2022年新高考數(shù)學各地市期末好題分類匯編06 解三角形（解析版）

專題06解三角形

一、單選題

1.（2022?湖北襄陽?高三期末）在AABC中，AC=2&，BC=4,則角8的最大值為（）

A.tB.工C.巳D.J

4326

【答案】A

【分析】

設A3=x,則x>0,利用基本不等式求出cosB的最小值，結(jié)合角8的取值范圍可求得角B的最大值.

【詳解】

設AB=x,則x>0,由余弦定理可得cosB=AB2+8CJ"《=立g=2+J.22、肉工=旦，

2AB-BC8x8xV8x2

當且僅當x=2式時，等號成立，因為0<8<乃，則Ov84f.

故選：A.

2.（2022?湖北省鄂州高中高三期末）在AABC中，A=1,G為AABC的重心，AG-AB=AG-AC=6?則

△4BC外接圓的半徑為（）

A.43B.竽C.2D.2G

【答案】C

【分析】

先由條件判定aABC為等邊三角形，再求得AABC的邊長，以正弦定理去求.那。外接圓的半徑即可解決.

【詳解】

^AGAB=AGAC，可得而=前s=0,則有AG_LBC

又在中，A=pG為"IBC的重:心，則△ABC為等邊三角形.

則而.而=|*；須+沅）.而=；（|阿+網(wǎng)）嗚）=；網(wǎng)2=6

lUm.j-1|叫12-

解之得卜q=26，則“1BC外接圓的半徑為耳乂一^二耳、訪=2

sin3T

故選:C

3.（2022,山東泰安,高三期末）在AABC中，“taMcssB"是'ABC為鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

由充分、必要關系的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷題設條件間的推出關系，即可確定答案.

【詳解】

由tanA<cosB：

若tanA<0,則A為鈍角;

若tanA>0,則0<sinA<cosAcosB<cosB=sin-8j,

此時吟故充分性成立.

△ABC為鈍角:角形,若8為鈍角,則tanCvcosB不成立;

??」1011。<88"'是，公48。為鈍角三角形”的充分不必要條件.

故選：A.

4.（2022?江蘇如東?高三期末）某校數(shù)學建模社團學生為了測量該校操場旗桿的高AB,先在旗桿底端的正

西方點C處測得桿頂?shù)难鼋菫?5。，然后從點C處沿南偏東30。方向前進20m到達點。處，在。處測得桿

頂?shù)难鼋菫?0。，則旗桿的高為（）

A.20mB.10mC.10>/3mD.世叵m

3

【答案】B

【分析】

根據(jù)條件確定相關各角的度數(shù)，表示出48，ARAC等邊的長度，然后在△4。中用余弦定理即可解得答

案.

【詳解】

如圖示，A8表示旗桿,

B

由題意可知：ZACB=45°,ZACD=60°,ZADB=30°,

所以設A8=x,則AD=J5X,AC=X,

在AACQ中，AD2=AC~±CD2-2xACxCDxcosZACD,

EP(>/3x)2=(x)2+(20)2-2XA：X20X1,解得x=10,(x=-20舍去),

2

故選：B.

二、多選題

三、填空題

5.(2022?山東萊西?高二期末)在△A8C中，CA=a?CB=b?"?■<(),卜卜5,卜卜3,若AABC的外接圓

的半徑為拽，則角。=.

3

【答案】y

【分析】

先根據(jù)正弦定理求出sinAsin8,再由條件確定NC為鈍角，NAN6為銳角，然后求出ssAcosB,再利用

sinC=sin(4+B)即可求得角C.

【詳解】

設角A&C的對邊分別為a,b,c,

由正弦定理」-----2_=2R=幽，

sinAsinB3

sinB='"isinA=—,

14J314V3

?.?a-^=|?||^|cosC<0,.,.cosC<0?

即NC為鈍角，N4NB為銳角，

3=卜(品J=5。3=>(右)4

1513911J5

:.sinC=sin(A+B)=sinAcosfi+cosAsinB=14x/314+146142

7

故答案為：—.

6.（2022?江蘇揚州?高Z2期末）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a",c,且。=75,人=三.若mb+nc

（?。?,〃＞0）有最大值，則巴的取值范圍是.

m

【答案】（別

【分析】

方法一：由已知結(jié)正弦定理可得6=2sin氏c=2sinC,從而可得血＞+〃。=2〃"巫cosC+（二一；）sin。],構(gòu)

2m1

造函數(shù)f（C）=*cosC+（^-1）sinC,利用導數(shù)求其最大值，從而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果，

方法二：由已知結(jié)正弦定理可得。=2sinB,c=2sinC,從而可得/汕+nc=2間立cosC+（“一；）sinC],構(gòu)

2tn1

造函數(shù)f（C）=?cosC+（--1）sinC,然后利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求得

2m2

【詳解】

法一：由題意可知，在々ABC中，由正弦定理可得，號=芻=&=-1三=2,

sinAsinBsinesin—

所以b=2sin8,c=2sinC1,

又8+C=y,

則/汕+〃c=〃L2sin3十〃.2sinC=2Msin(——C)+—sinC]

3m

=2/??[—cosC--^sinCH--sinC]

22m

=2znl—cosC+(---)sinC1?

2fn2

設F(C)=?cosC+(--i)sinC,則1(C)=-3sinC+

cosC,

2m22ni2

令/(C)=0,則一直sinC+(--i)cosC=0,

2ni2

即lanC=32G(0,6),

T

所以禺的"用

，則八(y>2).

m

法二由題意可知，在血。中，由正弦定理可得，急b_JL_

.c0,2TT—2,

sinBsinCsin一

3

所以6=2$in8,c=2sinC,

又8+C=q,

則，汕+〃c=*2sin8+"2sinC=2向sin(——C)+—sinC]

3m

=2m[—cosC—gsinCH--sinC]

22m

=2zw[—cosC+()sinC],

22

I___________-@

設/(C)=2間立cosC+(---)sinq=2zMj-+f---)sin(C+0),其中l(wèi)an/=—

2w2(m2)二」

m2

則當C十八不即。=會碰取到最大值,

cos伊

則此時tanC=tan(——^)—e(。,G)’

2sinQtan(pJ3

2

所以I>則=￡2).

w212Jm-

故答案為：(g，2)

【點睛】

關鍵點點睛：此題考查正弦定理的應用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，考查導數(shù)的應用，解題的關

鍵是由正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式得到"心+〃c=2制也cosC+)sin0,然后構(gòu)造函數(shù)/(C)

2m2

=@cosC+（--i）sinC利用導數(shù)或三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最值，從而可求得結(jié)果，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思

2m2

想和計算能力，屬于較難題

7.（2022?廣東揭陽?高三期末）如圖所示，在等腰直角AABC中，4B=AC=2,O為6C的中點，E,尸分別

為線段A8,AC上的動點，且NEOF=120.

（1）當時，則42的值為.

（2）的最大值為----------?

［答案］7+26叵+1

32

【分析】

第?個空：過點。作O0J_AC于點。，在Rt△。尸。中，可求出OF,從而在尸中，根據(jù)余弦定理即可

求出答案：第二空需要選擇恰當?shù)慕嵌缺硎境鋈?熊的值，再利用三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)

求解出最值.

【詳解】

當OE_LAB時，OE=\,過點。作OQJ.AC于點。,

在RsanlL8"皿小=3。,*蠡=專,

在△O￡F中，由余弦定理，得E尸=O爐+0尸一2OEO尸cosl2（r="友

3

A

EB

(2)設N0E4=a1：WaW普J,則N0E4=^—a,

過點。分別作ACME的垂線于D,G兩點，則。。=OG=1,

在與aOEG中，—^-=sin2a,—y-7=sin2[^--a\=sin2\a+^

OE~Vo)I6

所以一+-^=sin22+sin2(a+￥]=3sin(2a-X1+l,

OE2OF2{6)2[3}

所以當a喑時/表+蔡)皿「孝+L

c

8.(2022?山東青島?高三期末)已知AABC的三個內(nèi)角分別為A8,C,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，則角8

的取值范圍是:2sin8+6sin28最小值為.

【答案】?偵

13」3

【分析】

第一空：根據(jù)已知條件運用等差數(shù)列性質(zhì)以及正弦定理得到》=。+。，運用余弦定理和基本不等式即可求

解：

第二空：令/(B)=2sinB+/sin2B,對其求導后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)最值關系的知識即可求解.

【詳解】

因為sinAsin&sinC成等差數(shù)列，

所以2sinB=sinA+sinC,

在“1BC中，由正弦定理得：b=2/?sinB.a=2/?sin=27?sinC,

代入上式化筒得：2b=a+c，

在AABC中，由余弦定理得：

當且僅當q=￡,即a=b=c時，等號成立，

ca

又因為在△ABC中，OvBv乃，

所以0<842,即角8的取值范圍是（0弓.

令/（3）=2sin8+萬sin28,0<B<y,

則r（8）=2cos8+2bcos28=28s5+2>/5（2cos23—l）=4G8s28+2cos6—275,

令r（8）=4>/5cos2B+2cos8-2后=0,

得cosB---或cosB--，

23

又因為

所以4cos8<1,

2

則—<cosB--<1，

23

所以當；<cos8<爭寸，/（B）單調(diào)遞減：當冬cos3<l時，/⑻單調(diào)遞增.

所以當8sB=亭，即sin8=當時，取得最小值，

所以f（F）mjn=2sin/?+>/3sin=2sin￡?+2>/5sinficosB=+2-^xx.

故答案為：及5］：還

13」3

四、解答題

9.(2022?江蘇海安?高三期末)在平面四邊形48co中，ZBAD=2ZACB=4ZBACtAB=2,BC=R-丘,

CD=\fl3.

(1)求NAC8的大?。?/p>

(2)求四邊形A8CD的面積.

【答案】

(1)7

o

(2)4+5/3

【分析】

（1）根據(jù)正弦定理及二倍角公式即可求解;

（2）由（1）,分別運用正弦定理和余弦定理求出相關邊長，再由面積公式計算即可.

(1)

由題意，設=則NAC5=",ZCAD=3a,

在△他。中，由正弦定理有軍=鬻一.即且.解得cosa="+拉.

sinasin2a1cosa4

所以cos/ACB=cos2a=2cos%-l=2x("+應>一1=立,

42

因為0<NAC8c;r,所以乙4。8=二.

AC2

由(1),可知乙4BC=學,NC4O=f,由正弦定理有.=即正==了，解得AC=2啦,

44sinZABCsin2a——7

22

在△CAP中，由余弦定理有cosNCA。=-=巫,

2xACxAD2

2

niI8+AD-13V2

即------------=—解得AD=5,

2x2V2xAD2

四邊形ABCD的面積=Sx+SQD

=—xACxBCxsinZ.ACB+—xACxADxsinZ.CAD

22

=-X2>/2X(X/6-\/2)X-!-+-!-X2>/2X5X—

2222

=4+6.

10.（2022?江蘇通州?高三期末）從以下3個條件中選擇2個條件進行解答.①BA=3；?BC=x/7；③N4=

60。.在△ABC中，已知,。是AC邊的中點，且BD=幣,求AC的長及aABC的面積.

【答案】AC=2,三角形ABC的面積為更

2

【分析】

結(jié)合余弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.

【詳解】

選①?,

設AD=x,AC=2xyx>0,

由余弦定理得cosA=

2x3xx2x3x2工

所以AC=2x=2,cosA=--=—,

2x3x12

由于0°<A<180。，所以A=60。.

所以S.BC=—x3x2xsin60°=.

AAOL22

選①?,

設AD=x,AC=2x,x>0,

Q4.v2_71

:

由余弦定理得cosA=——----=-=>A,=1,

2x3xx2

所以4c=2x=2,

所以S.?c=-x3x2xsin60°=^^.

A/WL22

選②?,

設AD=x,AC=2x,x>0,AB=y,y>0,

在.角形Am中，由余弦定理得7=/+y2—2冷，?cos60。①,

在三角形ABC中，由余弦定理得7=（2x『+y2—2.2孫cos60。②,

由??解得x=l，y=3,

所以4C=2x=2,

所以S/=—x3x2xsin600=^^-.

22

A

11.(2022?江蘇揚州?高三期末)在①加十,2一2甘6s'②asinBisin(A+a③2人她答生這

三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.

在△4BC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,ZkABC的面積為S,

(1)求角4;

(2)若AC=2,8c=療，點。在線段AB.匕且△4CD與△BC。的面積比為4：5,求8的長.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答內(nèi)容計分)

【答案】

7T

(1)

3

(2)CD=-x/7

3

【分析】

(1)選①，利用余弦定理和三角形的面積公式求得A：選②，利用止弦定理、兩角和的正弦公式求得A：

選③利用正弦定理、兩角和的正弦公式求得A.

(2)利用余弦定理求得CO的長.

(1)

選①，因為尻+$一解=*退.S,由余弦定理按+2—々2=2兒cosA,

及S=^/?csin4得乃coM-gGxgocsirLA=0

所以siM=J5cosA,因為cosA#),所以ianA=G，

因為4f(0,7t),所以4=§.

選②，因為asin8=Ain(4十三)，及正弦定理=

3sinAsinB

所以可得sinAsinB=sin8sin(A4--)?

3

因為sinB#),所以sin4=sin(A+y),

.1..5/3.

sinAx=—sinA+——cosA，

22

所以sirtA=x/^cosA,因為cosAHO,所以tan4=?

因為(0,兀)，所以人=g.

bcosC+ccosB及正弦定理號=3=三:,

選③，因為2a=

cosAsinAsinBsinC

>sin5cosC+sinCcosB...sin(8+C)sinA

所以2sinA=------------------,即nrt2sinA=---------=-----.

cos/1cosAcosA

因為sinA#),所以cosA=g,又(0,兀)，所以A=g.

(2)

在△A5C中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACCOSA，

因為AC=2,BC=幣，A=—,所以7=43?+4-4xABxcos2,

33

解得48=3或A8=—l(舍),

4

因為△ACO與48CD面積比為4：5,所以40=一，

3

在三角形4c。中，由余弦定理得

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosA=21+(-)2-2x2x-cos-=—,

3339

即C￡>=2日

12.(2022?江蘇宿遷?高三期末)在①慶0$e-。卜限os5；②2sM=6嬴反;③taM+tanC+^=

5/3tanAtanC,這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.問題：在AABC中，內(nèi)角A8,C的

對邊分別為。也。，且.

(1)求角B：

(2)若AABC是銳角三角形，且c=4,求〃的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】

(1)答案見解析

(2)(2,8)

【分析】

(1)選擇①，運用正弦定理及同角三角函數(shù)關系求解；選擇②，運用面積公式及同角三角函數(shù)關系求解:

選擇③運用正切兩角和公式及同角三角函數(shù)關系求解.

(2)根據(jù)正弦定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求解

(1)

選擇①：條件即bsinC=>/5ccos5,由正弦定理可知，sinBsinC=-j3sinCeosB,

在“IBC中，及Ce(O,/r),所以sin8wO,sinCH。，

所以sin8=>/5cos8”且COSBHO,即tan8=\/5，所以3=?：

選擇②：條件即2xgacsinB=6cacosB,即sinB=>/3cosB，

在中，8G(0,兀)，所以sinBwO,則cosSwO,

所以tanB=>/3，所以B.

選擇③：條件即tanA+lanC=K(tanAtanC-1),

所以tan8=-tan(A+C)=-皿A+tanC=5

1-tanAtanC

在AABC中，及Cw(O,/r),所以8=?.

(2)

由(1)知，B=所以4=；r-B-C=^-C,

由正弦定理可知，csinA4Sm(T-CJ2G」

sinCsinCtanC

0<C<-,

由AABC是銳角三角形得，;所以

cA2兀L兀62

0<A=----C<—,

32

所以tanC>亭，所以2<。<8,故。的取值范圍為(2,8).

13.(2022?江蘇如東?高三期末)在①‘"；=」；；；②，1=￡，這兩個條件中任選一個，補充在下面問

cos4cos8tanAtanB

題中并作答.已知在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,.

(1)判斷△ABC的形狀：

(2)在(1)的條件下，若cosA=g，b=\Q,A。為8C邊上的中線，求A。的長.

5

【答案】

(1)選①，等腰三角形：選②，等腰三角形或直角三角形：

(2)選①，而：選②，病或I0近：

【分析】

(1)選①，由正弦定理變形后可得A=8；選②，由正弦定理及同角關系變形后，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得三

角形為等腰三角形或直角三角形；

(2)選①，由等腰三角形性質(zhì)求得底邊AB長，然后由余弦定理求得4。；

選②，三角形為等腰三角形時同選①，三角形為直角三角形時，由cosA求得tanA,然后求得8C,用勾股

定理求得AZ).

(1)

選①，'二二一二，由正弦定理理嗎=嗎，即tanA=tanB,又A3是三角形ABC內(nèi)角，所以A=

cosAcos8cosAcosB

△ABC是等腰三角形：

選②，——=——,由正弦定理得-n4=s‘nB,所以sin4cosA=sin8cos8,

tanAtanBtanAtanB

sin2A=sin2B,乂A。是銳角三角形內(nèi)角，所以2A=23或2A+23=萬，

所以A=8或4+B=],

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；

(2)

選①，A=B,則a=b=10,BD=5?AB=2/>cosA=2xl0x^^-=4>/5>

△ABD中，由余弦定理得:

AD2=AB2+BD2-2ABBDCOSB=(4b)2+52-2x4后x5xg=65,AD=底;

選②，A=B時同選①得4。=病，

A+8=g時，cosA=@，則sinA=2,tanA=2,所以BC=2AC=20，8=10,

255

所以4)=，4。2+82=1M-

14.(2022?江蘇如皋?高三期末)已知在△A8C中，。為邊8c上一點，8=10,2AC=3AD=45AB,cosZC4D=

31

(1)求AO的長;

(2)求sinB.

【答案】

(2)巫.

9

【分析】

⑴在AACD中，利用余弦定理建立方程求解作答.

(2)利用(1)的結(jié)論求出cosC,再在AABC中由正弦定理計算作答.

(1)

依題意,在△AC。中，由余弦定理得：aynAcz+ADZ-ZAOArJcosNCAf)，

22

即IO?=(|AD)+AD-2^ADADjf解得40=弓，

?0

所以的長是

(2)

20

在人!。。中，由⑴知，AC=10,由余弦定理得：cosC=AC+CD~~AD'10+10---(y)27,

2ACCD=~2xlQxl0--

則有sinC=Jl-cos?C=，在中，由正弦定理得：sinB=-^-sin。=與延=偵,

9AB299

所以sinB=^^~

9

15.(2022?江蘇無錫?高三期末)AABC中，角A8,C所對應的邊分別為己知”=G，tanA=3,

請在①csinA=3cosC：②(sinA-sinB)2=sin2C-sinA-sinB這兩個條件中任選一個，補充在上面

的橫線上并加以解答：(注：如果選擇多個條件分別解答，按第?個解答計分.)

(1)求角C：

(2)求AABC面積.

【答案】

力3+3>/3

8

【分析】

(1)若選①，則由正弦定理化簡算出tanC即可：若選②，先由正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可

(2)因為S38c=；acsinB,計算:c和sinB即可

(1)

若選①，則由a=°=csinA=asinC=J5sinC

sinAsinC

二esinC=3cosCntanC=百,

若選②，則sir?A-2sinAsinB+sin2B=sin2C-sinAsinB

a2+b2=c2+ab=>cosC="+"———=—?C=￡?

lab23

(2)

在tn廠山?A33\/iUVio

在中，，cos

△ABCsinA=Vl.—o=---i--o---A=-i-o---

一二c二回

由正弦定理ng而-

103

而?R?/。廠、3加1Vio石3x^04-730

而sin8=sin(A+C)=-----------+------x——=-----------------

10210220

&\.口\AM3加回3+3也

..S八A*=—tzcsinB=-xV3x-----x-----------------=-----------

△ABC222208

16.(2022?江蘇常州?高三期末)已知在四邊形ABC。中，4B=7,BC=13,CD=AD,且8sB=，

NBAD=2NBCD.

(1)求4G4：

(2)求AO.

【答案】

(2)7

【解析】

(1)

在AABC中，|ACf+|BC|2-2\AB^BC\cosB

則|AC|二^49+169-2x7x13x1=V192=8+

人\ACf+\BC2-ABf169+192-4973

cos/BCA=---------------------------

2\AC\BC2x13x8百-2

又在AABC中，0</BC4v;r,故乙BCA=}

6

(2)

設AD=CD=%,ZBAC=a,/BCA=0,ZACD=0,則NC4￡>=。，夕

ttlZBAD=2ZBCD即a+6=2(/?+。)可知,

即6=々-2￡=0-?

在△他。中，^.49119221699=3^

2x7x8614V314

13

又0<。<乃，則有sina=—

14

知A/乃、1工上.1373^73134>/3

故cos8=cos(a--)=—cosa+——sina=—x----+——x—=----

3222142147

在AACO中，A葉=14。2+仁比_2卜。(/)|858

即x2=(86)2+X2-2X8X/3x逑x,

7

解之得x=7,即AO的長為7

17.(2022?江蘇蘇州?高三期末)在①MC=2M8：②sinC=魯；③&.碗二石這三個條件中任選一個,

補充在下面問題(2)的橫線上，并解答下列題目.

在△ABC中，已知角A8,C的對邊分別為a,"e,且a=2幣,〃sin，；，=asin3.

(1)求A：

(2)若M為邊AC上一點,且NA8W=NE4C,,求AABC的面積.

(注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分)

【答案】

⑴x=f

⑵36

【分析】

(1)利用三角形內(nèi)角和以及誘導公式化簡加ingCuasinB,可得答案：

(2)若選①，根據(jù)邊長之間的關系，結(jié)合余弦定理，可求AC的長，再用面積公式求得答案.若選②，可直

接用正弦定理求得接著用余弦定理求MC,最后求得面積：若選③，則根據(jù)5%3二6直接求得人尺

再用余弦定理求得A/C,最后求得面積.

(1)

,.fi+C.n/口心?(4A)/A.

由hLsin-----=asinB,psin---------=Ocos—=asm8D.

22)2

AAA

由正弦定理得力cos—=bsinA=2Z?sin—cos—.

222

因為所以sin'=；,

所以g=￡，即4=￡.

263

(2)

選①，設BM=x，CM=2x.因為Z.ABM=NBAC=—.

3

27r

所以N3MC='.

3

24p-

由余弦定理得V+(2x)2-2-X-2x-cosy=(2V7)2,

解得X=2.

所以AC=6,所以AABC的面積S='?2-6sin2=36.

23

選②，因為/A8M=NB4C=工，所以N3MC=」.

33

BM_2V7

由正弦定理得面=.3,解得BM=2,

Nsm3

由余弦定理得22+SC?_2.2.MCcos—=(2>/7)2,

3

解得MC=4.

所以AC=6,所以的面積S='-2-6sin2=3&.

23

選③，因為乙4助0=/朋。=工，所以NBMC=3.

33

由S&WM=曰482=G，解得A8=2,所以8M=2.

由余弦定理得2?+MC2-2-2-A/C-cosy=(2^)2,

解得MC=4.

所以AC=6,所以△ABC的面積S='?2?6sin色=3G.

23

18.(2022?廣東揭陽?高三期末)在AABC中，角A,民C所對的邊分別為"c,且小cos8+加inA

(1)求角A；

(2)若&=百,且AABC的面積為立，且人〉c,求b和c的值.

2

【答案】

(1)A=-

3

(2)b=Zc=\

【分析】

(1)將已知條件利用正弦定理邊化角，然后根據(jù)誘導公式、兩角和的正弦公式化簡即可得答案：

(2)由余弦定理及三角形的面積公式列出方程組求解即可得答案.

(1)

解：在&ABC中，因為y/iacosB+bsinA=拒c，

所以由正弦定理可得V^siiiAcosB+sinBsi必=GsinC,

又?.?。=兀一(4+8),

所以瓜inAcosB+sinBsinA=>/3sin(A+B),即sinfisinA=限osAsinB，

,/sinB00,tanA=V3，

?.?4e(0,;r),.'.4=?.

(2)

b2+c2-2bccos—=a2=3,

解：由余弦定理及三角形面積公式得｛3"，即〈Z/+C，，一力Cc=3，

_1..^_V3be=2

Sc=_besin—=—

△八℃232

因為。>c,所以解得力=2,C=1.

19.(2022?廣東潮州?高三期末)在“1BC中，角A,B,C的對邊分別為小b,c,￡>cosC=a+—csinB,

3

(1)求角8的大小：

(2)若點。在邊AC上，且AD=2。。，BD=2,求△他C面積的最大值.

【答案】

(1)5=120°

⑵唯

2

【分析】

(1)由已知結(jié)合正弦定理得sin5cosC=sinA+且sinCsinB,而sin4=sin(B+。代入化簡可得tan〃=-G，

3

從而可求出角3的大小，

71-2一

(2)由點。在邊AC上，且A￡>=2Z)C,可得而=8/i+A￡j=&4+；*=-麗+-配\平方化簡后可得

333

4/+c2_2ac=36,再利用基本不等式可得“eV18,從而可求出面積的最大值

(1)

因為bcosC=a+—csinB,

3

所以由正弦定理得sin13cosC=sinA+立■sinCsin.

3

所以sinBcosC=sin(B+C)+-^y-sinCsinB，

百

所以sin3cosc=sinficosC+cosBsinC+—sinCsinB，

3

所以cosi?sinC——sinCsin8=(),

3

因為sinCwO，所以ianB=-、3,

因為0。<8<180。，所以3=120。

(2)

因為點。在邊AC上，且AD=2OC,

________2_.

所以麗=

=BA+-(W-BA)=-BA+-BC,

3、f33

所以而2=f-BA+-BC\=-BA-^-BABC^-BC,

U3J999

所以4="/+:"85與+《/,即4a2+c2-〃c=36，

因為4a2+c?N4ac,所以4ac-2wK36,即〃cKI8,當且僅當加=C時取等號，

所以△麗面積為Lacsin至W，xl8sin2=2叵，當且僅當勿=c,即a=3,c=6時取等號，

23232

所以.ABC面積的最大值為唯

2

20.(2022?廣東東莞?高三期末)AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為“、b、c,已知/=>cosC+c8sB.

(1)求。；

(2)若4=^,AABC的面積為立，求dBC的周長.

34

【答案】

(1)。=1：

(2)3.

【分析】

(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得。的值；

(2)利用三角形的面積公式可求得加，利用余弦定理可得出從+/的值，可求得b+c，的值，即可得解.

(1)

解：因為a?=6cosC+ccosS,由正弦定理得asinA=sinBcosC+sinCcosB，

即asinA=sin(B+C)，

由8+C=TT-A,得asinA=sin(8+C)=sinA,因為sin4>0,所以。=1.

(2)

解：由S△4CB=’bcsinA=@,A=g，得,力=解得bc=l,

“sc243224

[tla2=Z>2+c2-2bccosA?BPa2=b2+C2-be?b2+c2=2.

由(b+c『=戶+d+2Z>c=4,得6+c=2,

故a+b+c=3,所以“IBC的周長為3.

21.(2022?廣東羅湖?高三期末)設^ABC的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為〃、b、J且郎工二紇翌。

b

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若邊A8上的高為￡,求cosC.

【答案】

(1)B=f；

4

(2)cosC=-—?

5

【分析】

(1)利用余弦定理可求得tanB=l,結(jié)合角8的取值范圍可求得角8的值：

(2)利用三角形的面積公式可得出口=也小利用余弦定理可得出人=巫°,再代入85。=空等0即

44b

可得解.

(1)

解：由余弦定理，得一十=一1="—sin8,所以，a2+〃-c2=2n(a-csinB),

2abb

所以，b2=a2+c2-2acsinB，

又因為。2=.2+^2一N/ccosS.所以，sinB=cosB,則tanB=l,

?.?8€(0,乃)，因此，5=(.

(2)

解：因為AABC的面積S=1acsin5=4^〃c=J,則a=4^c,