數列例題集錦

【典型例題】（一）研究等差等比數列的有關性質1.研究通項的性質例題1.已知數列滿足.（1）求；（2）證明：.解：（1）.（2）證明：由已知，故，所以證得.例題2.數列的前項和記為（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，求.解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得：，又∴故是首項為1，公比為3的等比數列∴（Ⅱ）設的公比為，由得，可得，可得故可設，又，由題意可得，解得∵等差數列的各項為正，∴∴∴例題3.已知數列的前三項與數列的前三項對應相同，且對任意的都成立，數列是等差數列.⑴求數列與的通項公式；⑵是否存在，使得，請說明理由.點撥：（1）左邊相當于是數列前n項和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當時，.（2）把看作一個函數，利用函數的思想方法來研究的取值情況.解：（1）已知…）①時，…）②①－②得，，求得，在①中令，可得得，所以N*）.由題意，，，所以，，∴數列的公差為，∴，）.（2），當時，單調遞增，且，所以時，，又，所以，不存在，使得.例題4.設各項均為正數的數列{an}和{bn}滿足：an、bn、an+1成等差數列，bn、an+1、bn+1成等比數列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項an，bn解：依題意得：2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn+1②∵an、bn為正數，由②得，代入①并同除以得：，∴為等差數列∵b1=2，a2=3，，∴，∴當n≥2時，，又a1=1，當n=1時成立，∴2.研究前n項和的性質例題5.已知等比數列的前項和為，且.（1）求、的值及數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.解：（1）時，.而為等比數列，得，又，得，從而.又.（2），），得，.例題6.數列是首項為1000，公比為的等比數列，數列滿足，（1）求數列的前項和的最大值；（2）求數列的前項和.解：（1）由題意：，∴，∴數列是首項為3，公差為的等差數列，∴，∴由，得，∴數列的前項和的最大值為.（2）由（1）當時，，當時，，∴當時，當時，∴.例題7.已知遞增的等比數列{}滿足，且是，的等差中項.（1）求{}的通項公式；（2）若，求使成立的的最小值.解：（1）設等比數列的公比為q（q＞1），由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）∴an=2·2（n－1）=2n（2）∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，若Sn+n·2n+1＞30成立，則2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值為5.例題8.已知數列的前n項和為Sn，且成等差數列，.函數.（I）求數列的通項公式；（II）設數列滿足，記數列的前n項和為Tn，試比較的大小.解：（I）成等差數列，①當時，②.①－②得：，，當n=1時，由①得，又是以1為首項3為公比的等比數列，（II）∵，，，比較的大小，只需比較與312

的大小即可.∵∴當時，當時，當時，.3.研究生成數列的性質例題9.（I）已知數列，其中，且數列為等比數列，求常數；（II）設、是公比不相等的兩個等比數列，，證明數列不是等比數列.解：（Ⅰ）因為{cn+1－pcn}是等比數列，故有（cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），將cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，即[（2－p）2n+（3－p）3n]2=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3.（Ⅱ）設{an}、{bn}的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn.為證{cn}不是等比數列只需證≠c1·c3.事實上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pqc1·c3=（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）=p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不為零，因此c1·c3，故{cn}不是等比數列.例題10.n2（n≥4）個正數排成n行n列：其中每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11+a22+a33+…+ann解：設數列{}的公差為d，數列{}（i=1，2，3，…，n）的公比為q則=a11+（k－1）d，akk=[a11+（k－1）d]qk－1依題意得：，解得：a11=d=q=±又n2個數都是正數，∴a11=d=q=，∴akk=，，兩式相減得：例題11.已知函數的圖象經過點和，記（1）求數列的通項公式；（2）設，若，求的最小值；（3）求使不等式對一切均成立的最大實數.解：（1）由題意得，解得，（2）由（1）得，①②①－②得.，設，則由得隨的增大而減小時，又恒成立，（3）由題意得恒成立記，則是隨的增大而增大的最小值為，，即.（二）證明等差與等比數列1.轉化為等差等比數列.例題12.數列中，且滿足，.⑴求數列的通項公式；⑵設，求；⑶設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意，，為等差數列，設公差為，由題意得，.（2）若，時，故（3），若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數值是7.即存在最大整數使對任意，均有例題13.已知等比數列與數列滿足N*.（1）判斷是何種數列，并給出證明；（2）若.解：（1）設的公比為q，∵，∴。所以是以為公差的等差數列.（2）∵所以由等差數列性質可得…2.由簡單遞推關系證明等差等比數列例題14.已知數列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數列.（I）證明：；（II）若，證明：數列是等比數列；（III）求和：.解法1：（I）證：由，有，.（II）證：∵，，，.是首項為5，公比為的等比數列.（III）解：由（=2*ROMANII）得，，于是.當時，.當時，.故解法2：（=1*ROMANI）同解法1（=1*ROMANI）.（II）證：，又，是首項為5，公比為的等比數列.（=3*ROMANIII）由解法1中（=2*ROMANII）的類似方法得，，，.∴.例題15.設數列（1）證明：數列是等比數列；（2）設數列的公比，數列滿足，bn=f（bn－1）（n∈N*，n≥2），求數列的通項公式；（3）設，，求數列的前n項和Ｔn.（1）證明：由相減得：∴數列是等比數列（2）解：是首項為，公差為1的等差數列，∴..（3）解：時①②①－②得：∴所以：.例題16.的各個頂點分別為，設為線段的中點，為線段OC的中點，為線段的中點.對每一個正整數為線段的中點.令的坐標為，.（1）求及；（2）證明：（3）記，證明：是等比數列.（1）解：因為y1=y2=y4=1，y3=，y5=，所以得a1=a2=a3=2.又由，對任意的正整數n有an+1====an恒成立，且a1=2，所以{an}為常數數列，an=2，（n為正整數）（2）證明：根據，及=an=2，易證得yn+4=1－（3）證明：因為bn+1==（1－）－（1－）=，又由b1==1－y4=，所以{bn}是首項為，公比為的等比數列.【模擬試題】一、填空題1.在等差數列｛a｝中，已知a=2，a+a=13，則a+a+a等于=.2.已知數列的通項，則其前項和.3.首項為－24的等差數列，從第10項開始為正，則公差的取值范圍是.4.在等比數列中，和是二次方程的兩個根，則的值為.5.等差數列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項和Sn=100，則n=.6.等差數列{an}的前m項和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為________7.已知兩個等差數列和的前項和分別為A和，且，=，若為正整數，n的取值個數為___________。8.已知數列對于任意，有，若，則.9.記數列所有項的和為，第二項及以后各項的和為，第三項及以后各項的和為，第項及以后各項的和為，若，，，，則等于.10.等差數列共有項，其中奇數項之和為319，偶數項之和為290，則其中間項為_____.11.等差數列中，，若且，，則的值為.12.設為等差數列的前項和.已知，則等于.13.已知函數定義在正整數集上，且對于任意的正整數，都有，且，則____.14.三個數成等比數列，且，則b的取值范圍是.15.等差數列中，前項和為，首項.（1）若，求（2）設，求使不等式的最小正整數的值.點撥：在等差數列中知道其中三個就可以求出另外一個，由已知可以求出首項與公差，把分別用首項與公差，表示即可.對于求和公式，采用哪一個都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個可能更簡單一些.例如：已知判斷的正負.問題2在思考時要注意加了絕對值時負項變正時，新的數列首項是多少，一共有多少項.16.等差數列{}的前項和為，，.（I）求數列{}的通項與前項和為；（II）設（），求證：數列{}中任意不同的三項都不可能成為等比數列.17.在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數n，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數列.⑴求點的坐標；⑵設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，設與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.⑶設，等差數列{}的任一項，其中是中的最大數，，求{}的通項公式.18.已知數列滿足，（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足（n∈N*），證明：是等差數列.【試題答案】1.422.3.4.5.106.2107.；5個解法一：點撥利用等差數列的求和公式及等差數列的性質“若，則”解析：=解法2：點撥利用“若{}為等差數列，那么”這個結論，根據條件找出和的通項.解析：可設，，則，，則=由上面的解法2可知=，顯然只需使為正整數即可，故，共5個.點評：對等差數列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據具體的情況能夠靈活應用.反思：解法2中，若是填空題，比例常數k可以直接設為1.8.49.解：.10.解：依題意，中間項為，于是有解得.11.解：由題設得，而，，又，，.12.解：，，.∴。13.解：由知函數當從小到大依次取值時對應的一系列函數值組成一個等差數列，形成一個首項為2，公差為4的等差數列，.14.解：設，則有.當時，，而，；當時，，即，而，，則，故.15.解：（1）由，得：