湖南省長(zhǎng)沙市2025屆新高三8月摸底考試 數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

湖南省長(zhǎng)沙市2025屆新高三8月摸底考試數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．34 B．35 C．36 D．384．已知，，，則（

）A． B．C． D．5．已知橢圓及圓O：，如圖，過點(diǎn)與橢圓相切的直線l交圓O于點(diǎn)A，若，則橢圓離心率的為（

）A． B． C． D．6．已知，，且有，則的最小值是（

）A．6 B．7 C．8 D．97．若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若存在滿足，且，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）．A．若是無理數(shù)，是有理數(shù)，則是無理數(shù)B．若，則C．若“，”是真命題，則D．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則10．若函數(shù)的兩條相鄰對(duì)稱軸距離為，且，則（

）A． B．點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸11．某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，設(shè)它的第n項(xiàng)，若序列的所有項(xiàng)都是2，且，，則（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知，則．13．在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．14．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球的體積為.四、解答題15．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．16．如圖，直三棱柱中，，為上一點(diǎn)，且.

(1)證明：平面平面；(2)若直三棱柱的體積為，求二面角的余弦值.17．已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率之積為，求的面積．18．在”五四”來臨之際，某學(xué)校團(tuán)委組織以“春風(fēng)吹，青春?jiǎn)⒑健睘橹黝}的知識(shí)競(jìng)賽，比賽分初賽和決賽兩個(gè)階段，甲、乙兩人進(jìn)入決賽爭(zhēng)奪冠軍，決賽規(guī)則如下：每輪答題獲得分，其概率為，獲得分，其概率為.最多進(jìn)行輪答題，某同學(xué)累計(jì)得分為分時(shí)，比賽結(jié)束，該同學(xué)獲得冠軍，另一同學(xué)獲得亞軍.(1)當(dāng)進(jìn)行完輪答題后，甲同學(xué)總分為，求的分布列及；(2)若累計(jì)得分為的概率為，（初始得分為分，）①求的表達(dá)式().②求獲得亞軍的概率.19．已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若，且對(duì)任意，，，都有，求實(shí)數(shù)a的最小值．參考答案：1．D【分析】解對(duì)數(shù)不等式求出，進(jìn)而求出交集.【詳解】，解得，故，因?yàn)?，所?故選：D2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)；【詳解】解：，，．故選：C．3．B【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得公差，從而求得得解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，因?yàn)椋瑒t，所以，則，所以，.故選：B.4．A【分析】利用對(duì)指函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】，，，所以.故選：A.5．A【分析】由條件列出的齊次方程，由此可求橢圓離心率的值.【詳解】由題意得是等邊三角形，則直線的傾斜角為，其斜率為，故直線的方程為，代入橢圓方程整理得，其判別式，化簡(jiǎn)可得，則，又，所以，故選：A.6．B【解析】由題設(shè)結(jié)合基本不等式可知，即，再結(jié)合不等式的性質(zhì)可知結(jié)論.【詳解】，利用基本不等式知，又，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．由不等式的同向可加性知：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是利用基本不等式轉(zhuǎn)化已知條件得到，即，考查學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．D【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)在上單調(diào)遞減，建立不等關(guān)系解出即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，由在上不可能單調(diào)遞增，則函數(shù)在上不可能單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D.8．B【分析】由正弦函數(shù)的有界性可得，對(duì)任意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，盡可能多讓，2，3，，取得最值點(diǎn)，然后作圖可得滿足條件的最小值．【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有，要使取得最小值，應(yīng)盡可能多讓取得最值點(diǎn)，考慮，且，按下圖取值即可滿足條件，則的最小值為6.故選：B.9．BCD【解析】舉反例可判斷選項(xiàng)A；利用基本不等式求最值可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二次函數(shù)的最小值大于等于求出的范圍可判斷選項(xiàng)C；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，將通分，即可求的值，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)，時(shí)，是有理數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可得，解得：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可得，，則，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.10．AB【分析】先利用題給條件求得的值，進(jìn)而求得函數(shù)的解析式，即可判斷選項(xiàng)A；整體代入法驗(yàn)證選項(xiàng)BD，利用正弦函數(shù)圖像性質(zhì)判斷選項(xiàng)C.【詳解】∵的兩條相鄰對(duì)稱軸距離為.∴，∴.∴.∵，∴，又，則.∴.∴選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由，可得函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)：.當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心為.B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，，∴在上不遞增，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，.可得對(duì)稱軸：，.∴不是對(duì)稱軸.或驗(yàn)證法把代入得，∴不是對(duì)稱軸.∴D錯(cuò)誤；故選：AB.11．BC【分析】設(shè)，根據(jù)累乘法求出，進(jìn)而求出即可．【詳解】設(shè)，序列的所有項(xiàng)都是2，，即，，，，解得：，，，，，，故選：BC．12．【分析】利用二倍角公式對(duì)化簡(jiǎn)后代值求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?3．【分析】利用已知條件求出的值，再利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可求得結(jié)果.【詳解】在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為，令，得各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為，則，得．展開式的通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于二項(xiàng)展開式的問題，注意一些常見結(jié)論的應(yīng)用：（1）二項(xiàng)式的系數(shù)和為；（2）令變量為，二項(xiàng)式的值為各項(xiàng)系數(shù)和.14．【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)，證明的中點(diǎn)就是三棱錐的外接球球心，得出半徑后可求體積．【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)榈酌妫云矫?，因?yàn)樗倪呅问橇庑危瑒t，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四點(diǎn)距離相等，即為三棱錐的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱錐的外接球體積為．故答案為：．15．(1)．(2)．【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角化結(jié)合三角恒等變換即可求解，（2）根據(jù)余弦定理求解，即可由正弦定理求解，進(jìn)而由銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1）∵，根據(jù)正弦定理得，，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，，，根?jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）幾何法：作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，利用勾股定理和相似比可得四邊形是平行四邊形，所以，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和判斷定理即可證明；向量法：利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)定理可得兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可；（2）由直三棱柱體積可得，利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)定理可得兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）方法一（幾何法）:如圖，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)椋?，所以，所以由等面積可得，由勾股定理得，所以，所以，又，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)橹比庵矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平?方法二（向量法）：因?yàn)?，所以，所以，由題知平面，又平面，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋裕矫嫫矫?（2）因?yàn)橹比庵捏w積為，所以，解得，所以，由題知平面，又平面，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為設(shè)二面角的大小為，則，易知為銳角，所以二面角的余弦值為.17．(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出，再根據(jù)漸近線方程及，求出，，得到雙曲線方程；（2）設(shè)出直線：，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)直線，的斜率之積為，列出方程，得到，得到直線方程，數(shù)形結(jié)合得到的面積.【詳解】（1）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，由一條漸近線方程為，得，而，解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率.（2）依題意，設(shè)直線：，，由消去y并整理得，顯然，則，，由，而，解得，于是，，直線：交y軸于，又，所以的面積為.

18．(1)分布列見解析，(2)①；②獲得亞軍的概率為【分析】（1）利用二項(xiàng)分布，來求概率即可；（2）①利用遞推思想，也就是要分析累計(jì)得分，可能是上一次累計(jì)得分，再得2分，也可能是上一次累計(jì)得分，再得1分，然后計(jì)算相應(yīng)的概率即可得到遞推關(guān)系；②有了遞推關(guān)系和首項(xiàng)，就可以用數(shù)列中的累加思想求通項(xiàng)，然后求出的值即可表示得冠軍的概率，而兩人爭(zhēng)奪冠亞軍是對(duì)立事件，所以利用對(duì)立事件概率求法即可解決問題.【詳解】（1）設(shè)進(jìn)行完輪答題時(shí)，得分的次數(shù)為，.，，隨機(jī)變量表示甲同學(xué)的總分，其可能取值為，，，，，，，所以的分布列為：3456（2）①當(dāng)時(shí)，即累計(jì)得分為分，是第一輪搶答得分，，則，累計(jì)得分為分的情況分兩種：（i），即累計(jì)得分為分，又一輪搶答得分，其概率為.（ii），即累計(jì)得分為分，又一輪搶答得分，其概率為.則，所以.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以.②由①得，，，，各式累加得：.而，所以.所以獲得冠軍的概率：.所以獲得亞軍的概率為：.19．（1）（2）（3）【分析】把代入函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在上是增函數(shù)，說明其導(dǎo)函數(shù)在上大于等于0恒成立，在導(dǎo)函數(shù)中x與恒大于0，只需對(duì)恒成立，則a可求；由知，當(dāng)時(shí)在上是增函數(shù)，任取，，且規(guī)定，則不等式可轉(zhuǎn)化為