第28講正切函數的性質與圖象（思維導圖3知識點8考點過關檢測）

第28講正切函數的性質與圖象模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．能夠借助單位圓中的正切線畫出函數y=tanx的圖象；2．掌握正切函數的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性；3．能利用正切函數的圖象及性質解決有關問題.知識點1正切函數的圖象與性質1、定義域：，2、值域：R3、周期性：正切函數是周期函數，最小正周期是4、奇偶性：正切函數是奇函數，即．5、單調性：在開區(qū)間內，函數單調遞增知識點2正切型函數形如的函數叫做正切型函數.1、定義域：將“”視為一個“整體”．令解得．2、值域：3、最小正周期：4、單調區(qū)間：（1）把“”視為一個“整體”；（2）時，函數單調性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．知識點3解題技巧1、求正切型函數的定義域注意事項求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數有意義，即。而對于構建的三角不等式，常利用三角函數的圖象求解，解形如的不等式的步驟如下：（1）作圖象：作在上的正切函數圖象；（2）求界點：求在上使成立的值；（3）求范圍：求上使成立的范圍；（4）定義域：根據正切函數的周期性，寫出定義域。2、求函數（都是常數）的單調區(qū)間的方法（1）若，由于在每一個單調區(qū)間上都是增函數，故可用“整體代換”的思想，令，解得的范圍即可；（2）若，可利用誘導公式先把轉化為，即先把的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可。考點一：正切型函數的定義域例1．（2223高一下·內蒙古包頭·期末）函數的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，解得，函數的定義域為.故選：A.【變式11】函數的定義域是（

）A． B．C． D．或且【答案】C【解析】由已知可得且，解得且，所以函數的定義域是.故選：C.【變式12】（2324高一下·上海黃浦·期末）設，若函數的.定義域為，則的值為．【答案】/【解析】由題意可知，，，所以.故答案為：【變式13】（2324高三上·河南新鄉(xiāng)·月考）函數的定義域為.（用區(qū)間表示結果）【答案】【解析】要使函數有意義，只需，所以，，即，，所以或，所以函數的定義域為.故答案為：.考點二：正切型函數的最值或值域例2.（2324高一上·寧夏銀川·期末）函數在上的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由正切函數的單調性可知，在上為單調遞增，所以其最小值為.故選：D【變式21】（2324高一下·江西·月考）函數，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C.【變式22】（2324高一下·福建莆田·期中）函數，的值域為．【答案】【解析】當時，，，當時，；當時，；，的值域為.故答案為：.【變式23】（2324高一上·湖南長沙·月考）已知為鈍角，則的最大值為．【答案】【解析】為鈍角,,，當且僅當，即時等號成立，故的最大值為.考點三：正切型函數的周期性例3.（2324高一下·山東濟寧·期中）函數的最小正周期為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】易知，則其最小正周期為.故選：C【變式31】（2324高一上·河南開封·期末）函數（）的最小正周期為，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】因為（）的最小正周期為，所以的最小正周期，解得.故選：A.【變式32】（2324高一下·河南駐馬店·月考）函數的最小正周期是.【答案】/【解析】由正切函數的圖象與性質知：與的最小周期均為，與的圖象如圖所示，所以函數與最小正周期也一樣，函數的最小正周期是，的最小正周期也是．故答案為：.【變式33】（2324高一下·江西贛州·月考）若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】由題意知的最小正周期為，且，故，故選：C考點四：正切型函數的奇偶性例4.（2223高一下·四川廣元·月考）下列函數為偶函數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以不是偶函數，故選項A錯誤；因為，所以，所以為偶函數，故選項B正確；因為，所以，所以不是偶函數，故選項C錯誤；因為，所以，所以不是偶函數，故選項D錯誤.故選：B【變式41】判斷下列函數的奇偶性：(1)；(2).【答案】(1)既不是偶函數，也不是奇函數；(2)奇函數【解析】（1）由得的定義域為且，由于的定義域不關于原點對稱，所以函數既不是偶函數，也不是奇函數；（2）由題知函數的定義域為且，定義域關于原點對稱，又，所以函數是奇函數.【變式42】（2324高三下·廣東廣州·三調）若函數為奇函數，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若0在定義域內，由時，得，；若0不在定義域內，由時，無意義，得．綜上，．故選：C．【變式43】（2223高一上·浙江杭州·期末）已知函數，若，則（

）A．5 B．3 C．1 D．0【答案】A【解析】設，因為，所以函數是奇函數，因此，故選：A考點五：正切型函數的對稱性例5.（2324高一下·河南駐馬店·月考）下列是函數的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得，故函數的對稱中心為，故AB錯誤；當時，，故對稱中心為，D正確，經檢驗，C不滿足要求.故選：D【變式51】（2223高一上·浙江杭州·期中）下列坐標所表示的點不是函數的圖像的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意在中，令，解得，當時，，∴函數的一個對稱中心是，A正確.當時，，∴函數的一個對稱中心是，D正確.當時，，∴函數的一個對稱中心是，C正確.故選：B.【變式52】（2324高一下·遼寧大連·月考）若函數的最小正周期為1，則函數圖象的對稱中心為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，當時，，令，解得，當時，，令，解得，故函數圖象的對稱中心為.故選：B.【變式53】（2324高一上·河北保定·期末）“”是“函數的圖象關于原點中心對稱”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，，則其圖象關于原點對稱，故充分性成立，當函數的圖象關于原點中心對稱時，則，不一定成立，則必要性不成立，則“”是“函數的圖象關于原點中心對稱”的充分不必要條件，故選：B.考點六：正切型函數的單調性例6.（2223高一下·四川涼山·期中）函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函數的單調遞增區(qū)間為.故選：C【變式61】函數的單調區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，令，，解得，，所以函數的單調遞減區(qū)間為.故選：D.【變式62】（2223高一上·福建漳州·期末）函數的單調區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，解得，所以函數的單調區(qū)間是.故選：A.【變式63】（2324高一下·江西南昌·期末）已知函數的單調遞增區(qū)間是，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，故且，解得，故選：C考點七：比較正切函數值的大小例7.下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A中，由，且，由正切函數性質，可得，且，所以，所以，所以A不正確；對于B中，由，由正切函數單調性可得，即，所以B錯誤；對于C中，由正切函數在上為單調遞增函數，因為，所以，所以C正確；對于D中，由，由正切函數的單調性，可得，即，所以D錯誤.故選：C.【變式71】（2324高一下·北京門頭溝·期中）比較、、的大小關系（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，因為函數在上單調遞增，且，所以，即.故選：D【變式72】（2223高一下·四川成都·月考）已知，不通過求值，判斷下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】又即故選：C【變式73】（2223高一下·遼寧沈陽·月考）（多選）下列不等關系成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】AD【解析】.AB選項，因為在上單調遞增，所以.因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以.綜上，，故A正確，B錯誤；CD選項，，則.因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以.綜上，，故D正確，C錯誤.故選：AD.考點八：利用正切函數解不等式例8.（2223高一下·安徽阜陽·月考）滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】由，，故選：D【變式81】（2223高一下·四川成都·期中）已知角為斜三角形的內角，，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角為斜三角形的內角，則，，即，故.故選：D.【變式82】（2223高一下·貴州遵義·期中）不等式的解集為（

）A． B．C．， D．，【答案】C【解析】由題意得，，得.故選：C【變式83】（2223高一下·貴州遵義·期末）不等式的解集為．【答案】【解析】不等式的解集為.由可得，解得，不等式的解集為故答案為：一、單選題1．（2223高一下·廣東佛山·月考）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，解得，故選：A2．（2324高一上·貴州安順·期末）函數的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數的最小正周期為.故選：B3．（2324高一上·山西長治·期末）函數的圖象的一個對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數，令，解得，令，可得，所以函數的一個對稱中心有，其它不是對稱中心.故選：B．4．（2324高一下·北京·期中）下列函數中，既是偶函數又是周期為的函數為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】對于AC，函數，都是奇函數，A不是，C不是；對于B，函數是偶函數，周期為，B不是；對于D，函數是偶函數，周期為，D是.故選：D5．（2324高一上·安徽馬鞍山·期末）下列直線中，與函數的圖象不相交的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數中，，解得，函數的定義域為，顯然，因此直線與函數的圖象相交，直線與函數的圖象不相交，A不是，C是；函數的值域為，因此直線，與函數的圖象都相交，BD不是.故選：C6．（2324高一下·廣西欽州·期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，得，解得，所以不等式的解集為.故選：A二、多選題7．（2223高一下·浙江·期中）下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于A選項，，因為正切函數在上為增函數，且，所以，，即，A選項正確；對于B選項，由于正切函數在上為增函數，且，所以，，B選項錯誤；對于C選項，，，因為余弦函數在為減函數，且，所以，，即，C選項正確；對于D選項，由于正弦函數在上為增函數，且，所以，，D選項錯誤.故選：AC.8．（2324高一下·四川南充·月考）已知函數，則（

）A． B．在上單調遞增C．為的一個對稱中心 D．最小正周期為【答案】BC【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，由得，當時，，所以在上單調遞增，因為，所以在上單調遞增，故B正確；對于C，把代入中，得，所以為的一個對稱中心，故C正確；對于D，函數的最小正周期為，故D錯誤.故選：BC.三、填空題9．（2324高一下·上海嘉定·期中）若，且滿足，則的最小值為．【答案】【解析】周期為，且在區(qū)間上為單調增函數，，故，.且，故的最小值為.故答案為：10．已知函數在內是減函數，則的取值范圍是．【答案】【解析】∵已知函數在內是減函數,∴函數在內是單調增函數，∴，解得，經檢驗，滿足題意.∴的取值范圍是．故答案為：.11．（2223高一下·上海虹口·期中）對于函數，其中．若，則．【答案】【分析】代入計算得到，再計算，得到答案.【解析】，故，.故答案為：四、解答題12．（2223高一下·安徽阜南·月考）已知函數．(1)求的最小正周期和單調遞減區(qū)間；(2)試比較與的大?。敬鸢浮?1)，單調遞減區(qū)間為，；(2)【解