物理競賽復(fù)賽模擬卷

物理競賽復(fù)賽模擬卷（四）

班級：姓名：

1.光子火箭從地球起程時(shí)初始靜止質(zhì)量（包括燃料）為Mo,向相距為R=L8Xl（）61.y.（光年）的遠(yuǎn)方仙女

座星飛行。要求火箭在25年（火箭時(shí)間）后到達(dá)目的地。引力影響不計(jì)。

1）、忽略火箭加速和減速所需時(shí)間，試問火箭的速度應(yīng)為多大？2）、設(shè)到達(dá)目的地時(shí)火箭靜止質(zhì)量為Mo

',試問Mo/M。’的最小值是多少？

2.如圖所示，地面上的觀察者認(rèn)為在地面上同時(shí)發(fā)生的兩個事件A和B,

在相對地面以速度巨（方平行于x軸，且與正方向同向）運(yùn)動的火箭上

的觀察者的判斷正確的是（）

A、A早于BB、B早于A

C、A、B同時(shí)發(fā)生D、無法判斷

3.如圖所示，正方形均質(zhì)板重G,用4根輕質(zhì)桿錢鏈水平懸掛，外形構(gòu)成邊長為a的立方體，現(xiàn)將方板

繞鉛垂對稱軸旋轉(zhuǎn)e角度，再用一細(xì)繩圍繞四桿的中點(diǎn)捆住，

位置。試求繩內(nèi)的張力。

4.如圖所示，一小車對地以加速度aklm/d向左由靜止開始作勻加速運(yùn)動，―aa?

車上一人又以加速度az=2m/s2相對于車向右同時(shí)由靜止開始作勻加速運(yùn)動。21「

求：（1）人對地的加速度；（2）經(jīng)歷時(shí)間ti=ls,人對地的瞬時(shí)速度；（3）。.....Q

經(jīng)歷時(shí)間tz=2s,人對地的位移。

5.有一小直徑為d的試管，管內(nèi)裝有理想氣體，其中有一段質(zhì)量m=2g的水銀將理想氣體和空氣隔開。當(dāng)

試管口向上時(shí)，氣體在試管中的長為L(圖24-30(a)中的(a)),當(dāng)將管口向下時(shí)，氣體在試管中長為

L2(圖24-30(b)中的(b)),試求Lz/L為多少？

6.有一個兩端開口、粗細(xì)均勻的U型玻璃細(xì)管，放置在豎直平面內(nèi)，處在壓強(qiáng)為P。

的大氣中，兩個豎直支管的高度均為h,水平管的長度為2h,玻璃細(xì)管的半徑為r,r?h,

今將水平管內(nèi)灌滿密度為P的水銀，如圖所示。

I*—2h―>|

1.如將U型管兩個豎直支管的開口分別封閉起來，使其管內(nèi)空氣壓強(qiáng)均等于大氣壓

強(qiáng)，問當(dāng)U型管向右作勻加速移動時(shí)，加速度應(yīng)多大才能使水平管內(nèi)水銀柱長度穩(wěn)定

-h

為3o

2.如將其中一個豎直支管的開口封閉起來，使其管內(nèi)氣體壓強(qiáng)為latm,問當(dāng)U型管繞以另一個豎直支管

(開口的)為軸作勻速轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)數(shù)n應(yīng)為多大才能使水平管內(nèi)水銀柱長度穩(wěn)定

-h

為3。

(U型管作以上運(yùn)動時(shí)，均不考慮管內(nèi)水銀液面的傾斜)

8.(1)所示為一凹球面鏡，球心為C,內(nèi)盛透明液體，已知C至液面高度CE為40.0cm,主軸CO上有一

物A,物離液面高度AE恰好為30.0cm時(shí)，物A的實(shí)像和物處于同一高度。實(shí)驗(yàn)時(shí)光圈直徑很小，可以保

證近軸光線成像。試求該透明液體的折射率n。

(2)體溫計(jì)橫截面如圖所示，已知細(xì)水銀柱A離圓柱面頂點(diǎn)0的距離為2R,Rr-

為該圓柱面半徑，C為圓柱面中心軸位置。玻璃的折射率n=3/2,E代表人眼，鄉(xiāng)〃「

求圖示橫截面上人眼所見水銀柱像的位置、虛實(shí)、正倒和放大倍數(shù)。豆三”5后

^2R—>

9.如圖所示，兩個固定的均勻帶電球面A和B分別帶電4Q和Q(Q>0)。兩球心之間的距離d遠(yuǎn)大于兩球

的半徑，兩球心的連線MN與兩球面的相交處都開有足夠小的孔，因小孔而損失的電量可以忽略不計(jì)。一

帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)靜止地放置在A球左側(cè)某處P點(diǎn)，且在MN直線上。設(shè)質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)釋放后剛好能穿越三個小

孔，并通過B球的球心。試求質(zhì)點(diǎn)開始時(shí)所在的P點(diǎn)與A球球心的距離x應(yīng)為多少？

10.如圖所示，在真空中有4個半徑為a的不帶電的相同導(dǎo)體球，球心分別位于邊長為r(r?a)的正方

形的四個頂點(diǎn)上。首先，讓球1帶電荷Q(Q>

0),然后取一細(xì)金屬絲，其一端固定于球1

上，另一端分別依次與球2、3、4、大地接觸,

每次接觸時(shí)間都足以使它們達(dá)到靜電平衡。

設(shè)分布在細(xì)金屬絲上的電荷可忽略不計(jì)。試N

求流入大地的電量的表達(dá)式。

物理競賽復(fù)賽模擬卷（四）解答

1.光子火箭從地球起程時(shí)初始靜止質(zhì)量（包括燃料）為Mo,向相距為R=L8X10iy.（光年）的遠(yuǎn)方仙女

座星飛行。要求火箭在25年（火箭時(shí)間）后到達(dá)目的地。引力影響不計(jì)。

1）、忽略火箭加速和減速所需時(shí)間，試問火箭的速度應(yīng)為多大？2）、設(shè)到達(dá)目的地時(shí)火箭靜止質(zhì)量為M?

:試問Mo/M。’的最小值是多少？

分析：光子火箭是一種設(shè)想的飛行器，它利用“燃料”物質(zhì)向后輻射定向光束，使火箭獲得向前的動量。

求解第1問，可先將火箭時(shí)間的=25a（年）變換成地球時(shí)間7,然后由距離R求出所需的火箭速度。

火箭到達(dá)目的地時(shí)，比值加；是不定的，所謂最小比值是指火箭剛好能到達(dá)目的地，亦即火箭的終速度

為零，所需“燃料”量最少。利用上題（本章題11）的結(jié)果即可求解第2問。

解：D火箭加速和減速所需時(shí)間可略，故火箭以恒定速度〃飛越全程，走完全程所需火箭時(shí)間（本征時(shí)

間）為7=25。（年工利用時(shí)間膨脹公式，相應(yīng)的地球時(shí)間為

R

v

解出

可見，火箭幾乎應(yīng)以光速飛行。

（2）、火箭從靜止開始加速至上述速度火箭的靜止質(zhì)量從Mo變?yōu)镸,然后作勻速運(yùn)動，火箭質(zhì)量不變。

%

最后火箭作減速運(yùn)動，比值最小時(shí)，到達(dá)目的地時(shí)的終速剛好為零，火箭質(zhì)量從M變?yōu)樽罱K質(zhì)量加；。

加速階段的質(zhì)量變化可應(yīng)用上題（本章題11）的（3）式求出。因光子火箭噴射的是光子，以光速c離開

火箭，即-c,于是有

]

M（1-ygV

“0J+尸，（1）

°=氏'為加速階段的終速度，也是減速階段性的初速度。對減速階段，可應(yīng)用上題（本章題11）的（4）

式，式中的mo以減速階段的初質(zhì)量M代入。又因減速時(shí)必須向前輻射光子，故口=-5即有

M

玩'

J+夕(2)

由（IX（2）式，得

2.如圖52-1所示，地面上的觀察者認(rèn)為在地面上同時(shí)發(fā)生的兩個事件A和

<\ii

B,在相對地面以速度〃（力平行于x軸，且與正方向同向）運(yùn)動的火箭上

的觀察者的判斷正確的是（）

A、A早于BB、B早于A

C、A、B同時(shí)發(fā)生D、無法判斷

解：在地面（S系）上，^=xB-xA,^t=tli-tA=0>在火箭（S'系）

圖52-1

UX./\

—(“A-XB)

C-

因r>0,〃>0,故A/VO。即從火箭上觀察，B事件在前，A事件在后，選B。

3.如圖11-195所示，正方形均質(zhì)板重G,用4根輕質(zhì)桿較鏈水平懸掛，外形構(gòu)成邊長為a的立方體，現(xiàn)

將方板繞鉛垂對稱軸旋轉(zhuǎn)。角度，再用一細(xì)繩圍繞四桿的中點(diǎn)捆住，使板平衡

于。角位置。試求繩內(nèi)的張力。

分析：初看此題，一般都會覺的比較復(fù)雜，因?yàn)轭}中校鏈就有8個，加上4根

輕質(zhì)桿與繩子有4個接觸點(diǎn)，一共有12個受力點(diǎn)，而且初看甚至想象不出木板

旋轉(zhuǎn)9角度以后整個系統(tǒng)是什么樣子，即使把各個受力點(diǎn)的力逐個畫出來也無

濟(jì)于事。應(yīng)該先想一想哪些點(diǎn)都是對稱的（等價(jià)的），找出最基本的部分，再把

空間方向確定下來，然后好畫出各個力點(diǎn)的受力情況。

解：把木板繞鉛垂對稱軸旋轉(zhuǎn)6角度以后，系統(tǒng)雖然不是一個很對稱的立方體,

但把系統(tǒng)繞鉛直軸旋轉(zhuǎn)90度的整數(shù)倍，系統(tǒng)的與自身重合，說明四根輕桿的受

力情況是完全一樣的。系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，把四根輕桿，木板，繩組成的部分

看成剛體，則剛體受四個較接部分的力而平衡，重力方向的平衡可以得出，豎直方向?qū)γ扛p桿的拉力T

上為：

4T上=G(1)

而較接處是否對輕桿有水平方向的作用力，暫時(shí)還不好確定，不過可以為N〃，從

俯圖來看四根輕桿的受力情況（如圖11T96所示）：

圖11-196

圖中虛線表示正方形對角線的外延部分，如果N〃不在對角線方向上，則四個N〃對0點(diǎn)有一個力偶矩，將

使得下面的部分旋轉(zhuǎn)，與平衡假設(shè)相矛盾，因此水平彈力必然在對角線方向，要么都向外，要么都向里（設(shè)

向外為正，這種設(shè)法不會影響結(jié)果）。

同樣的道理，把木板隔離開來，可知木板對輕桿往下的拉力下為:

下

4T=G(2)

而水平方向的作用力必沿對角線方向（否則木板旋轉(zhuǎn)），木板對桿的作用

力向里向外的性質(zhì)與上端較鏈的方向相同，否則以繩對桿的作用點(diǎn)為支

點(diǎn)，力矩?zé)o法平衡。

下面再看整個系統(tǒng)的俯視圖（如圖11-197所示），把輕桿隔離出來作為平

衡的剛性桿，利用力的平衡條件和力矩的平衡條件可求出拉力T的大小。

繩作用在每根轉(zhuǎn)桿的中點(diǎn)，在俯視圖上不難看出，繩子構(gòu)成一個正方形，

且在水平面內(nèi)，因而可以知道繩對輕桿僅有水平面內(nèi)，因而可以知道繩對

輕桿僅有水平面內(nèi)的拉力，輕桿在豎直方向上力的平衡是滿足的：

T上=T下(3)

取一根輕桿為研究對象不難求出N〃與N7的關(guān)系，以及N〃與丁〃的關(guān)系，設(shè)繩的張力為「則水平合力

X方向水平力平衡:

.J,.0股.0

7V//sin-=7V//sin-

(4)

y方向水平力平衡:

N；cos、+N"cos?-TH=42T

(5)

在過輕桿的豎直面內(nèi)來分析力矩平衡（只研究平面內(nèi)轉(zhuǎn)矩），如圖11T98。

對于A點(diǎn)，力矩平衡

N'“sin—?aJcosS=T卜?V2asin—

22(6)

聯(lián)合(2)、⑷、⑸、(6)式可得

Gcos-

2

T=

2jcos6

->a24.如圖12-30所示，一小車對地以加速度ai=lm/s2向左由靜止開始作勻加速運(yùn)動，車

~~上一人又以加速度a=201/-相對于車向右同時(shí)由靜止開始作勻加速運(yùn)動。求：（1）人對

。......地的加速度；（2）經(jīng)歷時(shí)間t1=ls,人對地的瞬時(shí)速度；（3）經(jīng)歷時(shí)間t2=2s,人對地的

位移。

圖12-30解：（1）°人地人車車地

與a?方向相反選a?為正方向

則

a人地=2m/s?一網(wǎng)52

—Imls2

"人車=2m/s

(2)t=ls時(shí),

“車地=一1袖s

V人地=2m/s-im/s

=im/s

2

“人地=Im/s

(3)

—'xa'Xt2=5=—xlx22=2m

22

5.有一小直徑為d的試管，管內(nèi)裝有理想氣體，其中有一段質(zhì)量m=2g的水銀將理想氣體和空氣隔開。當(dāng)

試管口向上時(shí)，氣體在試管中的長為L(圖24-30(a)中的(a)),當(dāng)將管口向下時(shí)，氣體在試管中長為

L(圖24-30(b)中的(b)),試求L2/L為多少？

解：如果是等溫過程，可得理想氣體的狀態(tài)方程

PV=常數(shù)

對于上述兩種情況，可有

PM=6匕

現(xiàn)在考慮在每一情況作用中在氣體上的壓強(qiáng)，如圖24-30(b)所示，可得

W

匕_片_大氣,J

匕一八一2一上

大氣S

式中S為試管內(nèi)部的截面積，W為水銀的重量，W=mg,則

v“尸大氣+鱉

匕=S4=人IS

Xs4P大氣mg

S

消去S得

J_P大氣+

L4Mg

大氣—

'P7Rl2

6.有一個兩端開口、粗細(xì)均勻的U型玻璃細(xì)管，放置在豎直平面內(nèi)，處在壓強(qiáng)為P。

的大氣中,兩個豎直支管的高度均為h,水平管的長度為2h,玻璃細(xì)管的半徑為r,r?h,

今將水平管內(nèi)灌滿密度為P的水銀，如圖24-54(a)所示。

1.如將U型管兩個豎直支管的開口分別封閉起來，使其管內(nèi)空氣壓強(qiáng)均等于大氣壓圖24-54(a)

強(qiáng)，問當(dāng)U型管向右作勻加速移動時(shí)，加速度應(yīng)多大才能使水平管內(nèi)水銀柱長度穩(wěn)定為3。

2.如將其中一個豎直支管的開口封閉起來，使其管內(nèi)氣體壓強(qiáng)為latm,問當(dāng)U型管繞以另一個豎直支管

5/7

（開口的）為軸作勻速轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)數(shù)n應(yīng)為多大才能使水平管內(nèi)水銀柱長度穩(wěn)定為§o

（U型管作以上運(yùn)動時(shí)，均不考慮管內(nèi)水銀液面的傾斜）?|]—

解：1、當(dāng)U型管向右加速移動時(shí)，水平管內(nèi)的水銀柱將向左邊的豎直支管中移1/,!

動,其穩(wěn)定的位置是留在水平管內(nèi)的水銀柱所受的水平方向的合力等于使其以恒3?。?-----%”

定加速度a向右運(yùn)動時(shí)所需的力。由于豎直支管內(nèi)空氣在膨脹或壓縮前后的溫度

相等，根據(jù)氣態(tài)方程有圖24-54（b）

S為管的截面積，圖24-54（b）中，A、B兩處壓強(qiáng)分別為:

1,

PA=%+個Pgh

PB=PI

而留在水平管內(nèi)的水銀柱質(zhì)量

m=—phS

其運(yùn)動方程為（PA—PB）S=ma

由以上各式可得

a=(9po+4pgh)/(20ph)

2.當(dāng)U型管以開口的豎直支管為軸轉(zhuǎn)動時(shí)，水平管內(nèi)的水銀柱將向封閉的豎直支管+5"

中移動，其穩(wěn)定位置是水平管內(nèi)的水銀柱所受的水平方向的合力，正好等于這段水；

銀柱作勻速圓周運(yùn)動所需的向心力。由于封閉豎直支管內(nèi)空氣在壓縮前后的溫度相

等，根據(jù)氣態(tài)方程有

PohS=aphS

圖24-54(c)

S為管的截面積。圖24-54（c）中A、B兩處的壓強(qiáng)分別為

PA=P+-

PB=Po

留在水平管內(nèi)的水銀柱的質(zhì)量

m=—phS

其運(yùn)動方程為

(pA-pB)S=ma)'R=4兀"n\nR

由以上各式可得

n=[(9/%+6/Jg/z)/(140^2/?/?2))2

7.有一塊透明光學(xué)材料，由折射率略有不同的許多相互平行的，厚度d=0.1mm

的薄層緊密連接構(gòu)成，圖33-40表示各薄層互相垂直的一個截面，若最下面一出

層的折射率為no,從它往上數(shù)第K層的折射率為m=n°-K,,其中n0=l.4,v=0.025,----------------------------?4

今有一光線以入射角i=60°射向0點(diǎn)，求此光線在這塊材料內(nèi)能達(dá)到的最大

深度？逐勺2f

解：設(shè)光線進(jìn)入材料后的折射角為r,則根據(jù)折射定律有sini=〃o?sinr,二^濟(jì)二"

一生-4,圖33-40

此光線從最下面一層進(jìn)入向上數(shù)第一層時(shí)，入射角為2,折射角為

同樣根據(jù)折射定律有

也即"OS。。

光線從第一層進(jìn)入第二層時(shí)，同樣可得

/?1?cos00=n2cos

綜合以上分析可得:

。幾

?cos0=］cos=n2cosa=........=nK?cos(/)K

因?yàn)椤↘=〃O-KX°.OO25,所以COS@K隨著K的增大而增大，念則隨著K的增大而減小，即光線在順

序變化的介質(zhì)中傳播時(shí)將偏向折射率變大的方向。滿足上式又當(dāng)C0S°K最接近1的K值即為光線能進(jìn)入的

最深薄層的序號，光線在這個薄層上將發(fā)生全反射，然后又逐層返回下面最后射出透明材料。

因此求出能滿足下式的K的最大值

HQ-Kv

因?yàn)閚0?cos。。=nasinr=sini

代入上式得：

sini

cos

TIQ-Kv

”/i-sinz1.41-0.866…”

K<0-----=-----------=21.76

解得:v0.025

取小于21.76的最大整數(shù)，得K=2L即在n。上面第21層下表面就是光線能到達(dá)的最深處，所以光線在這

塊透明材料內(nèi)能達(dá)到的最大深度是

h-（K+\）d=22x0.\mm-2.2mm.

8.（1）圖33-98所示為一凹球面鏡，球心為C,內(nèi)盛透明液體，已知C至液面高度CE為40.0cm,主軸

C0上有一物A,物離液面高度AE恰好為30.0cm時(shí)，物A的實(shí)像和物處于同一高度。實(shí)驗(yàn)時(shí)光圈直徑很小,

可以保證近軸光線成像。試求該透明液體的折射率n。

（2）體溫計(jì)橫截面如圖33-99所示，已知細(xì)水銀柱A離圓柱面頂點(diǎn)。的距離為2R,R為該圓柱面半徑，C

為圓柱面中心軸位置。玻璃的折射率n=3/2,E代表人眼，求圖示橫截面上人眼廣~7~落、

所見水銀柱像的位置、虛實(shí)、正倒和放大倍數(shù)。m彩一?

分析：（1）通過折射定律和光圈足夠小的條件可求出液體的折射率。（2）注意L--一'一少E

在近軸條件下的近似，再通過幾何知識即可求解。尸2AT

解：（1）主軸上物A發(fā)出的光線AB,經(jīng)液體界面折射后沿BD方向入射球面鏡時(shí)，圖33-99

只要BD延長線過球心C,光線經(jīng)球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原

理，折回的光線相交于A（圖33-100）。

對空氣、液體界面用折射定律有

sinz=n-sinr

siniBE/AB

n=----=————

sinrBE/CB

當(dāng)光圈足夠小時(shí)，BTE,因此有AE30.0

（2）先考慮主軸上點(diǎn)物A發(fā)出的兩條光線，其一沿主軸方向ACOE入射界面，無偏折

地出射，進(jìn)入人眼E。其二沿AP方向以入射角，斜入射界面P點(diǎn)，折射角為r。折射

光線PQ要能進(jìn)入人眼E,P點(diǎn)應(yīng)非?？拷?點(diǎn)，或者入射角’和折射角r應(yīng)很小。若

角度以弧度量度，在小角（近軸）近似下，折射定律〃sini=sinr可寫為山。這

圖33-100

兩條光線反向延長，在主軸上相交于小，屋即為物A之虛像點(diǎn)（圖33-101）。

對NAPA'用正弦定律，得

sinZArPA_sin（4一i）_sini

TATP~

在小角（近軸）近似下：

sinZ.AfPA=ZA/PA=ni—i,sini=i

上式可寫為7/b-2R~Td

解上式得

2-n2-3/2

為了分析成像倒立和放大情況，將水銀柱看成有一定高度的垂軸小物體AB,即然A~A'是一對共轎點(diǎn)，

只要選從B發(fā)出的任一條光線經(jīng)界面折射后，反向延長線與過A'點(diǎn)垂軸線相交于夕，夕是點(diǎn)物B虛像

點(diǎn)，即A'夕是物AB之正立虛像。

選從B點(diǎn)發(fā)出過圓柱面軸心C的光線BC。該光線對界面來B',一“；

說是正入射（入射角為零），故無偏折地出射，反向延長BC

線交過A'垂軸線于"，從AA'B'CsAABC得

W~^C3R

圖33-101

放大率

9.如圖41-83所示，兩個固定的均勻帶電球面A和B分別帶電4Q和Q（Q>0）。兩球心之間的距離d遠(yuǎn)大

于兩球的半徑，兩球心的連線MN與兩球面的相交處都開有足夠小的孔，因小孔而損失的電量可以忽略不

計(jì)。一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)靜止地放置在A球左側(cè)某處P點(diǎn)，且在MN直線上。設(shè)質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)釋放后剛好能穿越

三個小孔，并通過B球的球心。試求質(zhì)點(diǎn)開始時(shí)所在的P點(diǎn)與A球球心的距離x應(yīng)為多少？

分析：質(zhì)點(diǎn)釋放后，由于質(zhì)點(diǎn)帶負(fù)電，A球和

B球帶正電，故質(zhì)點(diǎn)先加速，穿過A球內(nèi)時(shí)，/>一一、

不受A球的電場力作用，但仍受B球的電場p//\

力，進(jìn)一步加速。在兩球之間時(shí)，存在一質(zhì)血---9-------------p---------9P---j,

點(diǎn)所受合力為零的點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為S,且由于A\A/'\B）

球所帶電量大于B球帶電量,S點(diǎn)應(yīng)離B球較、J，'--

近。所以質(zhì)點(diǎn)從A球內(nèi)出來后到S點(diǎn)這段距1X一|-------d------

離內(nèi)作減速運(yùn)動，從S點(diǎn)到B球的第一個孔

這段距離內(nèi)作加速運(yùn)動。因此，為了使質(zhì)點(diǎn)圖41-83

能到達(dá)B球的球心，第一個必要條件是，質(zhì)

點(diǎn)必須通過S點(diǎn)，即質(zhì)點(diǎn)在S點(diǎn)的速度至少應(yīng)大于零或至少等于零。若質(zhì)點(diǎn)能通過S點(diǎn)，則如上述，從S

點(diǎn)到B球的第一個孔期間，質(zhì)點(diǎn)沿MN向右加速。由于質(zhì)點(diǎn)在B球內(nèi)不受B球的電場力作用，但仍受A球

向左的引力，質(zhì)點(diǎn)減速，因此為了使用期質(zhì)點(diǎn)能通過B球的球心，第二個必要條件是，質(zhì)點(diǎn)在B球球心處

的速度應(yīng)大于零或至少等于零。

本題的關(guān)鍵在于帶電體系的電勢能與帶電質(zhì)點(diǎn)的動能之和，在該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程中守恒。因此質(zhì)點(diǎn)剛好能通

過S點(diǎn)的條件可表示為，質(zhì)點(diǎn)在P點(diǎn)和S點(diǎn)時(shí)，帶電體系的電勢能相等（注意，質(zhì)點(diǎn)在P點(diǎn)靜止）。同樣,

若質(zhì)點(diǎn)在S點(diǎn)時(shí)帶電體系的電勢能大于（或等于）質(zhì)點(diǎn)在B球球心時(shí)帶電體系的電勢能，則表明質(zhì)點(diǎn)若能

通過S點(diǎn)，就必定能通過(或剛好到達(dá))B球球心。

解：根據(jù)分析，在MN直線上在A球和B球之間有一個S點(diǎn)，帶電質(zhì)點(diǎn)在S點(diǎn)受力為零。設(shè)S點(diǎn)與A球和

B球球心的距離為(和"2,則

埠名

r\+r2=d

由以上兩式，可解出

2,1

r<=—d；r=J

337

帶電質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)靜止釋放后，剛好能夠到達(dá)S點(diǎn)的條件是，它在P點(diǎn)和S點(diǎn)的電勢能相等，即

笈4。(-<?)。(-q)_G4。(-q)4左。(-4)

鼠?K-KIK

x無+df]r2

式中-q(q>0)是帶電質(zhì)點(diǎn)的電量。把上面解出的八和八2代入，得

x=|(V10-l)c/

為了判斷帶電質(zhì)點(diǎn)剛好到達(dá)S點(diǎn)后，能否通過B球球心，需比較它在S點(diǎn)的電勢能％與它在B球球心處

的電勢能卬8的大小，因

ws=k^l+k^l=-k2Qi

r\r2d

%人用+個…%力

式中RB為B球的半徑。由題設(shè)

RB?d

419

----1------->一

故dRBd

即卬8>%

因此，帶電質(zhì)點(diǎn)只要能到達(dá)S點(diǎn)，就必定能通過B球球心。于是，所求開始時(shí)P點(diǎn)與A球球心的距離x即

為上述結(jié)果，即

10.如圖41-88所示，在真空中有4個半徑為a的不帶電的相同導(dǎo)體球，球心分別位于邊長為r(r?a)

的正方形的四個頂點(diǎn)上。首先，讓球1帶電荷Q(Q>0),然后取一細(xì)金屬絲，其一端固定于球1上，另一

端分別依次與球2、3、4、大地接觸，每次接觸時(shí)間都足以使它們達(dá)到靜電平衡。設(shè)分布在細(xì)金屬絲上的

電荷可忽略不計(jì)。試求流入大地的電量的表達(dá)式。

解：當(dāng)球1與球2連接后，用Q：和金分別表示球1和球2上的電量,

可得Q2=Q；=Q/2。球1與球3連接后，因球1和球3處于對稱

位置，其電量Q：和Qs相等，故可得03=2“=0/4.球1與球4連

圖41-88

接后，電荷分布呈不對稱狀態(tài)，設(shè)連接后球1和球4上的電量分別

為5與Q”。它們可利用等電勢方法求出，即

U,^kQJa+kQJr+kQ./(V2r)+kQJr

U4=kQ、/a+kQ2/(^2r)+kQ3/r+kQJa

以上各式中，計(jì)算各球上的電荷在另一球處引起的電勢時(shí)，利用了r?a的條件。由于4=04,且

QI+Q4=Q1=Q/4,

故a=0{l-a(V2-l)/[V2(r-a)]}/8

04=g{l+a(V2-l)/[V2(r-?)]}/8

利用r?a的條件，略去二階小量，上式可寫成

Q,=e[l-a(V2-l)/(V2r)]/8

04=汕+4鳳1)/(⑸]/8

最后將球1與球4斷開并把球1接地。設(shè)接地后球1所帶電量為⑴，電勢為“，則球1的電勢為

U[-kQt/a+kQ2/r+kQ5(^2r^+kQA/r-0

%=-。(。2+°3/收+。4)”

=—aQb/8+1/(4V2)+(V2—11/(80)]/r

--?e[5/8+l/(4V2)]/r

此時(shí)球1上帶負(fù)電，故流入大地的電量0入地為

。入地=Q\+|%|

=°|1-a(V2-1)/V2r]/8+游/8+1/(4⑸/r

=Q[l+a(5+V2-l+72/2)/r]/8

=e[l+a(4+3V2/2)/r]/8

J2)

Q

8

答:

物理競賽復(fù)賽模擬卷（五）

1.設(shè)法使邊長為L的正方形環(huán)在任何情況下均以勻速度v沿著它的AB邊方向運(yùn)動，在其運(yùn)動的空間區(qū)域

內(nèi)有一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E垂直于環(huán)的運(yùn)動速度。運(yùn)動期間，環(huán)始終在同一平面上，電場E相對于環(huán)平面的

傾角為e。設(shè)環(huán)上串有大量小球，這些小球象珠子串在項(xiàng)鏈上那

樣被串在環(huán)上。小球的大小可忽略，各球都帶有電量q?今在相

對于環(huán)不動的參照系中設(shè)法讓這些小球均以勻速u沿環(huán)邊運(yùn)動，

各邊上相鄰兩球的間距均為a,且L遠(yuǎn)大于a（參見圖52-2）,環(huán)

是用不導(dǎo)電的線制作的，在相對于環(huán)不動的參照系中它有均勻的

電荷線密度，正好把全部小球的電荷完全抵消掉。

考慮相對論效應(yīng)，在一個從其上看環(huán)的運(yùn)動速度為v的慣性參照

系上計(jì)算以下各量：

1、環(huán)路各邊上相鄰兩個小球之間的距離aAB,aec,a?和aw；

2、環(huán)路各邊凈電量（各邊上線電荷與小球電荷之和）Q叫QBC,QS

和QOA;

3、使環(huán)與小球系統(tǒng)受到轉(zhuǎn)動作用的電力矩模量M；

4、環(huán)與小球系統(tǒng)和電場之間相互作用的電勢能W。

所有解答均需用題中給定的量來描述。

2.如圖11-189所示，一塊均勻的細(xì)長木板以傾角。靜止地放在兩根水

平的固定平行細(xì)木棒A和B之間。若兩棒相距為d,兩棒和木板間的摩

擦因數(shù)均為u,試求木板重心G與木棒A之間的距離。

圖11-189

3.A、B兩點(diǎn)相距s,將s平分為n等份。今讓一物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開始向B做加速運(yùn)動,

但每過一個等分點(diǎn)，加速度都增加a/n。試求該物體到達(dá)B點(diǎn)的速度。

4.一個質(zhì)點(diǎn)從靜止開始，先以加速度出作勻加速運(yùn)動，后以大小為az的加

速度作勻減速直線運(yùn)動，直至靜止，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的總時(shí)間為t,則運(yùn)動的總位

移是多少？

5.如圖24-29所示，截面均勻，下端A封閉的細(xì)長試管AB豎直放置，管下端A內(nèi)封有長為L。的空氣，管

中間是長為4L。的水銀柱，管上端B有長為L。的空氣。管中間有長為L=4L?的水銀柱管上端B有長為U,的

空氣。開始時(shí)，管上端B與大氣連通，大氣壓強(qiáng)為p°=2pgL,其中P為水銀密度。

（1）如果先將B端封閉，再將試管緩慢轉(zhuǎn)過180°,試問管中A端空氣柱長度晨與BB

端空氣柱長度LB各為多少？

水

（2）如果B端始終與大氣連通，不封閉，先將試管緩慢倒轉(zhuǎn)180°,再緩慢回轉(zhuǎn)180°

銀彳=4%

復(fù)原。試問最后管中A端空氣柱長度4與B端空氣柱長度品各為多少L。？柱V

設(shè)倒轉(zhuǎn)過程均在大氣環(huán)境下進(jìn)行，溫度不變?？?/p>

圖24-29

6.某水銀氣壓計(jì)的玻璃管頂端高出水銀槽液面1m。如圖24-33所示，因上部混入少量

空氣，使其讀數(shù)不準(zhǔn)。當(dāng)氣溫為27。3標(biāo)準(zhǔn)氣壓計(jì)讀數(shù)仍為76cmHg時(shí)，該氣壓計(jì)讀數(shù)

為70cmHg。

（1）在相同氣溫下，若用該氣壓計(jì)測量氣壓，測得讀數(shù)為68cmHg,則實(shí)際氣壓應(yīng)為多

少厘米汞柱？

（2）若在氣溫為-31時(shí)，用該氣壓計(jì)測得氣壓讀數(shù)仍為70cmHg,則實(shí)際氣壓應(yīng)為多

少厘米汞柱？

圖

24-33

7.如圖24-61所示，有一個直立的氣缸，氣缸底到氣缸口的距離為L℃m,用一厚度和質(zhì)量均可忽略不計(jì)

的剛性活塞A,把一定質(zhì)量的空氣封在氣缸內(nèi)，活塞與氣缸間的摩擦可忽略。平衡時(shí)活塞上表面與氣缸口

的距離很?。ㄓ?jì)算時(shí)可忽略不計(jì)），周圍大氣的壓強(qiáng)為HocmHgo現(xiàn)把盛有水銀的一個瓶子放在活塞上（瓶

子的質(zhì)量可忽略），平衡時(shí)活塞到氣缸底的距離為Lem。若不是把這瓶水銀放在活塞上，而是把瓶內(nèi)水銀

緩緩不斷地倒在活塞上方，這時(shí)活塞向下移，壓縮氣體，直到活塞不再下移，求此時(shí)活塞在氣缸內(nèi)可能的

位置以及與之相對應(yīng)的條件（即題中給出量之間應(yīng)滿足的關(guān)系），設(shè)氣體的溫度不變。

8.有一根玻璃管，它的內(nèi)、外半徑分別為r和R,充滿發(fā)光液，在彳射線的影響下，發(fā)光液會發(fā)出綠光。

對于綠光，玻璃和液體的折射率分別為m和

r

如果有人從外表面觀察，玻璃管的厚度似乎為零，請問比值R必須滿足何條件？

9.薄壁透明圓柱形玻璃容器浮于水面,容器的內(nèi)底面與容器外水面的高度差為h,_v-D—>

容器的內(nèi)直徑為D.在容器底正中放有一個小物體A(圖33-109)?實(shí)驗(yàn)證明，二不

在水面上方容器外側(cè)存在一個看不見A的“盲區(qū)”。已知水的折射率為n=4/3,二二h

sin48°36'=0.75,假定水面與玻璃表面垂直，試確定此盲區(qū)的范圍。----A1

10.如圖33-119所示，一個附著有小珠的屏，當(dāng)入射光聚焦在小珠的后表面時(shí)會把入射光反射回光源。對

在水中(n=4/3)穿緊身衣潛水者來說，理想情況下小珠要用折射率多大的

材料？

11.一條窄的激光束在折射率為m的媒質(zhì)中傳播，射向半徑為R的透明球。球心到

光束的距離為L,光束寬度比球的半徑小得多，球是由折射率為m的光疏媒質(zhì)制作的。

試求光束與原方向的偏角。

12.兩個相距很遠(yuǎn)的銅球，已知其半徑和電勢分別是：n=6cm,Ui=300V；n=4cm,U2=150V?將這兩個銅

球用細(xì)銅絲連接達(dá)到靜電平衡后，問此時(shí)電能損耗了多少？

13.真空中，有五個電量均為q的均勻帶電薄球殼，它們的半徑分別為R、R/2,R/4、R/8、R/16,彼此

內(nèi)切于P點(diǎn)。球心分別為6、。2、。3、0八05o求。5與6間的電勢差。

14.有一帶正電的孤立導(dǎo)體A。另外，從無窮遠(yuǎn)處將不帶電的導(dǎo)體B移至A的附近，試證明:

(1)。后0

(2)UA>UB>0

其中5A為導(dǎo)體A的電荷面密度，UA和UB為導(dǎo)體A和B的電勢。

物理競賽復(fù)賽模擬卷（五）解答

1.設(shè)法使邊長為L的正方形環(huán)在任何情況下均以勻速度v沿著它的AB邊方向運(yùn)動，在其運(yùn)動的空間區(qū)域

內(nèi)有一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E垂直于環(huán)的運(yùn)動速度。運(yùn)動期間，環(huán)始終在同一平面上，電場E相對于環(huán)平面的

傾角為e。設(shè)環(huán)上串有大量小球，這些小球象珠子串在項(xiàng)鏈上那

樣被串在環(huán)上。小球的大小可忽略，各球都帶有電量q。今在相

對于環(huán)不動的參照系中設(shè)法讓這些小球均以勻速u沿環(huán)邊運(yùn)動，

各邊上相鄰兩球的間距均為a,且L遠(yuǎn)大于a（參見圖52-2）,環(huán)

是用不導(dǎo)電的線制作的，在相對于環(huán)不動的參照系中它有均勻的

電荷線密度，正好把全部小球的電荷完全抵消掉。

考慮相對論效應(yīng)，在一個從其上看環(huán)的運(yùn)動速度為v的慣性參照

系上計(jì)算以下各量：

1、環(huán)路各邊上相鄰兩個小球之間的距離aAB,aec,a?和aw；

2、環(huán)路各邊凈電量（各邊上線電荷與小球電荷之和）Q叫QBC,QS

和QOA;

3、使環(huán)與小球系統(tǒng)受到轉(zhuǎn)動作用的電力矩模量M；

4、環(huán)與小球系統(tǒng)和電場之間相互作用的電勢能W。

所有解答均需用題中給定的量來描述。

注意：物體的電荷量與測量參照系的選擇無關(guān)。

圖52-2只畫出了各矢量之間的相對方向。

略去電磁輻射。

有關(guān)的相對論公式如下:

（1）設(shè)慣性參照系S'以勻速度v相對另一參照系S運(yùn)動。兩參照系對應(yīng)的坐標(biāo)軸彼此平行，t=0時(shí)坐標(biāo)

原點(diǎn)重合，速度v沿x軸正方向。

若在S'系測得一個質(zhì)點(diǎn)以速度"'沿X’軸運(yùn)動，那么在S系測得該質(zhì)點(diǎn)的速度應(yīng)為

/+V

其方向沿X軸正方向（相對論速度求和公式）。

（2）如果一個物體的靜止長度為4）,當(dāng)它以速度v沿其長度方向相對某觀察者運(yùn)動時(shí)，那么該觀察者測

得此物體長度L為

解：1、令S為觀察到環(huán)路以速度V運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)室參照系，S'為環(huán)路參照系（S'系的X軸與V同向，沿

著DA邊的方向，z'軸則垂直于環(huán)路所在平面）。S系各軸平行于5'系各對應(yīng)軸，S與5'系的坐標(biāo)原點(diǎn)在

t=0時(shí)重合。

（1）AB邊

建立與AB邊上的小球一起運(yùn)動的參照系它的各坐標(biāo)軸與S,5'系的坐標(biāo)軸平行。相對S'具有速

度u。

據(jù)洛侖茲收縮，S”測得的AB邊上相鄰兩個小球之間的距離a＞為

a

(只要叫是在相對小球靜止的參照系中測得的相鄰兩球間距，上式對任何一條邊均成立。)

據(jù)相對論速度求和公式，S系中的觀察者認(rèn)為AB邊上諸球具有的速度為

M+V

LtAn=-------------.

再據(jù)洛侖茲收縮，此觀察者將測得AB邊上相鄰兩球的間距為

Ogi-Mr

VL,(3)

將(1),(2)式代入到(3)式，可得：

aAB=------------Q

UV

1t+不

CoG1)

(2)CD邊

對S系中的觀察者而言，CD邊上小球的速度為

V-U

憂CD~

UV

]一2

c,(5)

再據(jù)洛侖茲收縮有

aCD=

VL,(6)

將(D,(5)式代入到(6)式，便得

aco=~~^ra

[2

C(7)

(3)DA邊

在5'系中，令DA邊上的某一小球在‘0時(shí)刻位于x；=4=1=°處。在同一時(shí)刻鄰近的一個小球應(yīng)位于

h=0,%=a,6=0處。

各球相對于S系的空一時(shí)坐標(biāo)可由洛侖茲變換式給出

(8)

據(jù)此，第一個小球在S系中有

月

=0,Z[=0(9)

第二個小球則為

a馬

y2=,=o(10)

?

h=r^-o

FT

由于乙=，2,S系中這兩個小球之間的距離便為

aDAT(*2—西)2+(為一力)2+(Z2-Z1)2]"2,(H)

即得

aDA=a。(12)

(4)BC邊

重復(fù)上述相似的討論，可得

anc=a(13)

(其實(shí)，由于DA,BC邊與v垂直，無洛侖茲收縮，故"以二°叱=4。)

2、在環(huán)路參照系5'中，每一條邊線上的電荷量為

%(14)

在此已考慮到L/a為各邊上的小球數(shù)。由于電荷是運(yùn)動不變量，在實(shí)驗(yàn)室參照系S中測得的各邊線電荷量

也為此值。

(I)AB邊

在實(shí)驗(yàn)室參照系中，AB邊上各球電荷量之和為

t2

I

°AB,b=------------q

aAB(15)

此式系由AB邊上小球數(shù)乘以每一小球電荷量(運(yùn)動不變量)來獲得。(15)式右邊第一項(xiàng)中的分子為S系

中觀察者測得的運(yùn)動收縮邊長，分母則為相鄰小球的間距。

將(4)式代入到(15)式中，可得：

1WVI

(16)

將(14)式和(16)式相加，便得AB邊上總電荷量

八L

QAB=

ac(17)