第十章 馬爾科夫預測方法

市場調查與預測陳靜沈陽航空航天大學市場營銷系2024/9/111

第十章馬爾科夫預測方法

馬爾柯夫預測法是應用概率論中馬爾柯夫鏈的理論和方法來研究分析有關經(jīng)濟現(xiàn)象變化規(guī)律并借此預測未來狀況的一種預測方法。所謂馬爾柯夫鏈，就是一種隨機時間序列它在將來取什么值，只與它現(xiàn)在的取值有關，而與它過去取什么值無關，即無后效性（系統(tǒng)在每一時刻的狀態(tài)僅僅取決于前一時刻的狀態(tài)）。具備這個性質的離散性隨機過程，稱為馬爾柯夫鏈。2024/9/112

10.1馬爾柯夫預測方法概述

馬爾柯夫鏈的理論和方法是從研究對象在不同時刻的狀態(tài)入手，考察并描述狀態(tài)之間發(fā)生轉移的可能性以及研究對象所有的變化過程，在此基礎上對所研究對象未來的發(fā)展狀態(tài)進行預測。下面我就馬爾柯夫預測法相關的基本概念做一簡單介紹。2024/9/113

10.1.1狀態(tài)

在經(jīng)濟系統(tǒng)的研究中，一種經(jīng)濟現(xiàn)象在某一時刻t所出現(xiàn)的某種結果，就是該系統(tǒng)在時間t所處的狀態(tài)。因所研究的現(xiàn)象及預測的目標不同，狀態(tài)的劃分可有不同的表現(xiàn)形式。比如：在市場預測中，可把銷售狀況劃分為“暢銷”、“一般”、“滯銷”三種狀態(tài)；在企業(yè)經(jīng)營預測中，可把經(jīng)營狀況劃分為“盈利”、“虧損”兩種狀態(tài)，等等。通常，我們把隨機運動系統(tǒng)的隨機變量X在時刻t所處的狀態(tài)i表示為：Xt＝i(i=1、2、…、n；t=1、2、…)………………（10-1）2024/9/114

10.1.2狀態(tài)轉移概率

概率論中的條件概率P（B∣A）表示由狀態(tài)B轉向狀態(tài)A的概率，簡稱為狀態(tài)轉移概率。條件概率P（B∣A）在實際應用中的含義，隨問題性質不同而不同，當A與B皆為兩個事件時，它反映了在事件A出現(xiàn)的情況下事件B出現(xiàn)的概率；當B為事件，A為某種狀態(tài)時，它反映了在A狀態(tài)下，事件B出現(xiàn)的概率；當A，B均為兩個不同的狀態(tài)時，而且AB＝?那么P（B∣A）則反映了狀態(tài)A轉向狀態(tài)B的概率。它是馬爾柯夫理論中研究狀態(tài)轉移的一個重要參量。對于由狀態(tài)Ei轉移到狀態(tài)Ej的概率，我們稱之為從i到j的轉移概率記為：Pij＝P（Ej∣Ei）＝P（Ej→Ei）＝P（xn+1＝j∣xn＝i）……（10-2）2024/9/115例10-1某地區(qū)有甲、乙、丙三家家電廠家生產(chǎn)同一種家電，有1000個用戶（或購貨點)，假定在研究期間無新用戶加入也無老用戶退出，只有用戶的轉移，已知2013年5月份有500戶是甲廠的顧客；400戶是乙廠的顧客；100戶是丙廠的顧客。6月份，甲廠有400戶原來的顧客，上月的顧客有50戶轉乙廠，50戶轉丙廠；乙廠有300戶原來的顧客，上月的顧客有20戶轉甲廠，80戶轉丙廠；丙廠有80戶原來的顧客，上月的顧客有10戶轉甲廠，10戶轉乙廠。試計算其狀態(tài)轉移概率。2024/9/116解：有已知可繪制出該地區(qū)甲、乙、丙三家廠家的顧客轉移表如表10-1所示。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可計算出：P11＝400/500＝0.8P12＝50/500＝0.1P13＝50/500＝0.1P21＝20/400＝0.05P22＝300/400＝0.75P23＝80/400＝0.2P31＝10/100＝0.1P32＝10/100＝0.1P33＝80/100＝0.82024/9/1172024/9/11810.1.3狀態(tài)轉移概率矩陣狀態(tài)轉移概率矩陣完全描述了所研究對象的變化過程。若系統(tǒng)在時刻t0處于狀態(tài)i，經(jīng)過n步轉移，在時刻tn處于狀態(tài)j。那么，對這種轉移的可能性的數(shù)量描述稱為n步轉移概率。記為：并且：則稱P（n）為n步轉移概率矩陣。特別是當n=2時，Pij（2）為二步轉移概率，P（2）為二步轉移概率矩陣。2024/9/1192024/9/11102024/9/11112024/9/111210.2馬爾柯夫預測方法

馬爾柯夫預測方法在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中有著廣泛的用途。通過運用馬爾柯夫鏈的方法去建立預測模型，就可以預測下一期最可能出現(xiàn)的狀態(tài)，還可以進行市場占有率預測和期望利潤預測，從而形成相應的預測方法2024/9/1113

10.2.1馬爾柯夫鏈預測法

馬爾柯夫鏈預測法（最簡單類型）是預測下一期最可能出現(xiàn)的狀態(tài)，可按以下步驟進行：第一步，劃分預測對象所出現(xiàn)的狀態(tài)。第二步，計算初始概率。在實際問題中，分析歷史資料所得的狀態(tài)概率稱為初始概率。設有N個狀態(tài)E1，E2，…，EN。觀察M個時期，其中狀態(tài)Ei（i＝1，2，…，N）共出現(xiàn)Mi次。于是fi=Mi/M

………………（10-9）就是且出現(xiàn)的頻率，我們用它近似表示Ei的概率。即fi≈Pi

（i＝1、2、...、N）

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10.2.2市場占有率預測

企業(yè)的產(chǎn)品在市場銷售總額中各占一定的比例，如何通過現(xiàn)有的市場占有率和轉移概率去預測企業(yè)在其后時期的占有率，對企業(yè)正確定位，制定相應政策和發(fā)展戰(zhàn)略有重大意義。

馬爾柯夫預測的基本原理是：本期市場占有率僅取決于上期市場占有率及轉移概率。如果假設：市場的發(fā)展變化只與當前市場條件有關，沒有新的競爭者加入，也沒有老的競爭者退出，顧客容量保持不變，顧客在不同品牌之間流動的概率保持不變，就可用這種預測法對市場占有率進行預測。2024/9/1116如果市場的顧客（或用戶）流動趨向長期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過一段時期以后的市場占有率，將會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。所謂穩(wěn)定的市場平衡狀態(tài)，就是顧客（或用戶）的流動對市場占有率將不起影響。即各廠喪失的顧客（或用戶）與爭取到的顧客（或用戶）相抵消。這時的市場占有率，稱為終極市場占有率。為求出這種穩(wěn)定的市場占有率以預測長期趨勢，我們先定義標準概率矩陣。如果P為概率矩陣，且存在m>0，使P中諸要素皆非負非零，則稱P為標準概率矩陣。2024/9/1117標準概率矩陣有以下性質：若P是標準概率矩陣，則必存在非零行向量，

使得，稱為P的平衡向量標準概率矩陣的這一性質很有實用價值。因為在市場占有率預測中，用戶轉移概率矩陣恰好是標準概率矩陣，當P穩(wěn)定不變時通過多步轉移后，市場占有率將達到平衡狀態(tài)。此時，各廠的用戶占有率不再發(fā)生變化。

α表示終極用戶占有率。2024/9/1118

10.2.3期望利潤預測

在企業(yè)的經(jīng)營管理中，除了需要模清銷路的變化情況外，還要對利潤的變化進行預測。比如某商品的銷售狀態(tài)有暢銷（E1）和滯銷（E2）兩種。通過調查、統(tǒng)計，除得知銷售狀態(tài)轉移概率矩陣P外，還獲知利潤的分布情況R：R稱為狀態(tài)轉移利潤矩陣。γij（i，j＝1，2）表示由Ei轉到Ej的利潤。當γij>0表示盈利，γij<0表示虧本，0表示不盈不虧。根據(jù)已知的狀態(tài)轉移矩陣和利潤矩陣就可對未來的利潤進行預測，這就是期望利潤預測的基本思路。2024/9/11192024/9/112010.3馬爾柯夫預測方法的實際應用1在商品