人教A版（2019）必修第二冊6.1平面向量的概念(精講)(原卷版+解析)

6.1平面向量的概念（精講）思維導圖思維導圖典例精講典例精講考點一概念辨析【例1-1】（2022江蘇）有下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例1-2】（2022·湖北）下列關于零向量的說法正確的是（

）A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向C．兩個反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線【例1-3】（2022·全國·高一課時練習）下列說法錯誤的是（

）A．向量與向量長度相等 B．單位向量都相等C．的長度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動【一隅三反】1．（2022·廣東）給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間．其中不是向量的有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個2．（2022山東）下列說法：①零向量是沒有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量與任意一個向量共線.其中，正確說法的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022黑龍江）下列命題中假命題是（

）A．向量與的長度相等B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于D．共線的單位向量都相等4．（2022·全國·高一課時練習）下列關于向量的描述正確的是A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共圓考點二向量的幾何表示【例2】（2022湖南）在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點A在點O北偏東45°；（2），使＝4，點B在點A正東；（3），使＝6，點C在點B北偏東30°.【一隅三反】1．（2022四川）如圖所示，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方.（1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）；（2）求向量的模.2．（2022·湖南）如圖的方格由若干個邊長為1的小正方形組成，方格中有定點A，點C為小正方形的頂點，且，畫出所有的向量.考點三相等向量與平行向量【例3-1】（2022·全國·高一課時練習）下列命題中正確的個數(shù)是（

）①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；④若，則，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3【例3-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：(1)與相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)與的模相等的向量有哪些？【一隅三反】1．（2022·陜西·渭南高級中學高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實數(shù)使得C．若，，則D．與非零向量共線的單位向量為2．（2020·全國·高一課時練習）為非零向量，“”為“共線”的A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件3．（2021·全國·高一課時練習）已知O是正方形ABCD對角線的交點，在以O，A，B，C，D這5點中任意一點為起點，另一點為終點的所有向量中，寫出：（1）與相等的向量；（2）與長度相等的向量；（3）與共線的向量.6.1平面向量的概念（精講）思維導圖思維導圖典例精講典例精講考點一概念辨析【例1-1】（2022江蘇）有下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它們是向量；而質(zhì)量、路程和功只有大小，沒有方向，所以它們不是向量，故不是向量的個數(shù)是3.故選：C【例1-2】（2022·湖北）下列關于零向量的說法正確的是（

）A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向C．兩個反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線【答案】D【解析】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤；兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯誤；零向量與任意向量共線，D正確．故選：D.【例1-3】（2022·全國·高一課時練習）下列說法錯誤的是（

）A．向量與向量長度相等 B．單位向量都相等C．的長度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動【答案】B【解析】因為，所以和互為相反向量，長度相等，方向相反，故A選項正確；單位向量長度都為，但方向不確定，故B選項錯誤；根據(jù)零向量的概念，易知C選項正確；向量只與長度和方向有關，與位置無關，故任一非零向量都可以平行移動，故D選項正確；故選：B.【一隅三反】1．（2022·廣東）給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間．其中不是向量的有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【解析】①質(zhì)量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時間只有大小，沒有方向，故不是向量，其余均為向量，故共有5個不是向量.故選：C2．（2022山東）下列說法：①零向量是沒有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量與任意一個向量共線.其中，正確說法的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由零向量定義及性質(zhì)知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯誤，②③正確；故選：C3．（2022黑龍江）下列命題中假命題是（

）A．向量與的長度相等B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于D．共線的單位向量都相等【答案】D【解析】對于A選項，與互為相反向量，這兩個向量的長度相等，A選項正確；對于B選項，兩個相等的向量，長度相等，方向相同，若兩個相等向量的起點相同，則終點也相同，B選項正確；對于C選項，只有零向量的模等于，C選項正確；對于D選項，共線的單位向量是相等向量或相反向量，D選項錯誤.故選：D.4．（2022·全國·高一課時練習）下列關于向量的描述正確的是A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共圓【答案】D【解析】對于選項A：向量包括長度和方向，單位向量的長度相同均為，方向不定，故向量和不一定相同，故選項A錯誤；對于選項B：因為，由知，不一定成立，故選項B錯誤；對于選項C：任意一個非零向量有兩個與之共線的單位向量，故選項C錯誤；對于選項D：因為所有單位向量的模為，且共起點，所以所有單位向量的終點在半徑為的圓周上，故選項D正確；故選：D.考點二向量的幾何表示【例2】（2022湖南）在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1），使||＝4，點A在點O北偏東45°；（2），使＝4，點B在點A正東；（3），使＝6，點C在點B北偏東30°.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）由于點A在點O北偏東45°處，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（2）由于點B在點A正東方向處，且＝4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B位置可以確定，畫出向量如下圖所示．（3）由于點C在點B北偏東30°處，且＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，于是點C位置可以確定，畫出向量如下圖所示．【一隅三反】1．（2022四川）如圖所示，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方.（1）作出向量，，（圖中1個單位長度表示100m）；（2）求向量的模.【答案】（1）作圖見解析（2）【解析】（1）如圖，即為所求.（2）如圖，作向量，由題意可知，四邊形是平行四邊形，∴.2．（2022·湖南）如圖的方格由若干個邊長為1的小正方形組成，方格中有定點A，點C為小正方形的頂點，且，畫出所有的向量.【答案】見解析【解析】∵，∴C點落在以A為圓心，以為半徑的圓上，又∵點C為小正方形的頂點，根據(jù)該條件不難找出滿足條件的點C，解析所有的向量，如圖所示：考點三相等向量與平行向量【例3-1】（2022·全國·高一課時練習）下列命題中正確的個數(shù)是（

）①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；④若，則，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①錯誤，平行向量又叫共線向量，向量與是共線向量，則與平行或共線；②錯誤，與至少有一個為零向量時，結(jié)論不成立；由向量的夾角可知③正確；④錯誤，由，只能說明，的長度相等，確定不了方向.故選：B.【例3-2】（2022·全國·高一專題練習）如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：(1)與相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)與的模相等的向量有哪些？【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由相等向量定義知：與相等的向量有.(2)由相反向量定義知：的相反向量有.(3)由向量模長定義知：與的模相等的向量有.【一隅三反】1．（2022·陜西·渭南高級中學高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實數(shù)使得C．若，，則D．與非零向量共線的單位向量為【答案】D【解析】若，則或，所以選項A錯誤；若，此時不存在，選項B錯誤；若，由，，不一定得到，選項C不正確；由向量為非零向量，根據(jù)單位向量的定義，選項D正確.故選：D.2．（2020·全國·高一課時練習）為非零向量，“”為“共線”的A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【答案】B【解析】分別表示與同方向的向量，，則有共線，而共線，則的方向不一定相同，即兩向量不一定相等，“”為“共線”的充分不必要條件.故選:B.3．（