專題2.5 有理數(shù)的乘除法（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（解析版）

專題2.10有理數(shù)的乘除法（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0．【要點(diǎn)提示】（1）不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．（2）當(dāng)因數(shù)中有負(fù)號(hào)時(shí)，必須用括號(hào)括起來(lái)，如-2與-3的乘積，應(yīng)列為(-2)×(-3)，不應(yīng)該寫成-2×-3．2.有理數(shù)的乘法法則的推廣：（1）幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；（2）幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0，那么積就等于0．【要點(diǎn)提示】（1）在有理數(shù)的乘法中，每一個(gè)乘數(shù)都叫做一個(gè)因數(shù)．(2)幾個(gè)不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定積的符號(hào)，然后把各因數(shù)的絕對(duì)值相乘．(3)幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個(gè)因數(shù)為0．3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：（1）乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：ab＝ba．（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．即：a(b+c)＝ab+ac．【要點(diǎn)提示】（1）在交換因數(shù)的位置時(shí)，要連同符號(hào)一起交換．（2）乘法運(yùn)算律可推廣為：三個(gè)以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個(gè)因數(shù)相乘．如abcd＝d(ac)b．一個(gè)數(shù)同幾個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這幾個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）運(yùn)用運(yùn)算律的目的是“簡(jiǎn)化運(yùn)算”，有時(shí)，根據(jù)需要可以把運(yùn)算律“順用”，也可以把運(yùn)算律“逆用”．【知識(shí)點(diǎn)二】有理數(shù)的除法1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．【要點(diǎn)提示】(1)“互為倒數(shù)”的兩個(gè)數(shù)是互相依存的.如-2的倒數(shù)是，-2和是互相依存的；(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒(méi)有倒數(shù)；倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)；互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù))．2.有理數(shù)除法法則：法則一：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即.法則二：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.【要點(diǎn)提示】一般在不能整除的情況下應(yīng)用法則一，在能整除時(shí)應(yīng)用法則二方便些．因?yàn)?沒(méi)有倒數(shù)，所以0不能當(dāng)除數(shù)．法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時(shí)先確定商的符號(hào)，再確定商的絕對(duì)值．【知識(shí)點(diǎn)三】有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算由于乘除是同一級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左往右的順序計(jì)算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后算出結(jié)果．【知識(shí)點(diǎn)四】有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如有括號(hào)，則先算括號(hào)里面的．第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：；(2)；；(4)．【答案】(1)0；(2)；(3)；(4)【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．解：（1）（2）；（3）（4）；【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)選項(xiàng)所給式子，逐個(gè)求解得到結(jié)果判定即可得到答案，熟練掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．解：A、，正確，符合題意；B、，錯(cuò)誤，不符合題意；C、，錯(cuò)誤，不符合題意；D、，錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【變式2】（2024·西藏拉薩·一模）小明與小剛規(guī)定了一種新運(yùn)算“”：若，是有理數(shù)，則，小明計(jì)算出，請(qǐng)幫小剛計(jì)算．【答案】16【分析】此題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，屬于新定義題型，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題中的新定義，將，代入計(jì)算，即可求出的值．解：根據(jù)題中的新定義得：．故答案為：．【題型2】多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算【例2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)1【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是熟記有理數(shù)乘法法則．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算便可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算便可．（1）解：（2）解：；．【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列各式中，結(jié)果是正數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，逐項(xiàng)判斷即可．解：A、，故A選項(xiàng)不符合題意；B、，故B選項(xiàng)不符合題意；C、，故C選項(xiàng)符合題意；D、，故D選項(xiàng)不符合題意，故選：C．【變式2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）已知整數(shù)滿足，且，那么．【答案】0【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法和加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，，得出，，，，然后求和即可．解：∵，又整數(shù)，∴，，，，∴．故答案為：0．【題型3】有理數(shù)的乘法運(yùn)算律【例3】（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握乘法分配律是解題的關(guān)鍵．（1）先將化成，再運(yùn)用乘法分配律計(jì)算即可；（2）逆用乘法分配律計(jì)算即可．解：（1）原式（2）原式；【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）在中，用到的乘法運(yùn)算律是（）A．乘法交換律 B．乘法結(jié)合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆運(yùn)算．【答案】B【分析】本題主要考查了乘法結(jié)合律，熟記運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律進(jìn)行分析即可．解：可得是運(yùn)用了乘法結(jié)合律．故選：B．【變式2】（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）計(jì)算：．【答案】1【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法分配律，根據(jù)乘法分配律把原式變形為，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減法即可．解：，故答案為：1．【題型4】有理數(shù)的除法運(yùn)算【例4】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：(2)(4)【答案】(1)4；(2)；(3)0；(4)【分析】本題主要考查了有理數(shù)除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)除法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）-（4）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；解：（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【變式1】（23-24九年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）要使的運(yùn)算結(jié)果最小，則“□”內(nèi)應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加減、有理數(shù)的乘除、有理數(shù)的比較大小，先根據(jù)運(yùn)算法則分別計(jì)算出各個(gè)選項(xiàng)添加的符號(hào)的結(jié)果，再比較大小即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．解：，，，，∵，∴“□”內(nèi)應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)為，故選：B．【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）規(guī)定，例如，則．【答案】【分析】此題考查有理數(shù)的除法，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出新的運(yùn)算方法，再利用新的運(yùn)算方法解決問(wèn)題．解：解：由題意可得：，，故答案為：．【題型5】有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算【例5】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：．(2)．【答案】(1)1(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除法，熟練掌握有理數(shù)的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．（1）（2）先根據(jù)有理數(shù)的除法法則計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；解：（1）（2）；【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)乘除運(yùn)算法則和混合運(yùn)算順序，依次計(jì)算即可解：．故選：A．【變式2】（23-24七年級(jí)上·湖南懷化·期中）定義一種新的運(yùn)算：，如，則=．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)，可以求得所求式子的值，本題得以解決．解：，∴；故答案為：【題型6】有理數(shù)乘除法的實(shí)際應(yīng)用【例6】（23-24七年級(jí)上·陜西榆林·期末）某市教育局倡導(dǎo)全民閱讀行動(dòng)，琪琪同學(xué)堅(jiān)持閱讀，她每天以閱讀分鐘為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的時(shí)間記作正數(shù)，不足的時(shí)間記作負(fù)數(shù)．下表是她最近一周閱讀情況的記錄（單位：分）.星期一二三四五六七與標(biāo)準(zhǔn)的差（分）（1）星期一琪琪閱讀了______分鐘；（2）琪琪這周閱讀時(shí)間最長(zhǎng)的一天比閱讀時(shí)間最短的一天多讀多少分鐘？（3）求琪琪這周平均每天的閱讀時(shí)間．【答案】(1)34(2)琪琪這周閱讀時(shí)間最長(zhǎng)的一天比閱讀時(shí)間最短的一天多讀分鐘(3)琪琪這周平均每天閱讀的時(shí)間為分鐘【分析】本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．（1）列出算式，再求出即可；（2）用其中最大的正整數(shù)減去最小的負(fù)整數(shù)即可；（3）先求出讀書的總時(shí)間，再除以即可．（1）解：（分鐘），即星期一琪琪閱讀了分鐘，故答案為：；（2）琪琪讀得最多的一天是星期六，最少的一天是星期三，（分鐘），即琪琪讀得最多的一天比最少的一天多了分鐘；（3）解：（分鐘），（分鐘），琪琪這周平均每天讀書的時(shí)間為分鐘．【變式1】（22-23七年級(jí)上·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）將2021減去它的，再減去余下的，再減去余下的，…最后減去余下的，差是()A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算；根據(jù)題意列出算式，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算即可求解．解：．故選：B．【變式2】（23-24七年級(jí)上·江西南昌·開(kāi)學(xué)考試）8名乒乓球運(yùn)動(dòng)員參加單打比賽，兩兩配對(duì)進(jìn)行淘汰賽，要決出冠軍，一共要比賽場(chǎng)．【答案】7【分析】本題考查有理數(shù)除法和加法的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意可知每2人賽一次，依此類推，最后選出一位冠軍，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得出最后的結(jié)果，注意不要重復(fù)和遺漏．解：由題意可知，第一次要比賽場(chǎng)，剩下4名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，第二次要比賽場(chǎng)，剩下2名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，第三次要比賽場(chǎng)，決出冠軍，所以一共要比賽場(chǎng)．故答案為：7．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問(wèn)織幾何？”意思是：現(xiàn)有一個(gè)不擅長(zhǎng)織布的女子，織布的速度越來(lái)越慢，并且每天減少的數(shù)量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問(wèn)一共織了多少布？A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，由題意可知每天減少的量一樣，由數(shù)的規(guī)律求和即可，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．解：由題意得，第一天織布尺，第天織布尺，∴一共織布（尺），故選：．【例2】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）“五月天山雪，無(wú)花只有寒”，反映出地形對(duì)氣溫的影響．大致海拔每升高100米，氣溫約下降．有一座海拔為2350米的山，在這座山上海拔為350米的地方測(cè)得氣溫是，則此時(shí)山頂?shù)臍鉁丶s為．【答案】－6或零下6【分析】根據(jù)題意“海拔每升高100米，氣溫約下降”，列出式子即可求解．解：山頂?shù)臍鉁丶s為故答案為：－6或零下6．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算（不帶乘方）的應(yīng)用，正負(fù)數(shù)的意義，理解題意是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（22-23七年級(jí)上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）我們知道乘法有分配律，遇到比較復(fù)雜的混合運(yùn)算時(shí)．有的時(shí)候可以運(yùn)用乘法分配律很容易去解決．（1）計(jì)算：（2）由于除法沒(méi)有分配律，在遇到除法的類似混合運(yùn)算時(shí)，我們計(jì)算會(huì)很困難，在學(xué)完倒數(shù)時(shí)，小明對(duì)這種除法的混合運(yùn)算有了自己的想法：先算這個(gè)式子的倒數(shù)，再利用倒數(shù)的意義得出原結(jié)果下面是小明的計(jì)算過(guò)程解