物理課后答案

1-1一質(zhì)點(diǎn)在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在/=Os時(shí)它的位置矢量尸=+5/加，經(jīng)山=5s后,

其位移/尸=<6：-8_7）m,求：（1）/=5s時(shí)的位矢；（2）在At時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度.

解（1）據(jù)題意，在'+加時(shí)刻，該質(zhì)點(diǎn)的位矢為

尸產(chǎn)r4-Ar=-4/+5J+(6i-8y)=2z-3j(m)

(2)在At時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為

二Ar6F-8；/、

v=——=-----L=1.2z-s)

A/5

_汽

1-3已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為廣=7?以”〃+7?51!14+2而，R為常量。求，t=0及'一萬(wàn)時(shí)

質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。

解：⑴

r=Rcosti+Rsintj+2而

-更.八cA

山=-Rsinti+Rcostj+2k,

㈤

=了=-Rcosti-Rsintj

當(dāng)t=0時(shí)，

0=6+2萬(wàn)，a^-Ri,

當(dāng)t="2時(shí)，

v=-Ri+2k,a=-Rj.

1-5飛機(jī)著陸時(shí)采用降落傘制動(dòng)。著陸時(shí)初速度大小為v。且坐標(biāo)為x=0.若其直線運(yùn)動(dòng)加速

度大小為2=-皿2,b為常量，求此飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程.

v0_dx

1+btv0dt

ln(l+Z?/v0)

在鉛直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程為了=53+(15/-5/2)7,求t=i秒時(shí)的法向

加速度、切向加速度。

解：v=5l+(15-10t)],v=yj52+(15-10t)2

a=-10j,a=10,a,=—=542

'dt

而a2=a：+a,,故4=5^2

因此引=5i+5/>5=吾=￥，+岑)

同22

at-(a-Tl)Tl=—5i-5j,an-a—at-5i-5j

1-7當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但當(dāng)輪

船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3m,如雨滴的速度大小為8in?s’，求輪

船的速率.

解：依題意作出矢量圖

,。雨船=§南-E船

,?。雨=寧雨船+?船

由圖中比例關(guān)系可知

v船=丫雨=8m-s”

2-1質(zhì)量為0.5kg的物體沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，在沿x方向的力f=10-6/的作用下，t=0

時(shí)其位置與速度分別為x0=5,v0=2,求t=1時(shí)該物體的位置和速度.(其中F以N為單位,

t以s為單位，x0以m為單位，v0以m/s為單位)

分析當(dāng)作用于物體的力是時(shí)間的函數(shù)時(shí)，山建立的運(yùn)動(dòng)方程積分可以求得速度.所求出的

速度必定也是時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)還需要計(jì)算t時(shí)刻該物體的位置時(shí)，就應(yīng)該利用速度的定義式

dr

0=丁，再積分求出位置的表示式.

dt

解由加速度的定義"乎應(yīng)用牛頓第二定律，可得

doF10-6/__,.

—=—=--------=20-12/

d/m0.5

分離變量：

du=(20-12/)(1/

兩邊積分得

v20/-6/"+C

由初始條件：1=0時(shí)尸丫0=2,得C=%=2,即

v=20t-6t2+2(1)

因。=丁，上式可寫(xiě)為

d/

riY

—=20/-6/2+2

d/

分離變量：

dx=(20/—6〃+2)d/

兩邊積分得

x=10/2—2/J+2/+G

由初始條件：t=0時(shí)x=x0=5,得C|xo5,即

x=10/2_2/+2/+5(2)

當(dāng)t=ls時(shí)，由(1)和(2)式得o=16m/s,x=15m.

2-2.一汽艇在河水中直線航行，受到的阻力與速度成正比，設(shè)為的（左為常數(shù)）。/=0

時(shí)汽艇的速度為%,求汽艇：（1），時(shí)刻的速度；（2）由0到t的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離；（3）停

止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離。

_dv

答：⑴:

md/

分離變量，得

dv_-kdt

即

In—=Ine

%

_k_t

v=voe桁

(2)x=Jvd/==■^^■(1一/肅’)

（3）質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t

m，

故有x'=「vne~dt-

k

2-3光滑水平面上有一固定的圓環(huán)，半徑為R。一質(zhì)量為加的小球以初速度大?。パ?/p>

著環(huán)的內(nèi)壁作圓周運(yùn)動(dòng)。若小球與壁的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為〃，求小球任一時(shí)刻的速率。

解：設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁給小球的向心力為則

法向：F,=m—切向：一juF”=加手

Rdt

3-2—質(zhì)量為m=lkg的小球以v=2m/s的速率沿與斜面成30度角入射，又以相同速率沿水

平方向反彈，若小球與斜面作用的時(shí)間At=0.2s,斜面傾角為30度，求小球受力。

解：v]-v2-V矢量三角形等邊|△加討=/MV

7=四叫=把=10乂方向與斜面垂直

△t△/

3-4煤粉以穩(wěn)定的流量落在以水平速度u運(yùn)行的傳送帶上，若‘時(shí)刻傳送帶上煤粉質(zhì)量為

團(tuán)⑴=卜,k為常量，為保持傳送帶運(yùn)行速度不變，需對(duì)傳送帶施加多大作用力？

解t時(shí)刻傳送帶上煤粉質(zhì)量為皿/)=■,/至/+△/時(shí)間內(nèi)將落入傳送帶上的煤粉質(zhì)量為

△〃=入△/,傳送帶上所需施加的作用力為產(chǎn)，沿煤粉運(yùn)動(dòng)方向系統(tǒng)的初末動(dòng)量分別為

初態(tài)：Pi=m(i)v

末態(tài)：p2-[m(/)+

應(yīng)用系統(tǒng)的動(dòng)量定理，得Fbt=P]-p、=Anw=kvbt

F-kv

3-5質(zhì)量mA=5kg的炮彈頭A以水平速度v=60m/s飛行，爆炸時(shí)分成兩塊碎片B和C,方

向如圖，已知碎片B的速度大小VB=90m/s,求(1)碎片B的質(zhì)量(2)碎片C的速度。

解：由動(dòng)量守恒的分量式得：

c

水平方向?yàn)閤方向：mAvA=mcvccos30

豎直方向?yàn)閥方向：0=mBvB-mcvcsin30°

mc=mA-mB

由以上三式得：mB=\.92kgvc-1\2.2m/s

3-7某人以2加的速度沿水平方向?qū)⒁?0奴的物體扔上平板車。平板車自身質(zhì)量

為200kg,不計(jì)車與地面的摩擦，求下列條件下車得到的速度，（1）車原來(lái)靜止；（2）車

正沿物體運(yùn)動(dòng)方向以的速率運(yùn)動(dòng)；（3）車正以的速率沿物體運(yùn)動(dòng)的反方向

運(yùn)動(dòng)。

解設(shè)車的質(zhì)量為機(jī)'，初速度為％0,物體質(zhì)量為機(jī)，初速度為0。，它們共同的末

速度為。.對(duì)于車和物體組成的系統(tǒng)，水平方向合外力為零，故水平方向動(dòng)量守恒，得

r

mvw+mv2（）=（m+（1）

（1）車原來(lái)靜止，4o=°，由（1）式得

冷2m/s

叫=0.4m/s

m+m50+200

(2)v20=1m/s,由(1)式得

mv+m'v50x2+200x1

u-l02()m/s-1.2m/s

m+m50+200

(3)v20=-lm/s,由(1)式得

mv+m'v50x2-200x1,，

v=——w-------1-Q=-------------m/s=-0.4m/s

m+m50+200

3-8-質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速率v繞半徑為r的圓軌道做勻速率運(yùn)動(dòng)，求此質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心0點(diǎn)

的角動(dòng)量。

解：￡=pxmvL=rmvsin90=rmv

3-9一人造地球衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球中心。為橢圓的一

個(gè)焦點(diǎn)。已知地球平均半徑為R=63784根，衛(wèi)星離地面的最近

距離為L(zhǎng),=439km,最遠(yuǎn)距離為L(zhǎng)2=2384km。若衛(wèi)星于近地

點(diǎn)4的速率為匕=8.10%機(jī),求衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率

解：認(rèn)為衛(wèi)星僅受地球引力，且引力指向地球中心，角動(dòng)量守恒

mVj(R+Lt)-mv2(R+L2)

v,(R+LJ

V2=6.30km/s

R+L2

3—11質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在外力作用下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為尸=NcosSi+8si〃磔/,A,B,a)

TT

都為常數(shù)，求力在。=。到心=——時(shí)間內(nèi)作的功。

2CD

解：dr=-AcDsincotdti+Bcocoscotdtj

a=-Aarcoscoti-Barsincotj

dW=F-dr=ma-dr=mco3(A2-B2)sincotcoscotdt

兀j

w=^>dw=-ma>2(A2-B2)

3-12一顆子彈水平擊中一個(gè)懸掛著的砂袋，并留在里面，已知砂袋質(zhì)量是子彈質(zhì)量的

1000倍，懸點(diǎn)到砂袋中心的距離為1m,設(shè)子彈擊中砂袋后，懸線的偏角為10。，求子彈的

入射速度。

解子彈和砂袋組成的系統(tǒng)，在子彈擊中砂袋的瞬間，水平方向無(wú)外力作用，動(dòng)量守

恒.設(shè)子彈質(zhì)量為如，速度為oio,砂袋質(zhì)量為%2=1000如，子彈擊中砂袋后，子彈與砂袋

共同的速度為。2,得

m}vw-(/M,+/M2)U2

子彈隨砂袋一起擺動(dòng)的過(guò)程中，只有重力作功，機(jī)械能守和取初始時(shí)砂袋位置為重

力勢(shì)能零點(diǎn)，懸線長(zhǎng)為/,砂袋上升的最大高度為/(1-cos10。)，

如圖，得

；(叫+m2-(/?,+/w2)g/(l-cosl0°)10?

由以上二式，得

V

I=叫+叫J2g/(i-cosl0°)m\

〃?2

mx

=1001x^2x9.8x1x(1-cos10°)m/s=546m/s

3-13一子彈水平射入一個(gè)固定于彈簧的木塊內(nèi)，已知子彈的質(zhì)量為20g,木塊質(zhì)量是

8.98kg,彈簧的勁度系數(shù)是100N子彈嵌入后彈簧壓縮了10cm,設(shè)木塊與水平面間

的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.2,求子彈入射速度。

分析山于木塊與水平面間存在摩擦，子彈嵌入木塊后與彈簧并不構(gòu)成一個(gè)通常意義

的彈簧振子，機(jī)械能不守恒，但是可以應(yīng)用功能原理分析摩擦力作功與機(jī)械能的變化的關(guān)

系.

解在子彈g和木塊加2碰撞的瞬間，因時(shí)間很短，木塊的位置還未發(fā)生改變，因而

還不受彈簧的作用，子彈和木塊組成的系統(tǒng)水平方向無(wú)外力作用，水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)

子彈質(zhì)量為如，速度為50,木塊質(zhì)量為桃2,子彈擊中木塊后，共同的速度為。2,得

加1%0=（加1+加2）。2

子彈隨木塊一起壓縮彈簧的過(guò)程中，應(yīng)用功能原理，摩擦力所作的功等于彈性系統(tǒng)機(jī)

械能的增量，即

gkx。+m2）v2=_〃（加1+m2）SX

由以上二式，得

4-1電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)?個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=50餃?加2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在05s內(nèi)轉(zhuǎn)速由。達(dá)到

llOr-mm',求電動(dòng)機(jī)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)作的功。

解：

W=,〃步—就）=<*50〃"0x2乃y—o]=355x1（）3j

2260

4-2如圖，質(zhì)量為M,長(zhǎng)為/的均勻細(xì)棒在水平面內(nèi)繞通過(guò)棒中心且垂直于棒的光滑

固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。棒上套有兩個(gè)質(zhì)量均為加，可沿棒滑動(dòng)的小物體。開(kāi)始時(shí)，兩小物體分別被

固定于棒兩側(cè)距中心r處，且棒以角速度例,轉(zhuǎn)動(dòng)。求兩小物體到達(dá)棒端時(shí)棒的角速度是多

少？

解:

22

系統(tǒng)初始角動(dòng)量L,^-^M1G)0+2mM0r

物體到達(dá)棒端時(shí)系統(tǒng)的角動(dòng)量L^—M12CO+2mco

212

2

....,73ZI,Ml+24mr'

由L,=L-,解得co=------------

~Ml2+6ml2

4-3一細(xì)桿長(zhǎng)為/、質(zhì)量為加°,可繞垂直于一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。桿原先處于平衡狀

態(tài)，現(xiàn)有一質(zhì)量為機(jī)的小球沿光滑水平面飛來(lái)，恰與桿F端完全彈性碰撞，結(jié)果使桿上擺

至。=60"處，如圖，求小球初速度。

解：小球和直桿系統(tǒng)角動(dòng)量守恒mv?l=mvl+^m?l2co

22：!

系統(tǒng)動(dòng)能守恒—=—mv+—(—mol)a)

22

直桿重力矩作功--mftgl(l-cos60°)=0mnl)co

聯(lián)立得v產(chǎn)筆犯鬧

12m

4-4-長(zhǎng)/,質(zhì)量町的均勻細(xì)棒，靜止平放于光滑水平面上，它可繞過(guò)其端點(diǎn)O且與面

垂直的光滑定軸轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為加2的小物塊，在水平面內(nèi)沿垂直于棒的方向與棒的另

一端點(diǎn)N碰撞并彈回。若碰撞前后物塊速率分別為V、U,求碰撞后棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

2

解：碰撞前后角動(dòng)量守恒m2vl=jmllco-m2iil

解得。=3八+〃加2

mJ

4-5一水平的勻質(zhì)圓盤(pán)，可繞通過(guò)盤(pán)心的鉛直光滑固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤(pán)質(zhì)量為〃，半

徑為凡對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為〃水2/2,圓盤(pán)以角速度。。轉(zhuǎn)動(dòng)，有一質(zhì)量為根的子彈沿盤(pán)的直

徑方向射入而嵌在盤(pán)的邊緣上，子彈射入后，圓盤(pán)的角速度為多少？

解：子彈與圓盤(pán)組成的系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，有

222

^MRCD0=^MR(D+mRa)

,,Mco

故:s=-----nJ

M+2m

4-6半徑為/?的定滑輪邊緣繞一細(xì)繩，繩下端掛一質(zhì)量為加的物體。若繩的質(zhì)量可忽略

不計(jì)，滑輪軸的摩擦亦不計(jì)，且繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。若物體下落加速度為。，求定滑輪

對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

R

a

解：mg-T=ma

T'R=JB

r=T

a=R/3

聯(lián)立得J=m(g-a)R2/a

4-7一轉(zhuǎn)動(dòng)輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在20N?加的不變力矩作用下，10s內(nèi)轉(zhuǎn)速由零增大到

lOOr-mi^',此時(shí)移去該力矩，轉(zhuǎn)動(dòng)輪在摩擦力矩的作用下經(jīng)JOOs停止轉(zhuǎn)動(dòng)。求轉(zhuǎn)動(dòng)輪

對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

?co-0co

解：3=------■=—

1111

0-co

-Mf=Jp2

MM20，…2

由以上4式得

~~T\2又3.14義1()0J——="/kg”

Pl*2①(+)------------xf——+——)

11’26010100

4-8水平桌面上有一均質(zhì)圓盤(pán)繞過(guò)盤(pán)心且垂直盤(pán)面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，盤(pán)半徑為火。設(shè)盤(pán)與桌面

的摩擦系數(shù)為〃，初始角速度為例），求多少時(shí)間后圓盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

解：將圓盤(pán)分為微元環(huán)。微元環(huán)所受摩擦力矩為

dM=-fjdmgr--〃2m-dr-r--2"等-r2dr

兀屋R2

M=^dM=/_2,8.2"=_1即igR

圓盤(pán)角加速度￡="=-芻空

J3R

又。=例+￡/,令。=0,解得t=注竺

4〃g

4-9如圖有一不計(jì)質(zhì)量的直桿，兩端各固定質(zhì)量為m和2%的小球。桿可繞過(guò)桿中心且與

桿垂直的固定軸在紙面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)桿靜止，與水平方向成e角，釋放后桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)

當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角加速度大小。

5-1氫原子中，電子與質(zhì)子之間的距離為5.3X10-"m,分別求它們之間的庫(kù)侖力與萬(wàn)有

引力。

(已知電子質(zhì)量為9x/0-34g,質(zhì)子質(zhì)量為/.67x/0-27奴，電子、質(zhì)子電量都為

1.602xIO-19C,萬(wàn)有引力常數(shù)G=6.67x/0-〃N?加？-kg-2)

解：￡=」—％=9X[0"(1，6"10=&1X1()-8N

22

47re0r(5.3x10-")

斤mM_?9.1x10⑶x1.67x10-27

F=Gr——=6.67x7i0nx------------------：--------=3.7x10N

gr2(5.3x10-")2

5-2真空中一長(zhǎng)為/=20c加均勻帶電細(xì)棒，線電荷密度2=3x/0-80加。求棒垂直平

分線上與棒的中點(diǎn)相距1=8cm處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：

...MxdMdx

細(xì)棒在Q點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

&=%=吐康小鬲^=亂"二聲

=5.27xlOJNiC

方向沿y軸正向.

附：Jdxj

(X2+d2戶

設(shè)x=dtgt,貝ij(x2+d2)2=d3sec31,dx-dsec2tdt

f---———r=-4fcostdt=Lsint+C=L「?一+C=——?*+c

，Jd2d?聲記d2k7

5-3-底面半徑為R圓錐體，高為〃，均勻帶電，電荷體密度為夕，求其頂點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)

度。

解例題5—2給出半徑為r、電荷面密度為0的帶電圓盤(pán)軸線上距盤(pán)心為x遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)

度的大小為

22

2^0_yjr+x

如圖所示，在距A為x遠(yuǎn)處取厚度為白的薄圓盤(pán)，半徑為r,面積為加’，體積為》/心,

/w2dx,

（7----------j--POX

因dx為一無(wú)窮小量，薄圓盤(pán)上電荷面密度萬(wàn)廠，代入（1）式，得薄圓盤(pán)

在A點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

2%|_J廠+廠

xH

利用幾何關(guān)系"J箱+上,對(duì)上式積分得圓錐體在A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

-P-1-HH

E=r

24]J/??+“2J/+”2

方向?yàn)檠貙?duì)稱軸向

5-4求真空中電荷面密度為。的無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)。

解：選取垂直于平面的圓柱面為高斯面。圓柱側(cè)面上場(chǎng)強(qiáng)石與軸線平行，通過(guò)側(cè)面電通量

為零，而在兩底面S上，場(chǎng)強(qiáng)方向與平面法線方向都一致。

所以，通過(guò)這個(gè)高斯面的電通量，就等于通過(guò)兩底面的電通量

^>E=ES+ES

山于此高斯面所包圍的電荷量為,根據(jù)高斯定理得

oS

2ES=

%,

5-5真空中有半徑為曷和/?2（火2>/）的兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度上分別帶有電

量4和試求：（l）r</；（2）/?,<r</?2；（3）火2處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

解：高斯定理Ei

￡。

取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積S=2m-/

則{￡-d5=E27rrZ

對(duì)（1）r</?,工4=°，后=0

（2）<r<R2>q=認(rèn)

E=—2—沿徑向向外

27l￡o，"

(3)r>R2>q=0

E=0

5-6真空中有一半徑為R,電量為夕的均勻帶電球體，求其球內(nèi)、外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：應(yīng)用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)分布.

（1）球體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度

球體體積為7R3,均勻帶電，電荷體密度P=/.作半徑為r（0<r<R）的球形

高斯面S1,所包圍的球體體積為匕=-nr\包圍的電荷量為工4=P匕=生匕=4=，

3VR

設(shè)半徑為I?處的場(chǎng)強(qiáng)為Ei，由高斯定理得

E,-dtS*=￡1]-4^T2=--V9

S|4

E="

得1

47T￡nR'

（2）球體外的電場(chǎng)強(qiáng)度

作半徑r>7?的球形高斯面$2,包圍電荷量為由高斯定理得

E,-dS=E,-4萬(wàn)川=工￡勺=?

￡。%

得E,

47T￡0r

5-7如圖，A,8處各有電量分別為+q,-q的點(diǎn)電荷，間距為2火，現(xiàn)將一正試驗(yàn)點(diǎn)電

荷外從兩電荷連線中點(diǎn)。經(jīng)過(guò)半圓弧移到。點(diǎn)，求移動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)力作的功。

解：如題圖示

0

q°q

A=q0(Uo-Uc)=

血%R

5-8真空中有一均勻帶電4,半徑為R的球體，試求球體內(nèi)電勢(shì)分布。

解：先由高斯定理求出球內(nèi)、外電場(chǎng)強(qiáng)度

(0<r</?)

r>R

2

2"x——fR——poo——3qqr

U=\E-dl=jE,-dl+-dl=

?！晷?/p>

87l￡0R83

5-9真空中有兩個(gè)半徑分別為居=5.0cm,R2=2Q.0cm同心的均勻帶電球面，已知內(nèi)

球面的電勢(shì)為匕=60%,外球面的電勢(shì)匕--30V,求(1)內(nèi)、外球面上所帶電量；(2)兩個(gè)

球面間何處電勢(shì)為零。

%

解：⑴UR,R,=ydr=——-)=60-(-30)=90V

兀

"4nenr4R]R2

解得q,^6.67x10-1°C

VR=—^—+—^—=60,

?！觑L(fēng)

/4TT￡()RI4

9

解得q2=-].33X10-C

(2)令r處歹(r)=0

即—^=0

?！?

44TT￡0R2

解得r-0.10m-10cm

6-1-帶電。的導(dǎo)體球殼，內(nèi)、外半徑分別為R/、R2O球殼內(nèi)另有一半徑為尸、帶電q

的導(dǎo)體小球，與球殼同心（r<Q<R?）。求小球與球殼的電勢(shì)差。

解：匕.=」一（幺_

q,<7-+---2-1---------

4叫）r&&

'4TT￡?&R,R24兀￡島

6-2在半徑為"的導(dǎo)體球外面套上一半徑為此的同心薄導(dǎo)體球殼，球殼帶電。，內(nèi)球電

勢(shì)為外,求內(nèi)導(dǎo)體球與球殼間的電勢(shì)差。

解：導(dǎo)體球的電勢(shì)為q+—Q=v?

47C￡0RI47T￡OR2

解出口=4兀￡小匕_蛆

R2

因此編中Q

47T￡OR2

6-3一離地面很遠(yuǎn)、半徑為R的金屬球，用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距d=3R處有一

點(diǎn)電荷+q,試求金屬球上感應(yīng)電荷的電量。

q‘

習(xí)題6—3圖

解：如圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為g',則球接地時(shí)電勢(shì)心=0

由電勢(shì)疊加原理有：

Vo=—^—+—金—=0

4眸34兀43R

得q'

3

6-4在半徑為R的金屬球外有一層外半徑為R'的均勻介質(zhì)層，設(shè)電介質(zhì)的相對(duì)電容率為

金屬球帶電量為0,求：（1）介質(zhì)層內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）介質(zhì)層內(nèi)外的電勢(shì)；（3）

金屬球的電勢(shì)。

介質(zhì)層內(nèi)</<火’）：E=--------;/=---------（----

4?！晷腬_￡rrRR

介質(zhì)層外E=0,；V=-^—

4?！?4?！?

金屬球電勢(shì):

解（1）如圖作半徑為r的球面為高斯面，由有介質(zhì)的高斯定理得

4%/。=Q

Q

D=

4^r2

DQ

在介質(zhì)內(nèi)，R<r<R'

DQ

在介質(zhì)外，r>R'E]

（2）介質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)為

""山.+小”=焉

邑rR'R'

介質(zhì)外任一點(diǎn)電勢(shì)為

匕=['E,dr————

-4^0r

（3）金屬球的電勢(shì)可由（1）式中令尸=火得到，即

Q1111

匕）=十一

［邑1火RR'

6-5半徑為凡的導(dǎo)體圓柱和與它同軸的半徑為此的導(dǎo)體圓筒間充滿相對(duì)電容率為邑的

介質(zhì)。圓柱的長(zhǎng)為L(zhǎng),設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度上圓柱帶電荷量為+2，圓筒單位長(zhǎng)帶電荷量為-2,

忽略邊緣效應(yīng)，求：（1）介質(zhì)中的電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）介質(zhì)表面的極化電荷面密度。

解（1）由于電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性，以半徑為r作高為L(zhǎng)的同軸高斯面，介質(zhì)中的高斯定理

得

2mL-D-AL

D」

2"

D22

E

2環(huán))￡/

￡l7t￡r(1)

（2）設(shè)介質(zhì)內(nèi)外表面單位長(zhǎng)上的極化電荷分別為a'和一在介質(zhì)內(nèi)，其內(nèi)表面極化電荷

產(chǎn)生的附加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為

E'

2兀

根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，在介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)是導(dǎo)體圓柱表面的自由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)和介質(zhì)內(nèi)表面極化

電荷產(chǎn)生的附加電場(chǎng)的疊加，即

A

E=E「E，=

27ts0r2^sor(2)

由（1）和（2）式解得

2^2（1-—）

介質(zhì)內(nèi)外表面單位長(zhǎng)的面積分別為2成「2叫,則極化電荷面密度分別為

,一方幾〃1、，/九〃1、

2叫2成］j2欣22欣2J

6-6球形電容器由半徑為刷的金屬球與?與它同心的半徑為此的金屬球殼組成。求電

容器的電容。

解：球間電場(chǎng)〃

E=—^

4嗎1r

球與球殼間的電勢(shì)差nRR

U=^—^—dr=qR^~R'

M4g,-47te0R,R2

電容

q47T￡nR,R2

~U~R2-R,

6-7已知一平行平板電容器電容為0.50所，兩極板間介質(zhì)厚度為0.0/機(jī)機(jī)。該介質(zhì)的擊

穿場(chǎng)強(qiáng)為1.9X107V-m-'，求此電容器所能存貯的最大能量。

解：兩板間電勢(shì)差Umax=Ehd=190V

電容器所能存貯的最大能量匕——。3"。力

6-8一極板面積為S,極板間距為d的平行平板空氣電容器，充電到帶電q后與電源斷開(kāi),

然后緩慢地將兩板間距拉到2d，問(wèn)電容器能量改變了多少？

解：電源斷開(kāi)，板上電荷不變，由例6—1知，板間距加倍，電容減為原來(lái)的一半，增加

的電容器能量為

/021Q2Q2q2d

AW—--------------=----=-----

2C/22C2C2s?S

7-1如圖48、為長(zhǎng)直導(dǎo)線，8C是一段圓心為。、半徑為火的圓弧形導(dǎo)線，若導(dǎo)線

通有電流/,求。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解：AB段產(chǎn)生：B,=0

BC段產(chǎn)生：方向垂直向里

212R

CD段產(chǎn)生：B3為似〃90"—s%60")=牛乙〃一39方向垂直向里

4兀一

2

緯=與+&+曷—孝+今)，垂直紙面向內(nèi)

7-2兩條無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線垂直且不相交，它們相距最近處為d=2.0c機(jī)，電流分別為

乙=4.0/和心=6.0/,尸點(diǎn)到兩導(dǎo)線距離都是d,求產(chǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。

解：電流h在P點(diǎn)產(chǎn)生B,=^-=4.0X10-5T方向垂直向里

27rd

電流b在P點(diǎn)產(chǎn)生8,=幺匹=6.0x/0"T方向在紙面里垂直指向電流L

2nd

P點(diǎn)B=^B；+B：=7.2x101

tg0=，=L5,0=56°19'

7-3-寬度為6的半無(wú)限長(zhǎng)金屬板置于真空中，均勻通有電流/。。。點(diǎn)為薄板邊線延長(zhǎng)

線上的一點(diǎn)，與薄板邊緣的距離為4。如圖所示。試求產(chǎn)點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度8。

clz

解建立坐標(biāo)軸°X,如圖所示，尸點(diǎn)為X軸上的一點(diǎn)。整個(gè)金屬板可視為由無(wú)限多條無(wú)

dl=—dx

限長(zhǎng)的載流導(dǎo)線所組成，其中取任意一條載流線，其寬度為公，其上載有電流b,

它在產(chǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

dR=〃出_Mqlqdx

P"4m"4質(zhì)（6+d-x）

的方向垂直紙面向里。由于每?條無(wú)限長(zhǎng)直載流線在尸點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度四具有相同的方

向，所以整個(gè)載流金屬板在尸點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為各載流線在該點(diǎn)產(chǎn)生的的代數(shù)和，即

J47rbb+d-x

=^lnb

471bb+d-x0

b+d

In

以。1。

4就

Bp方向垂直于紙面向里。

7-4兩個(gè)半徑為R的線圈共軸放置，相距為乙通有相等的同向電流I,如圖所示，求

在離它們中心0點(diǎn)為x遠(yuǎn)處的P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。

L2

分析兩圓電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相同，利用一經(jīng)導(dǎo)出的圓電流在軸線上的磁感強(qiáng)度

表示式疊加后可得其解.所得結(jié)果為X的函數(shù)，可以證明在x=0處的一階為零，當(dāng)/=氏時(shí)

二階導(dǎo)數(shù)也為零，即表明當(dāng)/=火時(shí)在0點(diǎn)附近的小區(qū)域內(nèi)為均勻磁場(chǎng).亥姆霍茲線圈在科

研和生產(chǎn)實(shí)際中應(yīng)用比較廣泛.

解

…，（I

>?2?v

dB=3〃?！?萬(wàn)+x

dx2［「z、21%

上+處

7-5處在基態(tài)的氫原子其電子可看作是在半徑r=0.52x/0-8ca的軌道上作勻速圓周運(yùn)

動(dòng)，速率n=2.2x/0"c能?$-/v求電子在軌道中心所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小（電子電量

為16x10-2（：）。

e2v2e2

=m

解：由------~e——得r=-------------7

4嗎）廠r47i￡0mev

T衛(wèi)，I，,B』

vT2r

/.iev_4TTX107x/.6x/0"‘x2.2xl08xIO"2

故B()=13T

47TK'4TTX(0.52X10~8xlO-2)

7-6如圖有相距d=40cm的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，每根導(dǎo)線載有電流((=20A,求:

(1)兩導(dǎo)線連線中點(diǎn)/處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；

(2)通過(guò)圖中所示面積的磁通量(/；=弓=10cm,/=25cm)。

+絲=4x10-51方向，紙面向外

解:⑴BA

2吟2心

(2)取面元dS=Idr

。=『+'7必+115=也1〃3—^~1〃!=處歷3=2.2義10-6的6

士2M2n(d-r)27t2兀37t

7-7如圖為一長(zhǎng)直圓管形導(dǎo)體的橫截面，內(nèi)外半徑分別為a和b，沿導(dǎo)體軸線電流為I,

電流均勻分布在管的橫截面上。試求導(dǎo)體內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布。

解：由安培環(huán)路定理易知B=O,(r〈a);B=2L,(r>b)

2冗丫

由安培環(huán)路定理《裳疝=B2兀r=N0——；—-K(r2-a2)

4n(b-a')

解得人段筌

(a<r<b)

7-8-長(zhǎng)直導(dǎo)線截面為10加加2,沿導(dǎo)線截面均勻地通有電流50〃，求此導(dǎo)線內(nèi)、外磁感

應(yīng)強(qiáng)度分布及導(dǎo)線表面的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。

解：由安培環(huán)路定理J瓦/=82萬(wàn)r=〃。工/

導(dǎo)線內(nèi)尸<火，￡/=―/尸故8=

A兀R?2成2

導(dǎo)線外，r>R,Yl=I，故8=以,

2冗丫

在導(dǎo)線表面磁感應(yīng)強(qiáng)度連續(xù)，由/=50/,R=JS/兀=1.78x10*叫得

BR=^-=5.6X10”

2兀R

7-9電流/均勻流過(guò)半徑為R的圓柱形長(zhǎng)直導(dǎo)線，試求磁場(chǎng)通過(guò)如圖截面的導(dǎo)線內(nèi)單位

長(zhǎng)度剖面的磁通量。

7-10電流均勻流過(guò)一無(wú)限大導(dǎo)電平面，設(shè)電流面密度大小為J,求導(dǎo)電平面兩側(cè)的磁感

應(yīng)強(qiáng)度。

解：在如圖的矩形回路abed中

=￡瓦?/+瓦?加+瓦-di4-fB-dl=2BL="ojL

j1Jda4

導(dǎo)電平面兩側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小8=冬」

2

7-11電流/通過(guò)如圖形狀的導(dǎo)線，將它放在方向垂直紙面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度為5的磁

場(chǎng)中，求此導(dǎo)線所受安培力。

解：由例7—8知，截流導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中受的磁場(chǎng)力等于從起點(diǎn)到終點(diǎn)連接的直導(dǎo)線通

過(guò)相同電流時(shí)受到的磁場(chǎng)力，故由月=比x月知

F=2BIR,方向豎直向上。

7-12如圖所示，無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)通有電流人，與其共面的有一矩形線框COM,

通有電流A，cr＞平行于戶長(zhǎng)為廠長(zhǎng)為6,48與CO間距為d。試求矩形線框

所受到的磁場(chǎng)合力。

解（1）根據(jù)安培力公式：必=/d/x8,可求

Fcd=IM\=^^

27rd

由右手法則可知，其方向垂直于CZ）向右。

,No】/b

F=12bB2=—彳-----\

EF222%（a+d）

方向垂直于￡戶向右

對(duì)于CF段，由于Cb邊上各點(diǎn)的8不相同，所以在其上取電流元

12dxi積分可得

必//]na+d

2萬(wàn)d

FCF的方向垂直于CF向上，5°的方向垂直于。。向下，

(2)由(1)中的結(jié)果，可求得作用于矩形線框上的合力為

F=FCD-FEF

_聞J2b(1/)

2nda+d

由于尸＞0，則可知合力/方向向左。

7-13均勻磁場(chǎng)中有一長(zhǎng)度為0.50帆的直導(dǎo)線，載有70/沿y軸正方向的電流，磁場(chǎng)

B^0.37-1.2j+0.5z(T)求作用在這段導(dǎo)線上的力。

分析如果分別用人八〃表示三個(gè)坐標(biāo)方向的單位矢量，長(zhǎng)度為乙的直導(dǎo)線，電流方

向在y軸正向，則電流可以表示為磁感強(qiáng)度可以表示為

B=Bxi+Byj+Bzk

根據(jù)安培定律可以求出該導(dǎo)線所受的安培力.

解根據(jù)矢量積的定義，有

jxi=-k/xj=0jxk=i

根據(jù)安培定律可得

F=ILjxB=lLjx(5,7+BJ+B,k)=IL(-Bxk+B:i)

=10x0.5x(—0.3A+0.51)=-1.5〃+2.5i

7-14一平均半徑為0.08機(jī)的螺繞環(huán)，繞有240匝線圈，電流強(qiáng)度為0.30/。管內(nèi)充滿

相對(duì)磁導(dǎo)率為5000的鐵磁質(zhì)。求管內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度。

分析螺繞環(huán)磁場(chǎng)幾乎都集中在環(huán)內(nèi)，磁場(chǎng)線是一系列圓心在對(duì)稱軸上的圓.如果圓

環(huán)的截面積很小，可認(rèn)為環(huán)內(nèi)各點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，等于以平均半徑R為半徑的圓上

的磁場(chǎng)強(qiáng)度.

NI240x0.30,,，…一

解H=n