北京市門(mén)頭溝區(qū)3月高三年級(jí)綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（理）

北京市門(mén)頭溝區(qū)2019年3月高三年級(jí)綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（理）一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={x|y=xA.(-1,3) B.[0,3) C.(-【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}，

B={x|y=x}={x|x≥0}，

∴A∩B={x|0≤x<3}=[0,3)．

故選：B．

復(fù)數(shù)z滿足z=2i1-i，那么|z|是A.2 B.22 C.2 D.【答案】A【解析】解：∵z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i，一個(gè)體積為123正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的左視圖的面積為()

A.63 B.8 C.83 D.【答案】A【解析】解：設(shè)棱柱的高為h，

由左視圖知，底面正三角形的高是23，由正三角形的性質(zhì)知，其邊長(zhǎng)是4，

故底面三角形的面積是12×23×??4=43

由于其體積為123，故有h×43=123，得h=3

由三視圖的定義知，側(cè)視圖的寬即此三棱柱的高，故側(cè)視圖的寬是3，其面積為3×23如圖的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個(gè)選項(xiàng)中的()A.c>x

B.x>c

C.c>b

D.b>c

【答案】A【解析】解：由流程圖可知：

第一個(gè)選擇框作用是比較x與b的大小，

故第二個(gè)選擇框的作用應(yīng)該是比較x與c的大小，

∵條件成立時(shí)，保存最大值的變量X=C

故選：A．

根據(jù)流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，由于該題的目的是選擇最大數(shù)，因此根據(jù)第一個(gè)選擇框作用是比較x與b的大小，故第二個(gè)選擇框的作用應(yīng)該是比較x與c的大小，而且條件成立時(shí)，保存最大值的變量X=C．

本題主要考察了程序框圖和算法，是一種常見(jiàn)的題型，屬于基礎(chǔ)題．

已知向量a，b滿足|a|=|b|=1，且其夾角為θ，則“|a-b|>1”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】解：∵|a|=|b|=1，且其夾角為θ；

∴①由|a-b|>1得：

(a-b)2=a2-2a?b+b2=1-2cosθ+1>1；

∴cosθ<12；

又0≤θ≤π；

∴π3<θ≤π；

即θ∈(π3,π]；

∴|a-b|>1是θ∈(π3,π]的充分條件；

②由θ∈(π3,π]得：

cosθ<12；

∴1-2cosθ+1>1；

∴a2-2a?b+b2=(a-b)2>1；

如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是()A. B.

C. D.【答案】D【解析】解：對(duì)于A，AB為體對(duì)角線，MN，MQ，NQ分別為棱的中點(diǎn)，由中位線定理可得它們平行于面對(duì)角線，

連接另一條面對(duì)角線，由三垂線定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；

對(duì)于B，AB為上底面的對(duì)角線，顯然AB垂直于MN，與AB相對(duì)的下底面的面對(duì)角線平行，且與直線NQ

垂直，可得AB垂直于平面MNQ；

對(duì)于C，AB為前面的面對(duì)角線，顯然AB垂直于MN，QN在下底面且與棱平行，

此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；

對(duì)于D，AB為上底面的對(duì)角線，MN平行于前面的一條對(duì)角線，此對(duì)角線與AB所成角為60°，

則AB不垂直于平面MNQ．

故選：D．

由中位線定理和異面直線所成角，以及線面垂直的判定定理，即可得到正確結(jié)論．

本題考查空間線面垂直的判定定理，考查空間線線的位置關(guān)系，以及空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．某學(xué)需要從3名男生和2名女生中選出4人，到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)參加活動(dòng)，其中甲社區(qū)需要選派2人，且至少有1名是女生；乙社區(qū)和丙社區(qū)各需要選派1人.則不同的選派方法的種數(shù)是()A.18 B.24 C.36 D.42【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，甲地需要選派2人且至少有1名女生，

若甲地分派2名女生，有C22=1種情況，

若甲地分配1名女生，有C21?C31=6種情況，

則甲地的分派方法有1+6=7種，

甲地安排好后，在剩余3人中，任選2人，安排在乙、丙兩地，有A32=6種安排方法，

則不同的選派方法的種數(shù)是7×6=42；

故選：D．

根據(jù)題意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和若函數(shù)f(x)圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)(A,B)稱為函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”且點(diǎn)對(duì)(A,B)與(B,A)可看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”.若函數(shù)f(x)=x2+2ex+m-1,x≤0x+e2x,x>0(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.718)A.m≤(e-1)2 B.m>(e-1【答案】C【解析】解：當(dāng)x≤0時(shí)，y=x2+2ex+m-1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=x2-2ex+m-1，

即y=-x2+2ex-m+1，x>0，

設(shè)h(x)=-x2+2ex-m+1，x>0，

條件等價(jià)為當(dāng)x>0時(shí)，h(x)與f(x)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則h(x)=-x2+2ex-m+1=-(x-e)2+e2+1-m，x>0，

當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)h(x)取得最大值h(e)=e2+1-m，

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+e2x，f'(x)=1-e2x2=x2-e2x2．

由f'(x)>0得x>e，此時(shí)二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）若x，y滿足條件x+y-1≤0x-y+1≥0y≥0，則【答案】2【解析】解：由x，y滿足條件x+y-1≤0x-y+1≥0y≥0作出可行域如圖，

由z=x+2y，得y=-12x+12z，

由圖可知，當(dāng)直線y=-12x+12z過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)A時(shí)直線在y軸上的截距最大，z最大．

聯(lián)立x-y+1=0x+y-1=0，解得A(0,1)．雙曲線C：2x2-y2【答案】y=±【解析】解：∵雙曲線2x2-y2=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x212-y2=1

∴a2=12，b2=1，可得a=22，b=1

又∵雙曲線x2a等比數(shù)列{an}中，S3=21，2a2=【答案】3×【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵S3=21，2a2=a3，

∴a1(1+q+q2)=21，2=q，

解得a1=3．

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式a已知直線l的參數(shù)方程為y=t-1x=t(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π)，若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)【答案】8【解析】解：由y=t-1x=t消去t可得y=x-1，其參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：x=1+22ty=22t(t為參數(shù))，

由ρsin2θ-4cosθ=0得ρ2sin2θ-4ρcosθ=0，得y2=4x，

聯(lián)立x=1+22ty=已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x+4y)的最值．

甲、乙兩位同學(xué)分別給出了兩種不同的解法：

甲：【答案】甲【解析】解：①甲正確，乙解法中兩次不等式中取等的條件不相同；

②已知x，y∈R+，求z=(a+b)(1a+1b)的最小值．

一半徑為4m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)(按逆時(shí)針?lè)较?3圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，即從圖中點(diǎn)P0開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．

(Ⅰ)當(dāng)t=5秒時(shí)點(diǎn)P離水面的高度______；

(Ⅱ)將點(diǎn)P距離水面的高度h(單位：m)表示為時(shí)間t(單位：s【答案】23+2【解析】解：(Ⅰ)t=5秒時(shí)，水輪轉(zhuǎn)過(guò)角度為3×2π60×5=π2，

在Rt△MOP0中，MP0=1，∴∠MOP0=π6；

在，Rt△AON中，∠AON=π3，∴AN=4×sinπ3=23，

此時(shí)點(diǎn)A(P)離開(kāi)水面的高度為23+2；

(Ⅱ)由題意可知，ω=3×2π60=π10，

設(shè)角φ(-π2<φ<0)是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角，

由條件得h(t)=4三、解答題（本大題共6小題，共80.0分）在△ABC中，且滿足已知(2a-c)cosB=bcosC．

(1)求∠B的大?。?/p>

(l)【答案】解：(1)△ABC中，(2a-c)cosB=bcosC，

由正弦定理可得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，

整理可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA，

又A為三角形內(nèi)角，sinA>0，

所以cosB=12，

由B為三角形內(nèi)角，可得B=60°【解析】(1)根據(jù)題意利用正弦定理，再進(jìn)行三角恒等變換求得cosB的值，從而求出B的值；

(2)由△ABC的面積公式，利用余弦定理求得b的值，再求△ABC的周長(zhǎng)．

在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”(簡(jiǎn)稱“創(chuàng)城”)活動(dòng)中，教委對(duì)本區(qū)A，B，C，D四所高中校按各校人數(shù)分層抽樣調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如表：學(xué)校ABCD抽查人數(shù)50151025“創(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)4010915(注：參與率是指：一所學(xué)?！皠?chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值)

假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與“創(chuàng)城”活動(dòng)是相互獨(dú)立的．

(Ⅰ)若該區(qū)共2000名高中學(xué)生，估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)；

(Ⅱ)在隨機(jī)抽查的100名高中學(xué)生中，從A，C兩學(xué)校抽出的高中學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求恰有1人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率；

(Ⅲ)若將表中的參與率視為概率，從A學(xué)校高中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】解：(Ⅰ)該區(qū)共2000名高中學(xué)生，

由分層抽樣性質(zhì)估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)為：

2000×50100×4050=800．

(Ⅱ)設(shè)事件A表示“抽取A校高中學(xué)生，且這名學(xué)生參與‘創(chuàng)城’活動(dòng)”，

事件C表示“抽取C校高中學(xué)生，且這名學(xué)生參與‘創(chuàng)城’活動(dòng)”，

則從A，C兩學(xué)校抽出的高中學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，

恰有1人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率：

P=P(AC-+A-C)=P(A)P(C-)+P(A-)P(C)

=

X0

1

2

3

P

1

12

48

64∵X～B【解析】(Ⅰ)由分層抽樣性質(zhì)估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)．

(Ⅱ)設(shè)事件A表示“抽取A校高中學(xué)生，且這名學(xué)生參與‘創(chuàng)城’活動(dòng)”，事件C表示“抽取C校高中學(xué)生，且這名學(xué)生參與‘創(chuàng)城’活動(dòng)”，則從A，C兩學(xué)校抽出的高中學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，恰有1人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率：P=P(AC-+A-C)=P(A)P(C-)+P(A-)P(在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=6，F(xiàn)是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：BD⊥CF．

(Ⅱ)若AF=2．

(i)求PC與平面BDF所成角的正弦值；

(ii)側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過(guò)點(diǎn)E的一條直線，使得該直線上任一點(diǎn)M與【答案】(I)證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴PA⊥BD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

又CF?平面PAC，

∴BD⊥CF．

(II)解：(i)設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，平面ABCD過(guò)點(diǎn)O的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(33,0，0)，D(-33,0，0)，F(xiàn)(0,-3,2)，C(0,3，0)，P(0,-3,6)，

∴CP=(0,-6,6)，DB=(63,0，0)，BF=(-33,-3,2)，

設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y，z)，則n?DB=0n?BF=0，即63x=0-33x-3y+2z=0，

令y=2可得z=3，即n=(0,2，3)，

∴cos<n，CP>=n?CP|n||CP|=0-12+1813×62=2626．

∴PC與平面BDF所成角的正弦值為|cos【解析】(I)證明BD⊥平面PAC即可得出BD⊥CF；

(II)(i)建立空間坐標(biāo)系，求出平面BDF的法向量n，計(jì)算n和CP的夾角的余弦值即可；

(ii如圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與此橢圓相交于D，E兩點(diǎn)，且△F2DE的周長(zhǎng)為8，橢圓C的離心率為22．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(0,1)與點(diǎn)Q(0,2)，過(guò)P的動(dòng)直線l(不與x軸平行)【答案】解：(Ⅰ)∵△F2DE的周長(zhǎng)為8，

∴4a=8，即a=2，

∵e=ca=22，

∴c=2，

∴b2=a2-c2=2，

故橢圓C的方程為x24+y12=1

(Ⅱ)(i)證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸兩端點(diǎn)，滿足Q，A，B1三點(diǎn)共線．

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+1，

聯(lián)立y=kx+1x24+y22=1，得【解析】(Ⅰ)由三角形的周長(zhǎng)可得a=2，根據(jù)離心率可得c=2，即可求出b2=2，則橢圓方程可求；

(Ⅱ)(i)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸兩端點(diǎn)，滿足Q，A，B'三點(diǎn)共線.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用向量證明．

(ii)由已知f(x)=axex在點(diǎn)(0,0)處的切線與直線y=x-2平行．

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值；

(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)-【答案】解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)=axex，則f'(x)=aex(x+1)，

由題意知x=0時(shí)，f'(0)=a=1，即a的值為1；