人教A版（2019）必修第二冊6.1平面向量的概念(學(xué)案)(原卷版+解析)

6.1平面向量的概念（學(xué)案）知識自測知識自測一.向量與數(shù)量區(qū)分1.定義向量：數(shù)量：注意：①向量在物理學(xué)中稱為矢量；數(shù)量在物理學(xué)中稱為標(biāo)量。②數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比較大小的。舉例常見的向量有：常見的數(shù)量有：二、向量的幾何表示1.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→))，線段AB的長度叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.向量的表示：(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).（3）常見概念①模長：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.②零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作；規(guī)定：零向量與任意向量平行。③單位向量：長度等于長度的向量，叫做單位向量。④平行向量：方向的向量叫做平行向量.記法：向量eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))平行，記作eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))⑤相等向量：相等且相同的向量叫做相等向量。⑥共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.共線向量與平行向量關(guān)系：因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（向量具有自由性，與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）,所以平行向量就是共線向量。知識簡用知識簡用題型一向量與數(shù)量的辨析【例1-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【例1-2】（2022云南）以下選項(xiàng)中，都是向量的是（

）A．正弦線、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度題型二向量的幾何表示【例2-1】．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．(1)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向；(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向．【例2-2】（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中畫出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，并求終點(diǎn)的坐標(biāo)（1），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；（2），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；（3），的方向與軸、軸正方向的夾角都是.題型三相等向量與共線向量【例3-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上【例3-2】（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．單位向量都相等 B．相等向量一定是共線向量C．若，則 D．任意向量的模都是正數(shù)【例3-2】（2022西藏）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【例3-4】（202上海）如圖，在等腰梯形中，對角線與相交于點(diǎn)D，是過點(diǎn)D且平行于的線段．（l）寫出圖中的各組共線向量；（2）寫出圖中的各組同向向量；（3）寫出圖中的各組反向向量．6.1平面向量的概念（學(xué)案）知識自測知識自測一.向量與數(shù)量區(qū)分1.定義向量：把既有大小，又有方向的量叫做向量數(shù)量：把只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量。注意：①向量在物理學(xué)中稱為矢量；數(shù)量在物理學(xué)中稱為標(biāo)量。②數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大?。欢蛄考扔写笮∮钟蟹较?向量是不能比較大小的。舉例常見的向量有：力、位移、速度、加速度等常見的數(shù)量有：年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量、路程、功等二、向量的幾何表示1.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→))，線段AB的長度叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.向量的表示：(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).（3）常見概念①模長：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.②零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作；規(guī)定：零向量與任意向量平行。③單位向量：長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量。④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.記法：向量eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))平行，記作eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。⑥共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.共線向量與平行向量關(guān)系：因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（向量具有自由性，與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）,所以平行向量就是共線向量。知識簡用知識簡用題型一向量與數(shù)量的辨析【例1-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）給出下列物理量：①密度；②溫度；③速度；④質(zhì)量；⑤功；⑥位移.正確的是(

)A．①②③是數(shù)量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是數(shù)量，①③⑤是向量C．①④是數(shù)量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是數(shù)量，③⑥是向量【答案】D【解析】密度、溫度、質(zhì)量、功只有大小，沒有方向，是數(shù)量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故選：D．【例1-2】（2022云南）以下選項(xiàng)中，都是向量的是（

）A．正弦線、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線、速度【答案】D【解析】表示三角函數(shù)值的正切線、余弦線、正弦線既有大小，又有方向，都是向量．海拔、質(zhì)量、△ABC的三邊和體積均只有大小，沒有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故選：D．題型二向量的幾何表示【例2-1】．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．(1)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向；(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】(1)∵，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向，∴以O(shè)為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點(diǎn)即為A點(diǎn)：(2)∵，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向，∴以O(shè)為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點(diǎn)即為B點(diǎn)：【例2-2】（2022·江蘇·高一課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中畫出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，并求終點(diǎn)的坐標(biāo)（1），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；（2），的方向與軸正方向的夾角為，與軸正方向的夾角為；（3），的方向與軸、軸正方向的夾角都是.【答案】見解析【解析】如圖所示.（1）終點(diǎn)坐標(biāo)為（2）終點(diǎn)坐標(biāo)為（3）終點(diǎn)坐標(biāo)為題型三相等向量與共線向量【例3-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上【答案】A【解析】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點(diǎn)相同時終點(diǎn)必相同，故A正確；兩個有公共終點(diǎn)的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；兩個有共同起點(diǎn)且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點(diǎn)未必相同，故C錯誤；與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.故選：A【例3-2】（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．單位向量都相等 B．相等向量一定是共線向量C．若，則 D．任意向量的模都是正數(shù)【答案】B【解析】對于A，單位向量的模長相等，方向不一定相同，故A錯誤；對于B，相等向量一定是共線向量，故B正確；對于C，若，，而與不一定平行，故C錯誤；對于D，零向量的模長是，故D錯誤．故選：B.【例3-2】（2022西藏）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；時，只說明向的長度相等，無法確定方向，所以B，C均錯；時，只說明方向相同或相反，沒有長度關(guān)系，不能確定相等，所以D錯.故選：A.【例3-4】（202上海）如圖，在等腰