6.1.3全概率公式課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

1.3全概率公式第六章概率北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.結(jié)合古典概型,會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.2.了解貝葉斯公式.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

全概率公式1.定義當(dāng)直接計(jì)算P(A)困難時(shí),可先找出樣本空間的一個(gè)劃分

設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對(duì)任意一個(gè)事件A有P(A)=P(Bi)P(A|Bi).稱上式為全概率公式.如果我們把Bi看成導(dǎo)致事件A發(fā)生的各種可能“原因”,那么,全概率公式告訴我們:事件A發(fā)生的概率恰好是事件A在這些“原因”下發(fā)生的條件概率的平均.2.運(yùn)用全概率公式的一般步驟如下:(1)求出樣本空間Ω的一個(gè)劃分B1,B2,…,Bn;(2)求P(Bi)(i=1,2,…,n);(3)求P(A|Bi)(i=1,2,…,n);(4)求目標(biāo)事件的概率P(A).名師點(diǎn)睛全概率公式的直觀解釋已知事件A的發(fā)生有各種可能的情形Bi(i=1,2,…,n),事件A發(fā)生的概率,就是各種可能情形Bi發(fā)生的概率與已知在Bi發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率的乘積之和.在實(shí)際問題中,由于隨機(jī)事件的復(fù)雜性,有時(shí)很難直接求得事件A發(fā)生的概率,因此我們可以分析事件A發(fā)生的各種可能情形,化整為零地去分解事件A,然后借助于全概率公式間接求出事件A發(fā)生的概率.思考辨析有三個(gè)不透明的盒子,分別編號(hào)為1,2,3,其中1號(hào)盒裝有1個(gè)紅球和4個(gè)白球,2號(hào)盒裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球,3號(hào)盒裝有3個(gè)紅球,這些球除顏色外完全相同,某人從中隨機(jī)取一盒,再?gòu)闹腥我馊〕鲆磺?求取得紅球的概率.提示

設(shè)事件Bi表示“球取自i號(hào)箱”(i=1,2,3),事件A表示“取得紅球”,其中B1,B2,B3兩兩互斥,A發(fā)生總是伴隨著B1,B2,B3之一同時(shí)發(fā)生,即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A兩兩互斥,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A),再對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)全概率公式為概率論中的重要公式,它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件B的概率求解問題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題.(

)(2)所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟有多種可能,在這多種可能中,均有所研究的事件發(fā)生,這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式.(

)(4)全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率,是求最后結(jié)果的概率.(

)(5)已知5%的男人和0.25%的女人患色盲,假設(shè)男人、女人各占一半,現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人,則此人恰是色盲的概率為0.0525.(

)√√√√×2.[人教A版教材習(xí)題]現(xiàn)有12道四選一的單選題,學(xué)生小君對(duì)其中9道題有思路,3道題完全沒有思路.有思路的題做對(duì)的概率為0.9,沒有思路的題只好任意猜一個(gè)答案,猜對(duì)答案的概率為0.25.小君從這12道題中隨機(jī)選擇1題,求他做對(duì)該題的概率.3.[人教A版教材習(xí)題]甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球,其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球,乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,如果點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球;如果點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球.求摸到紅球的概率.知識(shí)點(diǎn)2

貝葉斯公式設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分,若P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則

,稱上式為貝葉斯(Bayes)公式.名師點(diǎn)睛對(duì)貝葉斯公式的理解P(B)是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)的,通常稱為先驗(yàn)概率;獲取了新信息后算出的概率P(B|A),通常稱為后驗(yàn)概率.貝葉斯公式指出的是,通過先驗(yàn)概率以及其他信息,可以算出后驗(yàn)概率.實(shí)際上,貝葉斯公式可以看成要根據(jù)事件發(fā)生的結(jié)果找原因,看看這一結(jié)果由各種可能原因?qū)е碌母怕适嵌嗌?自主診斷1.貝葉斯公式是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下,尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率嗎?解

是.2.[人教A版教材習(xí)題]兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品,第一批占40%,次品率為5%;第二批占60%,次品率為4%.將兩批產(chǎn)品混合,從混合產(chǎn)品中任取1件.(1)求這件產(chǎn)品是合格品的概率;(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批產(chǎn)品的概率(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位).解

設(shè)事件B=“任取1件產(chǎn)品是合格品”,事件A1=“產(chǎn)品取自第一批”,

事件A2=“產(chǎn)品取自第二批”,則Ω=A1∪A2,且A1與A2互斥.由題意得P(A1)=0.4,P(A2)=

0.6,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.96.(1)由全概率公式,得P(B)=

P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=

0.4×0.95+0.6×0.96=0.956.3.[人教A版教材習(xí)題]在A,B,C三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感,這三個(gè)地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為5∶7∶8,現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人.(1)求這個(gè)人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人選自A地區(qū)的概率.解

設(shè)A=“選取的人患流感”,用B1,B2,B3分別表示選取的人來自A,B,C地區(qū),重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一全概率公式及其應(yīng)用【例1】

甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)無人機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7.無人機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,無人機(jī)必定被擊落,求無人機(jī)被擊落的概率.解

設(shè)B=“無人機(jī)被擊落”,Ai=“無人機(jī)被i人擊中”,i=1,2,3,則B=A1B+A2B+A3B,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1,由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3).為求P(Ai),設(shè)H1=“無人機(jī)被甲擊中”,H2=“無人機(jī)被乙擊中”,H3=“無人機(jī)被丙擊中”,則P(H1)=0.4,P(H2)=0.5,P(H3)=0.7,規(guī)律方法

用全概率公式求概率的規(guī)律方法(1)實(shí)質(zhì):為了求復(fù)雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個(gè)互斥的簡(jiǎn)單事件之和,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡(jiǎn)單事件的概率,最后利用概率可加性,得到最終結(jié)果.(2)應(yīng)用:把事件A看作某一過程的結(jié)果,把B1,B2,…,Bn看作該過程的若干個(gè)原因,根據(jù)所給資料,每一原因發(fā)生的概率(即P(Bn))已知,而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度(即P(A|Bn))已知,則可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率(即P(A)).★變式訓(xùn)練1(1)已知有甲、乙、丙三個(gè)相同的盒子,其中甲盒中有1個(gè)白球、5個(gè)黑球,乙盒中有2個(gè)白球、4個(gè)黑球,丙盒中有1個(gè)白球、3個(gè)黑球,這些球除顏色外都相同,現(xiàn)從甲、乙、丙中任選一個(gè)盒子,從中取出1球恰為白球的概率為

.

(2)設(shè)一倉(cāng)庫(kù)中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品,其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、3箱、2箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1,0.2,0.3.從這10箱產(chǎn)品中任取一箱,再?gòu)倪@箱子中任取一件產(chǎn)品,求取得正品的概率.解

設(shè)A為事件“取得的產(chǎn)品為正品”,B1表示“任取一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”,B2表示“任取一件產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的”,B3表示“任取一件產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”,由題設(shè)知P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,P(B3)=0.2,P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.7,所以P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.5×0.9+0.3×0.8+0.2×0.7=0.83.所以取得的產(chǎn)品為正品的概率是0.83.探究點(diǎn)二貝葉斯公式及其應(yīng)用【例2】

甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了某種流行病,三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為

若三個(gè)地區(qū)人口相近,現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任意抽取一個(gè)人.(1)求此人感染此病的概率;(2)若此人感染此病,求此人來自乙地區(qū)的概率.解

將甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)依次編號(hào)為1,2,3,設(shè)Ai=抽取的人來自第i個(gè)地區(qū),i=1,2,3;B=抽取的人感染此病.規(guī)律方法

利用貝葉斯公式求概率的方法步驟

變式訓(xùn)練2一位教授去參加學(xué)術(shù)會(huì)議,他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車和汽車的概率分別為0.2,0.5,0.3,現(xiàn)在知道他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車和汽車遲到的概率分別為(1)求這位教授遲到的概率;(2)現(xiàn)在已經(jīng)知道他遲到了,求他乘坐的是飛機(jī)的概率.解

設(shè)事件A=“遲到”;B1=“乘飛機(jī)”;B2=“乘動(dòng)車”;B3=“乘汽車”.(1)所求概率為P(A),由全概率公式得P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練101.[探究點(diǎn)一]設(shè)A,B為兩個(gè)事件,已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,則P(B|)=(

)A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6C1234567892.[探究點(diǎn)二]設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為,現(xiàn)從這10盒中任取一盒,則取得的這盒X光片是次品的概率為(

)A.0.08 B.0.1

C.0.15

D.0.2A10123456789A101234567894.[探究點(diǎn)二]播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子、1.5%的三等種子、1%的四等種子.用一、二、三、四等種子結(jié)出的穗含有50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率為

.

0.482510解析

用B表示事件“這批種子任選一粒所結(jié)的穗含有50顆以上麥?！?從這批種子中任取一粒為一、二、三、四等種子的事件分別記為A1,A2,A3,A4,則P(A1)=95.5%,P(A2)=2%,P(A3)=1.5%,P(A4)=1%,P(B|A1)=0.5,P(B|A2)=0.15,P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.05,12345678910123456789105.[探究點(diǎn)一]甲袋中有3個(gè)白球,2個(gè)黑球,乙袋中有4個(gè)白球,4個(gè)黑球,今從甲袋中任取2球放入乙袋,再?gòu)囊掖腥稳?球,則該球是白球的概率為

.

解析

設(shè)A表示事件“從乙袋中取出的是白球”,Bi表示事件“從甲袋中取出的兩球恰有i個(gè)白球”,i=0,1,2.由全概率公式123456789106.[探究點(diǎn)一]某藥廠用從甲、乙、丙三地收購(gòu)而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥,三地的供貨量分別占40%,35%和25%,且用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.65,0.7和0.85,求從該廠產(chǎn)品中任意取出一件成品是優(yōu)等品的概率.解

設(shè)事件A1表示“藥材來自甲地”,事件A2表示“藥材來自乙地”,事件A3表示“藥材來自丙地”,事件B表示“抽到優(yōu)等品”;P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.65,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.85,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.65×0.4+0.7×0.35+0.85×0.25=0.717

5.123456789107.甲口袋中有3個(gè)紅球,2個(gè)白球和5個(gè)黑球,乙口袋中有3個(gè)紅球,3個(gè)白球和4個(gè)黑球,先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋,分別以A1,A2和A3表示由甲口袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件;再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出一球,以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論中正確的是(

)DB級(jí)關(guān)鍵能力提升練12345678910123456789108.(多選題)在一次對(duì)二年級(jí)學(xué)生上、下兩學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)調(diào)查中發(fā)現(xiàn),上、下兩學(xué)期成績(jī)均得優(yōu)的學(xué)生占5%,僅上學(xué)期得優(yōu)的占7.9%,僅下學(xué)期得優(yōu)的占8.9%,則(

)A.上、下兩學(xué)期均未得優(yōu)的概率約為0.95B.上、下兩學(xué)期均未得優(yōu)的概率約為0.782C.已知某學(xué)生上學(xué)期得優(yōu),則下學(xué)期也得優(yōu)的概率約為0.388D.已知某學(xué)生上學(xué)期得優(yōu),則下學(xué)期也得優(yōu)的概率約為0.139BC12345678910