數(shù)學(xué)建模-回歸分析模型

數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型回歸分析概述幾類回歸分析模型比較一元線性回歸模型多元線性回歸模型注意點(diǎn)數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型回歸分析名詞解釋：回歸分析是確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。解決問(wèn)題：用于趨勢(shì)預(yù)測(cè)、因果分析、優(yōu)化問(wèn)題等。幾類常用的回歸模型：一元線性回歸線性回歸多元線性回歸非線性回歸有何區(qū)別與聯(lián)系？數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型回歸模型方程式自變量

（僅從形式上）線性回歸一元線性回歸一元一次多元線性回歸多元一次非線性回歸(暫不說(shuō)明)多元多次及其他函數(shù)形式comparing.數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型一元線性回歸模型——模型隨機(jī)變量（因變量）與實(shí)際變量（因變量）存在著某種相關(guān)關(guān)系?，F(xiàn)對(duì)做正態(tài)假設(shè)確定這種關(guān)系為：其中為未知參數(shù)，與無(wú)關(guān)。上式等價(jià)于這就是一元線性回歸模型，為回歸系數(shù)。是隨機(jī)誤差，是人們不可控制的。數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型一元線性回歸模型——估計(jì)方法：最小二乘法求解：對(duì)取不全相同的值做獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到樣本。記第組實(shí)驗(yàn)的誤差，使總誤差盡量小，即下式有最小值：數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型一元線性回歸模型——估計(jì)令其偏導(dǎo)數(shù)為零，求得最大似然估計(jì)為：這樣我們就求得了未知參數(shù)的值，我們記為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，簡(jiǎn)稱回歸方程，其圖形為回歸直線。上面右式為計(jì)算公式，越小，用一次線性函數(shù)研究隨機(jī)變量與的關(guān)系就越有效。數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型一元線性回歸模型——線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)必要性：上面我們假設(shè)關(guān)于的回歸形式是否為線性函數(shù)需要檢驗(yàn)，稱為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法：相關(guān)系數(shù)法（還有其他方法）

樣本相關(guān)系數(shù)如右式。為相關(guān)系數(shù)。

與無(wú)關(guān)系，不相關(guān)存在相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系顯著線性相關(guān)關(guān)系不顯著判別準(zhǔn)則接近1接近0線性相關(guān)關(guān)系顯著接近1接近0線性相關(guān)關(guān)系顯著接近1接近0線性相關(guān)關(guān)系顯著接近1線性相關(guān)關(guān)系不顯著接近0線性相關(guān)關(guān)系顯著接近1當(dāng)︱R︱＞Rα(n-2),

（通常取0.8）認(rèn)為X與Y之間的線性相關(guān)關(guān)系顯著，反之，則不顯著線性相關(guān)關(guān)系不顯著接近0線性相關(guān)關(guān)系顯著接近1線性相關(guān)關(guān)系不顯著接近0線性相關(guān)關(guān)系顯著接近1數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型一元線性回歸模型——應(yīng)用舉例

在研究機(jī)器工作效應(yīng)時(shí)，測(cè)得工作時(shí)間與出品率如下表所示，求出品率關(guān)于工作時(shí)間的回歸方程并作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。工作時(shí)長(zhǎng)10111213141516171819出品率45515461667074788589數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型解：所以回歸方程為：相關(guān)系數(shù)值為：相關(guān)系數(shù)接近1，說(shuō)明隨機(jī)變量與x具有顯著的相關(guān)性，線性回歸的擬合度較高，檢驗(yàn)通過(guò)請(qǐng)同學(xué)將結(jié)論與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，分析工作時(shí)長(zhǎng)與出品率的關(guān)系，并預(yù)測(cè)20小時(shí)和6小時(shí)時(shí)的出品率？時(shí)間趨于無(wú)限大呢？數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型一元線性回歸的Excel實(shí)現(xiàn)（1）將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel工作表；（2）工具欄中選插入—圖表—XY散點(diǎn)圖；（3）選擇數(shù)據(jù)區(qū)域，填寫標(biāo)題、圖例等內(nèi)容，完成；（4）右擊散點(diǎn)圖—選添加趨勢(shì)線—線性（類型）—在選項(xiàng)中選顯示公式和R平方值。此時(shí)作出了回歸圖并求得方程；（5）在工具欄中選工具—數(shù)據(jù)分析—找到回歸并確定—選擇數(shù)據(jù)區(qū)域、輸出數(shù)據(jù)區(qū)域，勾選置信度殘差、標(biāo)準(zhǔn)殘差、線性擬合圖。此時(shí)得到幾個(gè)表格，可查得回歸系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)及R平方值。

請(qǐng)同學(xué)用Excel完成上面的例題Excel是做一元線性回歸的其中一種軟件，還有Spss，Matlab都可以做數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型多元線性回歸模型——模型現(xiàn)實(shí)生活中，一個(gè)變量往往受到多個(gè)因素的影響，假設(shè)有個(gè)因素，稱為解釋變量，這種多個(gè)解釋變量與因變量構(gòu)成的這種關(guān)系稱為多元線性關(guān)系，由這種關(guān)系構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系式稱為多元線性回歸模型，其一般式如下：稱為回歸系數(shù)。

矩陣形式數(shù)學(xué)建模——回歸分析模型多元線性回歸模型——估計(jì)方法：最小二乘法基本思想：尋找實(shí)際值與擬合值的離差平方和最小的回歸直線。由于參數(shù)未知，需要樣本回歸函數(shù)，如下所示：類比一元線性回歸模型為使誤差最小,這里稱為殘差，則下式取最小值，殘差平方和數(shù)學(xué)建模——回歸分析模型多元線性回歸模型——估計(jì)

令上式對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)為零，得到正規(guī)方程組，用線性代數(shù)的方法求解，求得值為：其中為矩陣形式，具體如下：數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型多元線性回歸模型——線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)必要性：與一元線性回歸模型類似，多元線性回歸模型也需要進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。樣本觀測(cè)值和回歸函數(shù)因變量滿足關(guān)系：可決系數(shù)（判定系數(shù)）為:可決系數(shù)越靠近1，模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度越好。通?？蓻Q系數(shù)大于0.80即判定通過(guò)檢驗(yàn)。模型檢驗(yàn)還有很多方法，以后會(huì)逐步接觸數(shù)學(xué)建模——回歸分析模型多元線性回歸模型—應(yīng)用實(shí)例例2某廠生產(chǎn)的一種電器的銷售量與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的價(jià)格和本廠的價(jià)格有關(guān)。下表是該商品在10個(gè)城市的銷售記錄。

元120140190130155175125145180150

元10011090150210150250270300250

個(gè)10210012077469326696585請(qǐng)建立銷售量與兩個(gè)價(jià)格之間的關(guān)系，并進(jìn)行檢驗(yàn)數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型解：分別畫出y與x1，y與x2的散點(diǎn)圖，判斷關(guān)系，可以看出y與x2可以看出有線性關(guān)系，而y與x1關(guān)系較為復(fù)雜，現(xiàn)假設(shè)關(guān)系為：編寫如下Matlab程序：x1=[120140190130155175125145180150]';x2=[10011090150210150250270300250]';y=[10210012077469326696585]';x=[ones(10,1),x1,x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats結(jié)果：stats=0.65276.57860.0247R平方值為0.6527，不接近1，p=0.0247，在時(shí)模型失效進(jìn)一步討論采用二次函數(shù)形式：編寫如下Matlab程序：x1=[120140190130155175125145180150]';x2=[10011090150210150250270300250]';y=[10210012077469326696585]';x=[x1x2];rstool(x,y,'purequadratic')得到回歸系數(shù)為：beta=-312.58717.2701-1.7337-0.02280.0037rmse=16.6436

這時(shí)的剩余殘差為16.6436，已經(jīng)達(dá)到最小，所以此時(shí)回歸方程可用。數(shù)學(xué)建?！貧w分析模型注意回歸分析模型主要用于分析幾個(gè)變數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，定量的給出數(shù)學(xué)表達(dá)式，即回歸方程，同時(shí)對(duì)未知量作出預(yù)測(cè)，因果分析或?qū)ふ易?/p>