幾何學(xué)的發(fā)展簡史

上海市第十中學(xué)數(shù)學(xué)教研組王沁[課前設(shè)計(jì)]中國古代是一個(gè)在世界上數(shù)學(xué)領(lǐng)先的國家，用近代數(shù)學(xué)科目來分類的話，可以看出：無論是算術(shù)、代數(shù)還是幾何、三角，中國古代數(shù)學(xué)在各方面都十分發(fā)達(dá)。而且在數(shù)學(xué)理論與實(shí)際需要的聯(lián)系中，創(chuàng)造出了與古希臘等歐洲國家風(fēng)格迥異的實(shí)用數(shù)學(xué)?？上У氖?，現(xiàn)行的教材對中國古代數(shù)學(xué)家的成就介紹得很少。即使教材中有，但是也基本上出現(xiàn)在閱讀材料中，幾乎沒有老師會去介紹，當(dāng)然，學(xué)生也很少去看。我本人接觸這些數(shù)學(xué)歷史知識也是拜賜學(xué)校提供的再學(xué)習(xí)機(jī)會。我校有一個(gè)由秦一嵐校長總負(fù)責(zé)、全校老師共同參與的市級課題：史情教育與各學(xué)科校本課程的整合。如何在數(shù)學(xué)學(xué)科上整合史情教育，在數(shù)學(xué)課中充分挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的民族精神內(nèi)涵，弘揚(yáng)中華民族精神和上海城市精神，滲透德育教育，探索出一條符合學(xué)生特點(diǎn)的教學(xué)方法，通過師生互動，能提高學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作精神，并提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，是擺在我面前的一個(gè)重要課題。為此，我做了以下幾方面的準(zhǔn)備。第一步，確定課題。高二正在上立體幾何，于是確定上幾何學(xué)（偏重立體幾何）的發(fā)展簡史。第二步，收集資料。主要是閱讀大量有關(guān)數(shù)學(xué)史的書籍。第三步，理清脈絡(luò)。把看到的大量信息進(jìn)行梳理，按照時(shí)間順序、內(nèi)容與教材內(nèi)容的相關(guān)程度、在幾何史上地位的重要性等方面進(jìn)行選取。第四步，組織教案。確定前一部分講幾何學(xué)發(fā)展簡史，后一部分讓學(xué)生用學(xué)習(xí)過的幾何知識（主要是立體幾何）來解決一些實(shí)際問題。數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，同時(shí)它也是學(xué)生比較薄弱的環(huán)節(jié)。中學(xué)里的數(shù)學(xué)內(nèi)容多半是純粹的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而現(xiàn)在國家提倡數(shù)學(xué)素質(zhì)教育,那么提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是其中重要的一環(huán)。為了提高同學(xué)對立體幾何的興趣，提高學(xué)生應(yīng)用立體幾何知識解決實(shí)際問題的能力，我選擇了四道應(yīng)用性較強(qiáng)的例題:平改坡問題,遮陽篷的角度,飛機(jī)高度測量和蜂巢表面積最小問題。鑒于學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)水平與能力，我沒有讓學(xué)生從數(shù)學(xué)實(shí)際問題出發(fā)自行建立數(shù)學(xué)模型，而是在幫助他們建立了數(shù)學(xué)模型后，指導(dǎo)學(xué)生如何看懂模型，如何聯(lián)系學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題。我希望通過我的課，能讓更多的學(xué)生了解數(shù)學(xué)的歷史，了解中國數(shù)學(xué)的歷史，為我國古代數(shù)學(xué)家的杰出貢獻(xiàn)而自豪。同時(shí)讓同學(xué)看到數(shù)學(xué)是多么有用的一門學(xué)科，多么有趣的一門學(xué)科，希望無論是數(shù)學(xué)成績好還是數(shù)學(xué)成績不理想的同學(xué)都能對數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)保持一分興趣。[教案]教學(xué)目標(biāo)：（1）讓學(xué)生大致了解幾何學(xué)（主要是立體幾何）學(xué)在中外的發(fā)展簡史；（2）通過使用古代數(shù)學(xué)家的方法解決問題，讓學(xué)生親身體會中國古代科學(xué)家的成就；（3）通過中外數(shù)學(xué)家的成就比較中外古代研究數(shù)學(xué)的思想的不同；（4）通過學(xué)習(xí)過的立體幾何知識來解決一些實(shí)際問題。教學(xué)重點(diǎn)：割補(bǔ)法應(yīng)用于解決實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化。教學(xué)過程：前言“《九章》所蘊(yùn)含的思想影響，必將日益顯著，在下一世紀(jì)中凌駕于《原本》思想體系之上，不僅不無可能，甚至說是殆成定局。”—吳文俊《匯校九章算術(shù)序》[引入]數(shù)學(xué)的歷史就是“數(shù)”與“形”的發(fā)展史。我們的先民在從野蠻走向文明的漫長歷程中，逐步認(rèn)識了數(shù)與形的概念?！靶巍钡囊庾R也許跟人類歷史一樣古老。例如：在中國出土的新石器時(shí)代的陶器大多為圓形或其他規(guī)則形狀，陶器上有各種幾何圖案，通常還有三個(gè)著地點(diǎn)，這些都是幾何知識的萌芽。古埃及在齊阿普斯王朝(公元前2900年左右)時(shí)代建造起來的金字塔,其塔基是一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”的正方形，各邊的誤差不超過萬分之六。希臘人創(chuàng)造了他們自己的文明和文化，對現(xiàn)代西方文化的發(fā)展影響最大，對今日數(shù)學(xué)的奠基起了決定作用。[新課講授]一﹑古希臘幾何學(xué)⒈古典時(shí)期(公元前600年到公元前300年)（1）泰勒斯（約前640—前546年）將埃及的實(shí)用幾何帶入希臘，開始證明幾何命題。（2）畢達(dá)哥拉斯（約前585—前500年）學(xué)派對圖形進(jìn)行廣泛的研究。開頭研究的一類問題叫面積應(yīng)用問題。幾何上有三個(gè)著名的作圖問題：作一正方形使其與給定的圓面積相等；給定正方體一邊，求作另一正方體之邊，使后者體積兩倍于前者體積；用尺規(guī)三等分任意角。有好些數(shù)學(xué)結(jié)果是為解決這三個(gè)問題而得出的副產(chǎn)品。（3）希波克拉底（前5世紀(jì)下半葉）已研究畫圓為方及立方倍積問題。據(jù)說最早把間接證明引用到數(shù)學(xué)里的是他。他所著的幾何書叫《幾何原本》，已經(jīng)失傳。（4）德謨克利特（約前460—前370年）發(fā)現(xiàn)棱錐和圓錐的體積分別等于同底等高的棱柱和圓柱體積的三分之一（但是證明是由歐道克斯作出的）。他的幾何著作很可能是歐幾里德《幾何原本》問世以前的重要著作。（5）亞里士多德（約前384—前322年）創(chuàng)造了演繹邏輯，雖然他的哲學(xué)對數(shù)學(xué)的直接影響很少，但對古希臘的論證幾何等數(shù)學(xué)的發(fā)展起到明顯的促進(jìn)作用。他給“定義”、“定理”、“公設(shè)”等以明確的解釋。（6）歐幾里德（前300年左右生活在亞歷山大城并在該處授徒）著《幾何原本》，確立幾何學(xué)的邏輯體系，成為世界上最早的公理化數(shù)學(xué)著作。《原本》共十三篇，第一篇到第四篇講直邊形和圓的基本性質(zhì)；第五篇講比例論；第六篇講相似形；第七、八、九篇是數(shù)論；第十篇是不可公度量的分類；第十一、十二、十三篇是立體幾何及窮竭法。西方曾有兩本影響最廣的書，一本是《圣經(jīng)》，另一本就是《幾何原本》。《原本》是使用時(shí)間最長的數(shù)學(xué)教科書?！对尽穼?shí)際上是古希臘古典時(shí)期一些個(gè)別發(fā)現(xiàn)的整理，是眾多學(xué)者智慧的結(jié)晶，歐幾里德對前人的成果加以整理、歸納、完善和發(fā)展，他依然是個(gè)大數(shù)學(xué)家。雖然它的內(nèi)容存在缺陷，而且與現(xiàn)代教學(xué)趨勢日益不相適應(yīng)，但從歷史的角度看，它確實(shí)是一部偉大的著作，無愧于“西方數(shù)學(xué)的代表作”的稱號。這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)僅僅是定性的。那個(gè)時(shí)期的知識分子只限于搞哲學(xué)和科學(xué)工作，不去搞商業(yè)和貿(mào)易；有教養(yǎng)的人不關(guān)心實(shí)際問題。他們就這樣把數(shù)學(xué)思維和實(shí)際需要割裂開來，而且數(shù)學(xué)家也沒有感到有去改進(jìn)算術(shù)方法和代數(shù)方法的壓力。只有當(dāng)有文化的階級與奴隸階級之間的壁壘在亞歷山大時(shí)期被沖破而且有教養(yǎng)的人關(guān)心實(shí)際事務(wù)的時(shí)候，重點(diǎn)才轉(zhuǎn)移到數(shù)量知識以及發(fā)展算術(shù)和代數(shù)方面。⒉亞歷山大時(shí)期(前300年到公元600年)阿基米德（前287—前212年）利用窮竭法求出球的表面積和體積公式,研究拋物弓形面積,給出π的范圍,它的幾何著作是希臘數(shù)學(xué)的頂峰。大約從公元1世紀(jì)初起,亞歷山大的數(shù)學(xué)工作特別是幾何工作開始衰落.而此時(shí)在東方的中國數(shù)學(xué)正蓬勃發(fā)展。二、中國古代幾何學(xué)中國的幾何有悠久的歷史，可靠的記錄從公元前十五世紀(jì)談起，甲骨文內(nèi)已有“規(guī)”和“矩”兩個(gè)字,規(guī)是用來畫圓的,矩是用來畫方的.春秋時(shí)期，隨著鐵器的出現(xiàn)，生產(chǎn)力的提高，中國開始了由奴隸制向封建制的過渡，新的生產(chǎn)關(guān)系促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步。戰(zhàn)國時(shí)期人們通過田地及國土面積的測量，城池的修建，水利工程的設(shè)計(jì)等生產(chǎn)生活實(shí)踐，積累了大量的數(shù)學(xué)知識。（1）但是秦朝的焚書坑儒給中國文化事業(yè)造成空前的浩劫，西漢作為數(shù)學(xué)新發(fā)展及先秦典籍的搶救工作的結(jié)晶，便是《九章算術(shù)》的成書。它對于中國和東方數(shù)學(xué)，大體相當(dāng)于《幾何原本》對于希臘和歐洲數(shù)學(xué)。中國古代的幾何一般不討論圖形離開數(shù)量關(guān)系的性質(zhì)，而要計(jì)算出長度、面積、體積。在《九章算術(shù)》的方田章中有各種多邊形、圓、弓形等的面積公式；商功章討論了各種立體的體積公式?！毒耪滤阈g(shù)》后，中國的數(shù)學(xué)著述基本采用兩種方式：一是為《九章算術(shù)》做注；二是以《九章算術(shù)》為楷模編纂新的著作。經(jīng)過兩漢社會經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的大發(fā)展，到魏晉時(shí)期，思想文化領(lǐng)域中儒家的統(tǒng)治地位被削弱，代之以談三玄——《周易》、《老子》、《莊子》為主的辯難之風(fēng)。與此相適應(yīng)，數(shù)學(xué)家重視理論研究，力圖把自先秦到兩漢積累起來的數(shù)學(xué)知識建立在必然可靠的基礎(chǔ)之上。（2）劉徽和他的《九章算術(shù)注》便是魏晉時(shí)代造就的最偉大的數(shù)學(xué)家和最杰出的數(shù)學(xué)著作。該書前九卷全面論證了《九章算術(shù)》的公式、解法，發(fā)展了出入相補(bǔ)原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，在圓面積公式和錐體體積公式的證明中引入了無窮小分割和極限思想，首創(chuàng)了求圓周率的正確方法，指出并糾正了《九章》的某些不正確的或錯(cuò)誤的公式，探索出解決球體積的正確途徑。以多面體體積的算法為例，在實(shí)際中使用了長方體的體積公式：V=abh。塹堵是將長方體沿相對兩棱剖開所得的幾何體，其體積顯然是V=abh/2；沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，一部分是四棱錐，稱為陽馬，其體積為V=abh/3，另一部分為四面都是直角三角形的三棱錐，叫鱉臑，其體積V=abh/6。劉徽用無窮小分割的方法證明了上述公式。在平面幾何中用直角三角形或正方形在立體幾何中用錐體和長方體進(jìn)行移補(bǔ),這構(gòu)成了中國古代幾何的特點(diǎn).劉徽未能解決球體積公式的證明，但他創(chuàng)造性地給出了他的“牟合方蓋”，但是他未能證明，在書中他也坦誠直言，表示“以俟能言者”。200多年后出了一位“能言者”，那就是祖暅之。（3）《綴術(shù)》包含了祖沖之（429—500年）和兒子祖暅之（一作祖暅，生平不詳）的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。祖暅沿用劉徽的“牟合方蓋”，證明了球體體積的計(jì)算問題，充分顯示了中國古代數(shù)學(xué)家的聰明才智。由于該書內(nèi)容深奧，隋唐算學(xué)館的學(xué)官（相當(dāng)于今天大學(xué)數(shù)學(xué)系的教授）讀不懂，后失傳。劉徽和祖氏父子在極限思想的運(yùn)用上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了古希臘的同類思想，達(dá)到了文藝復(fù)興前世界數(shù)學(xué)界的最高峰。三、我們研究探索的問題問題1為了改善住房條件，上海近些年大力推行“平改坡”工程。一個(gè)平頂建筑物屋頂是一個(gè)長為a米寬為b米的矩形，在其上增加一個(gè)如圖所示的屋頂，屋脊PQ的長為m米，屋頂?shù)母邽閔米，求增加的屋頂?shù)捏w積。[分析]將屋頂截成中間成三棱柱（塹堵），兩邊成四棱錐（陽馬）。僅此，我們可以看出劉徽的這組模型在幾何體計(jì)算中的作用。問題2遮陽棚的角度C1B1C1B1A1CBA問題3飛行的高度在南北方向的一條公路上，一輛汽車由南向北行駛，速度為100千米/時(shí)，一架飛機(jī)在一定高度上的一條直線上飛行，速度為100√7千米/時(shí)。從汽車?yán)锟达w機(jī)，在某個(gè)時(shí)刻看見是正西方向，仰角是30度，在36秒后，又看見飛機(jī)在北偏西30度，仰角為30度，問飛機(jī)的飛行高度是多少千米？問題418世紀(jì)，法國科學(xué)家雷奧烏姆爾和馬拉爾蒂等人認(rèn)真觀測蜂巢，發(fā)現(xiàn)它外形是正六棱柱，下底是正六邊形（設(shè)邊長為2a），頂部是三個(gè)全等菱形，三個(gè)菱形與棱柱軸線成等角，三者彼此斜依而下傾，棱柱側(cè)面皆全等直角梯形。設(shè)較長側(cè)棱AA1=h，問：（1）當(dāng)菱形的邊長變化時(shí)，蜂巢的體積是否改變？請說明理由。（2）欣賞了蜂巢的藝術(shù)性之后，科學(xué)家在深思這種奇特結(jié)構(gòu)的實(shí)用價(jià)值，猜想這種蜂房的頂蓋設(shè)計(jì)可能是節(jié)省其建材蜂蠟的最佳選擇。雷奧烏姆爾就這種猜測請教瑞士數(shù)學(xué)家、巴黎科學(xué)院院士科尼希，科尼希嚴(yán)格證明了人們關(guān)于蜂巢最優(yōu)性的猜測是真的。請你也來計(jì)算一下，在體積相同的情況下，菱形內(nèi)角多大時(shí)，蜂巢表面積最小？結(jié)束語“繼續(xù)發(fā)揚(yáng)中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的機(jī)械化特色對數(shù)學(xué)各個(gè)不同領(lǐng)域探索實(shí)現(xiàn)機(jī)械化的途徑，建立機(jī)械化的數(shù)學(xué)，則是本世紀(jì)以至可能綿亙整個(gè)21世紀(jì)才能大體趨于完善的事。”—吳文俊《現(xiàn)代數(shù)學(xué)新進(jìn)展序》[專家點(diǎn)評]一般情況下，開課從來不會開這樣的課，把數(shù)學(xué)史作為上課講授內(nèi)容的一個(gè)重要組成部分，占了近一半的教學(xué)時(shí)間。但是數(shù)學(xué)史又是數(shù)學(xué)的一個(gè)不可缺損的部分。我本人在以前也并不了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，也是工作后，看了一些有關(guān)的書籍，慢慢地對數(shù)學(xué)史也有了一定的了解。我感到數(shù)學(xué)史對我影響最大的是歷史上許多數(shù)學(xué)家的人格魅力。為了堅(jiān)持真理，他們不顧世人的嘲笑、謾罵、甚至迫害，有些人甚至付出了生命的代價(jià)。比如非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。其實(shí)當(dāng)時(shí)有三個(gè)人同時(shí)發(fā)現(xiàn)。年輕的玻利亞因?yàn)閼岩勺约旱某晒桓咚关飧`，一氣之下不再研究數(shù)學(xué)。高斯屈從于教會的勢力，不敢勇敢地發(fā)表自己的發(fā)現(xiàn)。而只有俄國有創(chuàng)新精神的羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)數(shù)學(xué)物理系宣讀了他的開創(chuàng)性論文《關(guān)于幾何原理的議論》，提出了羅巴切夫斯基公理，這一天公認(rèn)為“非歐幾何”的誕生日。他公然向人類幾千年來確信不疑的歐氏幾何挑戰(zhàn)，在當(dāng)時(shí)遭到了幾乎所有數(shù)學(xué)家的諷刺，甚至校長的職務(wù)也被撤除。但是科學(xué)界對待羅巴切夫斯基的不公正評價(jià)并未摧毀它對新幾何的信念，他不顧一切侮辱堅(jiān)持真理，他的理想終于得勝，被歷史承認(rèn)。三人中只有他被公認(rèn)為“非歐幾何之父”，這也是他的不屈科學(xué)精神的體現(xiàn)，也是后人對他堅(jiān)持真理的一種敬意。因此，講一點(diǎn)數(shù)學(xué)史，看一點(diǎn)數(shù)學(xué)史，不僅對學(xué)生，對老師也是一種教育。我們應(yīng)該對學(xué)生多進(jìn)行人格方面的教育，數(shù)學(xué)史值得去講，值得去研究，數(shù)學(xué)家的這種精神應(yīng)該讓后人了解、繼承、發(fā)揚(yáng)。任何數(shù)學(xué)家的成就都離不開人的積累。歐幾里德的《幾何原本》是古希臘先人數(shù)學(xué)成就的結(jié)晶，中國《九章算術(shù)》也是中國先秦時(shí)期和以前中國古人的數(shù)學(xué)成就的總結(jié)。劉徽的成就更是踩在前人的肩膀上才取得的。還歷史一個(gè)本來面目，讓學(xué)生了解這些，知道前人要想發(fā)現(xiàn)哪怕是一個(gè)定理也是多么不容易。數(shù)學(xué)上的探索與發(fā)現(xiàn)本來就是一條荊棘之路，僅靠個(gè)人的力量是不夠的。這方面對學(xué)生也是一個(gè)教育。本堂課的實(shí)際問題都很精彩，體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)處理幾何體的最常用方法：割補(bǔ)法。有三維的割補(bǔ)，也有平面的割補(bǔ)。只是遮陽篷這道題花的時(shí)間較長，有點(diǎn)影響后面的進(jìn)度。李大元[課后反思]上完《幾何學(xué)的發(fā)展簡史》，特別是聽了李大元老師的點(diǎn)評后，我對數(shù)學(xué)史的滲透教學(xué)工作應(yīng)當(dāng)起到的作用又有了新的認(rèn)識。首先，中國古代的數(shù)學(xué)成就不僅是進(jìn)行愛國教育的優(yōu)秀教材，而且許多成就本身對當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)仍具有現(xiàn)實(shí)意義。事實(shí)上中國古代解決某些問題的方法比現(xiàn)行數(shù)學(xué)教科書中的方法要優(yōu)越?，F(xiàn)行教材的幾何部