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文檔簡介
完成時間:月日天氣:作業(yè)03概率(7大題型鞏固提升練+能力培優(yōu)練+拓展突破練+仿真考場練)一、條件概率與全概率公式1.求條件概率有兩種方法:一種是基于樣本空間Ω,先計算P(A)和P(AB),再利用P(B|A)=eq\f(PAB,PA)求解;另一種是縮小樣本空間,即以A為樣本空間計算AB的概率.條件概率的計算要注意以下三點(1)明白是在誰的條件下,計算誰的概率.(2)明確P(A),P(B|A)以及P(AB)三者間的關系,實現三者間的互化.(3)理解全概率公式P(A)=P(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計算思想.二、離散型隨機變量的概率分布、均值和方差1.均值和方差都是隨機變量的重要的數字特征,方差是建立在均值的基礎之上,它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度,二者的聯(lián)系密切,在現實生產生活中的應用比較廣泛.角度1均值、方差的計算求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟角度2均值、方差在決策中的應用若X~B(n,p),則可直接利用公式求E(X)=np,D(X)=np(1-p).三、正態(tài)分布1.正態(tài)分布是連續(xù)型隨機變量X的一種分布,其在概率和統(tǒng)計中占有重要地位,尤其統(tǒng)計學中的(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)三個區(qū)間內的概率值在生產生活中有廣泛的應用.2.熟記正態(tài)分布的特征及應用(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)三個區(qū)間內的概率值解決實際問題是本章的兩個重點,在學習中提升直觀想象、數據分析的素養(yǎng).3.利用正態(tài)密度曲線解決實際性問題時常利用其對稱性解題,并注意借助(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)三個區(qū)間內的概率值求解.并注意正態(tài)密度曲線與頻率直方圖的結合.一.條件概率與獨立事件(共6小題)1.(2024春?梁溪區(qū)校級期中)已知(A),,,下列選項正確的是A.(B) B. C. D.(A)(B)2.(2024春?灌云縣校級期中)設,是一個隨機試驗中的兩個事件,且,,,則A. B. C. D.3.(2024春?錫山區(qū)校級期中)在某地區(qū)進行流行病調查,隨機調查了100名某種疾病患者的年齡,發(fā)現該100名患者中有35名的年齡位于區(qū)間,內.已知該地區(qū)這種疾病的患病率為,年齡位于區(qū)間,內人口占該地區(qū)總人口的.現從該地區(qū)任選一人,若此人年齡位于區(qū)間,內,則此人患該疾病的概率為A. B. C. D.4.(2024春?連云區(qū)校級期中)一個袋子中有除顏色外都相同的2個紅球和3個白球,從中不放回地抽取2個球,每次只取1個.設事件“第一次抽到紅球”,“第二次抽到紅球”,則A. B. C. D.5.(2024春?泉山區(qū)校級期中)質數又稱素數,一個大于1的自然數,除了1和它本身外,不能被其他自然數整除,則這個數為質數.數學上把相差為2的兩個素數叫做“孿生素數”,如:3和5,5和7,,那么,如果我們在不超過30的自然數中,隨機選取兩個不同的數,記事件:這兩個數都是素數:事件:這兩個數不是孿生素數,則A. B. C. D.6.(2024?蘇州校級模擬)袋中有5個球,其中紅黃藍白黑球各一個,甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機摸取一球,記事件:甲和乙至少一人摸到紅球,事件:甲和乙摸到的球顏色不同,則.二.全概率公式(共7小題)7.(2023春?鹽城期中)據美國的一份資料報道,在美國總的來說患肺癌的概率約為,在人群中有是吸煙者,他們患肺癌的概率約為,則不吸煙患肺癌的概率為A. B. C. D.8.(2023春?南京月考)已知,為兩個隨機事件,(A),(A),,,則(B)A.0.1 B. C.0.33 D.9.(2023春?鼓樓區(qū)校級月考)已知某倉庫中有10箱同樣型號的零件,其中有5箱、3箱、2箱依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的,且甲、乙、丙三廠生產該型號零件的次品率依次為,現從這10箱中任取一箱,再從這箱中任取一個零件,則取得的零件是次品的概率為A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.210.(2023春?濱??h期中)甲罐中有5個紅球,3個白球,乙罐中有4個紅球,2個白球.整個取球過程分兩步,先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別用,表示由甲罐取出的球是紅球,白球的事件;再從乙罐中隨機取出兩球,分別用,表示第二步由乙罐取出的球是“兩球都為紅球”,“兩球為一紅一白”的事件,則下列結論中正確的是A. B. C. D.11.(2023春?丹陽市校級期中)在,,三個地區(qū)爆發(fā)了甲型流感,這三個地區(qū)分別有,,的人患了甲流.假設這三個地區(qū)的人口數的比為,現從這三個地區(qū)中任意選取一個人,這個人患甲流的概率是(用分數作答)12.(2023春?連云港期末)某廠用甲、乙兩臺機器生產相同的零件,它們的產量各占,,而各自的產品中廢品率分別為,,則該廠這種零件的廢品率為.13.(2023春?連云區(qū)校級期中)甲袋中裝有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙袋中裝有4個紅球,3個白球和3個黑球,且所有球的大小和質地均相同.先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋中,再從乙袋中隨機取出一球,則從乙袋中取出的球是紅球的概率是.三.離散型隨機變量及其分布列(共6小題)14.(2024春?武進區(qū)期中)在籃球比賽中,規(guī)定一次中距離投籃投中得2分,投不中得0分,則選手甲在三次中距離投籃中的總得分的所有可能取值的和是A.8 B.10 C.12 D.1415.(2024春?梁溪區(qū)校級期中)離散型隨機變量的分布列中部分數據丟失,丟失數據以,代替,分布列如下:1234560.210.200.0.100.10則A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.6516.(2024春?錫山區(qū)校級期中)若隨機變量的分布列為:01230.10.20.20.30.10.1則當時,實數的取值范圍是.17.(2023春?漣水縣校級月考)將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處,小球自由下落,在下落的過程中,小球將遇到黑色障礙物3次,最后落入袋或袋中,已知小球每次遇到障礙物時,向左、右兩邊下落的概率分別是.設小球向左的次數為隨機變量.(1)求隨機變量的概率分布列;(2)分別求出小球落入袋和袋中的概率.18.(2024春?泗洪縣期中)高考結束后,甲、乙兩同學決定各購置一部,經了解,目前市場上銷售的主流國產有:華為、小米、、等;甲從華為、、中挑選,乙從,中挑選,甲、乙二人選擇各類型的概率如下表:華為甲乙0若甲、乙都選的概率為.(1)求,的值;(2)求甲、乙選擇不同的概率;(3)某市場舉辦購買進行打折活動,活動標準如下表:華為補貼金額(百元部)354記甲、乙兩人購所獲得的補貼和為元,求的分布列.19.(2024春?鹽城期中)從甲、乙、丙、丁4人中隨機抽取3個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人,每次必須將球傳出.(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數為隨機變量,求的分布列;(2)若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓練,且第1次由甲將球傳出,記次傳球后球在甲手中的概率為,,2,3,①直接寫出,,的值;②求與的關系式,并求.四.離散型隨機變量的期望與方差(共7小題)20.(2024春?常州期中)設隨機變量的分布列為,,2,3,則的數學期望A. B. C. D.21.(2024春?蘇州期中)若隨機變量滿足,其中為常數,則A.0 B. C. D.122.(2024春?東??h期中)拋擲一顆質地均勻的骰子,設表示擲出的點數,則.23.(2024春?梁溪區(qū)校級期中)若為非負實數,隨機變量的概率分布如表,則的最大值為,的最大值為.01224.(2024春?武進區(qū)期中)設離散型隨機變量可能的取值為,,0,1,2,,若的均值為,則的值為.25.(2024春?鹽城期中)為推動黨史學習教育工作扎實開展,營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍,某校黨委決定在教師黨員中開展“學黨史”知識競賽.甲老師從裝有6個不同問題的紙盒中依次不放回抽取4個問題作答.已知這6個問題中,甲能正確回答其中的4個問題,且甲老師對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的.(1)求甲老師答對2個問題的概率;(2)若測試過程中答對1個問題得2分,答錯得0分,設隨機變量表示甲的得分,求,.26.(2024春?沛縣期中)某品牌汽車店,對最近100位采用分期付款的購車者進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結果如表所示.已知分9期付款的頻率為0.2.該店經銷一輛該品牌的汽車,顧客分3期付款,其利潤為1萬元;分6期或9期付款,其利潤為1.5萬元;分12期或15期付款,其利潤為2萬元.用表示經銷一輛汽車的利潤.付款方式分3期分6期分9期分12期分15期頻數302010(1)求如表中的,值;(2)若以頻率作為概率,求事件“購買該品牌汽車的3位顧客中,至多有1位采用分9期付款”的概率(A);(3)求的分布列及均值.五.超幾何分布(共3小題)27.(2023春?鹽城期中)已知隨機變量服從兩點分布,且.設,那么等于A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.428.(2022春?江蘇月考)若隨機變量服從超幾何分布,10,,則的均值.29.(2022春?海陵區(qū)校級期中)幸福農場生產的某批次20件產品中含有件次品,從中一次任取10件,其中次品恰有件.(1)若,求取出的產品中次品不超過1件的概率;(2)記,則當為何值時,取得最大值.六.二項分布與n次獨立重復試驗的模型(共6小題)30.(2024春?東海縣期中)已知隨機變量分布,且,設,那么A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.631.(2024春?鹽城期中)已知隨機變量服從兩點分布,若,則A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.432.(2023春?淮安月考)已知隨機變量,隨機變量,若,,則A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.433.(2023春?淮安月考)設隨機變量服從二項分布,若,則.34.(2023春?連云港期中)已知隨機變量服從兩點分布,若,則的標準差.35.(2023春?南京月考)籃球運動員比賽投籃,命中得1分,不中得0分,已知運動員甲投籃命中率的概率為.(1)若投籃1次得分記為,求方差的最大值;(2)當(1)中取最大值時,求運動員甲投5次籃得分為4分的概率.七.正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義(共11小題)36.(2024春?邗江區(qū)校級期中)已知隨機變量服從正態(tài)分布,若,則等于A.0.484 B.0.628 C.0.936 D.0.96837.(2024春?常州期中)對,兩地國企員工的上班遲到情況進行統(tǒng)計,可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布,其中地員工的上班遲到時間為(單位:,,對應的曲線為,地員工的上班遲到時間為(單位:,,對應的曲線為,則下列圖象正確的是A. B. C. D.38.(2024春?灌云縣校級期中)對,兩地國企員工上班遲到情況進行統(tǒng)計,可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布,其中地員工的上班遲到時間為(單位:,,對應的曲線為,地員工的上班遲到時間為(單位:,,對應的曲線為,則下列圖象正確的是A. B. C. D.39.(2024春?泉山區(qū)校級期中)已知某市高三女生在國家體質健康測試中的50米跑成績(單位:近似地服從正態(tài)分布,且,則A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.540.(2024?山東)為了解推動出口后的畝收入(單位:萬元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動出口后畝收入的樣本均值,樣本方差,已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布,,假設推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布,,則(若隨機變量服從正態(tài)分布,則A. B. C. D.41.(2024春?鹽城期中)已知某批產品的質量指標服從正態(tài)分布,其中,的產品為“可用產品”,則在這批產品中任取1件,抽到“可用產品”的概率約為.參考數據:若,則,,.42.(2024春?廣陵區(qū)校級月考)某地區(qū)高三年級2000名學生參加了地區(qū)教學質量調研測試,已知數學測試成績服從正態(tài)分布,統(tǒng)計結果顯示,有320名學生的數學成績低于80分,則數學分數屬于閉區(qū)間,的學生人數約為.43.(2024春?南通月考)在某次數學測試中,學生成績服從正態(tài)分布.若,則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生,至少有2名學生的成績低于80分的概率是.44.(2023春?廣陵區(qū)校級月考)新能源汽車是中國戰(zhàn)略新興產業(yè)之一,政府高度重視新能源產業(yè)的發(fā)展,某企業(yè)為了提高新能源汽車品控水平,需要監(jiān)控某種型號的汽車零件的生產流水線的生產過程,現從該企業(yè)生產的該零件中隨機抽取100件,測得該零件的質量差(這里指質量與生產標準的差的絕對值)的樣本數據統(tǒng)計如表.質量差(單位:5667707886件數(單位:件)102048193(1)求樣本平均數的值;根據大量的產品檢測數據,得到該零件的質量差(這里指質量與生產標準的差的絕對值)近似服從正態(tài)分布,其中的近似值為36,用樣本平均數作為的近似值,求概率的值;(2)若該企業(yè)有兩條生產該零件的生產線,其中第1條生產線的生產效率是第2條生產線的生產效率的兩倍.若第1條生產線出現廢品的概率約為0.015,第2條生產線出現廢品的概率約為0.018,將這兩條生產線生產出來的零件混放在一起,這兩條生產線是否出現廢品相互獨立.現從該企業(yè)生產的該零件中隨機抽取一件.求該零件為廢品的概率;若在抽取中發(fā)現廢品,求該廢品來自第1條生產線的概率.參考數據:若隨機變量服從正態(tài)分布,則:,,.45.(2023春?賈汪區(qū)校級期中)電影《流浪地球2》中有許多可行駛、可作業(yè)、可變形的地球聯(lián)合政府機械設備,均出自中國工程機械領導者品牌—徐工集團.電影中有很多硬核的裝備,其實并不是特效,而是用國產尖端裝備設計改造出來的,許多的裝備都能在現實中尋找到原型.現集團某車間新研發(fā)了一臺設備,集團對新設備的具體要求是:零件內徑(單位:在范圍之內的產品為合格品,否則為次品;零件內徑滿足正態(tài)分布.(1)若該車間對新設備安裝調試后,試生產了5個零件,測量其內徑(單位:分別為:199.87,199.91,199.99,200.13,200.19,如果你是該車間的負責人,試根據原則判斷這臺設備是否需要進一步調試?并說明你的理由.(2)若該設備符合集團的生產要求,現對該設備生產的10000個零件進行跟蹤調查.①10000個零件中大約有多少個零件的內徑可以超過?②10000個零件中的次品的個數最有可能是多少個?參考數據:若隨機變量,則,,,,.46.(2023春?無錫期末)某校擬對全校學生進行體能檢測,并規(guī)定:學生體能檢測成績不低于60分為合格,否則為不合格;若全年級不合格人數不超過總人數的,則該年級體能檢測達標,否則該年級體能檢測不達標,需加強鍛煉.(1)為準備體能檢測,甲、乙兩位同學計劃每天開展一輪羽毛球比賽以提高體能,并約定每輪比賽均采用七局四勝制(一方獲勝四局則本輪比賽結束).假設甲同學每局比賽獲勝的概率均為,求甲在一輪比賽中至少打了五局并獲勝的條件下,前3局比賽均獲勝的概率;(2)經過一段時間的體能訓練后,該校進行了體能檢測,并從高二年級1000名學生中隨機抽取了40名學生的成績作分析.將這40名學生體能檢測的平均成績記為,標準差記為,高二年級學生體能檢測成績近似服從正態(tài)分布.已知,,請估計該校高二年級學生體能檢測是否合格?附:若隨機變量,則,,.一.選擇題(共1小題)1.(2024春?啟東市期中)已知隨機變量服從兩點分布,則方差的可能值是A. B. C. D.二.多選題(共1小題)2.(2024春?贛榆區(qū)期中)下列說法正確的是A.若隨機變量分布,則 B.若隨機變量,則 C.已知隨機變量的分布列為,則 D.已知,為兩個隨機事件,且(B),則(A)三.填空題(共3小題)3.(2024春?江陰市期中)已知隨機變量的分布列如下,則.12340.10.20.30.44.(2024春?江陰市校級月考)一個筆袋內裝有10支同型號簽字筆,其中黑色簽字筆有7支,藍色簽字筆有3支,若從筆袋內每次隨機取出1支筆,取后不放回,取到藍色簽字筆就停止,最多取5次,記取出的簽字筆支數為,則.5.(2024春?啟東市期中)已知隨機變量,且,則.四.解答題(共18小題)6.(2024?武進區(qū)校級三模)廠家在產品出廠前,需對產品做檢驗,廠家把一批產品發(fā)給商家時,商家按規(guī)定拾取一定數量的產品做檢驗,以決定是否驗收這批產品:(1)若廠家?guī)旆恐械拿考a品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進行檢驗,求至少有1件是合格產品的概率;(2)若廠家發(fā)給商家20件產品,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件,來進行檢驗,只有2件產品都合格時才接收這些產品,否則拒收.①求該商家檢驗出不合格產品件數的均值;②求該商家拒收這些產品的概率.7.(2024?六合區(qū)校級二模)在三維空間中,單位立方體的頂點坐標可用三維坐標,,表示,其中,.而在維空間中,以單位立方體的頂點坐標可表示為維坐標,,,,,其中,,現有如下定義:在維空間中,,,,,,,,,,兩點的曼哈頓距離為.(1)在3維單位立方體中任取兩個不同頂點,試求所取兩點的曼哈頓距離為1的概率;(2)在維單位立方體中任取兩個不同頂點,記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離.求出的分布列與期望;證明:隨機變量的方差小于.8.(2024春?武進區(qū)期中)某電器廠打算處理一批臺燈,這些臺燈每箱10盞,以箱為單位銷售.已知這批臺燈中每箱出現的廢品只有兩種可能:1盞或者2盞,兩種可能對應的概率分別為、.假設該臺燈正品每盞市場價格為100元,廢品不值錢,現每箱處理價格為860元,遇到廢品不予更換.現以一箱產品中正品的價格期望大于處理價格作為可以購買的依據.(1)在不開箱檢驗的情況下,判斷是否可以購買;(2)現允許開箱,從一箱中隨機任取2盞進行檢驗.①若已知此箱中有2盞為廢品,記抽到的廢品數為,求的分布列和數學期望;②若已發(fā)現在抽取檢驗的2盞臺燈中,恰有一盞是廢品,判斷此箱是否可以購買.9.(2024春?常州期中)有甲乙兩個骰子,甲骰子正常且均勻,乙骰子不正常且不均勻,經測試,投擲乙骰子得到6點朝上的概率為,若投擲乙骰子共6次,設恰有3次得到6點朝上的概率為,是的極大值點.(1)求;(2)若且等可能地選擇甲乙其中的一個骰子,連續(xù)投擲3次,在得到都是6點朝上的結果的前提下,求這個骰子是乙骰子的概率;(3)若且每次都等可能地選擇其中一個骰子,共投擲了10次,在得到都是6點朝上的結果的前提下,設這10次中有次用了乙骰子的概率為,試問當取何值時最大?并求的最大值(精確到.(參考數據10.(2024春?東??h期中)某小組為調查高二學生在寒假名著閱讀情況,隨機抽取了20名男生和20名女生,得到如下閱讀時長(單位:小時)的數據:男生:38,26,37,23,28,38,12,25,44,39,33,27,10,35,41,27,38,11,46,29;女生:42,31,28,37,33,29,51,38,39,36,22,39,33,46,31,17,34,45,30,49.(1)在抽取的40名高二學生中,閱讀時長超過45小時的為“閱讀能手”,時長低于15小時的為“閱讀后進者”.為了培養(yǎng)“閱讀后進者”的閱讀興趣,現從“閱讀能手”中挑選幾人,對“閱讀后進者”進行一對一指導.求閱讀時長最短的同學被閱讀時長最長的同學指導的概率;(2)時長超過30小時的為“閱讀愛好者”,用頻率估計概率.現從高二學生中隨機抽取兩位男生、兩位女生交流心得,其中“閱讀愛好者”有人,求的分布列和數學期望.11.(2024春?梁溪區(qū)校級期中)某植物園種植一種觀賞花卉,這種觀賞花卉的高度(單位:介于,之間,現對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量,所得數據統(tǒng)計如圖所示.(1)求的值;(2)以頻率估計概率,完成下列問題.若從所有花卉中隨機抽4株,記高度在,內的株數為,求的分布列及數學期望;若在所有花卉中隨機抽取3株,求至少有2株高度在,的條件下,至多1株高度低于的概率.12.(2024春?沛縣期中)我國是全球制造業(yè)大國,制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一,主要產品產量穩(wěn)居世界前列.為深入推進傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升,全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力,某設備生產企業(yè)對現有生產設備進行技術攻堅突破.設備生產的零件的直徑為(單位:.(1)現有舊設備生產的零件共8個,其中直徑大于的有4個.現從這8個零件中隨機抽取3個.記表示取出的零件中直徑大于的零件的個數,求的分布列及數學期望;(2)技術攻堅突破后設備生產的零件的合格率為,每個零件是否合格相互獨立.現任取6個零件進行檢測,若合格的零件數超過半數,則可認為技術攻堅成功.求技術攻堅成功的概率及的方差;(3)若技術攻堅后新設備生產的零件直徑,從生產的零件中隨機取出10個,求至少有一個零件直徑大于的概率.參考數據:若,則,,,,.13.(2024春?南通期中)“五一”假期期間是旅游的旺季,某旅游景區(qū)為了解不同年齡游客對景區(qū)的總體滿意度,隨機抽取了“五一”當天進入景區(qū)的青、老年游客各120名進行調查,得到下表:滿意不滿意青年8040老年10020(1)依據小概率值的獨立性檢驗,能否認為“是否滿意”與“游客年齡”有關聯(lián);(2)若用頻率估計概率,從“五一”當天進入景區(qū)的所有游客中任取3人,記其中對景區(qū)不滿意的人數為,求的分布列與數學期望.附:,其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814.(2024春?泉山區(qū)校級期中)隨著春季學期開學,郴州市市場監(jiān)管局加強了對學校食堂食品安全管理,助力推廣校園文明餐桌行動,培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念,以“小餐桌”帶動“大文明”,同時踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學食堂每天都會提供,兩種套餐供學生選擇(學生只能選擇其中的一種),經過統(tǒng)計分析發(fā)現:學生第一天選擇套餐的概率為,選擇套餐的概率為,而前一天選擇了套餐的學生第二天選擇套餐的概率為,選擇套餐的概率為;前一天選擇套餐的學生第二天選擇套餐的概率為,選擇套餐的概率也是,如此往復.記同學甲第天選擇套餐的概率為.(1)求同學甲第二天選擇套餐的概率;(2)證明:數列為等比數列;(3)從該校所有學生中隨機抽取100名學生統(tǒng)計第二天選擇去餐廳就餐的人數,用表示這100名學生中恰有名學生選擇去餐廳就餐的概率,求取最大值時對應的的值.15.(2024春?江陰市期中)“國家反詐中心”集合報案助手、舉報線索、風險查詢、詐騙預警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體,是名副其實的“反詐戰(zhàn)艦”年該于各大官方應用平臺正式上線,某地組織全體村民注冊,并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試,隨機抽取其中100份問卷,統(tǒng)計測試得分,將數據按照,,,,,,,分成5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值及這100份問卷的平均分(同一組數據用該組數據區(qū)間的中點值代替);(2)若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”,不低于90分的村民“防范意識強”.現從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會,再從這7人中隨機抽取3人,記抽取的3人中“防范意識強”的人數為,求的分布列和數學期望.16.(2024春?南通月考)為推動黨史學習教育工作扎實開展,營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍,某校黨委決定在教師黨員中開展“學黨史”知識競賽.該校理綜支部經過層層篩選,還有最后一個參賽名額要在甲,乙兩名教師中間產生,支部書記設計了兩種測試方案供兩位教師選擇.方案一:從裝有6個不同問題的紙盒中依次有放回抽取4個問題作答;方案二:從裝有6個不同問題的紙盒中依次不放回抽取4個問題作答.已知這6個問題中,甲,乙兩名教師都能正確回答其中的4個問題,且甲,乙兩名教師對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的.假設甲教師選擇了方案一,乙教師選擇了方案二.(1)求甲,乙兩名教師都只答對2個問題的概率;(2)若測試過程中每位教師答對1個問題得2分,答錯得0分.你認為安排哪位教師參賽比較合適?請說明理由.17.(2024春?啟東市期中)為適應社會化安全宣傳新形勢新要求,充分發(fā)揮區(qū)域特色和示范效應,深入推進安全宣傳進企業(yè)、進農村、進社區(qū)、進學校、進家庭,普及安全知識、培育安全文化,某單位用簡單隨機抽樣的方法從,兩個社區(qū)中抽取居民進行滿意度調查,調查中有“滿意”和“不滿意”兩個選項,調查的部分數據如下表所示:社區(qū)居民意見合計滿意不滿意社區(qū)3045社區(qū)55合計25(1)完成列聯(lián)表,并根據相關數據判斷是否有的把握認為居民滿意度與所在社區(qū)有關?(2)現從“不滿意”的居民中隨機抽取2位居民進行深入調研,用表示抽取的“不滿意”的居民來自社區(qū)的人數,求隨機變量的分布列及數學期望.附:0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.(2024春?啟東市期中)某技術部門需研發(fā)新型材料,研發(fā)過程中發(fā)現每次實驗會得到型材料和型材料之一.為測試新型材料是否能夠穩(wěn)定投產,制定了以下測試規(guī)則:每一輪測試都會進行兩次實驗,若兩次實驗均得到型材料,則測試成功并停止測試;否則將加大催化劑的劑量并進行新一輪的測試.已知第輪測試中每次實驗得到型材料的概率為.(1)如果最多進行3輪測試(第三輪測試不成功也停止測試),記測試輪數為隨機變量,求的分布列和數學期望;(2)如果最多可進行輪測試(第輪測試不成功也停止測試),記為在第,2,,輪測試成功的概率,則測試成功的概率為.求(4)的值;求證:.19.(2024春?廣陵區(qū)校級月考)已知甲社區(qū)有120人計劃去四川旅游,他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個去旅游,將這120人分為東、西兩小組,兩組的人數相等,已知東小組中去峨眉山的人數是去青城山人數的兩倍,西小組中去峨眉山的人數比去青城山的人數少10.(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為游客的選擇與所在的小組有關;去峨眉山旅游去青城山旅游合計東小組西小組合計(2)在東小組的游客中,以他們去青城山旅游的頻率為乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率,從乙社區(qū)任選3名游客,記這3名游客中去青城山旅游的人數為,求及的數學期望.參考公式:,.0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(2024春?如皋市月考)現有兩個靜止且相互獨立的粒子經過1號門進入區(qū)域一,運行一段時間后,再經過2號門進入區(qū)域二,繼續(xù)運行.兩粒子經過1號門后由靜止等可能變?yōu)椤靶D”運動狀態(tài)或“不旋轉”運動狀態(tài),并在區(qū)域一中保持此運動狀態(tài)直到兩粒子到2號門,經過2號門后,兩粒子運動狀態(tài)發(fā)生改變的概率為(運動狀態(tài)發(fā)生改變即由區(qū)域一中的“旋轉”運動狀態(tài)變?yōu)閰^(qū)域二中的“不旋轉”運動狀態(tài)或區(qū)域一中的“不旋轉”運動狀態(tài)變?yōu)閰^(qū)域二中的“旋轉”運動狀態(tài)),并在區(qū)域二中一直保持此運動狀態(tài).(1)求兩個粒子經過1號門后為“旋轉”運動狀態(tài)的條件下,經過2號門后狀態(tài)不變的概率;(2)若經過2號門后“旋轉”運動狀態(tài)的粒子個數為2,求兩個粒子經過1號門后均為“旋轉”運動狀態(tài)的概率;(3)將一個“旋轉”運動狀態(tài)的粒子經過2號門后變?yōu)椤安恍D”運動狀態(tài),則停止經過2號門,否則將一個“旋轉”運動狀態(tài)的粒子再經過2號門,直至其變?yōu)椤安恍D”運動狀態(tài).設停止經過2號門時,粒子經過2號門的次數為,2,3,4,,.求的數學期望(用表示).21.(2024春?廣陵區(qū)校級月考)某企業(yè)響應國家“強芯固基”號召,為匯聚科研力量,準備科學合理增加研發(fā)資金.為了解研發(fā)資金的投入額(單位:千萬元)對年收入的附加額(單位:千萬元)的影響,對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進行研究,得到相關數據如下:年份2017201820192020202120222023投入額103040608090110年收入的附加額3.204.004.806.007.307.459.25(1)求關于的線性回歸方程;(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于0.1,則稱對應的年份為“優(yōu)”,從上面的7個年份中任意取3個,記表示這三個年份為“優(yōu)”的個數,求的分布列及數學期望.參考數據:,,.附:回歸方程的斜率和極距的最小二乘估計公式分別為:,.22.(2023春?丹陽市校級期末)2017年某市政府為了有效改善市區(qū)道路交通擁堵狀況出臺了一系列的改善措施,其中市區(qū)公交站點重新布局和建設作為重點項目.市政府相關部門根據交通擁堵情況制訂了“市區(qū)公交站點重新布局方案”,現準備對該“方案”進行調查,并根據調查結果決定是否啟用該“方案”.調查人員分別在市區(qū)的各公交站點隨機抽取若干市民對該“方案”進行評分,并將結果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.相關規(guī)則為:①調查對象為本市市民,被調查者各自獨立評分;②采用百分制評分,,內認定為滿意,不低于80分認定為非常滿意;③市民對公交站點布局的滿意率不低于即可啟用該“方案”;④用樣本的頻率代替概率.(Ⅰ)從該市800萬人的市民中隨機抽取5人,求恰有2人非常滿意該“方案”的概率;并根據所學統(tǒng)計學知識判斷該市是否啟用該“方案”,說明理由.(Ⅱ)已知在評分低于60分的被調查者中,老年人占,現從評分低于60分的被調查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿意的原因,并從中抽取3人擔任群眾督查員,記為群眾督查員中的老人的人數,求隨機變量的分布列及其數學期望.23.(2023春?海安市校級期中)某工廠的某種產品成箱包裝,每箱200件,每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產品中任取20件作檢驗,再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為,且各件產品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點.(2)現對一箱產品檢驗了20件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確定的作為的值.已知每件產品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(?。┤舨粚υ撓溆嘞碌漠a品作檢驗,這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為,求;(ⅱ)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據,是否該對這箱余下的所有產品作檢驗?一.選擇題(共1小題)1.(2023?甲卷)某地的中學生中有的同學愛好滑冰,的同學愛好滑雪,的同學愛好滑冰或愛好滑雪,在該地的中學生中隨機調查一位同學,若該同學愛好滑雪,則該同學也愛好滑冰的概率為A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1二.多選題(共1小題)2.(2024?山東)為了解推動出口后的畝收入(單位:萬元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動出口后畝收入的樣本均值,樣本方差,已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布,,假設推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布,,則(若隨機變量服從正態(tài)分布,則A. B. C. D.三.填空題(共1小題)3.(2024?天津),,,,五種活動,甲、乙都要選擇三個活動參加,甲選到的概率為;已知乙選了活動,他再選擇活動的概率為.四.解答題(共7小題)4.(2024?北京)已知某險種的保費為0.4萬元,前3次出險每次賠付0.8萬元,第4次賠付0.6萬元.賠償次數01234單數800100603010在總體中抽樣100單,以頻率估計概率:(1)求隨機抽取一單,賠償不少于2次的概率;(2)毛利潤是保費與賠償金額之差.設毛利潤為,估計的數學期望;若未賠償過的保單下一保險期的保費下降,已賠償過的增加.估計保單下一保險期毛利潤的數學期望.5.(2023?全國)盒中有4個球,分別標有數字1、1、2、3,從中隨機取2個球.(1)求取到2個標有數字1的球的概率;(2)設為取出的2個球上的數字之和,求隨機變量的分布列及數學期望.6.(2023?北京)為了研究某種農產品價格變化的規(guī)律,收集到了該農產品連續(xù)40天的價格變化數據,如表所示,在描述價格變化時,用“”表示“上漲”,即當天價格比前一天價格高;用“”表示“下跌”,即當天價格比前一天價格低;用“0”表示“不變”,即當天價格與前一天價格相同.時段價格變化第1天到第20天00000第21天到第40天00000用頻率估計概率.(Ⅰ)試估計該農產品“上漲”的概率;(Ⅱ)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的,在未來的日子里任取4天,試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率;(Ⅲ
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