2022屆山西省高三第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2022屆山西省高三第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合M的描述，判斷集合N中元素與集合M的關(guān)系，再由集合的交運(yùn)算求【詳解】由題設(shè)，，，所以.故選：A2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：D.3．已知命題若，則；命題，在定義域內(nèi)是增函數(shù)．則下列命題中的真命題是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷命題、的真假，利用復(fù)合命題的真假可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于命題，取，，則，但，為假命題，對(duì)于命題，，，則函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，為真命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：B.4．若傾斜角為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得.故選：C.5．已知非零向量、滿足，，則與的夾角為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用等式結(jié)合可求得，且有，利用平面向量的數(shù)量積求出，結(jié)合向量夾角的取值范圍可得出結(jié)果.【詳解】由，可得，所以，，因?yàn)?，則，故，所以，，因?yàn)椋虼耍?故選：C.6．如圖，正方體中，若，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面平面【答案】C【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系分別判斷.【詳解】由為正方體，且，分別是棱，的中點(diǎn)，則，則平面即為平面，A選項(xiàng)，如圖連接，由正方體可知，又不成立，所以不成立，即A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由平面，故與平面不平行，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，連接，則，又平面，，所以平面，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，平面與平面有公共點(diǎn)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x，，那么輸出的S的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件邏輯，結(jié)合不等式的性質(zhì)，討論、對(duì)應(yīng)輸出S的范圍，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)，即且時(shí)，可得，所以且，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，.綜上，輸出的S的取值范圍是.故選：B.8．已知函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，，則，求得：.故選：D.9．設(shè)函數(shù)，若有四個(gè)實(shí)數(shù)根、、、，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出圖象，分析可知，，，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出，可得出，利用單調(diào)性求出函數(shù)在上的值域，即可得解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、、、，且，由圖可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，由圖可知，，，由可得，所以，，所以，可得，所以，，易知函數(shù)在上為減函數(shù)，且，，故.故選：A.10．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得到、的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，即，即，所以，，因?yàn)?，故，即，即，因此?故選：D.11．“三分損益法”是古代中國(guó)制定音律時(shí)所用的生律法．三分損益包含“三分損一”“三分益一”．取一段弦，“三分損一”即均分弦為三段，舍一留二，便得到弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦．以宮為第一個(gè)音，依次按照損益的順序，得到四個(gè)音，這五個(gè)音的音高從低到高依次是宮、商、角、微、羽，合稱“五音”.已知聲音的音高與弦長(zhǎng)是成反比的，那么所得四音生成的順序是（

）A．微、商、羽、角 B．微、羽、商、角C．商、角、微、羽 D．角、羽、商、徵【答案】A【分析】設(shè)宮的弦長(zhǎng)為，根據(jù)生律法按順序?qū)懗龊罄m(xù)四音的弦長(zhǎng)，再由題設(shè)音高與弦長(zhǎng)的反比關(guān)系判斷五音生成順序，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，若宮的弦長(zhǎng)為，則其它四音對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)依次為、、、，因?yàn)槁曇舻囊舾吲c弦長(zhǎng)是成反比，則四音的音高關(guān)系為，又音高從低到高依次是宮、商、角、微、羽，所以五音生成順序?yàn)閷m、微、商、羽、角.故選：A12．如圖①，在Rt△ABC中，，，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如圖②．若F是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)直線CM與平面DEF所成角最小時(shí)，四面體MFCE的體積是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】若是中點(diǎn)，連接，易得直線CM與面DEF所成角即為直線CM與面所成角為，利用線面垂直的判定可得面，由線面垂直、面面垂直的判定有面面，即可判斷的變化范圍，進(jìn)而確定最小時(shí)的位置，再利用棱錐的體積公式求體積即可.【詳解】若是中點(diǎn)，連接，則面DEF即為面，所以直線CM與面DEF所成角，即為直線CM與面所成角為，因?yàn)?，，，則面，又F是的中點(diǎn)，則F到面的距離為.因?yàn)?，，，則面，又面，則面面，又面，面面，所以直線CM與面所成角為，即為直線所成角.又△為等腰直角三角形且，則，由圖知，M在線段上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，即直線CM與平面DEF所成角最小時(shí)，重合，此時(shí)，四面體MFCE的體積.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用線面垂直、面面垂直，結(jié)合M在線段上運(yùn)動(dòng)判斷線面角的范圍，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷角度最小時(shí)M的位置.二、填空題13．某校要求每名學(xué)生只參加某一個(gè)興趣小組，并對(duì)高一、高二年級(jí)的3個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：書法組舞蹈組樂器組高一x2030高二453010已知按興趣小組類別用分層抽樣的方法，從參加這3個(gè)興趣小組的學(xué)生中共抽取了30人，其中書法組被抽取12人，則_________．【答案】15【分析】利用分層抽樣的等比例性質(zhì)列方程，即可求出x.【詳解】由題設(shè)，，解得.故答案為：15.14．我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會(huì)更甜．這句話用數(shù)學(xué)符號(hào)可表示為：，其中，且a，b，．據(jù)此可以判斷兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比如_________（填“＞”“＜”）．【答案】>【分析】設(shè)、，類比題設(shè)的不等關(guān)系，判斷兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小.【詳解】令，則，令，則，所以，，根據(jù)題設(shè)知：.故答案為：>15．過(guò)雙曲線C：的右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，若，則C的離心率是_________．【答案】【分析】取雙曲線的一條漸近線，可求出，再由，可得，由題意可得直線的方程為，求出點(diǎn)，然后由列方程化簡(jiǎn)可求出離心率【詳解】取雙曲線的一條漸近線，即，因?yàn)橛医裹c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)橹本€與漸近線垂直，所以直線的方程為，令，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，得，，所以，所以離心率故答案為：16．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，，則_________．【答案】【分析】根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)可知，，由勾股定理求出，連接BD，利用余弦定理分別求出和，根據(jù)列方程，解方程即可.【詳解】如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，所以，，因?yàn)?，所以，又，所以，連接BD，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又因?yàn)?，所以，則，由，解得.故答案為：.三、解答題17．已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，即可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）有，應(yīng)用分組求和，結(jié)合等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【詳解】(1)若的公差為，則，所以，解得，則.(2)由（1）知：，所以.18．在如圖所示的幾何體中，平面平面ABCD，四邊形ADNM是矩形，四邊形ABCD為梯形，，，．(1)求證：平面MBC；(2)已知直線AN與BC所成角為60°，求點(diǎn)C到平面MBD的距離【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】取CD的中點(diǎn)E，連接BE、NE，根據(jù)題意可得平面，平面，利用面面平行的判定定理和性質(zhì)即可證明；(2)根據(jù)題意知四邊形為菱形，可得直線AN與BC所成角為，利用余弦定理求出AM，進(jìn)而求出，結(jié)合三棱錐等體積法即可求出點(diǎn)C到平面MBD的距離.【詳解】(1)由題意得，取CD的中點(diǎn)E，連接BE、NE，則且，故四邊形是平行四邊形，所以，又平面，所以平面，又且，且，則且，故四邊形是平行四邊形，所以，又平面，所以平面，由得，平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?2)因?yàn)榫匦纹矫?，所以平面，又，所以四邊形為菱形，則，直線AN與AE所成角為，設(shè)AM的長(zhǎng)為x，則，在中，由余弦定理，得，即，由解得，所以，得，在中，，所以的高為，故，設(shè)點(diǎn)C到平面MBD的距離為h，則，由，得，解得.即點(diǎn)C到平面MBD的距離為.【點(diǎn)睛】19．從某臺(tái)機(jī)器一天產(chǎn)出的零件中，隨機(jī)抽取10件作為樣本，測(cè)得其質(zhì)量如下（單位：克）：10.5

9.9

9.4

10.7

10.0

9.6

10.8

10.1

9.7

9.3記樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s．(1)求，s；(2)將質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的零件定為一等品．①估計(jì)這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件的一等品率；②從樣本中的一等品中隨機(jī)抽取2件，求這兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.3克的概率P．【答案】(1)，s=(2)①；②【分析】（1）由平均數(shù)和方差公式代入即可求出答案；（2）①首先求出質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的零件定為一等品，再求出一等品的件數(shù)，則這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件的一等品率即可求出.②從樣本中的一等品中隨機(jī)抽取2件，有種情況，再求出兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.3克的情況有7種，即可求出答案.【詳解】(1)，=，所以s=.(2)①，質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的零件定為一等品，樣本中一等品有：9.9，10.0，9.6，10.1，9.7共5件，用樣本估計(jì)總體，這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件的一等品率為.②從5件一等品中，抽取2件，有種情況，如下：抽取兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.3克的情況為：，，，，，，共7種，這兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.3克的概率P=.20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的離心率，且過(guò)點(diǎn)，A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線交C于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），試證直線MA與直線NB的交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得出關(guān)于a、b的方程，結(jié)合離心率列出方程組，解方程組即可；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)G的直線方程為、，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求出直線AM與BN的方程，兩式相除，化簡(jiǎn)計(jì)算可得直線AM與BN的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，即可證明.【詳解】(1)由題意知，，化簡(jiǎn)得，解得，故橢圓的方程為；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)G的直線方程為，，消去x，得，，設(shè)，則，所以又，得，所以直線AM的方程為，直線BN的方程為，兩式相除，得，即，又，即，解得，即直線AM與BN的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，所以直線AM與BN的交點(diǎn)在定直線上.21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：在定義域上是增函數(shù)；(2)記是的導(dǎo)函數(shù)，，若在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求a的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)：，．）【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得且，再應(yīng)用基本不等式求，結(jié)合，可確定的符號(hào)，即證結(jié)論.（2）對(duì)求導(dǎo)得且，將問題轉(zhuǎn)化為或在上恒成立，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而求區(qū)間值域，即可求a的取值范圍．【詳解】(1)由題設(shè)，且定義域?yàn)椋驗(yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，所以，時(shí)有，故在上是增函數(shù).(2)由題設(shè)，，則且定義域?yàn)?，因?yàn)樵趦?nèi)沒有極值點(diǎn)，即或，所以或在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，令則，，所以在上遞增，而，所以在上，故在上遞增，而，綜上，在上，即，所以，在上，即單調(diào)遞增，則，故或，即a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，對(duì)求導(dǎo)后，將問題轉(zhuǎn)化為或在上恒成立，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求值域.22．在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，直線與以點(diǎn)為圓心，且過(guò)點(diǎn)的圓相交于A，B兩點(diǎn)．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）寫出點(diǎn)C,M的直角坐標(biāo)，求得圓的直角坐標(biāo)方程，化為極坐標(biāo)方程，可得答案;（2）將代入圓的極坐標(biāo)方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，再結(jié)合，求得的值，可得答案.【詳解】(1)的直角坐標(biāo)為，的直角坐標(biāo)為，故圓的半徑為