡圖可以用plot()來繪制。(7)rlocfind(num，den)：求某一特征根所對應(yīng)的具體值。應(yīng)用MATLAB繪制控制系統(tǒng)的根軌跡時，其增益向量K是自動生成的，因而應(yīng)用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡，完全決定于數(shù)組